第12讲 函数的基本性质-奇偶性（教师版）-高一数学同步讲义

第2课函数的奇偶性

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课程标准课标解读

1.了解函数奇偶性的含义，掌握判断函

数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象

对称性之间的关系.

通过本节课的学习，掌握判断函数奇偶性的方法，

2.利用函数的奇偶性求函数解析式，利用

函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调

数的奇偶性求参数范围.性、周期性相关的综合问题.

3.能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有

关的综合问题.

澳知识精讲

*'知识点01函数的奇偶性

一般地，如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（-X）=/（X）,那么函数/（无）就叫做偶函

数.

一般地，如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（一幻=一/（幻，那么函数/（X）就叫做奇

函数.

【微点拨】（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶

函数；

②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定了（-幻是否等于±.f（x）.

（2）分段函数的奇偶性应分段说明/（-幻与/（x）的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关

系时，才能判定函数的奇偶性.

（3）若奇函数的定义域包括0,则/（（））=（）.

【即学即练1］下列函数是偶函数且值域是（0,+8）的函数是（)

A.y=2x+l(x>0)B.y=Jx2-1

c-y=7^\D.y=-X

【答案】C

【分析】

从题设条件中的偶函数、值域两个角度对各选项逐一分析并判断作答.

【详解】

对于A,函数y=2x+l（x>0）定义域为（0,+8）,不可能是偶函数，不是A；

对于B,函数y=二I定义域为（Y°，TU［1，叱），值域是。+8）,不符合要求，不是&

对于C,函数）'=不工定义域为（7,-l）U（l，k），是偶函数，值域为（0，位），符合要求，是C；

2

对于D,函数y=*X定义域为（力,0）（。，+8）,是奇函数，不符合要求，不是D.

故选：C

【即学即练2］函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列说法:

①“0）=0;

②若/（X）在［0,+8）上有最小值-1,则/（x）在（3,0］上有最大值1；

③若“X）在口，”）上为增函数，则“X）在（3,7］上为减函数.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

利用奇函数的性质可判断①②的正误；利用函数单调性可判断③的正误.

【详解】

对于①，〃-0）=-〃0），可得"0）=0,①对；

对于②，由题意可知，存在玉>e［0,+oo）,使得对任意的xe［0,+oo）,都有〃x）21y（xo）=-l,

则一为且/（一X0）=-/（%）=1,

对任意的xe(-oo,0］,-xe［o,-H»),所以，/(^)=-/(-^)<-/(^0)=/(-^0)=,­

即函数/(X)在(F,0］上有最大值1,②对；

对于③，任取阳、々€(YO,-1］且西<工2MT，则-X|>一工221,

因为函数“X)在［1,+8)上为增函数，则/(一与)>/(—々)，即一/&)>—”々)，故/(5)<〃％),

所以,函数/(X)在(F,-1］上为增函数,③错.

故选：C.

【即学即练3】(多选题)下列判断不正确的是()

A.函数/(x)=正良是奇函数

x-2

B.函数/(X)+u是偶函数

x+1

C.函数/(x)='+庐是非奇非偶函数

D.函数/(x)=1既是奇函数又是偶函数

【答案】ABD

【分析】

首先判断函数的定义域是否关于原点对称，再利用函数的奇偶性即可判断.

【详解】

A中函数的定义域为国对2},不关于原点对称，故/(x)不是奇函数，故A错误；

B中函数的定义域为3H-1},不关于原点对称，故/(X)不是偶函数，故B错误；

C中函数的定义域为{x|烂-1,或丘1},

/(-x)(X),f(-x)(x),

故/CO是非奇非偶函数，故C正确；

D中函数是偶函数，但不是奇函数，故D错误.

故选：ABD.

4

宣'知识点02奇函数、偶函数的图象特征

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果

一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形：反之，如果一个函数

的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

【即学即练4】已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是(-2,2),它们在［0,2］上的图象如图所示，则使

关于x的不等式/(x).g(x)>0成立的x的取值范围为()

C.(-2,-1)50,1)D.㈠，0)51,2)

【答案】C

【分析】

根据图象解得当x>0时，其解集为(0,1),结合已知条件得到f(x>g(x)是奇函数，进而结合奇函数的对称

性可得，当x<0时;其解集为(-2,-1),从而求出结果.

