云南省师宗县2023-2024学年数学九年级上册期末统考试题含解析

云南省师宗县2023-2024学年数学九上期末统考试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.点4—3,%）、（一1,%）都在反比例函数y=-J的图象上，则必、％的大小关系是（）

A.必<%B.x=y2c.y>%D.不能确定

2.如图，AB是。O的直径，ZAOC=130°,则ND等于（）

A.25°B.35°D.65°

3.如图，抛物线卜=0^+法+。的对称轴为％=-1,且过点［耳，。），有下列结论：①而c>0；©a-2b+4c>0；

@2a+b=0；④3。+2c>0.其中正确的结论是（）

C.①②D.②④

4.在平面直角坐标系中，点A（0,2）、B（a,a+2）、C（b,0）（。>0力>0）,若AB=4后且NACB最大时，分的值为（

A.2+26B.-2+2遥C.2+40D.-2+4后

5.如图，已知KQABC中，ZC=90°,BC=3^C=4,

则sinA的值为（）.

3

A.-

4

4

D.-

5

3

6.如图，点A在反比例函数y=-（x>0）的图象上，过点A作ABLx轴，垂足为点B,点C在y轴上，则AABC的面

x

积为（）

A.随意翻倒一本书的某页，这页的页码是奇数.B.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰.

C.从地面发射一枚导弹，未击中空中目标.D.购买1张彩票，中奖.

8.如图，将AAOB绕着点O顺时针旋转，得至IJACOD,若NAOB=40。，ZBOC=30°,则旋转角度是（）

9.如图，已知在中，NACB=90。，于。，则下列结论错误的是（）

A.CDAC^ABBCB.AC2=ADABC.BC2=BDABD.ACBC=ABCD

10.cos60°的值等于（）

A1RV2

22

二、填空题（每小题3分，共24分）

o6

11.如图，△GHB的顶点A在双曲线y=—(x>0)上，顶点B在双曲线丁=一一(x<0)上，AB中点P恰好落在v轴上,

xX

则AQ钻的面积为

12.已知关于x•的方程x2+x+m=0的一个根是2,则m=,另一根为.

13.微信给甲、乙、丙三人，若微信的顺序是任意的，则第一个微信给甲的概率为.

14.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与AABC

全等，这样的三角形最多可以画出______个.

15.如图所示，在平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,2),AC由A3绕点A顺时针旋转9()。而得，则AC所在直线

的解析式是.

y

A

X

16.设W、X?是一元二次方程f一5无一1=0的两实数根，则当2+々2的值为

17.已知等边△ABC的边长为4,点P是边BC上的动点，将aABP绕点A逆时针旋转60°得到AACQ,点D是AC

边的中点，连接DQ,则DQ的最小值是.

18.在一次夏令营中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60。方向走了5切，到达3地，然后再沿北偏西30。方向

走了若干千米到达C地，测得A地在。地南偏西3()。方向，则A、C两地的距离为hn.

北

A

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，A8是。。的直径，点C是A5延长线上的点，与。。相切于点O,连结80、AD.

(1)求证；NBDC=NA.

(2)若NC=45°,。。的半径为1,直接写出AC的长.

20.(6分)如图，0是矩形ABCD的对角线的交点，E,F,G,H分别是OA,OB,OC,0D上的点，且AE=BF=CG=DH.

(1)求证：四边形EFGH是矩形；

(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,0D的中点，且DG_LAC,0F=2cm,求矩形ABCD的面积.

21.(6分)如图，已知4(-4,0),5(0,4),现以A点为位似中心，相似比为9：4,将向右侧放大，6点的对应

点为C.

(1)求C点坐标及直线BC的解析式：

(2)点P从点4开始以每秒2个单位长度的速度匀速沿着x轴向右运动，若运动时间用，秒表示.△BCP的面积用S

表示，请你直接写出S与》的函数关系.

16-

14-

12-

22.（8分）已知：在AA5C中，点。、点E分别在边A3、AC上，旦DE//BC,8E平分NA5C.

（1）求证：BD=DE；

(2)若AB=10,AD=4,求8c的长.

23.（8分）某中学举行“中国梦，我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四

个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题.

