金融经济学第五章-投资组合理论

金融经济学

第五章均值-方差效用下的投资组合选择1.了解马科维茨的资产组合理论的演化过程及该理论的局限性.2.理解马科维茨投资组合理论假设条件的合理性及最优投资组合的数理方法.3.掌握均值-方差模型构建最优投资组合的规范性数理模型.4.理解当效用函数是二次函数或者资产回报率服从正态分布时,均值方差效用可以完全用于刻画个体的偏好.学习要点及目标掌握均值-方差前沿组合的相关性质.5.3通过证券市场投资配置资源的两部分工作：（１）证券与市场的分析，对投资者可能选择的所有投资工具的风险及预期收益的特性进行评估。（２）对资产进行最优的资产组合的构建，涉及在可行的资产组合中决定最佳风险－收益机会，从可行的资产组合中选择最好的资产组合。4马科维茨(H.Markowitz,1927～)《证券组合选择理论》瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予纽约大学哈利.马科维茨（HarryMarkowitz）教授，为了表彰他在金融经济学理论中的先驱工作—资产组合选择理论。一、现代投资组合理论的起源5发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variancemethodology.

这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础；这一理论通常被认为是现代金融学的发端。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论的重大突破。主要贡献6西方投资管理经历了三个发展阶段：投机阶段、职业化阶段和科学化阶段。

1952年，HarryMarkowitz发表的“投资组合选择”作为投资学或金融经济学产生的标志。

1963年，WillianSharpe提出了单指数模型。

1964年，Sharpe，Lintner,Mossin分别独立地提出了资本资产定价模型（CAPM）。

1973年，Black和Scholes提出了第一个完整的期权定价模型即Black-Scholes公式。

1976年，Ross提出了套利定价理论(APT)。证券投资理论的发展7处理不确定性的三种数学方法预期效用函数分析基于偏好假定，非常完美但要刻画一个人在所有不同状态下的效用几乎不可能均值—方差分析：投资组合理论尽管不能完全刻画个体的偏好（某些条件下可以）避免讨论具体的效用函数，灵活方便，可以检验套利分析：APT基于均值—方差分析和市场均衡理论，做了更多假定简化计算，使用方便，可以检验方法论的里程碑马科维茨均值-方差组合理论的基本内容：

在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产组合中个别资产收益率的均值和方差找出投资组合的有效前沿(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效组合前沿上选择投资组合。欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的资产之外，还应挑选相关系数较低的资产。9投资组合理论的基本思想投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。——“nothingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”10围绕风险的三个议题基本原则，即投资者规避风险并对风险投资要求有相应的回报，回报采取的是风险溢价的形式，即预期收益率高于可供选择的无风险投资所能提供的收益率．概括并确定投资者个人在资产组合风险与预期收益之间的权衡．我们引入效用函数，假定投资者能够根据风险与收益情况为所有的资产组合标定一个福利或效用的数值．我们无法脱离资产组合而对其中某一部分资产的风险进行单独的评估。测度单个资产的风险的正确方法是评价它对整个投资组合变动的影响．因为一些看起来有风险的资产也许正是资产组合的稳定器．11二、投资组合的收益与不确定性

首先，投资组合的两个相关特征是：（1）它的期望回报率（均值）；（2）可能的回报率围绕其期望偏离程度的某种度量，其中方差作为一种度量在分析上是最易于处理的。其次，理性的投资者将选择并持有有效率投资组合，即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合，或者那些在给定期望回报率水平上使风险最小化的投资组合。12

再次，通过对某种资产的期望回报率、回报率的方差和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系（用协方差度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行的。最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份额，以便实现投资组合的有效性——即对给定的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最小化。注：二次效应函数：投资者的效用函数是二次的，即u(W)=a+bW+cW2。13（一）假设条件单期投资：指投资者在期初投资，在期末获得回报。投资者事先知道资产收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。经济主体的效用函数是二次的，即u(w)=w-(1/2)αw2,α>0经济主体以期望收益率来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性(风险)，因而经济主体在决策中只关心资产的期望收益率和方差。经济主体都是非饱和、风险厌恶的，遵循占优原则，即在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。14收益率151617假设投资者投资的时间为一期，投资的初始财富W0为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资。投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%、24.6%和22.8%。这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为46.48元[因为（46.48-40）/40=16.2%]、43.61元[因为（43.61-35）/35=24.6%]和76.14元[因为（76.14-62）/62=22.8%]。证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式得到相同的结果。18（1）证券和证券组合的值证券名称在证券组合中的股数每股的初始市场价格总投资在证券组合的初始市场价值中的份额A10040元4000元4000/17200=0.2325B20035元7000元7000/17200=0.4070C10062元6200元6200/17200=0.3605证券组合的初始市场价值W0=17200元总的份额=1.000019（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率证券名称在证券组合中的股数每股的期末预期价值总的期末预期价值A10046.48元46.48元*100=4648元B20043.61元43.61元*200=8722元C10076.14元76.14元*100=7614元证券组合的期末预期价值=20984元证券组合的期望回报率=（20984元-17200元）/17200元=22.00%20（3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率证券名称在证券组合初始价值中的份额证券的期望回报率在证券组合的期望回报率中所起的作用A0.232516.2%0.2325*16.2%=3.77%B0.407024.6%0.4070*24.6%=10.01%C0.360522.8%0.3605*22.8%=8.22%

证券组合的期望回报率==22.00%21（二）期望效用分析与均值－方差分析的关系一般来说，资产回报的均值和方差并不能完全包含个体做选择时所需要的全部信息但在一定条件下，个体的期望效用函数能够仅仅表示为资产回报的均值和方差的函数，从而投资者可以只把均值和方差作为选择的目标条件为：预期效用函数为二次效用函数或者资产回报服从正态分布2223

假设个体的初始财富为W0，个体通过投资各种金融资产来最大化他的期末财富带来的期望效用。设个体的Von-Neumann-Morgenstern效用函数为u，在期末财富的期望值这一点，对效用函数进行Taylor展开：假设上述泰勒展开式是收敛的，并且知道期望运算和求和运算可以互换顺序，这样投资者期望效用函数的表达形式为25上式说明个体偏好不仅依赖于财富的均值与方差，还依赖于财富的高阶矩。但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。定理一：在经济主体的未来收益或财富为任意分布的情况下，如果经济主体的效用函数为二次效用函数那么，期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数。

定理二：在经济主体的偏好为任意偏好的情况下，如果资产收益的分布服从正态分布，则期望效用函数仅仅是财富的期望和方差的函数。在收益分布为正态分布的情况下，上述展开式中，三阶以上的中心矩中，奇数项为零，偶数阶的中心矩可写成均值和方差的函数。27(三）投资组合收益和风险的度量设一项投资组合含有n项风险资产，令：:风险资产i的随机收益率；：风险资产i的期望收益率，；：风险资产i和j的收益间的协方差；则有即：风险资产i和j的收益间的相关系数；

的方差2829

组合的方差将平方项展开得到30N种风险证券收益率向量用表示，其预期收益率向量用表示，其协方差矩阵用矩阵表示：其中

32根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立组合的风险变小33例题例1：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值和方差为34

例2：假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n，每种股票的收益也是占总收益的1/n。设若投资一种股票，其期望收益为r，方差为σ2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。35相关系数与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关系数。事实上，两个随机变量间的协方差等于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准差的积。证券A与B的相关系数为36测量两种股票收益共同变动的趋势:Corr(RA,RB)或

A,B-1.0+1.0完全正相关:+1.0完全负相关:-1.0完全负相关会使风险消失完全正相关不会减少风险在-1.0和+1.0之间的相关性可减少风险，但不是全部37若n=2时，若再假定其中一项如第２项是无风险资产，则有38从上式解得