【详解】

如图所示:当Ovxcl时，/(x)>0,g(x)>0,/(x)-g(x)>0；当l<x<2时,f(x)<0,g(x)>0,

/(x)-g(x)<0,故当x>0时,其解集为(0,1),•••y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数，••./(x).g(x)是

奇函数，由奇函数的对称性可得：当x<0时，其解集为(-2,-1),综上：不等式“力超(另>0的解集是

(-2,-l)u(0,l),

故选：C.

或、知识点03

奇、偶函数的单调性

根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：

(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调

性.上述结论可简记为“奇同偶异

（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在

关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

【即学即练5】（多选题）若奇函数/（X）在［1,3］上为增函数，且有最小值0,则它在［-3,-1］±（）

A.是减函数B.是增函数C.有最大值0D.有最小值0

【答案】BC

【分析】

由于奇函数的图象关于原点成中心对称，进而可得对称区间上的单调性与最值.

【详解】

由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小

值对应另一侧的最大值，即在［-3,-1］上是增函数，有最大值0

故选：BC.

【即学即练6】下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=x+1B.y=-x2C.y=~-D.丫=布

【答案】D

【分析】

根据奇偶函数的定义和初等函数的单调性逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】

对于A：y=x+l的定义域为R关于原点对称，f（-x）=-x+l,可知/（一*片）（力且〃-司*—/（》），所以

y=x+l是非奇非偶函数，是增函数，故选项A不正确；

22

对于B：y=的定义域为R关于原点对称，y（_x）=_（-x）=-x=/（%）,所以y=是偶函数，故选

项B不正确；

对于C：〉=-；的定义域为（0,0）。（（）,”），关于原点对称，且

/（一力=一$=：=一/（”是奇函数，在（7，。）和（0,+8）单调递增，但不是定义域内的增函数，故选项C

不正确；

x>0

对于D：y=x|%|=一八，作出其图象如图所示：

y=%W图象关于原点对称，是奇函数，且是增函数，故选项D正确;

故选：D.

*'知识点04性质法判断函数的奇偶性

/（X）,g（x）在它们的公共定义域上有下面的结论:

/（X）g(x)y（x）+g（x）/(X)-g(x)/(x)g(x)/(g(x))

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

【即学即练7］已知函数/（X）的图象如图所示，则（）

A./（x）可能是奇函数，但不可能是偶函数

B./（x）可能是偶函数，但不可能是奇函数

C./（%）可能是奇函数，且可能是偶函数

D./(x)不可能是奇函数，且不可能是偶函数

【答案】B

【分析】

根据奇、偶函数图象的性质，分析选项，即可得答案.

【详解】

因为函数/(x)的图象关于y轴对称，不关于原点对称，

且偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称，

所以f(x)可能是偶函数，但不可能是奇函数.

故选：B

【即学即练8】f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，K/(x)-g(x)=x2+3x+2,则/⑴的值为()

A.1B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】

根据奇偶性先求解出/(x)的解析式，然后即可计算出/(1)的值.

【详解】

由题意得:“T)=-〃x)，g(t)=g(x)n｛循"工署:2'

所以f(x)=3x,当x=l时，/(I)=3,

故选：B.

【即学即练9】(多选题)设函数〃x),g(x)的定义域都为/?,且“X)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列

结论中正确的是()

A.|f(x)|g(x)是奇函数B.f(x)|g(x)|是奇函数

C.〃x)+|g(x)|是偶函数D.|〃x)|+g(x)是偶函数

【答案】BD

【分析】

由奇偶函数的定义逐一判断即可

【详解】

对于A:令十X)=|/(x)|g(x),则g(T)=卜/⑸g(x)=/(x)|•g(x)=ft(x),

所以A中的函数是偶函数，所以A错误;

对于B：令力(x)=/(x)|g(x)|,则

h(-x)=/(-x)|g(-x)l=-/(x)|g(x)|=-/z(x),所以B中的函数为奇函数，故B正确;

对于C：令"(x)=/(x)+|g(x)|,则

人(-X)=/(-X)+|g(f)|=-/(x)+|g(x)卜〃(x),故C错误;

对于D：令何力=|/(力|+8(力，则

〃(-x)=|/(f)|+8(­)=卜/(x)|+g(x)=|/(x)|+g(x)=〃(x),故D正确.

