2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编32（解析版）

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(三十二)

一、单选题

22

I.(2023•广东茂名•统考二模)若椭圆c：A£=l(a>6>0)的离心率为〜两个焦点分别为6(—0),

6(c,0)(c>0),M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是的内心，连接MP并延长交月巴于点。,

则幽=(

川\PQ\()

A.2B.1C.4D.

4

【答案】A

如图，连接刊"PF”设尸到x轴距离为乙，M到x轴距离为人，

则丝=&鼠"

PQdpSPRF,

设4P耳巴内切圆的半径为,，则5.弓=3恒周r=(2c.，=cr,

SMg=SPFR+SMPh\+SMPF?

=初用旧阀|旧仍印

巧用「+封明+1叫)

=-1-2ccr+—r12ca=(/c+a)、r

22

.|MQ|=4W=SMg=(c+〃»=c+a

|P。dpSpgcrc

不妨设|同=cm,则|M@=(c+初％(m>0),

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：.\PM\=\MQ\-\PQ\=am(m>0),

22

因为椭圆C:£+g=l(a>b>0)的离心率为

\PM\

|P0|cmce

故选：A.

2.（2023•广东茂名•统考二模）已知函数"x）=sin"+/@>0）,若//=0,且〃x）在信会）上

恰有1个零点，则”的最小值为（）

A.11B.29C.35D.47

【答案】B

【解析】因为/0,上恰有1个零点,

所以一《"八所以最

所以24<。448,

.7T|.ICDTtTtIcLL2所冗，，~0.1

X/—=sin~r~+~=>所以、一+：=£Z,即6y=64一1

Vo6766

所以24v6k一lV48«eZ,解得左=5,6,7,8,

当k=5时，。有最小值29.

3.（2023•广东佛山•华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）设函数“X）在R上存在导函数尸（x）,

对任意的实数x都有f（x）=4/-/（-力，当xe（Y）,0）时，/（x）+g<4x.若/（〃z+l）4/（-m）+4m+2,则

实数用的取值范围是（）

A.-；，+s]B.—1,+<»

C.卜1,物)D.[-2,+oo)

【答案】A

【解析】令尸(x)=/(x)—2/，则当xe(Yo,0)时/x)=r(x)_4x<_g<0,

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所以E(x)在(e,0)上为减函数，

又因为〃X)+/(T)=4X2,所以尸(X)+F(T)="X)+"T)—4^=0,

所以F（x）为奇函数，所以尸（x）在R上单调递减且连续,

若/（〃z+l）4/（T〃）+4m+2,则〃加+l）-2（m+l）2V,即F（〃z+1）W尸（一回，

所以〃?+12-，〃，解得〃?2-L

2

故选：A

22

4.（2023•广东佛山•华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知耳、E分别是双曲线斗=1的左、

ab“

IppI2

右焦点，。为双曲线右支上的任意一点且需~=8o,则双曲线离心率的取值范围是（）

A.(1,2]B.[2+8)C.(1,3]D.[3,+8)

【答案】C

【解析】因为耳、鸟是双曲线鸟-^=1的左、右焦点，尸为双曲线右支上的任意一点,

ab

所以忸耳|-忸阊=勿，则|P4|=|P闾+2a,

IPFJ（归周+2”

=|产马+4a+尚22g卜静+4«=8a,

|P段|P周一|P片

当且仅当归身=2。时取等号,

因为睛=8%

所以|「闾=2小

又点P是双曲线右支上任意一点，所以归国“-。，即即3aNc,

所以e=£<3,又e>l,所以l<e43.

故选：C.

eA-ln（x+l）-l,x>0

5.（2。23・广东广州・统考模拟预测）已知函数〃力，卜m（一）,皿，若小一小.代）皿

则实数x的取值范围为（）

A.(70,0]B.［（）,+8）C.[-ln2,0]D.ln2]

【答案】A

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【解析】当xvO时,-x>(),则/(—x)=e--ln(—x+1)—1=—/(力,

同理，当x>0时，—X<0,则/(—x)=l----4-ln(l+x)=—f(x),

e

且F(o)=o,可知函数f(x)为奇函数;

当x2O时，/(x)=et-ln(x+l)-l,则/(同=］一:

令〃?(x)=/'(x)=e'--贝I」加(x)=e'+-~-5->0,

I1IVI1

所以机(x)在[0,+8)单调递增，gpm(x)>m(O)=O,B[J/,(x)>0,

所以〃x)在[0,+8)单调递增，且/(x)为奇函数，所以“可在R上单调递增.

