高考数学一轮复习试题第7节 函数的图象

第7节函数的图象

考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表

法、解析法）表示函数.2.会画简单的函数图象3会运用函数图象研究函数的性质,

解决方程解的个数与不等式解的问题.

I知识诊断•基础夯实

||知识梳理

1.利用描点法作函数的图象

步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、

单调性、周期性、对称性等）；（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小

值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换

上

恤乂））个单位

移

下

移*（*>（））个单位

（2）对称变换

y=/U）的图象关以■轴的称y=—心）的图象:

尸危）的图象关匕弛封称尸©的图象；

y=/U）的图象关于逊对称v=—外一x）的图象;

关于直线

y=a\a>Q,且aWl）的图象-----v=logax（a〉0,且aWl）的图象.

y=x对称

⑶伸缩变换

纵坐标不变

y=/U）---------------;---»y=J（ax）.

各点横坐标变为原来的％（«>0）倍

横坐标不变

y=7(x)------------------->y=4/U).

各点纵坐标变为原来的A(A〉O)倍

(4)翻折变换

x轴下方部分翻折到上方

y=/(x)的图象-------------------的图象；

x轴及上方部分不变

y轴右侧部分翻折到左侧

y=/U)的图象------------------->y=*xl)的图象.

原y轴左侧部分去掉，右侧不变

|常用结论

1.记住几个重要结论

(1)函数尤)与y=X2a—尤)的图象关于直线尤=。对称.

(2)函数y=凡冷与y=2/?一犬2。一元)的图象关于点(a,加中心对称.

(3)若函数y=/(x)对定义域内任意自变量x满足：fia+x)=fia—x),则函数

的图象关于直线x=a对称.

2.图象的左右平移仅仅是祖孙千毛而言，如果x的系数不是1,常需把系数提出

来，再进行变换.

3.图象的上下平移仅仅是才.目可可、而言的，利用“上加下减”进行.

|诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)当x@(0,+8)时，函数y=|/(x)|与>=火区)的图象相同.()

(2)函数y=^x)与y=J(axXa>0且aWl)的图象相同.()

(3)函数y=/(x)与y=一人尤)的图象关于原点对称.()

(4)若函数y=«r)满足/(I+x)=/(l—X),则函数式幻的图象关于直线x=1对

称.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)令«r)=­x,当尤G(0,+8)时，y=[/(x)|=x,y=XW)=-x,两者图

象不同，(1)错误.

(2)中两函数当aWl时，y=aj(x)与y=/(ax)是由y=*x)分别进行横坐标与纵坐标

伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.

(3)y=/U)与>=一穴%)的图象关于X轴对称，(3)错误.

2.（多选）若函数y=〃+b—且a#l）的图象经过第一、三、四象限，则下

列选项中正确的有（）

A.«>1B.O<a<l

C.b>0D.b<Q

答案AD.I

解析因为函数旷=不十人一1（。>0,且aWl）的图象经过第一、三、/

四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增函数，所一X/~1

以”>1,当x=0时，y=l+b-l=b<0,故选AD.一

3.函数7U）的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数丁=9,的图象关于

y轴对称，则式x）等于（）

A.e*+iB.e'TC.e^'+,D.e-^1

答案D

解析依题意於）的图象可由y=er的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单

位长度得到.

关于y轴对称

.•.y=e'----------->

向左平移1个单位长度

y=e-J---------------->y=e-（x+i）=e-xT,

•g）=erT.

4.在同一直角坐标系中，函数旷=*，y=log"（x+m（a〉0,且aWl）的图象可能是

()

答案D

解析若a>l,则y=5单调递减,A,B,D不符合，且y=logG+；）过定点g,0）,

C不符合，因此

当0<a<l时，函数y=5的图象过定点（0,1）,在R上单调递增，函数y=log^x+^

的图象过定点g,0）,在（一/+8）上单调递减.因此，D中的两个图象符合.