故选：BD

【即学即练10](多选题)已知函数_/U)的定义域为R,对任意实数x,y满足负x+y)=/(x)+/b，)+g,且/(；)

=0,当时，八x)>0,则以下结论正确的是()

3

A.40)=一万，式—1)=一彳

乙L

B.兀v)为R上的减函数

C.犬x)+T为奇函数

D.4)+1为偶函数

【答案】AC

【分析】

取x=y=0,x=l,y=-1,x=y=-g得出f(0),-f(T)的值进而判断A；由f(一1)</(0)判断

B：令》=-x结合奇偶性的定义判断c；令g(x)=/(x)+g,结合g(x)为奇函数，得出/(-x)+l=-f(x),从

而判断D.

【详解】

由已知，令x=y=O,得/(0)=/(0)+/(0)+g,.•./■(())=-；,令x=g,y=-；,得

-1，再令x=>=-；，得F

3

A正确；，(一1)</(。)，・•./。)不是R上的减函数，B错误；令丁=一不，得

f(x-x)=f(x)+f(-x)+；,，f(x)+；+/(-*)+；=0,故c正确；令g(x)=f(x)+；,由C可知g(x)

为奇函数，.•.g(-x)+g=-g(x)+；,即f(-x)+；+；=-/U)+|.-./(-x)+l=-/(x),故D错误.

故选：AC

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于取特殊值结合奇偶性的定义判断奇偶性.

Q能力拓展

考法01

判断函数的奇偶性：

判断函数的奇偶性的常用方法：

(1)定义法

一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化

简，再利用定义进行判断.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称.因此要证函数的图象关

于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此函数是偶函数即

可.反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.

(3)组合函数奇偶性的判定方法

①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数.

②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数.

③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”.

(4)分段函数的奇偶性判定

分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结1.已知函数的奇偶性求函数的解析式.

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于/(力的方程，从而可得/(X)

的解析式.

(4)性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.

判断/(-%)与/(X)的关系时，也可以使用如下结论：

f(—x)

如果/(一)一/(6=0或尢1=1(/(》)工0),则函数〃x)为偶函数；

如果/(-x)+/(x)=O或/号=—1(/(元)wO),则函数“X)为奇函数.

【典例11判断下列函数的奇偶性：

(1)/(x)=x+—;

X

(2)/(X)=2X2+|X|；

⑶山)/

【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)奇函数.

【解析】⑴函数/(x)的定义域为｛x|xw。｝,

"-x)=(-x)=—/(x)，是奇函数.

(2)函数/(力的定义域为R,

f(-%)=2(-%)'+\-x\=2x2+1%|=是偶函数.

⑶••・函数/(x)的定义域为｛X|XH。｝,/㈠==一〃力,/(X)是奇函数.

【名师点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，注意需先求得各函数的定义域再判断了(-X)与-/(X)的关系,

属于基础题.先求得定义域，代入求得/(-X)的解析式，根据奇函数满足/(-x)=-"x),偶函数满足

/(-%)=/(%),分析各解析式即可判断奇偶性.

【即学即练11】下面四个函数中既为奇函数，又在定义域上单调递减的是()

A.y=dB.y=-C.y=D.y=2-x-2x

X

【答案】D

【分析】

通过对每个选项函数奇偶性和单调性的判断，从而得到正确答案.

【详解】

A选项，y=V是奇函数，在定义域单调递增；

B选项，y=」是奇函数，在(T»,0)和(0,+8)单调递减，

X

但在其定义域并不单调；

C选项，＞="二既不是奇函数也不是偶函数，在其定义域单调递减：

D选项，y=2'-2'.是奇函数，且满足定义域上单调递减.

故选D.