则f(e-2)+f(ex)<0=>/(e^-2)<一/e")=f(-e2x),

即e*-24-e2xn/+e，-240，即(e*+2*，—1)40,

可得-24evVl,且e*>0，所以0<e"1,解得xMO,

所以解集为(YO,0].

故选:A

6.(2023•广东广州•统考模拟预测)已知圆台0。的上、下底面半径分别为r,R,高为/?,平面a经过

圆台。0的两条母线，设a截此圆台所得的截面面积为S,则()

A.当/zNR-r时，S的最大值为(R+2r)/z

B.当/zNR-r时，S的最大值为("+')["+(R-)]

2(Rf)

C.当/7<R-z•时，S的最大值为(K+2r)/7

D.当时，S的最大值为(R+『)W+(RT)[

2(』)

【答案】D

【解析】如图,将圆台。0补成圆锥PO.

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设圆台。。的母线长为/，则/=/+（R-r）2，等腰梯形ABCD为过两母线的截面.

设FC=x,4PB=e,由（=告，得X=六，

Rx+lR-r

222

则s=sPAfi-S"/）=；［（］+/）-x］sin6>=蓝:*Isin。,

当时，0<90\当sing最大，即截面为轴截面时面积最大,

则S的最大值为］（2R+2r）〃=（/?+/*）〃.

当九vR-r时,6>90°，当sin6=l时,截面面积最大,

则s的最大值为上,匕安^

故选：D.

o2

7.（2023•广东广州•统考模拟预测）设双曲线后:*~5=1（。>02>。）的右焦点为尸，M（0,3b）,若直

线/与E的右支交于A,B两点，且尸为△M4B的重心，则直线/斜率的取值范围为（）

A.U（"+8）

【答案】c

【解析】设。为AB的中点，根据重心性质可得Mk=2尸方，

因为爪c,0）."（0,36）,则小冷,-当）

因为宜线/与E的右支交于AB两点，所以点。在双曲线右支内部,

9c29b2rr

故有7彳、「解得£>如，

a3

当直线/斜率不存在时，AB的中点。在x轴上，

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故三点不共线，不符合题意舍,

设直线/斜率为%AB，设A（%，yj，5（马,力）>

所以%+%=3。，yt+y2=-3b,

（）$

V-

2

因为A8在双曲线上，所以“2

主%

溟-

两式相减可得：立

ab

（占一々）（占+々）=（%-%）（%+%）

a2~b2

即有二（『）=-3心［%）成立，

a23

即有3=-"，因为M，£A,8不共线，

a

.be3b口+2目门r

RBPrlKAB=*kMF=一"~»艮Pc~w3a~,艮Re工石，

所以E的离心率的取值范围为（半，月'（疯+8），

因为女he

AB-

y,31(3,+00),

一赤-

/，/,

log5(2"+39=log2(5-3)

8.（2023•湖南长沙•长沙市明德中学校考三模）已知实数，夕/满足：log7（3〃+5"）=log3（7"-5"）,则

rffr

log9(5+7)=log5(9-7)

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（）

A.p<q<rB.r<p<qC.P<r<qD.r<q<p

【答案】A

5〃-3〃>0p>0

即小,

【解析】因为75>0,所以<4>0,

9「一7->0r>0

设1%（2。+3。）=log2（5。-3。）=m,

2〃+3〃=sm

=><~=5'〃—2P=5〃—2〃'n5〃'+2'”=5〃+2〃，

5p-3p=2,n

设力（力=5、+2、是单调递增函数，所以〃2=P,所以2〃+3〃=5J即

乂&（同=岬+©是单调递减函数，且&（1）=1,所以p=l,

设log7（3〃+5"）=log3（7，-5"）="

39+54=7〃

=>T-3（l=T-3〃=T+3〃=T+3"