8

7

6

5

4

3

2

1

（1）参加比赛的学生共有一名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为度，图中m的值为

（2）补全条形统计图;

（3）组委会决定分别从本次比赛中获利A、B两个等级的学生中，各选出1名学生培训后搭档去参加市中学生演讲比

赛，已知甲的等级为A,乙的等级为B,求同时选中甲和乙的概率.

24.（8分）如图，已知.。是AABC的外接圆，A8是。。的直径，。为。0外一点，AC平分卬。，且

AC2=ABAD.

(D求证：MBC^AACD：

(2)求证：CO与。相切.

25.(10分)已知四边形ABC。为。。的内接四边形，直径AC与对角线30相交于点E，作CH上BD于H,CH

与过A点的直线相交于点F,ZFAD=ZABD.

ODD

(1)求证：A尸为O。的切线；

(2)若BD平分NABC,求证：DA=DC；

(3)在(2)的条件下，N为AR的中点，连接EN,若NAEZ)+NA£N=135。，。。的半径为20，求EN的长.

26.(10分)已知关于x的一元二次方程mx?—2x+l=0.

(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；

(2)若方程的两个实数根为X”xz,且x的一X|-X2=g,求m的值.

2

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、A

【分析】根据反比例函数的性质，图象在二、四象限，在双曲线的同一支上，y随x的增大而增大，则-3<-lV0,可

得X<%.

【详解】解：•••k=“vo,

图象在二、四象限，且在双曲线的同一支上，y随x增大而增大

,.,-3<-1<0

•'•yi<y2»

故选：A.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

2、A

【解析】试题分析：；AB是。O的直径，

.,.ZBOC=180o-ZAOC=180o-130o=50o,

:.ZD=-ZBOC=-x50°=25°.

22

故选A.

考点：圆周角定理

3、C

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题.

【详解】由抛物线的开口向下可得：aV0,

根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a,b同号，所以b<0,

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>(),

.".abc>0,故①正确；

直线x=-l是抛物线y=ax?+bx+c(a/))的对称轴，所以-2=-i,可得b=2a,

2a

a-2b+4c=a-4a+4c=-3a+4c,

Va<0,

.".-3a>(),

-3a+4c>0,

即a-2b+4c>0,故②正确；

Vb=2a,a+b+c<0,

...2a+b/),故③错误；

".*b=2a,a+b+cVO,

1

..—b+b+cVO,

2

即3b+2cV0,故④错误；

故选：C.

【点睛】

此题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练

运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式.

4、B

【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当AABC的外接圆与x轴相切时，Z4C8有最大值，此时圆心F的横坐标

与C点的横坐标相同，并且在经过AB中点且与直线AB垂直的直线上，根据FB=FC列出关于b的方程求解即可.

【详解】解：：AB=4&，A(0,2)、B(a,a+2)

:.J/+(a+2—2『=472，

解得。=4或a=-4(因为。＞0,舍去)

设直线AB的解析式为尸h+2,

将B(4,6)代入可得衣=1,所以y=x+2,

利用圆周角大于对应的圆外角得当AA3C的外接圆与x轴相切时，ZACB有最大值.

如下图，G为AB中点，G(2,4),

设过点G且垂直于AB的直线I'.y^-x+m,

将G(2,4)代入可得m=6,所以y=-x+6.

设圆心厂伍，一H6),由=可知(—"6)2=仅一4)2+(—"6—6)2,解得人=2太一2(已舍去负值).

故选：B.

【点睛】

本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图

形找到C点的位置是解决此题的关键.

5、C

【分析】根据勾股定理求出AB,并根据正弦公式：sinA=gC求解即可.

AB

【详解】VZC=90°,BC=3,AC=4

二AB=yjBC2+AC2=V32+42=5

BC3

•••■siAnA-=--=-一

AB5

故选C.

【点睛】

本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可.

6、C

【分析】连结OA,如图，利用三角形面积公式得到SAOAB=S«AB,再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到

SAOAB=^|k|,便可求得结果.