【即学即练12］设函数f(x)=x2-j,则/(x)()

A.是偶函数，且在(3,0)单调递增B.是偶函数，且在(—,0)单调递减

C.是奇函数，且在(Y,0)单调递增D.是奇函数，且在(-8,0)单调递减

【答案】B

【分析】

利用定义可判断函数/(X)的奇偶性，化简函数/(X)在(-8,0)上的解析式，利用函数单调性的性质可判断

函数/(X)在(7,0)上的单调性.

【详解】

函数f(x)=-—后的定义域为{x|xwo},f(-x)=(-x)2-向=幺_看=为X),

所以，函数“X)为偶函数，

当x＜0时，/(x)=x2+—,由于函数＞=/、y=，在(Y»,0)上均为减函数，

XX

所以，函数“X)在(—,0)上单调递减，

故选：B.

【点睛】

思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下:

(1)一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数;

(2)若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断"-力与〃力之间的关系；

(3)下结论.

考法02

奇偶函数图象对称性的应用

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此可以借助函数一部分的图象得出函数

另一部分的图象，进而研究函数的性质.

【典例2】己知函数/(X)与g(x)的部分图象如图1,则图2可能是下列哪个函数的部分图象()

图1图2

A.y=/(g(x))B.y=f(x)g(x)c.y=g(/(x))D.丫=券

【答案】B

【分析】

根据奇函数、偶函数的图象特征，结合奇偶函数的性质逐一判断即可.

【详解】

由图1可知：函数〃幻关于纵轴对称，因此该函数是偶函数，即/(-x)=/(x).

函数g(x)的图象关于原点对称，因此该函数是奇函数，即g(-x)=-g(x).

由图2可知：该函数关于原点对称，因此该函数是奇函数.

A：设尸(x)=/(g。))，因为尸(―x)=/(g(-x))=/(—g(x))==F(x),

所以尸(x)=/(g(x))是偶函数，不符合题意；

B：设M(x)=/(x)g(x),因为M(-x)=/(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-M(x),

所以M(x)=/(x)g(x)是奇函数，符合题意；

C：设N(x)=g(〃x)),因为N(r)=g(/(—x))=g(f(x))=N(x),

所以N(x)=g(f(x))是偶函数，不符合题意;

D：由图1可知：g(0)=0,因为函数y=4々在x=0时没有意义，故不符合题意,

故选：B

【即学即练13】函数…―即在

【分析】

利用定义判断/。)=(0'-!)««》的奇偶性，再代入特殊值检验，即可得答案.

e

【详解】

设f(x)=(e*--7)cosx,

e

则f(-x)=(e'x--cos(-x)=_(e*--7)cosx=-/(%),

ee

所以/(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C,

又当户1时，/(l)=(e'—!f)cosl>0,排除D.

e

故选：B

考法03

函数奇偶性的应用

(1)利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数(如一次函

数、反比例函数、二次函数)具有奇偶性的条件求解.

(2)利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上

的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把

它转化到己知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.

(3)利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点

对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调

区间上比较大小.

2

【典例3】已知奇函数=+〃x+—(4〃£/?),且/(1)=3.

x

(1)求/(幻的解析式；

(2)用单调性的定义证明：/(x)在(0,夜)上单调递减.

【分析】(1)由/(1)=3,=(1)=一3,代入函数，可求得求f(x)的解析式；

(2)根据题意，任取司，々€(0,3)，设玉<工2，由作差法分析可得结论.

【解答】解：(1)根据题意，由/(1)=3得。+)=1①，

•；/(外为奇函数，：.〃-1)=-/(1)=—3,得。―6=-1②，

由①②用得a=0>6=1,

故/(X)的解析式为：f(x)=x+-；

X

(2)任取0<七〈出〈后，

0<<x2<y/l,/.<2»x2-X］>0,西々>0，

.\£(\、22(%一%—2)

•・/(々)_/(不)=为+——%——=—~~--—---<0,

x2X1百马

/(X)在(0,&)上单调递减.

【点评】本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题.

【典例4】已知定义在［-3,3］上的奇函数y=/(x)是增函数.

