2023-2024学年河南省TOP二十名校高三（上）调研数学试卷二（9月份）（含解析）

2023-2024学年河南省TOP二十名校高三(上)调研数学试卷(二)

(9月份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合集={%|%2+%-2>0},B={x\y=ln(x+1)},则(CRA)八3=()

A.{%|-1<%<1]B.{%|-1<%<1}

C.{%|-1<%<2}D.{%|-1<%<1]

2.若命题“VxWR,/一工一。之0”是真命题，则实数。的取值范围是()

A.(-8,-勺B.(-00,1]C.[1,4-00)D.[-1,4-00)

3.已知函数/(%)=/cos。—？/'。，，则/(_型誓)=()

l/(x+27r),x<0,4

A.0B.1C.D.—

88

4.函数/(%)=亨・(2cos2|—l)在[-2,2]上的图象大致为()

5.在△/8C中，tan'=则2T—J的最小值为()

22sinAsinC

A.4B.2GC.4V-5D.16

6.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的函数是()

A./(x)=xlnxB.f(x)=C./(x)=ex+e~xD./(x)=

7.半正多面体亦称“阿基米德体”或者称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边

形为面的多面体，体现了数学的对称美.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其

可由正四面体切割而成，如图所示.已知MN=q，若在该半正多面体内放一个球，则该球

体积的最大值为()

A9V~~27rB9xC27rQ16V~~27rp8V~~27r

•8•4•~3~•3

8.已知函数/(%)=yT~3sina)x—cosa)x(a)>0)在(0工)上存在最值，且在《耳")上单调，则3

的取值范围是()

A.(0,|]B,[|)1]C,[1,|]D.与若

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列说法正确的是()

A.命题aVx>0,x2>0”的否定是a3x<0,x2<0”

B.“x>1”是“尤>2”的必要不充分条件

C.“a>b”是“a?>b2，"的既不充分也不必要条件

D.在AABC,“4>B”是“sinA>sinB”的充要条件

10.己知函数/(x)=孑^$讥2%—siMx+3，则下列说法正确的是()

A.函数/(X)的最小正周期为7T

B.函数/")的图象的一条对称轴方程为x建

C.函数/(%)的图象可由y=sin2x的图象向左平移居个单位长度得到

D.函数/(x)在区间(0()上单调递增

11.已知函数/(x)的定义域为R,且+y)=f(x)+f(y),当x>0时，/(%)>0,且满足

/(2)=1,则下列说法正确的是()

A.f(x)为奇函数

B./(—2)=-1

C.不等式f(2x)-/(x-3)>一2的解集为(一7,+8)

D.f(—2024)+f(—2023)+…+f(-2)+f(―1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)+

f(2024)=2024

12.已知Q>b>0且仇a=工，贝女)

Inb

A.log2a>log2bB.ab>e2C.2ab+1<2a+bD.aabb>abba

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若函数f(x)=4s讥(3乂+9)04>0,3>0,m<方的部分图象如图，则/(x)的图象的一

个对称中心为.

14.已知圆M：(x-2)2+y2=4,过点N(1,O)的直线(与圆M交于A,B两点，。是4B的中点，

则。点的轨迹方程为.

15.已知tan6+a)=-2—则sin2a—3cos2戊=.

16.已知函数f(x)=<°'，若/(一1)=0,/(0)=1,函数g(x)=/(X)+27n恰

有三个不同的零点，则实数m的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知集合A={x\x2—x<2},B={x\a-1<%<2a}.

(1)若a=2,求4ci8；

(2)若BU4求实数a的取值范围.

18.(本小题12.0分)

(1)计算+(7T-e)0+lg8+©125+2s&4的值；

(2)若lg(x-2y)+lg(x+3y)=Igx+Igy+lg6,求I。。36y的值.

19.(本小题12.0分)

己知函数/'(x)=X2—(a+b)x+2a.

(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x[l<x<2},求a,b的值；

(2)当b=2时，解关于x的不等式/(x)>0.

