曲面与曲线二次曲面

关于曲面与曲线二次曲面水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念第2页,共101页，2024年2月25日，星期天第3页,共101页，2024年2月25日，星期天由几何特征确定曲面方程特殊地：球心在原点时方程为第4页,共101页，2024年2月25日，星期天研究空间曲面有两个基本问题：(1)已知曲面作为满足某些条件的点集，求曲面方程；(2)已知曲面方程，研究曲面形状.第5页,共101页，2024年2月25日，星期天二、柱面与旋转曲面

1、柱面（cylinder）播放观察柱面的形成过程:定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线

L

所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L

叫柱面的母线.第6页,共101页，2024年2月25日，星期天第7页,共101页，2024年2月25日，星期天例如：圆柱面抛物柱面椭圆柱面第8页,共101页，2024年2月25日，星期天(4)平面第9页,共101页，2024年2月25日，星期天柱面举例抛物柱面平面第10页,共101页，2024年2月25日，星期天从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面双曲柱面抛物柱面

母线//轴

母线//轴

母线//轴第11页,共101页，2024年2月25日，星期天

例指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？第12页,共101页，2024年2月25日，星期天解平面解析几何中空间解析几何中斜率为1的直线方程第13页,共101页，2024年2月25日，星期天2、旋转曲面（surfaceofrevolution）定义

平面上的曲线C绕该平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴,曲线C称为母线.播放第14页,共101页，2024年2月25日，星期天例如：球面第15页,共101页，2024年2月25日，星期天点M到z轴的距离得方程yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.第16页,共101页，2024年2月25日，星期天yoz坐标面上的已知曲线

绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为yoz坐标面上的已知曲线

绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为第17页,共101页，2024年2月25日，星期天第18页,共101页，2024年2月25日，星期天第19页,共101页，2024年2月25日，星期天例1

将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．双叶旋转双曲面单叶旋转双曲面第20页,共101页，2024年2月25日，星期天双叶双曲面单叶双曲面xyoz第21页,共101页，2024年2月25日，星期天旋转椭球面第22页,共101页，2024年2月25日，星期天第23页,共101页，2024年2月25日，星期天旋转抛物面zxyoxyzo第24页,共101页，2024年2月25日，星期天例5

下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面，若是，指明其是如何形成的.给出一个方程也要会判断它是否表示旋转面,及旋转曲面是如何形成的.第25页,共101页，2024年2月25日，星期天第26页,共101页，2024年2月25日，星期天解

绕z轴旋转，故圆锥面方程为第27页,共101页，2024年2月25日，星期天圆锥面第28页,共101页，2024年2月25日，星期天空间曲线的一般方程

曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上（不在曲线上的点不能同时满足两个方程）.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：三、空间曲线及其方程

1、空间曲线的一般方程第29页,共101页，2024年2月25日，星期天空间曲线第30页,共101页，2024年2月25日，星期天例1

方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.第31页,共101页，2024年2月25日，星期天例2

方程组表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.第32页,共101页，2024年2月25日，星期天空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程第33页,共101页，2024年2月25日，星期天

动点从A点出发，经过t时间，运动到M点螺旋线的参数方程取时间t为参数，解第34页,共101页，2024年2月25日，星期天螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距第35页,共101页，2024年2月25日，星期天如何将曲线

的一般方程：(*)化为参数方程？(1)先从一般方程(*)中消去某个变量，比如z，得方程H(x,y)=0，写出该方程在xOy面的参数方程x=x(t)，y=y(t).再把x=x(t)，y=y(t)代入(*)中的某个方程解出z=z(t)，最后在确定t的变化区间，就得到了曲线的参数方程.例5、把曲线用参数方程表示.第36页,共101页，2024年2月25日，星期天(2)在一些特殊情形，(*)中的某个方程是不完全三元方程(即方程中缺了一个未知量)，则可先将这个方程化为参数方程，再将所得结果代入(*)中的另一个方程，即可求得曲线的参数方程.例6、将曲线化为参数方程.第37页,共101页，2024年2月25日，星期天消去变量z后得：曲线

对xOy面的投影柱面设空间曲线

的一般方程为：投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.四、空间曲线在坐标面上的投影

以空间曲线

为准线，母线垂直于xOy面的柱面叫做曲线对xOy面的投影柱面空间曲线

在xOy面上的投影曲线第38页,共101页，2024年2月25日，星期天投影曲线的研究过程的例子.空间曲线投影曲线投影柱面第39页,共101页，2024年2月25日，星期天曲线

