福建省福州市仓山区水都中学2023-2024学年九年级下学期期中考试数学试卷（含解析）

-2024学年福建省福州市仓山区水都中学九年级（下）期中数学试卷一、选择题。（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×1033．（4分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠54．（4分）正五边形的外角和为（）A．180° B．360° C．540° D．720°5．（4分）已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），则b的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣46．（4分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根7．（4分）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．468．（4分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（4分）如表是某超市上半年的月营业额（单位：万元）．月营业额204010月数321下列结论不正确的是（）A．平均数是25 B．中位数20 C．众数是40 D．方差是12510．（4分）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则ab可表示为（）A． B．2c2﹣1 C． D．2c2+1二、填空题。（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：ab2﹣a＝．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为．13．（4分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABCS△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D，弧AC的中点，AC＝12，则MD的长是．15．（4分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，OA＝2，则阴影部分的面积为．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A（4a，0），a＞0，△OAB是等边三角形．若（不含边界），则a的取值范围是．三、计算题。本大题共9小题，共8分。17．（8分）计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．18．（8分）解不等式组：19．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝20．（14分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交y轴于点B（0，1）．（1）求直线l的解析式；（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；（3）当x时，y≥0；（4）求原点到直线l的距离．21．（14分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形．22．（8分）5月12日是全国防灾减灾日，某校举行了安全知识竞赛，从全校学生中随机抽取n名学生的成绩学生成绩分布统计表分组成绩（分）频率A75.5≤x＜80.50.050B80.5≤x＜85.5aC85.5≤x＜90.50.275D90.5≤x＜95.50.375E95.5≤x＜100.50.100请根据以上图表信息，解答下列问题：（1）求n与a的值，并补全学生成绩频数分布直方图；（2）若E组有2名男生和2名女生，现随机抽选2人作为安全知识宣传志愿者，求抽选结果恰好是“一男一女”的概率．23．（10分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．24．（8分）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米（1）求这条抛物线的表达式；（2）山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米；（3）求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．25．（8分）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD＝；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，请直接写出BF与EC之间的数量关系．2023-2024学年福建省福州市仓山区水都中学九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、既不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、既是中心对称图形，符合题意．故选：D．2．（4分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103【解答】解：36000＝3.6×105，故选：C．3．（4分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5【解答】解：A．∵∠1和∠2是对顶角，∴∠7＝∠2，故A正确；B．∵∠2是△AOD的外角，∴∠8＞∠3，故B错误；C．∵∠1＝∠2+∠5，故C错误；D．∵∠2是△BOC的外角，∴∠2＞∠5；故D错误；故选：A．4．（4分）正五边形的外角和为（）A．180° B．360° C．540° D．720°【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．5．（4分）已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），则b的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：∵抛物线经过点A（1，n）和点B（3，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝5，即﹣＝2，解得b＝2，故选：C．6．（4分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根【解答】解：在一元二次方程x2+x﹣1＝2中，a＝1，b＝1，∴Δ＝b8﹣4ac＝18﹣4×1×（﹣6）＝1+4＝8＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：A．7．（4分）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．46【解答】解：∵1936＜2021＜2025，∴44＜＜45，∴n＝44，故选：B．8．（4分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，故选：A．9．（4分）如表是某超市上半年的月营业额（单位：万元）．月营业额204010月数321下列结论不正确的是（）A．平均数是25 B．中位数20 C．众数是40 D．方差是125【解答】解：平均数为（20×3+40×2+10×4）÷（3+2+3）＝25（万元），故A正确；按顺序排列后第3个数是20，第4个数是20（20+20）＝20（万元），不符合题意；出现最多的是20，所以众数是20万元，符合题意；方差是[3×（20﹣25）7+2×（40﹣25）2+（10﹣25）5]×＝125（万元4）．故D正确；故选：C．10．（4分）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则ab可表示为（）A． B．2c2﹣1 C． D．