5.已知函数./U）的图象如图所示，则函数g（x）=logVx）的定义[

域是________.|：

答案⑵8]斗力一

解析当yu）>o时，函数g（x）=iog\〃Ax）有意义，由函数

的图象知满足於）>0时,xG（2,8].

6.（易错题）若关于x的方程|x|=a—x只有一个实数解，则实数a的取值范围是

答案（0,+°°）

解析在同一个坐标系中画出函数>=国与y=a-x的图象,

如图所示.

由图象知，当a>0时，y=|x|与y=a-x两图象只有一个交点,

方程|x|=a—x只有一个解.

I考点突破•题型剖析

考点一作出函数的图象

例1作出下列函数的图象：

⑴产出；（2）y=|log2（x+l）|；

(3)y=x2—2W—1.

T|的图象，保留y=（T）图象中x20的部分，再作出y=g）的

解（1）先作出y

（2）将函数y=logM的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上

去，即可得到函数y=|log2（x+l）|的图象，如图②.

（3）：y=Lie「二’且函数为偶函数，先用描点法作出［0,+8）上的图

X十2x—1,x<0,

象，再根据对称性作出（一8,0）上的图象，得图象如图③.

感悟提升1.描点法作图：当函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数

时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.

2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，

可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式

的影响.

训练1分别作出下列函数的图象：

（l）y=sin\x\；（2）y=^—T-

人1

解（1）当x20时，y=sin|x|Vy=sinx的图象完全相同，又^=5皿国为偶函数,

图象关于y轴对称，其图象如图①.

图①图②

（2）y=21x—-1=2+士1，故函数的图象可由丁=1十的图象向右平移1个单位，再向

XIXI4

上平移2个单位得到，如图②所示.

考点二函数图象的识别

角度1函数图象的识别

例2（1）（202。浙江卷涵数尸口05%+5布尤在区间［一无，兀］上的图象可能是（）

-,J/.

V：■\47^

AB

-Fv^y1T%

cD

答案A

角星析当x=n时，y=mcos兀+sin兀二=7f(-1)+0=­71；当X=-71时，y=一

7i-cos(-7i)+sin(-7i)——7i-(-1)+0—71,，故函数图象过(兀，—71),(—71,兀)两点.故

选A.

(2)(2021・浙江卷)已知函数g(x)=sinx,则图象为如

图的函数可能是()K

A.y=/U)+g(x)一1^-Ui\o/~~i4~~*

„…，、1

4

C.y=j(x)g(x)

D•尸g(堂%)

答案D

解析易知函数氏0=£+1是偶函数，g(x)=sinX是奇函数，选项A,y=fix)+

g(x)—1=/+sinx为非奇非偶函数，排除A；选项B,y=/(x)—gQ)—sin

龙也为非奇非偶函数，排除B；因为当x@(0,+8)时，人打单调递增，且八工)>0,

当xW(0,]

时,g(x)单调递增，且g(x)>0,上单调递增,

由图象可知所求函数在(o,I上不单调，排除C.故选D.

.3LxWl,

（3）已知函数兀c）={i则函数y=/U-x）的大致图象是（）

lOgTX,X>1,

答案D

'3X,xWl,

解析法一先画出函数/u）=,的草图，令函数/U）的图象关于y轴

logpc,x>l

对称，得函数大一X）的图象，再把所得的函数式一X）的图象，向右平移1个单位,

得到函数y=/（l—X）的图象（图略），故选D.

3",x20,

法二由已知函数加0的解析式，得>=然一》）=I,、八故该函数

log-（1—x）,x<0,

过点（0,3）,排除A；过点（1,1）,排除B；在（一8,0）上单调递增，排除C.选

D.

感悟提升1.抓住函数的性质，定性分析：（1）从函数的定义域，判断图象的左右

位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的

变化趋势；（3）从周期性，判断图象的循环往复；（4）从函数的奇偶性，判断图象

的对称性.