20.(本小题12.0分)

如图，下列图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1,后一个等腰直角三角形的斜边

恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，记图形1的面积为由,后续图形的面积依次为

a2>a3....an,...；解答下列问题.

(2)从第几个图形开始，图形面积大于127?

21.(本小题12.0分)

在△力BC中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且sin(C—A)=2(1—cosC)sinA.

(1)证明：5=2；

(2)点D是线段AB的中点，且CO=「，AD=2,求△ABC的周长.

22.(本小题12.0分)

在仆ABC中，A+B=2c且cosA+sinB=sinA+cosB.

(1)求角B的大小；

(2)设函数f(x)=2cosxsin(x4-1)-2sin2xsinB+3sinxcosxcos(2A+C),当％e靠时，

求f(x)的值域.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：因为集合A=(x\x2+%-2>0]={x|x<-2或x>1],

所以CRA={x|-2<x<1},又B={x\y=ln(x+1)}={x\x>-1],

所以(CRA)Clfi={x|-l<x<l].

故选：D.

由已知结合集合的补集及交集运算即可求解.

本题主要考查了集合的补集及交集运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：因为Vx6R,x2—x—a>0是真命题

则4=1+4a<0,

所以a<—p

4

故选：A.

由已知结合含有量词的命题的真假关系及二次函数的性质即可求解.

本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由题意可矢叮(x)=混混蓝：<0'

所以八一^!)=/(一^£+506兀)=(一^[+506兀)sin(—^^+506兀)=*sin*=/.

故选：D.

先对已知函数解析式进行化简，然后代入后结合诱导公式进行化简即可求解.

本题主要考查了函数值的求解，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为f(x)=(2-x-2x)cosx,

所以f(%)+/(—%)=(2-工—2x)cosx+(2X—2-x)cos(-%)=(2-%-2x)cosx—(2~x—2x>)cosx=

0,

所以f(%)=-f(r)，故选项A、。错误；

又16(0,今，且/'⑴=(2-1一2)cosl=-jcosl<0,故选项C错误.

故选：B.

由函数奇偶性排除选项A、D,由f(l)VO排除选项C,由此得到答案.

本题考查根据函数解析式确定函数图象，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：设m=tanp则tan]=3m,

因为46(0,7T),所以?€(0,,所以TH>0,

2__6_=26

所以sMAsinC-2si吟:os?2si彦so§

sin.g+cosZ^sin^^+cos^

10m+->2,10x2=4AT5,

m

当且仅当10nl、，即…tan"?时，取等号,

所以亮+盘的最小值为4口―

故选：C.

设/nntan今结合二倍角公式与同角三角函数的基本关系，根据''同除余弦可化切”的思想，推

出—7+q7=IOM+弓，再利用基本不等式，即可得解・

stnAsinem

本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握二倍角公式，同角三角函数的基本关系，基本不等式是

解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：A选项，/Xx)=x》x的定义域为(0,+8),定义域不关于原点对称，函数/Xx)为非奇

非偶函数，不符合题意；

B选项，f(x)=?=%+：的定义域为｛%|%片0｝，且满足f(-x)=-/(x)，

可得/(x)为奇函数，不符合题意；

C选项，因为/Xx)=e*+e-，/(-x)=e~x+ex=f(x),所以/'(x)为偶函数，

又％W(0,+8),f'(x)=ex—e~x,令/i(x)=e*—e-x,则/i'(x)=e*+>0,

所以九(乃在(0,+8)上单调递增，

所以h(x)>h(0)=0,即/(x)>0,

故函数〃x)在(0,+8)上单调递增，符合题意；

111

。选项，/(X)==二、2上1==f(x)'函数/(X)是偶函数，易得/(X)在(0,+8)上

X.一町十]

单调递减，不符合题意.

故选：C.

利用函数的奇偶性与单调性的概念对四个选项逐一分析可得答案.

本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：由题意，半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成,

MN=

当球的体积最大时，该球的球心即为半正多面体所在正四面体的内切球的球心，记球心为0'.

