等比数列课件

等比数列2021/10/10星期日1猜一猜给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？

猜一猜：把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！2021/10/10星期日2曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：2021/10/10星期日39，92，93，94，95，96，97堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有九色,问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色？（《孙子算经》）2021/10/10星期日4某种汽车购买时的价格是36万元，每年的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价格（单位：万元）。36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…各年汽车的价格组成数列：2021/10/10星期日5比一比共同特点？

从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。(1)

(2)(3）…………9，92，93，94，95，96，9736，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…（4）2021/10/10星期日6等比数列定义

一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）或其数学表达式(定义式即递推式）：2021/10/10星期日7名称等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.2021/10/10星期日8注意：

1.公比是等比数列，从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数。2021/10/10星期日9练一练是不是是不是q

=1、判别下列数列是否为等比数列?

(2)1.2,2.4,-4.8,-9.6……(3)2,2,2,2,…(4)1,0,1,0……q

=……2021/10/10星期日102、指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由．(3)2,-2,2,-2,2(1)１,2,4,16,64,…(2)16,8,1,2,0,…不是是不是不一定(4)a,a,a,a,a…2021/10/10星期日11思考：等比数列中(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？(2)公比q=1时是什么数列？(3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？说明：(1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；(3)q=1，常数列;q<0，摆动数列；2021/10/10星期日12

例1:求出下列等比数列中的未知项.(1)2.a,8(2)-4,b,c,解：解得a=4或a=-42021/10/10星期日13等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。2021/10/10星期日14问题：？

已知等比数列的首项为a1，公比为q，求第n项an。2021/10/10星期日15方法1：不完全归纳法2021/10/10星期日16

方法2：累乘法2021/10/10星期日17Oxy123412342021/10/10星期日18Oxy●●●123412342021/10/10星期日19

一个等比数列的第2项与第4项分别是8与18，求它的第3项。例1：2021/10/10星期日20方法1：利用通项公式2021/10/10星期日21方法2：利用定义P49例1，例2练习P501，22021/10/10星期日22

在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比为q,能够求出该数列的任意项an吗？等比数列通项公式的推广公式：

an＝amqn-m（am≠0,an≠0,m,n∈N*）P521，22021/10/10星期日23已知是项数相同的等比数列，求证：是等比数列例2：2021/10/10星期日242021/10/10星期日25方法2：2021/10/10星期日26小结：1、等比数列的定义（1）归纳法（2）累乘法3、等比数列通项公式的推广公式推导方法：2、等比数列的通项公式公式的认识：（1）函数的观点（2）方程的思想递推式q=an/an-1，（n≥2）an=a1qn-1，(n∈N*

)an=amqn-m,

(n,m∈N*)2021/10/10星期日27等差数列等比数列

常数减—除加—乘加—乘乘—乘方迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定义数学表达式通项公式证明通项公式an-an-1=d（n≥2）

2021/10/10星期日28

例1：培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？（保留两位有效数字）2021/10/10星期日29其中

因此

解：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为答：到第五代大约得到这个新品种的种子

粒？

2021/10/10星期日30练习题：（1）2G=a+b是a,G,b成等差数列的________条件;（2）是a,G,b成等比数列的________条件.2021/10/10星期日31

等差数列等比数列定义数学表达如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。an+1-an=d(常数)符号表示首项a1,

公差d如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。首项a1,公比q(q≠0)d与{an}q与{an}d＞0{an}递增d＜0{an}递减d＝0{an}为常数列q＞0{an}中各项同号q＜0{an}中的项正负相间q＝1{an}为非零常数列通项公式an=a1+（n-1）dan=a1·qn-1an+1an=q(常数)等比中项a,A,b成等差数列,2A=a＋ba,G,b成等比数列,G2=ab2021/10/10星期日32q=1,a≠０，常数数列q<0,a≠０，摆动数列2021/10/10星期日33练习:1)在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_____.2)在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_________.3)在等差数列{an}中，a15

=10,a45=90,则a60

=__________.

4)在等差数列{an}中，a1+a2=3,a3+a4=1３,则a5+a6=_____

.110运用性质：

若n+m=p+q则am+an=ap+aq性质：从等差数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质：若{an}是公差为d的等差数列{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。180130２３运用性质:

an=am+(n-m)d或m,n,p成等差，则am,an,ap也等差P503，4,P50例3,P525性质：等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n2021/10/10星期日34{an}是公差为d的等差数列

{bn}是公比为q的等比数列

性质１：an=am+(n-m)d猜想１：性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三项，则2an=an-k+an+k猜想2：性质３：若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想3：性质４：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想４：性质５:若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。

猜想５：2021/10/10星期日35由等差数列的性质，猜想等比数列的性质{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质1:an=am+(n-m)d性质2:若an-k,an,an+k是{an}中的三项，

则2an=an+k+an-k猜想2：性质3:若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想1：

若bn-k,bn,bn+k是{bn}中的三项则猜想3：若n+m=p+q则bnbm=bpbq2021/10/10星期日36证明:2021/10/10星期日37若n+m=p+q,则bnbm=bpbq证明:2021/10/10星期日38猜想４：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为.(可推广)性质４：

从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质５:

若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。猜想５：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn•dn}是公比为q·q′的等比数列.性质３：若n+m=p+q猜想3：若n+m=p+q则am+an=ap+aq 则bn·bm=bp·bq由等差数列的性质，猜想等比数列的性质2021/10/10星期日39{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质1:an=am+(n-m)d猜想1:性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三项，则2an=an-k+an+k猜想2：若bn-k,bn,bn+k是{bn}的三项，则

=bn-k•bn+k性质３：若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想3：若n+m=p+q则bn·bm=bp·bq,性质４：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想４：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为.(可推广)性质５:若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。猜想５：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn•dn}是公比为q·q′的等比数列.等差、等比数列的性质2021/10/10星期日40练习:

⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16，a8=

.⒉在等比数列{an}中，且an＞0，a2

a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_

.⒊在等比数列{an}中，若则a10=

-12862021/10/10星期日41解题技巧的类比应用：分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数为：，

再联立方程组三个数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数。1).若G2=ab,且ab>0,则a,G,b是等比数列2).2021/10/10星期日42三个正数成等比数列，他们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数。解：设三个正数为：得：2021/10/10星期日43已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c()ＡA.成等差数列不成等比数列B.成等比数列不成等差数列C.成等差数列又成等比数列D.既不成等差数列又不成等比数列结论：若数列{an}为等比数列，则数列{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.2021/10/10星期日44

例：设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2,且a1a2a3……a30=230,则a3a6a9……a30=P51例4P524,10P527，11,12作业：《第二教材》P49新课标梯度评价选作作业:《第二教材》

P45新课标梯度评价2021/10/10星期日451.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式5.性质(若m+n=p+q)q不可以是0,d可以是0等比中项等差中项等差数列(AP)等比数列(GP)2021/10/10星期日46q>10<q<1q=1q<0递增递减常数列递增递减常数列分类：a<0a>02021/10/10