(1)若/(，"+1)+/(1-2加)>0,求机的取值范围；

(2)若f(2)=1,解不等式/(x+l)+l>0.

【分析】(1)根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.

(2)由已知可得，f(-2)=-l,从而可得了(犬+1)>-1=/(-2),结合单调性可求.

【解答】解：(1)因为定义在［-3,3］上的奇函数y=/(x)是增函数，

由f(m+1)+/(I-2m)>0可得f(m+1)>-/(I-2m)=,

.t.30Sn+1>2/n-1—3,

解可得，—L,加<2.

(2)-f(2)=1,

由/(x+l)+l>0可得/(x+l)>-l=f(-2),

J-3M+13

+1>—2

解可得，-3<%,2.

故不等式的解集(-3,2].

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考

查函数性质的应用.

【即学即练14】已知定义域为R的奇函数f(x)满足吗+x)=/(|-x),当OWE时，(x)=e，-l,则

24x43时/(x)的解析式为()

A./(x)=l-e*-2B.f(x)=ex-2-1

C.,f(x)=l-e'-'D.f(x)=e'-'-}

【答案】A

【分析】

13

由〃5+x)=/(5-X)得〃x)对称轴为X=1,结合奇偶性得

-1,<0时/。)=1-0-，，再设24_¥43时/(2-工)=1-6，-2即可.

【详解】

因为“X)是定义域为R的奇函数，所以/(-X)=-/(X)

因为占+幻=应-幻，所以F(x)的一条对称轴为x=l,

W/(2-x)=/(x),当04x41时f(x)=e*-l,

所以当T-时04-X41,f(-x)=e~x-l=-f(x),

BPf{x}=\-e-x,当24x43时一142—xMO,

所以/(2-x)=1-"07=1-e*”

即f(x)=l-e*-2

故选：A

【点睛】

函数的奇偶性、对称性及单调性是函数的三大性质，在解题中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往

需要借助函数的奇偶性和对称性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关

问题.

【即学即练15】已知/(力=/一笈+1是定义域为［a,a+1］的偶函数，则"'一/=()

3

A.0B.-

4

C.V2D.4

【答案】B

【解析】V/(%)在［a,。+1］上是偶函数，-a=a+lna=-L(x)的定义域为［-L-］.

222

故/(X)=-gx2-bx+l,

・・・/G)在区间［一；，上是偶函数，，有/(一;)=/(；)，代入解析式可解得：b=0,

,13

/.ab-a2=1-=—.故选B.

44

【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，关键注意定义域关于原点对称，属于基础题.解答本

题时，首先/(x)在［a,a+1］上是偶函数，故有-a=a+l：又因为f(x)在区间［—5,5］I二是偶函数，有

/(-1)=/(;)，即可求出6,代入计算即可・

【即学即练16】定义在R上的偶函数Ax),对任意％,x,e［0,+s)(%HX2),有"则()

Xl~X2

A./(-2)</(1)</(3)B./(1)</(-2)</(3)

C./(3)</(-2)</(1)D.〃3)</(l)<f(-2)

【答案】C

【分析】

由已知得单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，然后可得大小关系.

【详解】

因为对任意孙七€［0,+8)(工尸七)，有八<0,所以/(X)在［0,+8)上是减函数，

又了⑴是偶函数,所以/(-2)=/(2),而/⑴>/(2)>/(3),

所以/(1)>/(-2)>人3).

故选：C.

【即学即练17】己知"X)是定义在［加-9,2〃?+3］上的奇函数，且当匕0时,，(6=由一%则/(加)的值为

()

A.-2B.-6C.2D.6

【答案】B

【分析】

根据奇函数的定义求出〃?=2,再利用函数的奇偶性即可求解.

【详解】

“X)是定义在在"-9,2机+3］上的奇函数，

则”［-9+2m+3=0,解得，〃=2,

当xMO时，/(x)=x2-x,

所以/(祖)=/(2)=-〃-2)=-(4+2)=-6.

故选：B

考法04

易错提示--判断函数奇偶性时，注意定义域

【典例4】判断函数/(典=f+3f/€(-2,2］的奇偶性.