T-5q=3n

设加x）=7,+3,是单调递增函数，所以〃=4,所以3。+5。=7。,即（沪图”=1

乂82（加（沪目是单调递减函数，且g2⑴号>1，g2⑵=（沪图、余1，

所以1<”2,

同理，山1鸣（5'+7）=晦伊-7，）得（£|+修）=1,

又g3（x）=（沪口'是单调递减函数，且&⑴=4,&3⑵=哈<】’

所以l<r<2,

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g?⑷皿⑷

所以＜=g3⑺＜冽⑷且g3（x）是单调递减函数，所以

g2（4）=g3「）=l

综上可得。＜4＜匚

故选：A

9.（2023•湖南长沙•长沙市明德中学校考三模）如图，一个由四根细铁杆卓、PB、PC、PD组成的支

JT

架（如、PB、PC、PD按照逆时针排布），若/APB=/BPC=NCPD=/DPA=3,一个半径为1的球恰

Ll3

A.<73B.y/2C.2D.—

【答案】B

如上图正四棱锥P-ABCD,H为底面中心，。为球心，E为球体与尸。的切点,

又ZAPB=NBPC=NCPD=ZDPA=；7T，故尸一他8各侧面均为等边三角形,

若侧面三角形功长为“，则//£＞=立”，PD=a,OE=\,

2

显然Rt△尸PE。，故四=丝=也，则0尸=0.

PDOP2

故选：B.

ar-lnx,x>0

10.（2023•湖南岳阳•统考三模）已知函数/（幻=若/（幻有两个极值点%,占，记过点

ar+ln（-x）,x<0

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AQJ(演))，83,/(电))的直线的斜率为左，若0<%<2e,则实数。的取值范围为()

B.(-,2C.(e,2e]D.(2,2+一

【答案】A

【解析】当x>0时，函数/(x)=ar-lnx的导数为f[x)=a—：=铝，

由函数“X)由两个极值点得a>0.

当0<x<｝时，r(x)<0,/(x)单调递减；

当x>：时，网x)>0,/(x)单调递增.

故当x>0时，函数〃x)的极小值点为x=k

当x<0时，贝！|-x>0,则f(-x)=a(—x)—ln(-x)=-[ar+ln(-x)]=-/(x),

同理当x>0时，也有〃r)=-〃x),

故为奇函数.

不妨设工2=—%>。»

则有马=：,所以B1,l+ln“，可得《―+

由直线的斜率公式可得k==“(1+ina),a>0,

又A>0,l+lna>0,所以“>L

e

设/?(a)=a(l+lna),a>L得〃(a)=2+lna=l+(l+lna)>0,

e

所以Ma)在(5+°°)上单调递增，又由〃(5)=0,〃(e)=2e,

由0<么<2e,得人[j<〃(a)4〃(e),所以

故选:A.

11.(2023•湖南长沙•长郡中学校联考模拟预测)已知底面边长为。的正四棱柱ABCD-A由GR内接于半

径为G的球内，E,F分别为BC,G0的中点，G,“分别为线段AG，EF上的动点，M为线段A片的中

点，当正四棱柱ABCD-AAC。的体积最大时，|G"|+|GM|的最小值为()

A.72B.孚C.2D.1+72

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【答案】B

【解析】正四棱柱的高/?=2,3-

V=a2h=26卜弓，令I?=（12-2/）=/（a乂。＞0）,

则/'（。）=-12。5+48（?=-12/（。+2）（。-2）,

所以/⑷在（0,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减，

所以当a=2时，/（a）的最大值为"2）=64.

当a=2时，h=2,此时正四棱柱为正方体.

\GH\的最小值就是点G到EF的距离，

由正方体的性质知，BtDt1AC,,（因为正方体的棱原I与底面ABIGR垂直，因此A4,与底面

内的直线垂直），与AG是平面AAG内两相交直线，

因此8a_L平面A4C，

而£F分别为BC，G。的中点，因此EF//BQ,所以砂/平面A4C，

易知当H为EF的中点时，"eAG，G〃i平面A4G，所以G"J_E尸，

动线段G4,GM分别在RtAAGA，RtAAC£内，将两个平面沿AQ展开翻折至共面.如图，当M,G,

”三点共线时，|GH|+|GM|最小，可得|“0=；/句=孝，又因为M为线段的中点，

所以（侬|+|6必）而0=回网=挈：.