【详解】解：连结OA,如图，

•.,ABJ_X轴,

.♦.OC〃AB,

SAOAB=SACAB>

13

而SAOAB=—|k|=—,

SACAB=-

2

故选C.

【点睛】

k

本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数尸一图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别

x

作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

7、B

【分析】根据必然事件的定义判断即可.

【详解】A、C、D为随机事件,B为必然事件.

故选B.

【点睛】

本题考查随机事件与必然事件的判断,关键在于熟记概念.

8、D

【分析】由旋转的性质可得旋转角为NAOC=70。.

【详解】解：VZAOB=40°,ZBOC=30°,

.,.ZAOC=70°,

•.•将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD,

二旋转角为NAOC=70。，

故选：D.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转的意义和性质，能够有旋转的性质得到相等的角.

9,A

【分析】根据三角形的面积公式判断A、D,根据射影定理判断B、C.

【详解】由三角形的面积公式可知，CD・AB=AC・BC,A错误，符合题意，D正确，不符合题意；

•.,RtAABC中，ZACB=90°,CD_LAB,

.,.AC2=AD«AB,BC2=BD«AB,B、C正确，不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键.

10、A

【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可.

【详解】解：cos60°

2

故选A.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11,1

【分析】过A作AE_Ly轴于E,过B作BD_Ly轴于D,得至！JNAED=NBDP=9O°,根据全等三角形的性质得到

SABDP=SAAED,根据反比例函数系数k的几何意义得到SAOBD=3,SAAOE=4,于是得到结论.

【详解】解：过A作AE，y轴于E,过B作BDJ_y轴于D,

AZAED=ZBDP=90°,

•・•点P是AB的中点，

ABP=AP,

VZBPD=ZAPE,

AABPD^AAPE(AAS),

••SABDP=SAAED,

Q6

•・,顶点A在双曲线v=-(x>0),顶点B在双曲线了二一一“<0)上，

xx

••SAOBD=3,SAAOE=4,

••△OAB的面积=SAOBD+SAAOE=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解

题的关键.

12->—6；-3.

【解析】先把x=2代入方程，易求k,再把所求k的值代入方程，可得/+彳+机=0,再利用根与系数的关系，可求

出方程的另一个解:

解：把x=2代入方程/+x+机=0，得22+2+机=0=>机=一6.

再把m=-6代入方程，^x2+x-6=0.

设次方程的另一个根是a,则

2a=-6,

解得a=-3.

考点：1.一元二次方程的解；2.根与系数的关系.

1

13、—

3

【分析】根据题意，微信的顺序是任意的，微信给甲、乙、丙三人的概率都相等均为g.

【详解】•.•微信的顺序是任意的，

...微信给甲、乙、丙三人的概率都相等，

.•.第一个微信给甲的概率为:.

3

故答案为—.

3

【点睛】

此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率P(A)

n

14、4

【解析】试题分析：如图，能画4个，分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆.两圆相交于两

点(DE上下各一个)，分别于D、E连接后，可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画

圆.两圆相交于两点(DE上下各一个)，分别于D、E连接后，可得到两个三角形.因此最多能画出4个

考点：作图题.

15、y=2x-1

【分析】过点C作。_Lx轴于点O,易知△AC。g△BAO(AAS),已知A(4,0),B(0,2),从而求得点C坐标,

设直线AC的解析式为7=履+8将点A,点C坐标代入求得A和b,从而得解.

【详解】解：(4,0),B(0,2),

OA--4,。6=2,

过点C作CDLx轴于点O,

VZABO+ZBAO=ZBAO+ZCAD9

：.ZABO=ZCAD,

在△AC。和A3Ao中

ZABO=NCAD

<ZAOB=ZCDA,

AB^AC

HAAS')

：.AD=0B=2,CD=0A=4,

：.C(6,4)

设直线AC的解析式为y=kx+b,

将点A,点C坐标代入得

'4k+b=Q

6k+匕=4'

.'k=2

"V=-8

直线AC的解析式为y=2x-\.

故答案为：y=2x-1.

【点睛】

本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，求得C的坐标是解题的关键，难度中等.

16、27

【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可知玉+々=5，再“2=-1，因此可知

X；+X；=(%+%2)2-2X,x2=25+2=27.

故答案为27.

【点睛】

hc

此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时灵活运用根与系数的关系：x,+x=--,确定

2aa

系数a,b,c的值代入求解，然后再通过完全平方式变形解答即可.

17、百

【分析】根据旋转的性质，即可得到NBCQ=120。，当DQLCQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ

的最小值.

【详解】解：如图，由旋转可得NACQ=NB=60°,

A

又•.,NACB=60°,

.,.ZBCQ=120°,

•.•点D是AC边的中点，

.,.CD=2,

当DQ_LCQ时，DQ的长最小，

此时，ZCDQ=30°,

.*.CQ=—CD=1,

2

•••DQ=依-]=有，

...DQ的最小值是G，

故答案为6.

【点睛】

本题主要考查线段最小值问题，关键是利用旋转、等边三角形的性质及勾股定理求解.

10A/3

lo>---

3

【分析】由已知可得到AABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长.

【详解】解：如图.由题意可知，AB=5km,Z2=30°,ZEAB=60°,Z3=30°.

VEF//PQ,

.,.Zl=ZEAB=60°

XVZ2=30°,

.•.ZABC=180°-Zl-Z2=180o-60o-30o=90°,

・••△ABC是直角三角形.

又・・・MN〃PQ,

:.Z4=Z2=30°.

:.ZACB=Z4+Z3=30°+30°=60°.

/=逋（km）,

A8

AAC=

sinAACBT3

故答案为U店.

3

【点睛】

本题考查了解直角三角形的相关知识，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答.

三、解答题（共66分）

19、（1）详见解析；（2）1+0

【解析】（1）连接结合切线的性质和直径所对的圆周角性质，利用等量代换求解（2）根据勾股定理先求OC,

再求AC.

【详解】（1）证明：连结0D.如图，

CD与。相切于点O,

.-.OD1CD,

.•./2+/BDC=90。，

AB是0的直径，

NADB=90°,即/I+/2=90°,

..4=4DC,

OA=OD,

4DC=/A；

（2）解：在Rt_ODC中，NC=45°,

OC=y[10D=V2

AC=OA+OC=1+^/2'

D

01BC

【点睛】

此题重点考查学生对圆的认识，熟练掌握圆的性质是解题的关键.

20、(1)证明见解析；(2)矩形ABCD的面积为16班(cm?).

【解析】(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；

(2)根据题干求出矩形的边长CD和BC,然后根据矩形面积公式求得.

【详解】证明：•••四边形ABCD是矩形，

.,.OA=OB=OC=OD.

VAE=BF=CG=DH,

.*.AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,

即OE=OF=OG=OH,

...四边形EFGH是矩形.

解：YG是OC的中点，

.,.GO=GC.

XVDG1AC,

.,.CD=OD.

YF是BO中点，OF=2cm,

:.BO=4cm.

•IDO=BO=4cm,

ADC=4cm,DB=8cm,

：•CB=[DB。-Dd曾-4=4+(cm),

矩形ABCD的面积为4X46=16百(cm2).

【点睛】

本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等.

21、(1)C点坐标为(5,9),y=x+l；(2)S=5t(r>0)

【分析】(1)过C点向x轴作垂线，垂足为。，由位似图形性质可知：XABOSMCD,且空=变=：.由已知

ADCD9

A(-l,0),8(0,1),可知：AO=BO=1.根据待定系数法即可求出直线8c的解析式;

(2)根据S^BCP=Sgpc-S.BP即可得出结论.

【详解】(1)过C点向X轴作垂线，垂足为。.

%

16-

14-

12-

ID

2468x

由位似图形性质可知：AABO^AACD,

.AOBO4

,•茄一而-

由已知A(-1,0),8(0,1),

可知：40=80=1,

：.AD=CD=9,

•••C点坐标为(5,9).

设直线BC的解析式为y=kx+b,

h=4[k=1

工《9解得：V，

[5k+b=9[b=4

，直线8c的解析是为：j=x+l；

(2)由题意得：S^CP=S^PC-S^BP=^APCD-^APOB=^AP\CD-OB)=^x2tx(9-4)=5t：.S=5t(t

>0).

