适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练20利用导数研究函数的单调性新人教A版

课时规范练20利用导数研究函数的单调性基础巩固练1.(2024·江西鹰潭模拟)函数y=x2+2x+lnx的单调递增区间为A.(0,2) B.(0,1)C.(2,+∞) D.(1,+∞)2.(2024·河南许昌模拟)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为()A.e2 B.e C.e-1 D.e-23.(2024·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)大致的图象是()4.(2024·山东济南模拟)若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰有三个单调区间,则实数a的取值范围为()A.[3,+∞) B.(-∞,3)C.(-∞,0)∪(0,3) D.(-∞,0)5.(2024·四川泸州检测)已如函数f(x)=lnx+(x-1)ex,则f(3x-2)<f(x2)的解集为()A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(0,1)∪(2,+∞)C.(23,1)∪(2,+∞) D.(1,26.(多选题)(2024·河北唐山模拟)若函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),则f(x)可能是()A.f(x)=ln(x-2)+x B.f(x)=eC.f(x)=x+1x D.f(x)=x(lnx-17.(2024·河北邢台模拟)函数f(x)=x+2cosx,x∈(0,π2)的单调递减区间为.8.(2024·山东青岛模拟)若函数f(x)=x-alnx的单调递减区间为(0,2),则实数a=.

9.(2024·湖北荆门联考)若函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为.

10.(2024·广东佛山联考)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).(1)当a=1时,求函数y=f(x)的单调区间;(2)求函数y=f(x)的单调区间.11.已知函数f(x)=lnx+ax2-(a+2)x+2(a为常数).(1)若y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.综合提升练12.(多选题)(2024·云南昆明模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+sinx,若f(t)+f(1-3t)<0,则实数t的值不可能是()A.12 B.1 C.2 D.13.(2024·河北石家庄模拟)函数f(x)=sin2x+x2的单调递增区间是.

14.(2024·福建宁德期末)若函数f(x)=2x2-alnx+1在(a-3,a)内不单调,则实数a的取值范围为.

15.(2024·浙江金华模拟)已知函数f(x)=1+2lnx(1)求f(x)的单调区间;(2)若存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,使|f(x1)-f(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.创新应用练16.(2024·河南洛阳联考)设a=ln0.40.6,b=ln0.20.8A.c>a>b B.b>a>cC.b>c>a D.a>b>c17.(2024·天津期末)已知函数f(x)=x2lnx+ax存在单调递减区间,则实数a的取值范围为.