【错解】因为f(-x)=(-x)4+3(-x)2=-+3炉=/(x),所以函数/(x)=炉+3/,xG(—2,2］是偶函

数.

【错因分析】判断函数的奇偶性时，需先判断函数的定义域是否关于原点对称.

【正解】函数/(幻=/+3/,X£(_2,2］的定义域为(—2,2］,不关于原点对称，故函数

/(X)=X4+3X2,XG(-2,2］既不是奇函数又不是偶函数.

【名师点睛】由函数奇偶性的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.若函数/(X)为R上的偶函数，且/(2)=3,则/(-2)=()

A.-3B.3C.2D.-2

【答案】B

【分析】

由奇偶性的概念可以直接求解.

【详解】

函数为R上的偶函数，所以2)=/(2)=3,

故选：B

2.下列函数具备奇偶性的函数是()

A./(x)=x+lB./(x)=4x

C./(x)=x2D.f(x)=x2+2x

【答案】C

【分析】

根据奇，偶函数的定义即可判断.

【详解】

因为奇，偶函数的必要条件是定义域关于原点对称，而函数/(x)=«的定义域为［。,内)，所以该函数是非

奇非偶函数，函数/(x)=x+l,/(x)=x2+2x不满足对任意的XGR,有y(x)=/(-x)或y(-x)=-/(x)恒

成立，所以它们也是非奇非偶函数，只有函数/(x)=f,满足/(x)=/(-X),其为偶函数.

故选：C.

3.已知定义域为R的函数Ax)在［1,+8)单调递增,且f(x+1)为偶函数，若/(3)=1,则不等式/(2x+1)<1

的解集为()

A.y,-i)(1,小)B.(-l,+oo)

C.(—℃,1)D.(—1,1)

【答案】D

【分析】

根据题意，由函数/(x+1)为偶函数分析可得函数“X)的图象关于直线X=1对称，结合函数的单调性以及特

殊值分析可得解可得X的取值范围，即可得答案.

【详解】

解：根据题意，函数/(X+D为偶函数，则函数/(X)的图象关于直线X=1对称,

又由函数/(X)在［1,+8)单调递增且,*3)=1,

则fQx+1)<1of(2x+1)</(3)o|(2x+1)-1|V3-11,

解可得：即不等式的解集为(-LD；

故选：D.

【答案】A

【分析】

根据图像是否关于>轴对称判断.

【详解】

A的图像关于y轴对称，故A符合题意.

BCD的图像都不关于y轴对称，故BCD均不符合题意.

故选:A.

5.设函数八幻的定义域为/?.且/。+1)为偶函数，f(2x-1)为奇函数，贝IJ(

A.B./(0)=0C./(D=0D./(3)=0

【答案】D

【分析】

根据已知条件可得〃幻对称轴为x=l,由尸(x)=/(2x-1)为奇函数可得

/(0)=/(-1)=0,结合对称轴可得/(3)=0,进而可得正确选项.

【详解】

因为/(X+1)为偶函数，所以/(X+1)的对称轴为x=0,

将/(X+D图象向右平移1个单位可得的图象，所以f(x)对称轴为X=1,

因为/(2x-l)为奇函数，

令尸(x)=f(2x-l)为奇函数,则F(T)=-E(X),

令x=0可得F(0)=/(T)=0,

因为/(X)对称轴为x=l,所以〃3)=0

根据题中条件无法判断选项A、B和C是否正确,

故选：D.

5

6.设〃x)是定义域为R的奇函数，且/(l+x)=〃-x).若/贝厅

55

A.B.D.

333

【答案】C

【分析】

由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得《I)的值.

【详解】

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本

题的关键.

7.已知函数〃x)="+伙&R0),则""0)=0”是“函数/(x)为奇函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

化筒“/(0)=0''和"函数/(X)为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.

【详解】

/(0)=0,所以6=0,

函数f(*)为奇函数，

所以F(-X)=-齿+。=一/。)=-右-匕=0,所以。=0.

所以“〃0)=0”是“函数/(X)为奇函数”的充分必要条件.