【点睛】

本题把一次函数与位似图形相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目.

22、(1)见解析；(2)15

【分析】(1)利用平行线性质及角平分线线定理得到/DEB=NDBE,再利用等腰三角形判定得到BD=DE,即得到

答案.

(2)利用相似的判定得到AADEsaABC,再利用相似的性质得到”="，代入值即可得到答案.

ABBC

【详解】(1)证明：：DE〃BC,

jZDEB=ZEBC

*.•BE平分NABC

AZDBE=ZEBC

AZDEB=ZDBE

/.BD=DE

(2)解：VAB=10,AD=4

ABD=DE=6

VDE//BC

:.AADE^AABC

.ADDE

•46

**To-BC

.,.BC=15

【点睛】

本题考查平行线性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定、性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

23、(1)20,72,1;(2)见解析；(3)《

【分析】(1)根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360。乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根

据百分比的概念可得m的值；

(2)求出等级B的人数，补全条形统计图即可；

(3)列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率.

【详解】解：(1)根据题意得：34-15%=20(人)，

4

表示“D等级”的扇形的圆心角为一、360。=72。：

20

Q

C级所占的百分比为泰X1OO%=1%,

故m=l,

故答案为:20,72,1.

(2)等级B的人数为20-(3+8+4)=5(人)，

7

6

5

4

3

2

1

0

(3)列表如下：

乙BBBB

甲甲、乙甲、B甲、B甲、B甲、B

AA、乙A、BA、BA>BA>B

AA、乙A、BA、BA、BA、B

所有等可能的结果有15种，同时选中甲和乙的情况有1种，

所以同时选中甲和乙的概率为5.

【点睛】

此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键.

24、(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)由角平分线的定义得出=再根据4不=4?.4)即可得出乙43。6人48；

(2)由相似三角形的性质可得出NM»C=NACB=90。，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出

ZOCA^ZCAD,从而有OC7/AO,根据平行线的性质即可得出NOCE>=/M)C=90°,则结论可证.

【详解】(1)AC平分㈤D,

ZBAC^ZCAD

AC2=ABAD

.AB_AC

,~AC~~AD

(2)连接OC

••'AB是。的直径，

ZACB=90°

VAABC^AACZ)

：.ZADC=ZACB=9Q°

•；AO^OC

：.ZOAC=ZOCA

■:ZBAC^ZCAD

:.ZOCA=ZCAD

OC//AD

ZADC=90°

:.ZOCD=ZADC=90°

0C1CD

•••CD与，。相切.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定及性质，切线的判定，掌握相似三角形的判定及性质，切线的判定方法是解题的关键.

25、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）NE=2叵

3

【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90°,得到NA0C=9O。，根据直角三角形两锐角互余得到NZMC+NOC4=90。，

再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得到NE4O+NZMC=90°,即可得出结论；

（2）连接OD.根据圆周角定理和角平分线定义可得NOOA=NOOC,即可得出结论；

（3）连接。。交C尸于作EPJLAO于P.可求出40=4,AF//OM.根据三角形中位线定理得出证

2

明△OOE且△0CM,得到0E=0M.设0M=机，用机表示出0E,AE,AP,DP.通过证明△E4Ns2\o/>E,根据相

似三角形对应边成比例，求出，〃的值，从而求得AN,AE的值.在中，由勾股定理即可得出结论.

【详解】（1）••FC为。。的直径，

AZADC=90°,

二N〃4C+NOC4=90°.

,:AO=AO，

:.NABD=NDCA.

'：ZFAD=ZABD,

：.ZFAD=ZDCA,

二NEW+ND4c=90°,

：.CAA.AF,

.,.AF为。。的切线.

D

(2)连接OD.

•:AD=AD9

:.ZABD=-ZAOD.

2

•:DC=DC，

：.ZDBC=-ZDOC.

2

■:BD平分NABC,

:.NABD=NDBC,

ZDOA=ZDOC9

：.DA=DC.

(3)连接QD交。尸于作EPLW于P.

・・・AC为。。的直径，

ZADC=90°.

■:DA=DC,

：.DOLAC,

：.ZFA