如果现在市场的无风险利率是6％，资产1的预期收益率是14％，标准差是20％。现在我们希望组合的预期收益率是11％，则组合的构成和风险将是多少？39例子

假设我们要构造一个能源投资的Ace组合,我们选择了雪佛龙德士古(ChevronTexaco)石油公司和巴罗德(Ballard)燃料电池公司.由于燃料电池提供了替代汽油的清洁能源,所以,这两家公司的股票价格运动方向相反.我们设

,对两家公司各投资50%.雪佛龙德士古公司股票的标准差和预期回报分别是：，巴罗德公司股票的标准差和预期回报分别是：40求解Ace组合的标准差和预期回报：即41无论投资组合权重如何变化，组合收益的方差都随着组合内资产相关系数的减少而直线下降42选择不同的组合权重，相关系数对组合收益率方差的影响将随着组合权重偏向低风险资产而减少，反之增加。图5-6、5-7表明，虽然我们无法决定资产A或B的收益及其风险，但可以通过选择具有特定相关关系的的资产来构造组合并通过调整分配给各资产的投资比重来调整组合的收益和风险。这意味着：人们无需开发新的金融资产就可以创造新的投资品种。43将分解如下：

第一部分是只与单个方差项相关的风险，称为非系统性风险；第二部分是由各项资产收益间的相关性所带来的风险，称为系统性风险（或市场风险）。（四）风险的分散化44由上可知，证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差，而且还取决于各种证券间的协方差。随着组合种证券数目的增加，在决定组和方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一“免费的午餐”。将多项有风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率，这是马科维茨的主要贡献。451005001530非系统风险规模1005001530总风险规模1005001530系统风险规模46组合的风险–标准差

组合中的股票数量市场风险特定公司风险总风险可分散风险非系统性风险不可分散风险47结论只要资产不是完全正相关，投资组合的分散化便可以在不减少平均收益的前提下降低组合的风险；在分散化良好的投资组合里，非系统风险由于逐渐趋于零而可以被排除掉；由于系统风险不随分散化而消失，必须对其进行处置和管理。48三、证券投资组合的可行集、有效集（一）可行集（二）有效集（三）均值-方差前沿组合49（一）可行集N个证券可以形成无穷多个组合，由N种证券所形成的所有预期收益率和方差的组合的集合就是可行集。它包括了现实生活中所有可能的组合，也就是说，所有可能的证券投资组合将位于可行集的内部或边界上。50两个证券组合的可行集举例证券预期收益标准差A5%20%B15%40%组合ABCDEFGX1X21.000.000.830.170.670.330.50.50.330.670.170.830.001.0051相关系数分别为1，-1，0时，组合的期望收益与标准差分别是多少？组合ABCDEFG预期收益56.78.31011.713.315标准差下限

=－1上限

=1=02020201023.3317.94026.6718.811030.0022.362033.3327.603036.6733.3740.0040.0040.005253情形1：A、B完全正相关E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1

）E(r2)由以上两式所确定的是一条直线，通过点（σA，EA）和（σB，EB）

允许卖空时，为了得到无风险的证券组合，需要卖空高风险证券并投资在低风险证券（图中虚线部分）54命题1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得55两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。收益Erp风险σp56情形2：A、B完全负相关E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1

）E(r2)此时，σP

与E(rp)之间是分段线性关系。57命题2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。

证明：5859

两种证券完全负相关的图示收益rp风险σp60情形3：A、B不相关E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1

）E(r2)此时，σP

与E(rp)的关系是一条通过A、B的双曲线。结论：通过按适当比例买入两种证券，获得比两种证券中任何一种证券的风险都小的证券组合。图中C点为最小方差组合；组合中越靠近A，买入的A越多；而A点的东北部曲线上的点代表的组合由卖空B证券、买入A证券形成。61情形4：一般情形E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1

）E(r2)此时，σP

与E(rp)的关系仍是一条通过A、B的双曲线，其弯曲程度取决于相关系数的大小。在不允许卖空的情况下，相关系数越小，证券组合的风险越小。62两种不完全相关的风险资产的组合的可行集63