故选：C

【点睛】充分必要条件的判断，常用的方法有：(1)定义法；(2)集合法；(3)转化法.要根据已知条件灵

活选择方法判断得解.

8.已知定义在R上的函数JU)在(-1,”)上为增函数，且函数/(x-1)为偶函数，则的

大小关系为()

A./(-；)</(-4)</(3)B./(-4)</(-扑/(3)

C./(3)</f-yj</(-4)D./(-4)</(3)</f-^

【答案】D

【分析】

由条件可得函数/*)关于x=-l对称，然后结合单调性可得答案.

【详解】

因为函数/U-D为偶函数，所以函数/(x)关于x=-1对称,

又因为函数/(X)在(-1,-H»)上为增函数，所以函数/(X)在(YO,-1)上为减函数,

又因为|(-4)-(-1)1<|3-(一1)|<\日)-(一1)

所以7(-4)<〃3)</

故选：D

题组B能力提升练

1.已知定义在R上的偶函数〃x)满足在［0,KO)上单调递增，/(3)=0,则关于X的不等式

++>0的解集为()

x

A.(-5,-2)(0,+8)B.(^o,-5)i,(0,1)

C.(―3,0)53收)D.(-5,0)1(1次)

【答案】D

【分析】

根据题意作出函数Ax)的草图，将/(X+2)+/(-X-2)>0,转化为2〃X+2)>0,利用数形结合法求解.

XX

【详解】

因为定义在R上的偶函数/(X)满足在(0,+8)内单调递增，

所以fM满足在(-8,0)内单调递减，又/(3)=0,

所以/(-3)=/(3)=0.

作出函数/(X)的草图如下：

由f(x+2)+f(+2))0得〃x+2)+〃-(x+2”o

XX

得"92)>0,

X

［x>0,,fx<0,

所以［./■(X+2)>0,或［/(x+2)<0,

x>0,Jt<0,

所以x+2>3,或j-3<x+2<3,

解得x>l或一5vxv0,

即不等式/史2)+1(土2)>0的解集为(-5,0)(1,口).

X

故选：D

2.设函数〃x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当x叩,2］时,f(x)=ax2+b.若

40)+〃3)=6,则/修卜(

)

9c3-7r5

A.——B.—C.一D.一

4242

【答案】D

【分析】

通过〃x+l)是奇函数和〃x+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式〃引=-2/+2,进而利用定义或

周期性结论，即可得到答案.

【详解】

因为/(X+1)是奇函数，所以/(-x+l)=-/(x+l)①；

因为/(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(-X+2)②.

令x=l,由①得:f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得：f(3)=f(l)=a+b,

因为/(。)+/(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6=>a=-2,

令x=0,由①得：/(l)=_"l)=〃l)=0nb=2,所以〃x)=_2d+2.

思路一：从定义入手.

■=44+卜呜+i卜唱

寸图rM=O=7图

所以同=7图=1.

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/(X)的周期T=4.

所以喝"({I—({!=1.

故选：D.

【点睛】

在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果.

3.已知函数/(X)是定义在R上的偶函数，当X..0时，f(x)=x-x2,则下列说法正确的是()

A./(x)的最大值为』B.f(x)在(-1,-工)是增函数

42

C./(x)>0的解集为(-1,1)D./(x)+2x..O的解集为[0,3]

【答案】ABD

【分析】由偶函数的定义可求得x<0时，f(x)的解析式，由二次函数的最值，可判断A；由x<0时，/(x)

的单调区间可判断3；讨论x<0,X..0,由二次不等式的解法可判断C、D.

【解答】解：函数/*)是定义在/?上的偶函数，当X..0时，fM=x-x2,

可得X<0时，/(x)=,f(-x)=-x-x2,

当X..0时，f(x)=x-x2=-(X-g)2+；,

所以x=g时，f(x)取得最大值J,故4正确；

f(x)在上单调递增，在(-3，0)上单调递减，故3正确；

当X..0时，，/'(x)=x-x2>0,解得0cxe1；

当x<0时，/(x)=-x-x2>0,解得-1cxe0,

所以f(x)>0的解集为(-1,0)U(0,1),故C错误：

当x..O时，fM+2x=3x-x2..O,解得噫*3；

当x<0时，f(x)+2x=x-x2..O,解得

所以/(x)+2x..O的解集为[0,3],故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，解析式的求法，考查转化思想和运算能力、

推理能力，属于中档题.

