专题02 不等式性质比大小和求最值范围 （解析版）

专题02不等式性质比大小和求最值范围一、巩固提升练【题型一】比大小：不等式性质型【题型二】比大小：做差比较法【题型三】比大小：商比法【题型四】比大小：基本不等式法【题型五】不等式整体化求范围：线性代换【题型六】不等式整体化求范围：比值型代换【题型七】不等式整体化求范围：二次函数根的分布型代换【题型八】不等式整体化求范围：绝对值型【题型九】不等式整体化求范围：复合型代换二、能力培优练热点【题型一】比大小：不等式性质型知识点与技巧：性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正1.（2023·江苏·高一专题练习）已知，，判断a，b大小关系.（填“>、=、<”）【答案】【分析】运用估算法进行求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故答案为：2.（2023·江苏·高一专题练习）若，，，则，的大小关系是.【答案】【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小.【详解】由,有，，则，故,故答案为：.3.．（2021秋·江苏·高一专题练习）设，，则，的大小关系为.【答案】【解析】由结合不等式的性质得出答案.【详解】，则，即故答案为：4.（2011春·山西临汾·高二统考期中）设，则的大小关系_____．【答案】【分析】通过A、B分离常数1，直接利用不等式性质推出所求结果.【详解】因为,因为所以，故，即.故答案为：5．（2021秋·高一校考课时练习）若,试比较和的大小.【答案】【分析】根据不等式的性质比较即可.【详解】，，又，∴，∴，∴，又∵，∴.【题型二】比大小：做差比较法1.（2023秋·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）已知，，，则m与n的大小关系为.【答案】【分析】利用做差，平方运算，即可判断大小关系.【详解】，要判断与的大小，即判断与的大小，，所以，即.故答案为：2.（2023·全国·高一专题练习）已知，设，，则（填“>”“<”或“=”）．【答案】>【分析】利用作差法可得答案.【详解】.因则.，又，.则，即.故答案为：3.（2023·江苏·高一专题练习）若，，，则，的大小关系是.【答案】【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小.【详解】由,有，，则，故,故答案为：.4.（2021秋·北京·高一校考阶段练习）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为．【答案】【分析】作差法比较大小即可.【详解】，由x＞0，y＞0且x≠y知，，,即故答案为：5.．（2021秋·江苏·高一专题练习）已知，则的大小关系是．(用“”连接)【答案】【详解】由题意不妨取，这时.由此猜测：下面给出证明：，又,.又∵，，又∵，综上所述，.故答案为：.【题型三】比大小：商比法1.（2022秋·河北石家庄·高三校考开学考试）若实数，，满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果.【详解】因为实数，，满足，，，所以，∴；又，∴；∴．故选：A．2.（2023·全国·高一专题练习）设，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小.【详解】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D3.．（2022秋·上海宝山·高一校考期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是【答案】【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为：4.（2023·全国·高一专题练习）试比较下列组式子的大小：(1)与，其中；(2)与，其中，；(3)与，．【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小；(2)通过作差法来比较的大小；(3)通过作差法或作商法比较与的大小.【详解】（1）解：，，因为，所以，即；（2）解：．因为，，所以，，所以，即；（3）方法一（作差法）．因为，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因为，所以，，，所以，所以．【题型四】比大小：基本不等式法知识点与技巧：1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：eq\r(,eq\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)；1.（2017春·北京西城·高二统考期中）已知，是不相等的正数，，，则，的大小关系是.【答案】【详解】∵x2＝＝＝<＝a＋b.＝()2＝y2，∴x<y.4．（2023·江苏·高一专题练习）若，，，则，，2ab，中最大的一个是．【答案】/【分析】确定，，，得到答案.【详解】，，，则，，，综上所述：最大的一个是.故答案为：2.（2023·江苏·高一专题练习）若，且，则中值最小的是【答案】【分析】先由均值不等式有：，，再比较与的大小，作差比较大小可得最小的数.【详解】由，，且，根据均值不等式有：，，又，因为，所以，则，所以，即.故答案为：.3.（2023·江苏·高一专题练习）若，，且，则在中最大的一个是.【答案】【分析】利用基本不等式和不等式的基本性质判断.