故选：B.

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12.(2023•湖南长沙•长郡中学校联考模拟预测)若当时，关于》的不等式

e"-xcosx+cosxlnco&r+加21恒成立，则满足条件的。的最小整数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

[解析】关于x的不等式e"-nosx+cosxlncosx+ax?>1恒成立，

因为所以cosx>0,

HP------x+lncosx+>---,BP-.......In——>-~,

cosXcosXcosXcosxcosxcosx

er/e1-ax2

Un|nJiIn------<------------------，

cosxcosxcosx

令g(x)=hi♦x+l,g，(x)=B-l=V^,x£(0,+8),x£(0,l),g[x)>0,g(x)单调递增；

X£(l,+oo),g'(x)<0,g(x)单调递减;

g(x)max=g(l)=0易证].WX—l(尤>0)，

-v-vA]-nx2

且-£e_>0,所以in—eWe二一一1,所以BPl-ax2<cosx.

cos尤cosxcosxcosx

令W=COSX-1+—,XG=sinx+x>0,/z(x)>A(0)=0,

又易知片)J,据此可以判断满足不等式成立，

故最小整数为1.

故选:A.

13.(2023•湖南郴州•统考模拟预测)定义：若直线/与函数y=/(x),y=g(x)的图象都相切，则称直

线/为函数y=/(x)和y=g(x)的公切线.若函数〃x)=alnx(a>o)和g(x)=V有且仅有一条公切线，则

实数。的值为()

A.eB.VeC.2eD.2册

【答案】C

【解析】设直线与g(x)=/的切点为(A,x：),

因为g'(x)=2x,根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2%，

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即该直线的方程为y-d=2X|(X-Xi),即丫=2中7；.

设直线与〃x)=alnx的切点为(X2，alnx2),

因为/(%)=@，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为色，

X-^2

即该直线的方程为k"E々=：(》-々)，即丫=:》+〃(111々-1).

因为函数/(x)=alnx(a>0)和g(x)=d有且只行一条公切线，

a

2内=——

所以有彳X?,

2

a[\nx2-l)=-x)

即a=4x1-4xjlnx2有唯一实根.

令〃(1)=4工2-4/lnx(x>0),则/?z(x)=8x-8xlnx-4x=4x(l-21nx).

解〃(x)=0,可得％

当4x(1-21nx)>0时，0<x<G，所以秋力在倒，月上单调递增；

当4x(1-21nx)<0时,x>贱,所以秋x)在(人,田)上单调递减.

所以〃(x)在x=&处取得最大值M五)=4e-4ex；=2e.

当x->0时,〃(x)-0,/i(e)=4e2-4e2lne=0,函数/i(x)图象如图所示,

因为“>(),a=4犬2-4/Inx有唯一实根，所以只有a=2e.

故选：C

14.(2023•湖北•校联考模拟预测)设函数“x)=fT(lnx+x+：｝合有两个极值点，则实数r的取值范

围是()

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B.艮,+8

D.1词修+8

【答案】c

【解析】“X)恰有两个极值点，则刊[x)=0恰有两个不同的解，求出制X)可确定x=l是它的一个解，另

一个解由方程工T=0确定，令g(x)=£(x>0)通过导数判断函数值域求出方程行一个不是1的解时

x+2x+2

f应满足的条件油题意知函数“X)的定义域为(0,+?),/(力=色•工壮+1-1

_(xT)[e'-/(x+2)](x-l)(x+2)-

因为/(x)恰有两个极值点，所以/4x)=0恰有两个不同的解，显然x=l是它的一个解，另一个解由方程

1-f=0确定，且这个解不等于1.

x+2

令(加提。)，则,(力普

g(x>>0,所以函数g(x)在(0,+?)上单调递增，从而g(x)>g(O)=；,

目送⑴=(•所以，当且办]时,=+x+：/合有两个极值点，即实数f的取值范围是

1e

+

253.?0°-

故选：C

15.(2023•湖北•校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:)J=2px(P>0)的焦点为F,直

线％=3与抛物线C交于A,8两点，|AQ=4,圆E为aR钻的外接圆，直线OM与圆E切于点M,点N在

圆E上，则OM-ON的取值范围是()

A.一£)9B.[—3,21]C.