4.(多选题)设函数段)，g(x)的定义域都为R,且加)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A.4r)g(x)是奇函数B.|/(x)|g(x)是偶函数

C.兀v)|g(x)|是偶函数D.|/(x)g(x)|是偶函数

【答案】ABD

【分析】

A：令似x)=/(x)g(x),利用奇偶函数的定义即可得到％(-x)=d(x)；

B：令似x)=|/(x)|g(x),利用奇偶函数的定义即可得到似-x)=H(x)；

C：令似x)=/(x)|g(x)|,利用奇偶函数的定义即可得到"(-x)=-H(x)；

D:令似x)=|/(x)g(x)|,利用奇偶函数的定义即可得到九(-x)=/?4(x).

【详解】

是奇函数，g(x)是偶函数，

••.贝刈为偶函数，板(制为偶函数.

A：令4(x)=f(x)g(x),

则%(-x)=f(-x)g(-x)=-/(x)g(x)=-h](x),

所以4(x)=/(x)g(x)是奇函数，故A正确;

B：令似x)=|/(x)|g(x),

则似-X)=|/(-x)|g(-x)=|/(x)|g(x)=%(x),

所以似x)=|/(x)|g(x)是偶函数，故B正确；

C：令4(x)=/(x)|g(x)|,

贝ij4(-x)=/(-x)|g(-x)|=-/(x)|g(x)|=-/l,(x),

所以似x)=/(x)|g(x)|是奇函数，故C错误；

D：令八(x)=|/(x)g(x)|,

则%(-X)=|/(-x)g(-x)|=卜f(x)g(x)|=|/(x)g(x)|=九(x),

所以九(x)=|f(x)g(x)|是偶函数,故D正确.

故选：ABD

5.已知函数/(x),x€(-oo,0)u(0,+<=o),对于任意的x,yw(-<»,0)(0,”)，/(冲)=/。)+/(丫)，则()

A.〃x)的图象过点(1,0)和(TO)

B./(x)在定义域上为奇函数

C.若当x>l时，有y(x)>0,则当-1<X<O时，/(x)<0

D.若当0<x<l时，有〃x)<0,则f(x)>0的解集为(1，内)

【答案】AC

【分析】

根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；

【详解】

解：因为函数“X),xe(-oo,0)50,+°o),对于任意的x,ye(-8,0).,(0,+00),/(xy)=f(x)+f(y),令

x=y=l,则/(1)=/(1)+/(1),则/(l)=0,令x=y=-l,则/(1)=/(一1)+/(—1),则/(一1)=0,所以/(x)

过点(1,0)和(TO)，故A正确；

令0=-1,则〃_x)"(x)+f(T),即/(—x)=/(x),所以为偶函数，故B错误;

令>=-1,则〃T)=/(x)+/(-J=O,贝"(-：)=-f(x)当x>l时，所以又/(x)>0,

则/(-曰<0，即当-l<x<0时，/(x)<0,故C正确：

令则/⑴=〃x)+/6)=0,则当0<x<l时，所以又/(x)<0,则

O。，即当x>l时，/(x)>0,因为〃x)是偶函数，所以x<-l时，/(x)>0,所以〃x)>0的解集

为(…，―1)U(1,T8),故D错误；

故选：AC

【点睛】

本题考查抽象函数的性质的应用，解答的关键是根据题干所给信息及需证明的性质合理利用特殊值法.

6.已知二次函数"力=£+6x+c的图像经过点(1,13),且函数y=/1-力是偶函数，则函数f(x)的解析

式为.

【答案】〃力=幺+》+11

【分析】

由偶函数易得/(X)关于x=-(对称求参数b,根据图象过点求参数c,写出解析式即可.

【详解】

v丫=是偶函数，有了(、-；)=f(-X-J，

1A1

.•./