【详解】因为，所以，且，由不等式的基本性质得，所以在中最大的一个是故答案为：4.（2023·江苏·高一假期作业）设a，，且，，则1，ab，的大小关系是．【答案】【分析】利用基本不等式可直接推出，再由变形可得，即可得出不等关系.【详解】因为a，，，所以，即，又，所以，因为，所以，则，，所以.故答案为：5.．（2021秋·全国·高一统考期中）若正数、满足，且，则1，，三个数从小到大排列是.【答案】【分析】利用基本不等式，可得到，再结合二次函数的性质，得到，即可得到答案.【详解】由题意，可得，当且仅当时等号成立，又由，所以，因为正数、满足，所以，则，即，所以，，三个数从小到大排列是.故答案为.【题型五】不等式整体化求范围：线性代换1.（2023秋·安徽亳州·高一校考阶段练习）已知，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用含的代数式表示，结合已知利用不等式的性质即可求得答案.【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D错误，故选：B.2.．（2023秋·陕西榆林·高一校考阶段练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质求出，3a的范围，两式相加即可得出答案．【详解】因为，，所以，，所以．故选：D.3.．（2022秋·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）已知，.则的取值范围（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质求得正确答案.【详解】设，即，解得，由，，得，，所以.故选：D4.（2022秋·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，解得，根据不等式性质求出.【详解】设，则，解得，因为，，所以，所以，即.故选：B5.（2023春·河北保定·高二校联考期末）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由待定系数法确定其系数，然后代入计算，即可得到结果.【详解】设，则，所以，因为，所以．因为，所以，故．故选：A【题型六】不等式整体化求范围：比值型代换1.（2022·高一课时练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据条件先将原式变形为，然后结合所给范围求解出，则原式的取值范围可求.【详解】原式分子和分母同时除以，得，由条件得，所以，即，所以，所以.故选：B.2.（2023·全国·高三专题练习）三个正数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵三个正数a，b，c，满足a≤b+c≤2a，b≤a+c≤2b，∴12①，1②，由②得1③，①+③得11≤2④，④等价于，即，∴．故选：A．3.．（2022·全国·高三专题练习）若实数x，y，z，t满足则的最小值为.【答案】【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可．【详解】因为，所以,所以，当且仅当即时等号成立，即的最小值为.故答案为：.4.（2022·上海·高一专题练习）已知，且，则的取值范围是.【答案】【分析】设，利用待定系数法求出的值，再由不等式的性质计算和的范围，即可得的范围，再两边同时除以即可求解.【详解】由可得：，令，整理可得：，所以，解得：，所以，将两边同时乘以，可得，①将两边同时乘以，可得，②两式相加可得：，即，因为，所以，所以的取值范围是，故答案为：.5.（2021·高一课时练习）设为实数，满足，则的最大值是．【答案】32【分析】将，看作整体，表示出，再利用不等式的性质求最大值．【详解】，，，不等式的性质得出，即的最大值为32，当且仅当即时取到．故答案为：32．【题型七】不等式整体化求范围：二次函数根的分布型知识点与技巧：二次函数公式①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a). ②顶点是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，对称轴是：x＝－eq\f(b,2a).③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)根的分布（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负如果是“0”分布，可以用韦达定理1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为【答案】【分析】由已知得出，即，设，利用待定系数法求解得出结果.【详解】由的两个零点一个大于2，一个小于2可得，即，又，设，则，解得，即，且，故3b－8a的取值范围为.故答案为：.2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，满足，则的取值范围为？【答案】【分析】由条件得，再利用待定系数法表示，根据不等式的性质，即可求解.【详解】由得，，设，则，解得，所以，由，可得所以，则可得.3.（2021秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）求解下列范围：(1)已知，，试求与的取值范围．(2)设，，若，，求的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据不等式的性质求得与的取值范围.（2）用表示，结合不等式的性质求得的取值范围.