专题03 一元二次函数、方程和不等式（考点清单）（原卷版）

专题03一元二次函数、方程和不等式（考点清单）目录TOC\o"1-3"\h\u一、思维导图 2二、知识回归 2三、典型例题讲与练 3考点清单01作差法比大小 3【期末热考题型1】比较两个代数式的大小 3考点清单02基本不等式的应用 4【期末热考题型1】和定，求积的最值 4【期末热考题型2】积定，求和的最值 5【期末热考题型3】配凑法 5【期末热考题型4】“1”的妙用 5【期末热考题型5】代入消元法 6【期末热考题型6】二次与二次（或一次）商式 6考点清单03基本不等式在实际中的应用 7【期末热考题型1】在实际问题中判断使用基本不等式求最值 7考点清单04分类讨论法解决一元二次不等式（含参）问题 9【期末热考题型1】二次项系数不含参数 9【期末热考题型2】二次项系数含参 10【期末热考题型3】不能十字相乘法分解的一元二次不等式 11考点清单05一元二次不等式与对应函数、方程的关系 12【期末热考题型1】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 12考点清单06分式不等式的解法 13【期末热考题型1】解分式不等式 13考点清单07不等式恒成立问题（有解问题） 14【期末热考题型1】一元二次不等式在上恒（能）成立 14【期末热考题型2】不等式在区间上恒（能）成立 15考点清单08一元二次不等式的实际应用 16【期末热考题型1】一元二次不等式的实际问题 16

一、思维导图二、知识回归知识回顾1：重要不等式一般地，，有，当且仅当时，等号成立.知识回顾2：基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）知识回顾3：四个二次的关系判别式二次函数(的图象一元二次方程()的根有两个不相等的实数根，()有两个相等的实数根没有实数根()的解集()的解集知识回顾4：一元二次不等式的解法1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；2：写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；②时，求根；③时，方程无解3：根据不等式，写出解集.知识回顾5：分式不等式的解法①移项化零：将分式不等式右边化为0：②③④⑤三、典型例题讲与练01作差法比大小【期末热考题型1】比较两个代数式的大小【解题方法】作差法【典例1】（多选）（2023上·四川成都·高一树德中学校考期中）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【典例2】（2022上·河北衡水·高一校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为．(1)求的值；(2)当时，比较与的大小．【专训1-1】（多选）（2023上·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考阶段练习）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（

）A．若，则 B．若，则C． D．当时，．【专训1-2】（2023上·浙江金华·高一校考阶段练习）（1）已知，试比较与的大小；已知，为实数，试比较与的大小.02基本不等式的应用【期末热考题型1】和定，求积的最值【解题方法】基本不等式【典例1】（2023上·甘肃酒泉·高一校考期中）若，则的最大值是（

）A． B．4 C．8 D．16【典例2】（2023上·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知正数a，b满足，则的最大值为.【专训1-1】（2023·江苏·高一专题练习）若，则的最大值是.【期末热考题型2】积定，求和的最值【解题方法】基本不等式【典例1】（2023上·广东深圳·高一校考阶段练习）设，则的最大值是（

）A．3 B． C． D．【典例2】（2023上·上海普陀·高一校考期中）已知：，则的最小值是．【专训1-1】（2023上·上海闵行·高三校考期中）已知，则函数的最小值是．【期末热考题型3】配凑法【解题方法】拼凑项，化整体，利用基本不等式【典例1】（2024上·广东·高三校联考阶段练习）若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．3【典例2】（2023上·北京顺义·高一校考期中）函数的最小值是；此时.【专训1-1】（2023上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【专训1-2】（2023上·广东广州·高一广州空港实验中学校考期中）设均为正数，且，则的最小值是．【期末热考题型4】“1”的妙用【解题方法】将已知条件中的等式与目标式相乘【典例1】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知实数，满足，，且，则的最小值为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【典例2】（2023上·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）若，则的最小值为（

）A．12 B． C． D．【专训1-1】（2023上·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知，且，则的最小值为．【专训1-2】（2023上·江西赣州·高一赣州市第三中学校联考期中）设，则的最小值为.【期末热考题型5】代入消元法【解题方法】带入消元【典例1】（2023上·黑龙江·高一校联考期中）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．4【典例2】（2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为.【专训1-1】（2023上·江苏无锡·高一辅仁高中校考阶段练习）若，且，的最小值为（