2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分

析解决问题.

角度2借助动点探究函数图象

例3如图，圆。的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动/一

点，角x的始边为射线04,终边为射线0P,过点尸作直线（

\OMA

0A的垂线，垂足为M,将点M到直线0P的距离表示成x的\7

函数式x），则y=/U）在［0,幻的图象大致为（）

y

答案C

解析(排除法)由题图可知：当时,OPLOA,

此时大x)=0,排除A,D；

当xW(0,楙时，OM=cosx,

设点M到直线OP的距离为乩

则^7=sinx，即d=OMsinx=sinx-cosx,

.；/(x)=sinxcosx=；sin2xwg,排除B,故选C.

感悟提升根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法

(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.

(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象

的变化特征，从而利用排除法做出选择.

注意求解的过程中注意实际问题中的定义域问题.

训练2(1)函数y=21一/在［-2,2］上的图象大致为()

答案D

解析因为段)=y=Zr2-eLv|,

所以/—无)=2(—X)2—=2x2—eL(l,

故函数为偶函数.

当％=±2时，y=8—e2G（0,1）,故排除A,B.

当x£［0,2］时，/U）=2f—el

所以了（无）=4x—e，=0有解.

故y=2?—/在［0,2］上不是单调的，故排除C.

（2）如图，长方形ABCO的边A8=2,BC=\,。是A3的中点.点P沿着边8C,

CD与DA运动，记NBOP=x.将动点P到A,8两点距离之和表示为x的函数段）,

则旷=/（九）的图象大致为（）

答案B

解析由题易知人0）=2,«彳）=1+小，彳§=2/可排除C,D；

当点P在边上时，於）=BP+AP=tan%+#4+12怖（04省,不难发现«r）

的图象是非线性的，排除A,选B.

考点三函数图象的应用

角度1研究函数的性质

例4已知函数«r）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（）

A./（x）是偶函数,单调递增区间是（0,+8）

B.«x）是偶函数,单调递减区间是（-8,1）

C：/（x）是奇函数,单调递减区间是（一1,1）

D./（x）是奇函数,单调递增区间是（一8,0）

答案c

解析将函数_Ax）=x|x|—2x去掉绝对值，「

[x2—2x,x20,小|:/

得危尸,°…Gd/一

{—jr-2x,x<0,/-i：Li/x

画出函数危）的图象，如图所示，：I'

观察图象可知，函数段）的图象关于原点对称，

故函数7U）为奇函数，且在（一1,1）上单调递减.

角度2确定零点个数、解不等式

例5（1）设函数y=/（x+l）是定义在（一8,0）U（0,+8）上的偶函数，在区间（一

8,0）上是减函数，且图象过点（1,0）,则不等式（x—1）成龙）W0的解集为

答案{x|xW0或1VxW2}

解析画出风。的大致图象如图所示.

fx>1,x<1,

不等式（L1融）W。可化为管）成V

[fCx）20.

由图可知符合条件的解集为{小<0或1<忘2}.

[|lgx\,x>0

⑵已知於）=?、w。，则函数的零点个数是.

答案5

解析方程纱。）-3<x）+l=O的解为式幻=：或1.

作出y=/U）的图象，由图象知零点的个数为5.

角度3求参数的取值范围

sin3OWxWl,

例6⑴已知函数於）=<若实数a,b,c互不相等，且以）=大切

,10g2022X,x>1»

=«）,则a+b+c的取值范围是.

答案（2,2023）

sinTIX,OWxWl,

解析函数7U)=,的图象如图所示,

.10g2022X,X>1

y

不妨令a<b<c,

由正弦曲线的对称性可知a+b=\,

而1VCV2022,所以2Va+0+cV2023.

(2)已知函数/(x)=*+3x|,xeR.若方.程_/U)—。仅-11=0恰有4个互异的实数根,

则实数a的取值范围为.

