陕西省商洛市2024届高三下学期尖子生学情诊断考试（第三次）数学（理科）试卷（含答案）

商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第三次）数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（）．A．1 B．3 C． D．2．设集合，，则（）．A． B．C． D．3．已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间x（分钟）与一个月内减轻的体重y（斤）的一组数据如表所示：x3040506070y1.11.93.244.8一个月内减轻的体重y与每天投入的体育锻炼时间x之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（）．A．7.1斤 B．7.0斤 C．6.9斤 D．6.8斤4．已知，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（）．A．112 B．80 C．64 D．326．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，下列命题错误的是（）．A．若，，，则B．若，，，则或C．若，，则或D．若，，则或7．在不等式组表示的平面区域内任取一点，则满足的概率为（）．A． B． C． C．8．已知是圆上任意一点，则的最大值为（）．A． B． C． D．9．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x（单位：万元）的Logistic模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50％，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（）．（参考数据：）A．30％ B．40％ C．60％ D．70％10．在中，，则的最小值为（）．A．4 B． C． D．1611．已知e是自然对数的底数，，，，则（）．A． B． C． D．12．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（）．A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设，向量，，若，则__________．14．已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为__________．15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C的左支上，，，延长PO交C的右支于点Q，点M为双曲线上任意一点（异于P，Q两点），则直线MP与MQ的斜率之积__________．16．已知圆锥的体积为，若球O在圆锥内部，则球O体积的最大值为__________，此时圆锥的底面圆的半径为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在数列中，，，数列是公比不为1的等比数列，且，，成等差数列．（1）求数列与的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到了90％，该公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值．参考数据：若，则．（1）求的值；（2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？（3）若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？19．（本小题满分12分）如图，在几何体ABCDE中，，平面ABC，，．（1）求证：平面平面ABE；（2）若，，，在棱AC上是否存在一点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为，M，N是直线上直线AM与E交于另外一点B，直线AN与E交于另外一点C．（1）记直线AM，AN的斜率分别为、，求的值；（2）求点O到直线BC的距离的最大值．21．（本小题满分12分）已知，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：对任意的，，．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线过点且倾斜角为，曲线的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求直线的参数方程及曲线的极坐标方程；（2）设，交于P，Q两点，求的最小值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知m，n，t均为正数，函数的最小值为3．（1）求的最小值；（2）求证：．商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第三次）·数学试卷（理科）参考答案、提示及评分细则1．A，的实部与虚部相等，则，所以．故选A．2．D因为，，所以，，，．故选D．3．D由表格的数据可得，，，因为线性回归直线方程是，所以，所以，当时，．故选D．4．A若，则，所以，充分性成立；若，则，但不一定成立，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．5．A分两类情况，第一类情况，去C企业仅有一人，有种情况；第二类情况，没有一个去C企业，有种情况，所以根据分类加法计数原理共有种．故选A．6．B对于A，令，分别为直线m，n的方向向量，因为，，又，所以，即，故A正确；对于B，如图所示，在正方体中，令平面ABCD为平面，平面为平面，直线为m，直线为n，满足，，，但m与n既不平行也不垂直，故B错误；对于C，若，过m作平面分别与平面和平面相交，且交线分别为a，b，则，，所以，所以；若，符合题意，故C正确；对于D，若，符合题意；若，过直线n作一平面与平面相交，设交线为b，因为，，所以，又，且n，b在同一平面内，若n，b不平行，则，又，则与矛盾，所以，所以，故D正确．故选B．7．C如图，不等式组，表示的平面区域为及其内部，其中，，，所以，设直线与直线，分别交于点，，所以满足的平面区域为四边形OCDB及其内部，，所以满足的概率为．故选C．8．D设，变形可得，则的几何意义为直线的斜率，是圆上任意一点，则，解得，即的最大为．故选D．9．B由题意得当时，％，则％，得，所以，得，所以．当时，％．故选B．10．C因为，设，则，显然，，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故选C．11．B令，则，所以时，，单调递增，又，，，所以．再令，则，所以在R上是增函数，时，，即时，，故，，即，所以．故选B．12．C由题意知，又，所以．显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，由得，所以．显然直线BD的斜率不为0，设，直线BD的方程为，由得，所以，又，所以，设，同理可得，．故选C．13．由题意得，解得．14．或因为，所以函数的图象关于直线对称，所以，即，，解得，，∵，∴，，因为在区间上单调，所以，解得．经检验，当时，，当时，均满足题意．15．2依题意，设双曲线C的半焦距为c，则，，因为O是的中点，所以，故由得，因为，，所以．在中，，在中，，所以，则，，所以．16．（3分） （2分）设圆锥底面半径为r，高为h，当球O与圆锥相切时体积最大，设此时球O的半径为R，如图，作出圆锥的轴截面，内切圆圆心为O，AB中点为H，则，高，设，则，其中，所以，，所以，，所以，所以圆锥的体积，所以，令，，所以，所以，，所以，，令，，则，，所以当时，；时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以球O体积的最大值为，此时，，，所以，所以，，所以圆锥的底面圆的半径为．17．解：（1）因为，且，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，（1分）所以．（2分）所以．（3分）设等比数列的公比为，由，，成等差数列，得，即，因为，所以，解得（舍去）．（4分）因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列．所以．（6分）（2）因为．（8分）所以．（12分）18．解：（1），（2分）所以．（3分）（2）由（1）知，，．该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为．（6分）（3）每个零部件的质量分数在内的概率为，由题意可知，则，（8分）设，则，（9分）令，得，所以当时，，（10分）令，得，所以当时，，（11分）所以时，最大，故使最大的n的值为14．（12分）19．（1）证明：因为平面ABC，AB，平面ABC，所以，，（1分）因为，所以，，又AB，平面ABC，，所以平面ABC．（2分）取AB的中点O，连接CO，则平面ABC，所以，又，所以，（3分）取AE的中点M，连接OM，DM，则，且，又，，所以，且，所以四边形OCDM为平行四边形，所以，（4分）所以，，又AB，平面ABE，，所以平面ABE，因为平面ADE，所以平面平面ABE．（6分）（2）解：由（1）知OC，OB，OM两两垂直，以O为坐标原点，OB，OC，OM所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．（7分）设平面ACD的一个法向量，则，即，令，解得，，所以．（9分）设，所以，（10分）记EF与平面ACD所成的角为，所以，（11分）解得，故F为AC的中点，即．所以在棱AC上存在点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为，且．（12分）20．解：（1）设，，所以，，又，所以，（2分）又，，所以．（4分）（2）由题意知，解得，，，所以E的方程为．（5分）当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为，，，由得，所以，，．（7分）由（1）知，所以，整理得，所以，整理得，即，所以，或．（9分）当时，直线BC的方程为，过定点，不符合题意，舍去；当时，直线BC的方程为，过定点．（10分）当直线BC的斜率不存在时，易得，，，所以直线AM的方程是，由得，解得或，所以，同理得，此时直线BC的方程是，过定点．综上，直线BC过定点．（11分）又，所以点O到直线BC的距离的最大值为．（12分）21．（1）解：的定义域为，，（1分）若，则恒成立，所以在上单调递增．（2分）若，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（4分）（2）证明：当时，．所以，．（5分）要证，即证，即证．（6分）由，得，即，，故只需证．（8分）下面给出证明：设，则，当时，恒成立，单调递减，当时，，，所以；当时，，所以；当时，，，所以．所以