课时规范练20利用导数研究函数的单调性1.D解析函数的定义域为(0,+∞),y=x2+2x+lnx=x+2x+lnx,则y'=1-2x2+1x=x22.C解析依题可知,f'(x)=aex-1x≥0在(1,2)上恒成立,显然a>0,所以xex≥1a.设g(x)=xex,x∈(1,2),所以g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)在(1,2)内单调递增,g(x)>g(1)=e,故e≥1a,即a≥1e=e-1,即3.C解析由y=xf'(x)的图象知,当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,故f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,故f'(x)<0,当x∈(0,1),xf'(x)<0,故f'(x)<0,所以当x∈(-1,1)时,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,故f'(x)>0,f(x)单调递增.结合选项只有C符合,故选C.4.C解析f(x)的定义域为R,且f'(x)=3ax2-6x+1,要使函数恰有三个单调区间,则f'(x)=0有两个不相等的实数根,所以a≠0,Δ=36-12a>0,解得a<3且a≠0,5.C解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+xex>0对任意的x>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,由f(3x-2)<f(x2)可得x2>3x-2,3x-2>0,解得23<x<1或x>2,因此不等式f(3x-2)<f6.BD解析f(x)=ln(x-2)+x的定义域为(2,+∞),因此其单调递增区间不可能为(1,+∞),故A错误;f(x)=exx定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=ex(x-1)x2,令f'(x)>0,解得x>1,所以f(x)=exx的单调递增区间为(1,+∞),故B正确;f(x)=x+1x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=1-1x2=x2-1x2,令f'(x)=x2-1x2>0,解得x>1或x<-1,所以f(x)=x+1x的单调递增区间为(1,+∞)和(-∞,-1),故C错误;f(x)=x(lnx-1)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx-1+1=lnx,令f'(x7.(π6,π2)解析由已知得f'(x)=1-2sinx,x∈(0,π2),令f'(x)<0,即1-2sinx<0,解得π6<x<π2,则f(8.2解析f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-ax=x-ax,若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,不合题意.若a>0,令f'(x)=0,得x=a,当x>a时,f'(x)>0;当0<x<a时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).又函数f(x)=x-alnx9.(-∞,1]解析依题意f'(x)=ex-a+1-1≥0在区间(0,+∞)上恒成立,所以x-a+1≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即a≤x+1在区间(0,+∞)上恒成立,所以a≤1.10.解(1)由题意得,当a=1时,f(x)=x2+x-lnx,定义域为(0,+∞),则f'(x)=2x+1-1令f'(x)<0,得0<x<12;令f'(x)>0,得x>所以f(x)在(0,12)内单调递减,在(12,+∞)(2)由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-(a-2)-a(ⅰ)当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增;(ⅱ)当a>0时,令f'(x)<0,即2x-a<0,解得0<x<a2;令f'(x)>0,即2x-a>0,解得x>所以f(x)在(0,a2)内单调递减,在(a2,+∞)综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,a2)内单调递减,在(a2,+∞)11.解(1)由题意知x>0,f'(x)=1x+2ax-(a+2)=(ax-1)(2x-1)x,则f'(1)=a-1,由于函数y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,则f'(1)·(-13)=-1,(2)因为a>0,则1a>0,f'(x)=2①若0<a<2,则1a>12,当0<x<12或x>1a时,f'(x)>0,当12<x<1a时,f'(x)<0,所以y=f(x)在(0,12)和(1a,②若a=2,则1a=12,对任意的x>0,f'(x)≥0恒成立,所以y=f(x)在(0,③若a>2,则1a<12,当0<x<1a或x>12时,f'(x)>0,当1a<x<12时,f'(x)<0,所以y=f(x)在(0,1a)和(12综上所述,当0<a<2时,y=f(x)在(0,12)和(1a,+∞)上单调递增,在(12,1a)内单调递减;当a=2时,y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,y=f(x)在(0,1a)和(12,+∞)12.AD解析f(x)=ex-e-x+sinx的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex+sin(-x)=-(ex-e-x+sinx)=-f(x),则f(x)为奇函数,又f'(x)=ex+e-x+cosx≥2ex·e-x+cosx=2+cosx>0,当且仅当ex=1ex,即x=0时等号成立,则f(x)在R上为增函数,由f(t)+f(1-3t)<0,得f(t)<-f(1-3t),则f(t)<f(3t-1),则t<3t-1,解得t>12,因此13.(0,+∞)解析f'(x)=2sinxcosx+2x=sin2x+2x,f'(0)=0.令f'(x)=g(x),则g'(x)=2+2cos2x≥0且不恒为0,所以f'(x)单调递增,所以当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,故函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞).14.[3,4)解析因为f(x)=2x2-alnx+1在(a-3,a)内不单调,所以f'(x)=4x-ax在(a-3,a)内有零点,即方程4x-ax=0在(a-3,a)内有实根,即方程4x2=a在(a-3,a)内有实根,又函数f(x)=2x2-alnx+1的定义域为(0,+∞),所以a-3<a2<a15.解(1)由题意得f'(x)=-4lnxx3,令f'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.综上可知,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)由题意存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,不妨设x1>x2>1,由(1)知当x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减.|f(x1)-f(x2)|≥k|lnx1-lnx2|等价于f(x2)-f(x1)≥k(lnx1-lnx2),即f(x2)+klnx2≥f(x1)+klnx1,即存在x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2,使f(x2)+klnx2≥f(x1)+klnx1成立.令h(x)=f(x)+klnx,则h(x)在(1,+∞)上存在单调递减区间.即h'(x)=kx2-4lnxx3<0在(1,+∞)上有解,即k<4lnxx2在(1,+∞)上有解,即k<(令t(x)=4lnxx2,x∈(1,+∞),t'(x)=4(1-2lnx)x3,当x∈(1,e)时,t'(x)>0,t(x)在(1,e)内单调递增,当x∈(e,+∞)时,t'(x)<0,t(x)在(e,+∞)上单调递减,所以t(x)16.A解析构造函数f(x)=lnx1-x,其中0<x<1,则f'(x)=1-xx+lnx(1-x)2=1x-1+lnx(1-x)2,令g(x)=1x-1+lnx,g'(x)=-1x2+1x=x-1x2,所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)内单调递减,故当x∈