答案(0,1)U(9,+8)

解析设yi=/(x)=F+3x|,y2=a\x-\\.

在同一直角坐标系中作出yi=*+3x|,

y2=a|x—1］的图象如图所示.

由图可知/(x)—a|x—1|=0有4个互异的实数根等价于yi=|f+3x|与yi=a\x—\\

的图象有4个不同的交点，

①|­、(-3<%<0)有两组不同解.

[y=a(1—x)

消去y得f+(3—%+。=0有两个不等实根xi,X2,

/.J—(3—a)2—4。>0,即a2—10。+9〉0,

又Vxi+%2—3<0,X1-X2—<7>0,

••.OVaVL

y=f+3x,

②,,、(%>1)有两组不同解.

y=a(x—1)

消去y得/十(3—4)元+。=0有两不等实根X3、X4,

J4=/-1()〃+9>0,

又•.33+x4=a-3>2,；.a>9.

综上可知，0V.V1或a>9.

感悟提升1.利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期

性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应

关系.

2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多

少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问

题.

2r—1,xWO,

训练3⑴已知函数段)的定义域为R,且於)=匕/：、、],、若方程段)=

j(%—1),x>0,

x+a有两个不同实根，则实数。的取值范围为()

A.(—0°,1)B.(—8,1]

C.(O,1)D.(—8,+OO)

答案A

解析当xWO时，凡灯=2七一1,当OVxWl时，-1<X-1W0,

=23)-1.

类推有_/(x)=/(x-l)=22r-l,xe(l,2],…，也就是说，x>0的部分是将

(-1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示.

OI23x

若方程/U)=x+a有两个不同的实数根，

则函数/(x)的图象与直线y=x+a有两个不同交点，

故“VI,即a的取值范围是(一8,1).

(2)函数"的图象与函数y=2sin⑪(一2WxW4)的图象所有交点的横坐标之

,1X

和等于()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析令1—x=f,则x=l—L

由一2WxW4,知一2Wl-fW4,

所以一3W/W3.

又y=2sin兀r=2sin兀（1—f）=2sin兀九

在同一坐标系下作出y=；和y=2sin兀/的图象.

由图可知两函数图象在［-3,3］上共有8个交点,

且这8个交点两两关于原点对称.

因此这8个交点的横坐标的和为0,

即力+r+…+叁=0.

也就是1—Xl+l—X2H---H—X8=0,

因此Xl+x2d----F%8=8.

口分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=l对称的是()

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2—x)

C.y=ln(1+光)D.y=ln(2+x)

答案B

解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=l的对

称点的坐标为(2—九，>')»由对称性知点(2—x,y)在函数_/U)=ln*的图象上，所

以y=ln(2—x).

法二由题意知，对称轴上的点(1,0)在函数y=lnx的图象上也在所求函数的图

象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A,C,D,选B.

2.已知函数.*x)=log〃x(0Va<l),则函数y=AM+l)的图象大致为()

解析法一先作出函数_/(x)=log"X(0<a<l)的图象，

当x>0时，y=/(|x|+l)=/U+l),其图象由函数7U)的图象向左平移1个单位得

到，

又函数y=/(|x|+l)为偶函数，所以再将函数y=/(x+l)(x>0)的图象关于y轴对

称翻折到y轴左边.

得到xVO时的图象，故选A.

法二因为田+121,0<a<l,

所以川X+l)=log“(|x|+l)WO,故选A.

3.函数^=置"-的部分图象大致为()

1cosX

答案c

解析由题意知，函数尸之怠为奇函数，故排除B；

当》=兀时，y=0,排除D；

当L1时,尸击Q°,排除A•故选c

ax+b,x<-1,

4.若函数।、，的图象如图所示，则4一3）

In（.xIciJ,x1

=()

A--2B--4

C.-1D.—2

答案c

In(。-1)=0,。=2,

解析由图象知A得

b—a—3,h=5.