）A．15 B． C．17 D．【专训1-2】（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是．【期末热考题型6】二次与二次（或一次）商式【解题方法】分离变量法【典例1】（2022上·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．【典例2】（2021·高一课时练习）当时，求的最小值．【专训1-1】（2022上·湖南益阳·高一校考阶段练习）已知，则函数的最小值是．【专训1-2】（2021·天津河西·统考模拟预测）函数的最小值为.03基本不等式在实际中的应用【期末热考题型1】在实际问题中判断使用基本不等式求最值【解题方法】基本不等式【典例1】（2023上·江苏南通·高一统考期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本）(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.【典例2】（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知.(1)求一年的总利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式：(2)已知某年的年产量超过40万件，当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大?并求出最大总利润.（总利润=总销售收入-固定成本-额外投入）【专训1-1】（2023上·江苏苏州·高一江苏省黄埭中学校考阶段练习）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？【专训1-2】（2023上·福建福州·高一福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）校联考期中）某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本（单位：万元）与货物量（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱收入（单位：万元）与货物量的函数关系式已知单次装箱的利润，且当时，.(1)求实数的值；(2)当单次装箱货物量为多少吨时，单次装箱利润可以达到最大，并求出最大值.04分类讨论法解决一元二次不等式（含参）问题【期末热考题型1】二次项系数不含参数【解题方法】十字相乘法+分类讨论法【典例1】（2023上·贵州六盘水·高一统考期中）解关于的不等式.【典例2】（2023上·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）设.(1)当时，的解集；(2)解关于的不等式.【专训1-1】（2023上·北京石景山·高一校考期中）已知函数，其中.(1)当时，求的最小值；(2)求不等式的解集.【专训1-2】（2023上·广东广州·高一广州市第五中学校考期中）已知函数，.(1)求不等式的解集；【期末热考题型2】二次项系数含参【解题方法】十字相乘法+分类讨论法【典例1】（2023上·天津·高一校联考期中）设(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式.【典例2】（2023上·福建莆田·高一莆田第四中学校考期中）已知．(1)若的解集为，求关于的不等式的解集；(2)解关于的不等式．【专训1-1】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）解关于x的不等式．【专训1-2】（2023上·河北承德·高一承德市双滦区实验中学校考期中）已知不等式．(1)若，解不等式．(2)当时，求关于的不等式的解集．【期末热考题型3】不能十字相乘法分解的一元二次不等式【解题方法】法【典例1】（2023上·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期中）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式：.【典例2】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期中）（1）解方程组；（2）解关于的不等式；（3）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【专训1-1】（2023上·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）讨论下列一元二次不等式的解集：(1)，；(2)，.05一元二次不等式与对应函数、方程的关系【期末热考题型1】一元二次不等式与对应函数、方程的关系【解题方法】根与系数的关系【典例1】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）不等式的解集为，则下列选项正确的为（

）A．B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为或【典例2】（多选）（2023上·河南南阳·高一校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（）A． B．不等式的解集是C． D．不等式的解集为【专训1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集（

）A． B．或C． D．或【专训1-2】（多选）（2020上·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．06分式不等式的解法【期末热考题型1】解分式不等式【解题方法】转化为一元二次不等式【典例1】（2023上·江苏苏州·高一江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·贵州黔西·高一校考期中）（1）求不等式的解集；（2）解不等式：.【专训1-1】（2023上·山东泰安·高一泰安一中校考期中）关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【专训1-2】（2023上·北京·高一汇文中学校考期中）不等式的解集是．07不等式恒成立问题（有解问题）【期末热考题型1】一元二次不等式在上恒（能）成立【解题方法】判别法+分类讨论法【典例1】（2023上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·云南曲靖·高一宣威市第三中学校考阶段练习）已知不等式的解集为或．(1)求的值；(2)为何值时，的解集为．【典例3】（2023上·福建南平·高一校考阶段练习）设函数.若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.【专训1-1】（2023上·江苏扬州·高一扬州中学校考期中）若不等式对于任意恒成立，则实数k的取值范围为．【专训1-2】（2023上·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知函数．若对，有成立，求实数a的取值范围；【期末热考题型2】不等式在区间上恒（能）成立【解题方法】变量分离法【典例1】（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为.【典例2】（2023上·福建·