不，21D.[3,27]

【答案】B

【解析】由题意，设A(3,廊)，所以|心|=3+勺4,解得p=2,

所以抛物线的方程为V=4x,A(3,2>/3),B(3,-25/3),F(l,0),

所以直线AF的方程为y=-1),

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设圆心坐标为(％,0),所以区一1产=(3-->+12,解得$=5,即E(5,0),

二圆的方程为(x-5)?+V=16,

不妨设加>0,设直线O"的方程为丫=丘，则4>0,

根据号=4,解得

4

y=—x,912

由，

3,解得M5,~5

(x-5)2+y2=16

设N(4cos6+5,4sin。)，所以OM-QN=,cose+gsine+9=£(3cose+4sin0)+9,

因为3cos。+4sin6=5sin(。+0)w[-5,5],

所以CW-ONW[-3,21].

故选：B.

16.(2023•湖北•校联考模拟预测)若实数a,b,ce(0,l),且满足ae。*=0.8e",teL2=1.2e\ce16=1.6ec,

则a,b,c的大小关系是()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】由ae°8=0.8e。,/?e,2=1.2e\ce,6=1.6eS

/旦a_0.8h2c_1.6令哈则尸(x)=M，

三e一e一88'~eJb-e\.2，e-eJ6

当x<l时，/^)>0,当X>1时，r(x)<0,所以〃力在(7j)上是增函数,

在(1,包)上是减函数，于是61.2)>"1.6),即/®>y(c),

又b,CG(0,1),所以力>c；

第14页共57页

0.81.60.80.8x20.8e°3-2

.........H................................................~~~X

-0.8J6-0.8^0.8、,八0.8^0.80.8

eeeexeee

因为54=625>29=512,所以54>2r25,>2,

4

因此。$-

62>(|)'-2>0,于是〃a)>f(c),又mCG(0,1),所以"c；

令g(x)=W-与?，则g，(x)=-—==(l_»(e-”+e*1o,所以g(x)在(0，田)上是增函数,

ee-'e*e~x''e"*/

/八o\/i\0.82—0.8八0.81.2八0.81.2?\\

g(O.8)<g(l),即印刖nil-Q<。，刖<声，/r(OA-o8)</(1,2n),

cccccc

于是/(a)</。)，又a，6«0,l),所以。<6；

综上b>a>c.

故选：B.

17.(2023•湖北•统考模拟预测)已知点尸在圆。:/+>2=1运动，若对任意点P,在直线/：x+y-4=0上

均存在两点A,B,使得乙4P82^恒成立，则线段A8长度的最小值是()

A.72-1B.夜+1C.20-1D.4行+2

【答案】D

【解析】如图，

由题可知，圆心为点。(0,0),半径为R=l,

7T

若立线/：x+y—4=0I二存在两点AB,使得NAPBW］恒成立,

|0-0-4|

则O:V+)2=1始终在以AB为宜径的圆内或圆上,,'.'.(0(0,0)到直线/的距离为d==2夜,

4+产

所以A8长度的最小值为2("1)=40+2.

故选：D

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18.（2023•湖北•统考模拟预测）若a=6,b=c=浜，则（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】令/（乃=弓，则尸（力=甘"，

当x>e时，fr（x）<0,函数/（x）单调递减；

当0<x<e时，函数〃x）单调递增，

因为“=&，所以lna=gln2=^=/（4）,

又1昉受=f（e）,e<4,所以〃e）>/（4）,所以lnb>lna,故"

!_L!!।

中卯!1L/卬斗，632323“3a13、,

因为6=ee<e2<6,，又因为赤=丁=^-r=—=—=7<1,

▽6323x332346'/

故c=爬>上,从而有c〉b,综上所述：a<b<c.

故选：B.