在yoz面上的投影柱面和投影曲线：曲线

在zox面上的投影柱面和投影曲线：类似地：可定义空间曲线

：

在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线.第40页,共101页，2024年2月25日，星期天例1求曲线在

xoy

面的投影柱面及投影曲线方程.例2求曲线在

xoy面及

yoz面的投影曲线方程.第41页,共101页，2024年2月25日，星期天例3以曲线为准线,母线平行于z轴的柱面方程.第42页,共101页，2024年2月25日，星期天例4

求曲线在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在面上的投影为第43页,共101页，2024年2月25日，星期天所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面上，第44页,共101页，2024年2月25日，星期天截线方程为解如图,第45页,共101页，2024年2月25日，星期天第46页,共101页，2024年2月25日，星期天空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面第47页,共101页，2024年2月25日，星期天五、空间区域在坐标面上的投影例1解半球面和锥面的交线为第48页,共101页，2024年2月25日，星期天一个圆,第49页,共101页，2024年2月25日，星期天求两曲面所围立体(即空间区域)在坐标面的投影区域的一般方法：(1)求两曲面的交线方程在坐标面的投影柱面方程，(2)将(1)中所得方程与坐标面方程联立，得两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程，(3)投影曲线在坐标面所围成的闭区域.第50页,共101页，2024年2月25日，星期天例2

求由曲线绕轴旋转一周而成的曲面夹在平面与平面之间的部分在面的投影区域.第51页,共101页，2024年2月25日，星期天

例3求上半球与圆柱体的公共部分在XOY面和XOZ面上的投影。解：曲面的交线在XOY面上的投影为所围立体在XOY面上的投影为由消去y，可得交线在XOZ面上的投影为：因此，所围立体在XOZ面上的投影为：第52页,共101页，2024年2月25日，星期天a.xyoz第53页,共101页，2024年2月25日，星期天z=0axyzo。。。。维望尼曲线。。D

1.第54页,共101页，2024年2月25日，星期天六、小结1、曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线).2、空间曲线的一般方程、参数方程．第55页,共101页，2024年2月25日，星期天3、空间曲线在三个坐标面上的投影柱面和投影直线．第56页,共101页，2024年2月25日，星期天思考题1方程表示怎样的曲线？思考题2第57页,共101页，2024年2月25日，星期天思考题1解答表示双曲线.第58页,共101页，2024年2月25日，星期天思考题2解答交线方程为在面上的投影为第59页,共101页，2024年2月25日，星期天四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束第60页,共101页，2024年2月25日，星期天1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动目录上页下页返回结束第61页,共101页，2024年2月25日，星期天与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)机动目录上页下页返回结束第62页,共101页，2024年2月25日，星期天2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当p=q时为绕

z轴的旋转抛物面.(p,q同号)机动目录上页下页返回结束第63页,共101页，2024年2月25日，星期天3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:机动目录上页下页返回结束双曲线:第64页,共101页，2024年2月25日，星期天虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;机动目录上页下页返回结束相交直线:双曲线:第65页,共101页，2024年2月25日，星期天(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18目录上页下页返回结束图形第66页,共101页，2024年2月25日，星期天4.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y方向的伸缩变换得到,见书P316)机动目录上页下页返回结束第67页,共101页，2024年2月25日，星期天内容小结1.

空间曲面三元方程

球面

旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z

轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动目录上页下页返回结束第68页,共101页，2024年2月25日，星期天2.二次曲面三元二次方程

椭球面

抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面

双曲面:单叶双曲面双叶双曲面

椭圆锥面:机动目录上页下页返回结束第69页,共101页，2024年2月25日，星期天斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y

轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考与练习1.指出下列方程的图形:机动目录上页下页返回结束第70页,共101页，2024年2月25日，星期天2.P318题3,10机动目录上页下页返回结束题10答案:在xoy

面上第71页,共101页，2024年2月25日，星期天作业P3182;4;7;8(1),(5);11第四节目录上页下页返回结束第72页,共101页，2024年2月25日，星期天练习题第73页,共101页，2024年2月25日，星期天第74页,共101页，2024年2月25日，星期天第75页,共101页，2024年2月25日，星期天练习题答案第76页,共101页，2024年2月25日，星期天第77页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第78页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第79页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第80页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第81页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第82页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第83页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第84页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第85页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第86页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第87页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第88页,共101页，2024年2月25日，星期天定义柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第89页,共101页，2024年2月25日，星期天旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第90页,共101页，2024年2月25日，星期天旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第91页,共101页，2024年2月