证券A、B组合在R-

平面的映射（组合线）的形状取决于二个证券收益率的相关程度。如下图：

R

B

=-1

=-0.5

A

O

=0

=1

=0.564多种证券组合的可行域

（例如，3种证券构造的500个随机组合样本）（1）投资者可以构造无穷多种组合，获得不同的收益和风险特征；（2）投资者可以获得的收益和风险被局限在一定的区域（可行域）内，并获得任意的收益和风险结构；（3）投资者的理性选择必将在可行域的边界上。65投资组合的几何表示和可行集选定了证券的投资比例，就确定了组合。以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP-σP坐标系中可以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点；反过来，EP-σP中的某个点有可能反映某个组合。选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组合在EP-σP中的“点”组成EP-σP中的区域－－可行集（feasibleset）可行集中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组合。可行集之外的点是不可能实现的证券组合。可行集＝机会集66可行集具有两个重要性质：

1、只要N>2，可行集对应于均值－标准差平面上的区域为二维的；

2、可行集的左边界向左凸。67可行集可能的形状（1）（4）（3）（2）（2）和（3）是不允许卖空条件下的可行域（1）和（4）是允许卖空条件下的可行域68收益rp风险σp不可能的可行集AB69（二）均值-方差前沿证券组合基本假设：无摩擦的证券市场中，有N≥3种风险资产，资产收益率的期望和方差有限，可以无限制地卖空，任何资产的收益率不能表示为其它资产收益率的线性组合（相互独立）。目标：在具有相同期望收益率的证券组合中，具有最小方差的资产组合称为均值-方差前沿证券组合。N种风险证券收益率向量用表示，其预期收益率向量用表示，其协方差矩阵用矩阵表示：其中

假设现在有一种证券组合P，它是N种风险证券的线性组合，组合的权重矢量x表示为。设,显然有,即组合P中各种证券的权重之和为1。对于非满足和风险厌恶的投资而言，优化证券投资组合的基本策略是：给定证券组合的预期收益率，则要使所承受的风险越小越好。均值-方差前沿组合的充分必要条件是它是以下二次规划的最优解

式中，μ为某一个期望收益水平。该式的经济含义是，在证券投资组合预期收益率既定的条件下，如何分布在各种风险证券上的投资权重，使投资组合的风险最小。1.均值-方差前沿组合的求解对上式构建拉格朗日函数为式中，λ和γ为常数，令其一阶导数等于0，则有（5-1）由于Σ是堆成正定矩阵，所以上述一阶条件也是全局最优化的充分必要条件。（2）（3）（4）所以D>0，因此式（4）有意义。

就是满足条件的均值—方差前沿组合，即为预期收益率μ的证券资产组合中使风险最小的唯一组合权重。2.均值-方差前沿边界3.均值-方差前沿组合的图形分析更大。最小方差组合假设资产D和资产E构成一个资产组合，根据两个资产组合的方差公式σp2

=wＤ2σＤ2+wＥ2σE2+2wDwECov(rD,rE)，

用1-wD代替wE得：

σp2

=wＤ2σＤ2+(1-wD)2σE2+2wD(1-wD)Cov(rD,rE)

等式两边求一阶导数令其=0，可得出最小方差投资组合的权重：一位养老基金管理人正在考虑3种共同基金：股票基金(S),E(rs)=20%，σs=30%；长期政府债券基金(B)，E(rB)=12%，σB=15%；短期国库券基金，收益率为8%。另有，ρS,B=0.1。试求：上述两种风险基金的最小方差组合的投资比例是多少？该组合的期望收益和标准差又是多少？84（三）有效集或有效前沿

1.有效集的定义可行集中有无穷多个组合，但是投资者有必要对所有这些组合进行评价吗？理性的风险厌恶者的投资选择：对于同样的风险水平，将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，将会选择风险最小的组合；如果一个组合比另一个组合的风险低、收益高，更加偏好这个组合。能满足这两个条件的投资组合的集合被称为有效集（EfficientSet）或有效边界（有效集定理）。862.有效集曲线的形状特点：（1）有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险”的原则；（2）有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用，所以曲线是向左凸的；（3）有效集曲线上不可能有凹陷的地方。

三、均值-方差前沿组合的性质性质1：g是期望收益率为0的均值-方差前沿组合，g+h是期望收益率为1的均值-前沿组合。性质2：所有的均值-方差前沿组合都可以有g和g+h这两个均值-方差前沿组合的线性组合生成。性质3：均值-方差前沿边界可以由任意两个不同的均值-方差前沿组合生成。性质4：均值-方差前沿组合的任何凸组合仍是均值-方差前沿组合。性质5：均值-方差有效组合的任何凸组合仍是均值-方差有效组合。（二）最小方差组合的性质性质6：最小方差组合的收益率和任何投资组合（不一定是均值-方差前沿组合）的收益率的协方差总是等于最小方差组合收益率的方差，设xP是任意组合，那么，（三）零协方差组合及其性质性质7：对于任意不是最小方差组合的均值-方差组合前沿证券组合xp,都存在另一个唯一的均值-方差前沿组合，使得性质8：在标准差-期望收益平面上，给定任意均值-方差前沿组合xP（最小方差组合除外）所对应的点，过该点作前沿边界（双曲线）的切线，该切线与与期望收益坐标轴交于一点，该点所对应的收益等于，因此过该点作标准差坐标轴的平行线，则平行线与前沿边界的交点就是零协方差组合的位置。性质9：在方差-期望收益平面上，给定任意均值-方差前沿组合xP（最小方差组合除外）所对应的点，连接该点与最小方差组合所对应的点获得一条直线，该直线与期望收益坐标轴的交点所对应的收益等于，因此过该点作方差坐标轴的平行线，则平行线与前沿边界的交点就是零协方差组合的位置。性质10：假设xP是一个均值-方差有效组合，任取一个证券组合xQ，有以下关系成立，即93四、具有无风险资产的有效证券组合前沿当存在无风险证券时，可以得到更简单的结果；无风险债券，是指回报率确定的证券，通常将政府发行的国库券视为无风险证券；买卖债券只不过是手段，本质是无风险的借贷行为；投资于无风险资产又称作“无风险贷出”（risk-freelending），卖空无风险资产又称为“无风险借入”（risk-freeborrowing）。假定：无摩擦的证券市场，N种风险证券和一种无风险证券，P为N+1种资产形成的一个前沿证券组合，wP

表示投资在N中风险资产上的权重。（一）存在无风险资产的投资组合前沿边界的推导假设无风险收益率为rf,这样市场中有N+1种资产，其中有一种无风险资产和N种风险资产。N种风险资产的投资组合的收益率用矢量表示，其预期收益率用矢量表示，其协方差矩阵用Σ表示，和前面不存在无风险情形下的表示方法完全一样。令P是N+1种资产的均值-方差组合，是投资组合P中无风险资产的权重，则风险资产的权重w是下面二次规划的最优解。95设是如下规划的解：96利用拉格朗日法求解，有以下有关投资组合的收益与风险的关系：如果这里A、B、C是推导马氏双曲线的变量

即所有N+1种资产的证券组合前沿为过点（0，rf)，斜率为的半射线组成。如果97（二）存在无风险借贷机会时组合的收益与风险

设组合P是有一无风险资产与一风险组合（由（n-1）种风险证券构成）所构成，则：从而98（三）无风险证券情况下证券组合前沿的几何结构

无风险收益率的大小将会影响证券边界，具体是直线的“模样”，分三种情况rf

＜A/C、rf＞A/C、rf

＝A/C其中A/C表示不存在无风险资产情况下mvp的期望值存在无风险资产之后，证券组合前沿由双曲线向左进行了扩张。可行集是由两条射线所“围成”的区域。991.rf＜A/C0E(r)A/Cemvpzc(e)rf＜A/C的几何图形

正斜率直线与双曲线相切，切点是e点。直线e左侧上的点是e和rf的凸组合。直线e右侧上的点是卖空rf

，买入e。负斜率直线不与双曲线相交。卖空e，买入r