2x+5,x<—1,

•**)—lln(x+2),*2—1.故K—3)=5—6=—1.

5.如图，不规则四边形ABCO中，AB和CO是线段，ADBC

是圆弧，直线LLAB交AB于E,当/从左至右移动（与线段AB

有公共点）时，把四边形A3CO分成两部分，设AE=x,左侧

部分的面积为y,则y关于x的图象大致是（）

答案C

解析当/从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了。点后面积

保持匀速增加，图象呈直线变化，过了。点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选

6.（多选）（2022•江苏七市调研）已知函数,/（x）=饰?二^（aSR）,则y=«r）的大致图

象可能为（）

答案ABD

解析当。<0时，y=qf-a,即产一/二一。。》。）,

所以该曲线是焦点在y轴的双曲线的上半支，即为D；

当。=0时，y=[F=|x],即为A；

当。>0时，若y/a],则丁+/=0。20）,

该曲线是圆心在原点，半径为板的圆的上半部分（含端点），

若xe（—8,—W）u（g,+°°）,

x2—y2=a（y^Q）,

则该曲线是焦点在x轴上的双曲线位于x轴上方的部分，即为B.故选ABD.

7.函数y=1+x+臂的部分图象大致为（）

解析当x=l时，；U）=l+l+sinl=2+sin1>2,故排除A,C,当》f+8时,

y-1+x,故排除B,满足条件的只有D,故选D.

一『+2x,xW0,

8.已知函数_/U）=,/[二八若应训》以，则”的取值范围是（）

In（x十1）,x>0.

A.（—0°,0]B.（—8,]]

C.[-2,1]D.[-2,0]

答案D

解析由y=[/（x）|的图象（如图所示）知，①当x>0时，只有aWO.P

时才能满足|/U）120r.I

②当xWO时，y=[/U）|—opJ

=\-X2+2X\=X2-2X.

故由|/（x）|2ar得x2—

当x=0时，不等式为OBO成立；

当xVO时，不等式等价为x—2Wa.

Vx—2<-2,.二。2一2.

综上可知，。£[-2,0].

9.已知函数>=*一x)的图象过点(4,2),则函数y=/U)的图象一定过点.

答案(一4,2)

解析X)与的图象关于y轴对称，

故y=/U)的图象一定过点(一4,2).

QY--2

10.若函数兀0=7二1的图象关于点(1,1)对称，则实数。=.

答案1

&〜or-a-\-a~2,a—2

解析於尸一=。+三，

关于点(1,。)对称，故4=1.

11.已知奇函数危)在介0时的图象如图所示，则不等式状x)<0

的解集为.—

答案(一2,-1)U(1,2)

解析,求x)<0,和危)异号，

由于7U)为奇函数，补齐函数的图象如图.

段)〉0,

当xd(—8,-2)U(-1,0)U(l,2)时，

段)<0,

.•.不等式动力<0的解集为(一2,-1)U(1,2).

12.设函数人%)=卜+3,g(x)=x—1,对于任意的xGR,不等式«x)2g(x)恒成立,

则实数a的取值范围是.

答案［-1,+°°)

解析如图作出函数於0=|x+a|与g(x)=x—1的图象，观VfM=\.r+a\

察图象可知，当且仅当一“W1,即—1时，不等式

or%i

7(x)》g(x)恒成立，因此。的取值范围是［―1,+°°)./口

B级能力提升

13.（2021•福建三明三模）若函数y=/（x）的大致图象如图所示,

则7U）的解析式可能是（）

XX

A烟=百三B/x）=］一|x|

xX

。段）=总DKX）=U

答案c

解析由题图可知，当XG（O,1）时，段）V0,取x=T，

对于B,

对于D,T=W>°，排除D；

1—~7

Y1

当x>0时，对于A,«r）=----=1+---

JX—1X—1

此函数图象是由函数y