如图所示:

在APOE中，PD=^,DE=|,

=］（孑一（乎二，

该半正多面体所在的正四面体的高h=7PD2—DE234

设点。'到正六边形所在平面的距离为d,过点。'作O'F1PD于F,

由几何知识得，APO'FfPDE,

3

-

。D

所

以2

-

-=-9

PP-

2

解得d=岁，

4

所以当球的体积最大时，该球的半径为平，

则该球的体积为4兀X（婴）3=学.

3'4'8

故选：A.

首先求出多面体在三棱锥体中的高，进一步利用三角形的相似求出球的最大半径，最后求出球的

体积.

本题考查的知识要点：球和多面体的关系，三角形的相似，球的体积公式，主要考查学生的理解

能力和计算能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：/(%)=y/-3sina)x-cosa)x=2sin(a>x--),

由3>0知，当0<%<与时，一:<3%—，〈等一£

因为函数/(%)在(0,学上存在最值，所以詈Y冶，解得3>2,

、［,2TTr»i.2TTCOTCTTTC

3—<x<n'时，———-<a)x--<na)

33666

因为函数/(x)在卷㈤上单调，

’2兀3乃~~、ITT—7T

所以兀3—1)匚(k兀一?,/CTT+?)(k6Z),即，3/J,其中kez,

366227TC0-7<+?

16Z

解得|k-gw3〈k+|(kez),

所以|/c—g<k+|,解得kWg,

又0<3<2,所以k=2,<(i)<

即3的取值范围是.

故选：B.

先利用辅助角公式化筒f(x)，再结合正弦函数的最值与单调性进行分析，即可得解.

本题主要考查三角函数的图象与性质，熟练掌握辅助角公式，正弦函数的单调性与最值是解题的

关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4命题“Vx>0,—>0”的否定是“mx>0,%2<0",故A错误；

对于8,“％>1”推不出“x>2”成立，而“x>2”能推出。>1”成立，故。>1”是“x>

2”的必要不充分条件，故B正确；

对于C,因为1>-2,而M<(—2产；因为(一2产>12,而一2<1,即“a>b”是ua2>炉”的

既不充分也不必要条件，故C正确；

对于。，在△4BC中，若4>8,则a>b,又三=上，所以“4>B”是“sinA>sinB”的充

smAsinB

要条件，故。正确.

故选：BCD.

直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，真假命题的判定判断4B、C、D的结论.

本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，真假命题的判定，主要考查学生的理

解能力和计算能力，属于中档题.

10.【答案】ABC

【解析】解：/(x)=?sin2x—sin2%+1?sin2x-i-，;s2x?sin2x4-1cos2x=

sin(2x+)

所以函数/(x)的最小正周期为T=y=71,即4正确；

由2x+*]+k7T(kez),得X屋+额kez),当k=0时，x=l，即8正确;

由y=sm2x的图象向左平移居个单位长度，得y=sin2(x+刍=sin(2x+$=/(x),即C正确；

由x€(05),知2工+台(畿),

因为函数丫=sinx在G，当上不单调，所以函数/(x)在区间(0,勺上不单调，即。错误.

OO5

故选：ABC.

先利用三角恒等变换公式化简/(x),再根据正弦函数的图象与性质，逐一分析选项，即可.

本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解

题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

11.【答案】ABC

【解析】解：对于4：令x=y=0,得f(0)=/(0)+/(0)=2f(0),

所以f(0)=0,

令y=—x,得到/(—*)+f(x)=f(0)=0,B|J/(-x)=-/(%),即f(x)为奇函数,故A正确；

对于B：因为/(%)为奇函数，/(2)=1,所以/(一2)=-f(2)=-l,故B正确；

对于C：设令X=y=-X2>则FQ1—％2)=f(%l)+/(-%2)=F(X1)一/(%2)>0,

即f(3)>/(&)，

所以/(x)在R上单调递增，

因为/(-2)=-1,

所以f(_4)=f(-2-2)=2/(-2)=-2,由f(2x)-/(%-3)>-2,得/(2x)>/(x-3)4-

/(-4)=/(x-7),

所以2x>x-7,解得x>-7,故/(20一/(%-3)>-2的解集为(一7,+8),故C正确；

对于D：因为人为为奇函数，

所以〃—x)+〃x)=O,

所以-2024)+/(2024)=/(-2023)4-f(以23)=•••=/(-I)+f⑴=0,

又因为f(0)=0,

所以f(—2024)+f(—2023)+•,•+/(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)+

f(2024)=0,故。错误.

故选：ABC.

对于4：先令x=y=0,求得f(0)=0,再令y=-x,可判断4的正误；

对于8：由/(%)为奇函数，f(2)=1,可判断8的正误；

对于C：设与>%2,先判断出/(%)在R上单调递增，再求得/(-4)=-2,原不等式可转化为“2%)>

〃%-3)+-7),利用单调性脱“f”，可判断C的正误;

对于D：利用/(%)为奇函数，/(-x)+/(x)=0,可求得/•(一2024)+/(—2023)+--+/(—2)+

/(-I)+f(0)+/(I)+f(2)+…+f(2023)+/(2024)=0,可判断。的正误.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.

12.【答案】AD

【解析】解：对于选项A：因为Q>b>0,

又因为y=log2》在(0,+8)上单调递增，

所以log2a>log?。故A正确；

对于选项8：令。=b=e-2,

则ab=e~2e~2=e-2<e2f

故8错误；

对于选项C：因为Q>b>0,且伍Q仇b=1>0,可得仇a,mb同号，

若仇a,伍力同正，可得a>e>b>1,则(a-l)(b-1)=ah-(a4-h)+1>0,

可得ab+1>a+b；

若mQ,仇b同负，可得1>Q>工：>b>0,

e

则(a—l)(b-1)=ah—(a+b)+1>0,

可得ab+1>Q+b.

综上所述，ab+l>a+b,

又因为y=2%在定义域内单调递增，

所以2助+1>2。+》，故C错误；

对于选项因为a>b>0,则a-b>0,

可得y=严m在(0,+8)上单调递增，

可得a-4>>0,且心>0,bb>0,所以。？">小於，故。正确.

故选：AD.

对于2,。分别借助于对数函数和募函数的单调性即可判断正误，对B举反例即可，对于C借助于

指数函数的单调性，转化为比较指数的大小，根据条件讨论，可得结果.

本题考查运用基函数，对数函数，指数函数的单调性比较大小，属中档题.

13.【答案】(也0)(答案不唯一)

【解析】解：由题图可知A=2,因为当x=。时，sing=—

因为1如<*所以>=一品所以f(x)=2sin(3x-\),

由题图可知驾</，所以等<7<<,所以?<3<",

41226355

由题图可知，要*=]+2k7r,k€Z,解得3=gk+2,k€Z.又5<3<圣所以3=2,

所以f(x)=2sin(2x_,.令2x_'=kn,k6Z,解得x="+6Z,

所以/(x)图象的对称中心为亭+'o),kez,当k=0时，f(x)图象的一个对称中心为第0).

故答案为：(，0)(答案不唯一).

由图得出a的值，再由/(O)的值确定9的值，然后再由图得出周期的范围，由此得出3的范围再根

据最值得出3的值，然后根据正弦函数的对称中心即可求解.

本题考查了三角函数的图像性质，考查了学生的数形结合能力以及运算能力，属于基础题.

14.【答案】(x-|)2+y2=[

【解析】解法一：圆M：(x-2)2+y2=4的圆心为M(2,0),半径为2,

设。(x,y),由线段4B的中点为C,可得MO1CN,

即有MD,•ND=(%-2,y)•(%—l,y)=(x—2)(x—1)+y-y=0,

即(%-9+/=%

所以点。的轨迹方程为(x-|)2+y2=q.

解法二：因为DM1DN,所以点。的轨迹是以MN为直径的圆，

所以点。的轨迹方程为(x-1)2+y2=；.

故答案为:

法一：由已知结合圆的性质及向量数量积的坐标表示即可求解；

法二：由DM_LDN,可得点。的轨迹是以MN为直径的圆，进而可确定圆的圆心及半径，从而可确

定方程.

本题主要考查了圆的方程的求解，属于中档题.

15.【答案】一:

_.1.一..,、，TTtan^+tQ/ia,—,

【解析】解：因为tanq+a)=1T；错tana=-2—C，所以tana=1,

sin2a-3cos2a2sinacosa-3cos2a_2tana-32x1-3__1

所以sin2a—3cos2a

sin2a+cos2asin2a+cos2a1+tan2al+l22

故答案为：—

利用两角和的正切公式化简已知等式，可得tcma=l,再结合二倍角公式与同角三角函数的基本

关系，根据“同除余弦可化切”的思想，求解即可.

本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握二倍角公式,两角和的正切公式，同角三角函数的基本

关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

16.【答案】(—8,—今

【解析】解：依题意，/(-I)=0,/(0)=1,可得a=2,b=l,

函数g(%)=/(%)+2?n恰有三个不同的零点，

即/(%)=-2巾恰有三个解，

转化为函数y="%)与y=-2m图象有三个交点，

函数y=f(%)的图象如图所示，

结合图象，-2m>1,解得mV-g,

即实数m的取值范围为(-8,-3.

故答案为：(一8,一手.

根据已知求出a,b的值，画出对应函数图像，把问题转化为函数y=〃x)与y=-2m图象有三个

交点，数形结合即可求解结论.

本题考查分段函数的图象和应用，考查数形结合思想的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)集合4—(x\x2-x<2}=(x\x2-x-2<0}={x|-1<x<2},

a=2时，集合B={x|a-1<x<2a}={x\l<x<4},

所以AnB={x[l<x<2}；

(2)若BU4则B=0时，a-122a,解得a4—1,

'a>—1

B*0时，应满足,a-12-1,解得0<a<1,

,2a<2

综上，实数a的取值范围是{a|aW-1或0WaW1}.

【解析】(1)解不等式得出集合4,求出a=2时集合B,再求4CB；

(2)讨论B=。和B丰0时，求出B£4时实数a的取值范围.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

2X3

18.【答案】解：(1)原式=(1)(-|)+1+ig(8x125)+4=2+1+IglO+4=3+3+4=10.

(2)由已知可得%>2y>0,且lg(x-2y)+lg(x+3y)=Igx+Igy+lg6,

化为(%-2y)(x+3y)=6xy,

即%2+—6y2=6%y,化为Q—6y)(x+y)=0,

x

,・,%>2y>0,则x+y>0,:,x=6y,即1=6.

xii

^og36-=log366=-logb6=

【解析】(1)利用指数与对数运算性质化简即可得出结论；

(2)利用指数与对数运算性质化简即可得出结论.

本题考查了指数与对数运算性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)由题设条件可知：关于x的方程/-9+6〃+2(1=0的两个根为1和2,

+b~3,解得：a=1，b=2；

(2a=2

(2)当b=2时，原不等式可化为：x2—(a+2)x+2Q>0,BP(x一a)(%-2)>0,

当a<2时，解得：x<Q或x>2；

当a=2时，解得：%2；

当a>2时，解得：x<2或x>Q；

综上可知,当a<2时，原不等式的解为(-8,a)U(2,+8)；

当a=2时，解得：x羊2；

当a>2时，原不等式的解为(一8,2)U(a,+8).

【解析】(1)先由二次函数与二次不等式的关系=关于x的方程/-(a+b)x+2a=0的两个根为1

和2,再由韦达定理得到关于a,b的方程组，然后求解出a,b即可；

(2)由题设条件对a分类讨论分别求解出原不等式的解即可.

本题主要考查二次函数与二次不等式之间的关系及含参不等式的解法，属于中档题.

20.【答案】解：(1)根据题意，图形1的面积：<21=1+1x2=3,

图形2的面积：a2=ai+