【详解】（1）∵，，∴，，∴，∴．又∵，∴，∴，∴，故的取值范围为，的取值范围为．（2）根据题意得，所以，，所以，因为，，所以，所以，所以的取值范围为．4.（2021·高一单元测试）已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设二次函数为：，令，解出，则，利用，和不等式的性质可得结果.【详解】因为二次函数的图像过原点，所以设二次函数为：，因为，，所以，，令，，则，，联立，解得，，所以，由，得，即.故选：B.5.（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是．【答案】【分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值.【详解】当时满足：且，，即，进而，解得．所以或，，令，，由于所以在单调递增，在单调递减，当时，，当时，，所以故答案为：．【题型八】不等式整体化求范围：绝对值型1.（2023·全国·高三专题练习）已知对于实数，，满足，，则的最大值为.【答案】7【分析】由题意可得，，且，利用不等式的性质即可求解【详解】由，可得，，因为，，所以，故，则的最大值为7，故答案为：72.（2022秋·江苏淮安·高一江苏省洪泽中学校联考期中）若，则的取值范围为.【答案】【分析】利用不等式的性质逐步计算即可.【详解】因为，所以，则，又因为，所以，故的取值范围为.故答案为：.3.（2019秋·全国·高二专题练习）若，，则的取值范围是；【答案】【分析】根据绝对值定义求范围，再根据不等式性质求结果.【详解】因为，所以，又，所以，所以的取值范围是．【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题.【题型九】不等式整体化求范围：复合型代换1.（2024秋·江苏徐州·高三校考开学考试）若函数的最小值为0，则的取值范围为.【答案】【分析】根据题意，讨论，求得时，取得最小值，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围.【详解】当时，，当时，取得最小值；当时，，当时，可得，当时，，，当时，，当时，取得最小值0，此时；当时，，由题意可得恒成立.则的取值范围为.故答案为：2.（2021秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期末）已知的最小值为，则实数的取值范围是.【答案】【分析】分类讨论的符号，去掉绝对值后讨论取到最小值时的情况.【详解】，①当时，，当时，，与矛盾，当有解时，解集是一个开区间，此时正比例函数在开区间上显然没有最小值；当无解时，也即恒成立，为下面情况：②当恒成立时，，注意到此时仅在处取到最小值，问题转化为：时，恒成立，即，解得故答案为：.3.（2022秋·浙江·高一校联考期中）函数，，最大值为，则的最小值是【答案】4【分析】变换得到，计算，，考虑，，，四种情况，根据函数单调性分别函数最值得到答案.【详解】，，函数在上单调递减，在上单调递增，故，设，，，当，即时，函数在上单调递增，，则，当，即时等号成立，；当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.，则；当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，则；当，即时，函数在上单调递减，，则；综上可知故答案为：44．（2019秋·江苏南通·高三江苏省西亭高级中学校考阶段练习）若关于x的方程恰有4个不同的正根，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】先将方程进行变形得，设，再变形为，令，则方程化为在上有2个不等实数根，根据二次函数根的分布情况，列出不等式，即可求出实数a的取值范围.【详解】解：由题可知关于x的方程恰有4个不同的正根则方程可化为，可设，即：上式方程，当时，，且在为增函数，当时，，且在为减函数，即：上式方程可化为，令，则方程化为，要使得原方程恰有4个不同的正根，则方程在上有2个不等实数根，则要求，即，解得，即.即实数a的取值范围为：.故答案为：.一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）函数，则恒成立的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据原函数表示出，化简后解不等式；【详解】解：由题意得故，解得故选：B2．（2023秋·宁夏银川·高一银川一中校考阶段练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求出、，再根据不等式的性质计算可得.【详解】因为，，令，则，解得，所以，又，所以，即.故选：B3．（2022秋·河北衡水·高一校考阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用不等式的性质即可求得结果.【详解】因为，，所以，，所以.故选：A.4．（2023秋·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）设，且1是关于的一元二次方程的一个实根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由题意得到，再结合，从而关于的不等式组，再分析的正负，从而得解.【详解】因为1是一元二次方程的一个实根，则，所以有，则，又，所以，即，则，又因为，所以，即，所以，则不等式等价为，即，则；所以的取值范围为，即.故选：A.5．（2023秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）若实数x，y满足．若，则实数x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将代入不等式中，并对x的不同取值进行分类讨论去掉绝对值，解不等式即可求出实数x的取值范围【详解】根据题意可知，不等式可化为；对绝对值里面的式子进行分类讨论可得：当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，可得都满足题意，即可得；当，原不等式化为，即，解得；综上可知，即实数x的取值范围是.故选：A6．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（