2c2+1【解答】解：∵a+b+c＝0，∴﹣c＝a+b，两边同时平方得：c2＝a4+b2+2ab，移项得：8ab＝c2﹣（a2+b5），又∵a2+b2+c5＝1，∴a2+b4＝1﹣c2，∴8ab＝2c2﹣4，∴，故选：A．二、填空题。（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【解答】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+8）（b﹣1），故答案为：a（b+1）（b﹣4）12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为0．【解答】解：方法一、∵直线y＝x与双曲线y＝，B两点，∴联立方程组得：，解得：，，∴y1+y4＝0，方法二、∵直线y＝x与双曲线y＝，B两点，∴点A，点B关于原点对称，∴y1+y6＝0，故答案为：0．13．（4分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC＝S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．【解答】解：∵S△ABC＝×3×4＝4，S△ABD＝8×5﹣×5×1﹣×2×2＝5，∴S△ABC＝S△ABD，故答案为：＝．14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D，弧AC的中点，AC＝12，则MD的长是4．【解答】解：∵点M是弧AC的中点，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∴OM＝6.5，∵点D是弦AC的中点，∴OD＝BC＝2.7，∴OD⊥AC，∴O、D、M三点共线，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣8.5＝4．故答案为：8．15．（4分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，OA＝2，则阴影部分的面积为+．【解答】解：如图，设O′A′交，连接OT．∵OT＝OB，OO′＝O′B，∴OT＝2OO′，∵∠OO′T＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）＝﹣（﹣）＝+．故答案为：+．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A（4a，0），a＞0，△OAB是等边三角形．若（不含边界），则a的取值范围是a＞2．【解答】解：过点B作BN⊥x轴于点N，如图所示：∵A（4a，0）且a＞8，∴OA＝4a，∵△AOB是等边三角形，∴ON＝2a，BN＝4a，∵P（a+1，a）在△OAB的内部（不含边界），∴a＜a+1＜a，解得a＞2，故答案为：a＞2．三、计算题。本大题共9小题，共8分。17．（8分）计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．【解答】解：原式＝3+3+2﹣6×＝3+6+2﹣2＝5．18．（8分）解不等式组：【解答】解：解不等式5x﹣3＞7x，得：x＞1，解不等式＜，得：x＜6，则不等式组的解集为1＜x＜2．19．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝+1时＝．20．（14分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交y轴于点B（0，1）．（1）求直线l的解析式；（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；（3）当x≤时，y≥0；（4）求原点到直线l的距离．【解答】解：（1）把（3，﹣3），8）代入y＝kx+b，得，解得：，∴直线l的解析式为y＝﹣x+5；（2）在y＝﹣x+7中，则﹣，解得x＝，∴A（，0），∵B（0，7），∴OA＝，OB＝3，∴S△AOB＝＝×1＝，∴直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为；（3）∵A（，0），∴当x≤时，y≥0；故答案为：≤；（4）设原点到直线的距离为h，∵OA＝，OB＝1，∴AB＝＝＝，∵S△AOB＝AB•h，∴＝×h，∴h＝．故原点到直线l的距离为．21．（14分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形．22．（8分）5月12日是全国防灾减灾日，某校举行了安全知识竞赛，从全校学生中随机抽取n名学生的成绩学生成绩分布统计表分组成绩（分）频率A75.5≤x＜80.50.050B80.5≤x＜85.5aC85.5≤x＜90.50.275D90.5≤x＜95.50.375E95.5≤x＜100.50.100请根据以上图表信息，解答下列问题：（1）求n与a的值，并补全学生成绩频数分布直方图；（2）若E组有2名男生和2名女生，现随机抽选2人作为安全知识宣传志愿者，求抽选结果恰好是“一男一女”的概率．【解答】解：（1）n＝2÷0.050＝40，a＝4﹣0.050﹣0.275﹣6.375﹣0.100＝0.200．B组的人数为3.200×40＝8（人），补全频数分布直方图如图所示．（2）设2名男生分别记为A，B，3名女生分别记为C，D，画出树状图如下：共有12种等可能结果，其中抽选结果恰好是“一男一女”的结果有：AC，BC，CA，DA，共8种，∴抽选结果恰好是“一男一女”的概率为＝．23．（10分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．【解答】解：（1）根据题意作图如下：（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又AE＝AG＝r，∴四边形AEFG是正方形，∴EF＝AE＝r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB＝α，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，∴BE＝r•tanα，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，又∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝r•tanα，∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，即DE•tanα＝AE，∴（r•tanα+r）•tanα＝r，即tan2α+tanα﹣1＝2，∵tanα＞0，∴tanα＝，即tan∠ADB的值为．24．（8分）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米（1）求这条抛物线的表达式；（2）山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米；（3）求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．【解答】解：（1）由题意得：顶点C（6，12），所以设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）6+12，把（0，0）代入得：8＝a（0﹣6）8+12，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）7+12＝﹣x8+4x；（2）∵山坡OA的坡度为1：5，OE＝9米，∴AE＝3米，当x＝8时，y＝﹣，∵2+5＜9，∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；（3）设直线OA的关系式为y＝kx，把A（8，∴直线OA的关系式为y＝x，如图，设M（a，﹣a2+4a），N（a，，∴MN＝（﹣a2+4a）﹣a＝﹣a2+a＝﹣）2+，当a＝时，MN最大为，答：飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是米．25．（8分）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠C