2024数学论文求圆的切线方程的几种方法

2024利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题求圆的切线方程的几种方法在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。例：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。解法一：利用斜率求解图1解法二：利用向量求解图1（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）图2图2解法三：利用几何特征求解解法四：用待定系数法求解利用点到直线的距离求解利用直线与圆的位置关系求解：导数在函数极值方面的误区ⅰ.将“稳定点”等同于“极值点”定义1：可导函数的方程的根，称为函数的稳定点。定义2：设函数在区间有定义，若，且存在的某邻域，，有，则称是函数的极大点（极小点），是函数的极大值（极小值）。极大点和极小点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值。对于“”只是它为“函数的极值点”的必要而不充分条件。即函数的极值点必然在函数的稳定点的集合之中，反之，不成立，即稳定点不一定是极值点。例3中的函数，它在上可导，由方程，解得唯一稳定点，从图像上看，显然点不是可导函数的极值点。例6.函数的极值点是┈┈┈┈┈┈┈┈（）错解：导函数，令，解得，故答案应选C。剖析：这三点都是稳定点，那是不是极值点？存在极值点条件：导函数在稳定点的两侧有不同的符号，必是函数的极值点。显然导函数在两侧有相同的符号，不是函数的极值点。正解：由知，当时，，当时，；当时，，当时，，故在上是单调递增函数；在上是单调递减函数。因此，只有为极小值点，而和不是极值点（实际上是函数的拐点），故应选D。例7.函数，当时，有极值，那么的值为。误解：导函数，因为函数在处有极值，可得，解得或因此或。剖析：上述解题忽略了一个细节，解题过程中只用到，和，这能说明它是极值点吗？当、时，函数在上是增函数，显然不是函数的极值点；验证当、时，是函数的极值点。故。ⅱ.误把极值当最值例8.求函数在区间上的最值。误解：导函数，解得，或，经验证，和都是函数的极值点，即为极大值，为极小值，因此函数的最大值为，最小值为。剖析：本题是误把“极值”当成“最值”所导致的错误。对于上面所给出的定义可知，极值是一个局部概念，是函数在某一点的小领域内的最值；而最值是整体概念，是在整个闭区间上的最值。在一个区间上可能有很多极大值（极小值），而且某些极大值还可能小于某些极小值，但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）。因此求函数闭区间上的最值，需要将函数的一切极值与其端点值进行比较才能确定。本题两端点值，所以函数的最大值为，最小值为。ⅲ.把极值点的取值范围扩大例9.函数在区间上的极大值就是最大值，则的取值范围。误解：导函数，令，解得，经验证是函数的极值点，所以，解得，故的取值范围是。剖析：定义2，即极值定义，不难发现极值点在区间的内部（即不能是区间的端点），是函数的极值是与函数在的某个领域上的函数值比较而言。因此是函数的极大值点，有题意得，，解得，故的取值范围是。这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。一、导数与函数的交汇例1．（2006年山东卷）设函数,其中,求的单调区间.解析：由已知得函数的定义域为，且（）（1）当时，，函数在上单调递减.（2）当时，由，解得.、.随的变化情况如下表:极小值从上表可知当时，，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述:当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减,函数在上单调递增.【评注】利用导数研究含参函数的单调性一直是高考的重点和热点,常考常新.主要有:根据对参数的讨论来确定函数的单调性;已知含参函数的单调性来求对应参数的取值范围.二、导数与数列的交汇例2．（2006年江苏卷）对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是解析：曲线在处的切线的斜率为又因为切点为，所以切线方程为，令得,令.数列的前项和为【评注】本题考查应用导数求曲线切线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前项和的公式,应用导数求曲线切线的斜率时,要首先判断所经过的点是否为切点.否则容易出错.三、导数与三角的交汇例3．（2005年湖北）若，则与的大小关系（）A．B．C．D．与的取值有关解析：令,由，在上的正负可知与的取值有关。故答案应选D.例4．（2005年全国1）设函数，图象的一条对称轴是直线（1）求;（2）求函数的单调区间（3）证明直线与函数的图象不相切.解析：（1）是函数的图象的对称轴,（2）由（1）知因此由题意可得.所以函数的单调增区间为（3）证明:曲线的切线斜率的取值范围为.而直线的斜率为,直线与函数的图象不相切.【评注】（1）例3若直接比较与的大小关系,则比较麻烦.而采用构造函数,对函数进行求导,判断函数在所给区间的单调性,利用函数的单调性进行比较两个代数式,有事半功倍之效.（2）例4.的第3小题利用导数的几何意义来证明直线与函数的图象不相切.起到化繁为简的作用.四、导数与向量、方程的交汇例5．（2001年天津高考模拟试题）已知平面向量，（1）证明（2）若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式（3）据（2）的结论，议论关于的方程的解的情况。解析：（1）（2）即整理得上式化为（3）讨论方程的解的情况，可以看作曲线与直线的交点个数。于是，令解得，当变化时，的变化情况如下表：极大值极小值当时，有极大值，极大值为当时，有极小值，极小值为而时，得所以的图象大致如图所示：于是当或时，直线与曲线仅有一个交点，则方程有一解；当或时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当时，直线与曲线有三个交点，但不同时为零，故此时方程也有两解；当或时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解；【评注】本题考查了平面向量的数量积、导数的运算、函数和方程有关知识，同时又运用了转化化归思想，逻辑性强，是一道典型的融向量、导数、函数、方程为一体的综合性题目，符合高考在知识交汇处设计试题的原则。五、导数与不等式的交汇例6.（2006年四川）已知函数,的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明:（1）当时,（2）当时,解析:（1）略.（2）证法一:由,得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立,即证成立.设,则令，得，列表如下：极大值对任意两个不相等的正数,当时,证法二:由,得是两个不相等的正数设，则，列表：极大值即对任意两个不相等的正数,当时,【评注】本题是利用导数求函数的极值及运用比较法、放缩法证明不等式的综合问题，考查学生推理能力、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。六、导数与解析几何的交汇例7．（2004年福建高考模拟试题）设函数分别在、处取得极小值和极大值，平面上点、的坐标分别为，，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点。（1）求点、的坐标；（2）求动点的轨迹。解析：（1）令得或当时，；当时，；当时，.函数在处取得极小值，在处取得极大值；故当时，点、坐标分别为（2）设则①又②又的中点在上，③由①、②、③消去，得，其中动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。【评注】本题以函数的导数与极值为载体，利用向量设计点的轨迹，借助对称建立相关点间的联系，是典型的解析几何中求轨迹的问题。七、导数与立体几何的交汇例8．（2005年全国3）用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器高为cm，容器的容积为cm，则求的导数，令，得（舍去）当时，，那么为