）A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定【答案】A【分析】根据题意列出不等关系，利用不等关系求的范围可得.【详解】设玫瑰和康乃馨每支分别为x元、y元，则，令，即，则有，解得，所以，即.故选：A7．（2022·北京·高三强基计划）已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度的取值区间为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】C【详解】利用等积法可得，再根据三角形边的性质可得边的不等式关系，从而可得高的范围.【分析】设三角形的三边长分别为，a，b，对应的高分别为10，20，h，则．又，于是，因此．故选：C.8．（2023·全国·高三专题练习）三个正数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵三个正数a，b，c，满足a≤b+c≤2a，b≤a+c≤2b，∴12①，1②，由②得1③，①+③得11≤2④，④等价于，即，∴．故选：A．9．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.【详解】因为且，所以或，对A：若，则，若，则，A错误；对B：∵，，∴，B错误；对C：由或，知且，∴，C正确；对D：当时，有，从而当，则且，∴，D错误.故选：C二、多选题10．（2023·全国·高一专题练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（

）A．的取值范围为 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】ABC【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；【详解】由，两式相加得，即，故A正确；由，得，又，两式相加得，即，故B正确；设，所以，解得，则，因为，所以，又因为，所以，所以，即，故C正确，D错误.故选：ABC.11．（2023·全国·高一假期作业）已知，，则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．ab的取值范围为 D．的取值范围为【答案】AC【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案;【详解】解：因为，，所以，，，所以，的取值范围为，的取值范围为，故A选项正确，B选项错误；因为，，所以，，，，所以，ab的取值范围为，的取值范围为故C选项正确，D选项错误.故选：AC12．（2023·全国·高一专题练习）已知，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由不等式的性质A,B用同向可加的性质，C,D选项用同向正可乘的性质计算可得.【详解】对于A选项，所以，A选项正确；对于B选项，所以，B选项不正确；对于C选项，所以，C选项正确；对于D选项，所以，D选项不正确；故选：AC.13．（2022·全国·高一专题练习）已知实数，满足，，则可能取的值为A． B． C． D．【答案】BC【分析】令，根据，求得的值，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由题意，实数，满足，，令，即，可得，解得，所以，则，，所以.故选：BC.14．（2023秋·高一单元测试）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（

）A． B．C．2 D．【答案】ACD【分析】由基本不等式即可判断A；取特殊值验证可判断B；利用作差法可判断C，D.【详解】由，则，得，A正确；由，取，则，故B错误；由于，则，则，故C正确；由于，故D正确，故选：ACD．三、填空题15．（2021秋·河南新乡·高一校考阶段练习）对于实数，若，，则的最大值为.【答案】5【分析】根据几何概型的方法，作出可行域，先分析的范围，再求解即可.【详解】由题意，，，故，作出可行域，设目标函数，则.易得过时取得最大值，过时取得最小值.故，，故.故的最大值为5.故答案为：516．（2022秋·上海·高一专题练习）设实数满足，则的最大值是_________【答案】27【分析】利用，已知条件结合不等式性质，即可求解.【详解】,当且仅当，即时等号成立.故答案为：2717．（2021春·河南开封·高二校考期末）某公司租赁甲、乙两种设备生产，两类产品，甲种设备每天能生产类产品5件和类产品10件，乙种设备每天能生产类产品6件和类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产类产品50件，类产品140件，则所需租赁费最少为元．