19.（2023•湖北•校联考三模）如图，把一个长方形的硬纸片A8CD沿长边45所在直线逆时针旋转45得

到第二个平面ABEF,再沿宽边川所在直线逆时针旋转45得到第三个平面4FG”，则第一个平面和第三个

平面所成的锐二面角大小的余弦值是（）

【解析】如图，把两个单位正方体叠放在一起,

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平面4线G2，平面4为a4,平面分别代表第一，二，三个平面,

四边形B2C2C（）B0为正方形，1名J.稣G,

C2G平面面。2G稣,G）CU平面面C2c0综，；.C24-L孰员,

B„c2cC2D2=C2,BnC2,C2D2u平面480G2,C„B21平面AACR；

同理可得：c（lD,1平面AMR:

二平面的法向量为平面的法向量为

4B0G2COB2,4,B1G4c„Dt,

222

CnDt=CnB2=V2,B?D1=Vl+l+2=显，

・..cos%G/=2：/%=，即C。瓦与C°〃的夹角为年，

・・•所求锐二面角的大小的余弦值是3.

故选：C.

ac\x<\

20.（2023・湖北•校联考三模）已知函数/,。）=x3>。）图象上存在关于y轴对称的两点，则正

In—,x>l

.a

数”的取值范围是（）

A.（e,-K»）B.C.（-D.（一‘+00）

【答案】B

ae~x,x<\

【解析】因为/（'）={x（。>。），

In—,x>1

Ia

所以当时，/（司=枇一”在（-8,1］上单调递减；

当尤>1时，/（x）=ln土在（L+O））上单调递增;

又fM的图象上存在关于y轴对称的两点，

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所以这两个对称点分别位于y=oef(x41)与y=ln?(x>l)的图象上;

设产(不，几)在y=ln?(x>l)的图象上，则P'(一%,%)在函数〉=祀7的图象上，且%>1,

，u+lna

故有ae*'=In—(x0>1),即e+Ina=Inxu,

,nr

进而+]na+%)=x()+Inx()=e°+Inx()；

设夕a)=e'+元,贝ij0(lna+%J=°0nXo),

又(p\x)=e*+1>0恒成立，故(p(x)在R上单调递增,

所以Ina+x()=Inx0,即Ina=lnx0-x0,

1—Y

令h(x)=Inx-x,xw(1,+8),则h\x)=——<0在(L+℃)上恒成立,

故//(x)在(1,+oo)上单调递减，

故/z(x)</?⑴=-1,JflljIna<-1,于是

e

故选：B.

二、多选题

21.(2023•广东茂名•统考二模)已知定义在R上的函数“X)满足》(-lr)=〃7+x),函数八%+2)-1

为奇函数，且对Va/e[2,3],当标b时，都有函⑷+"®>,修)+妙(a).函数g(x)=^二今与函数/(x)

的图象交于点(4外)，(々,/),…，给出以下结论，其中正确的是()

A./(2022)=2022B.函数/(x+1)为偶函数

C.函数〃X)在区间4,5上单调递减D.-~'J"=2

y+%++ym

【答案】BCD

【解析】因为“-l-x)=〃7+x),所以〃X)=〃67),〃x)的图象关于x=3对称，

因为函数“x+2)-l为奇函数，所以f(x)的图象关于点(2,1)对称，且〃0+2)-1=0=〃2)=1

又〃-x+2)-l=l-"x+2)n/(x+2)=2-/(2-x),

所以/(x)=2—7(4—x)=2—/T6-(2+x)]=2-/(2+x)=2—[2-/(2-x)]

=/(2-x)=f[6-(2-x)]=f(x+4),即f(x)=f(.x+4),

所以/(x)的周期为4,所以“2022)=八2)=1,故A错误;

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由上可知,/(x)=/(2-x),

〃x+l)=/［2-(x+l)］="l-x),故B正确；

因为Va,匕w［2,3］,当山b时,都有。'(a)+"(b)>/(A)+"(a),

即-6)"3)-/(a)］>0,所以“X)在区间［2,3］单调递增,

因为〃x)的图象关于点(2,1)对称，所以/(x)在区间［1,2］单调递增，

又“X)的图象关于》=3对称，所以在区间［4,5］单调递减，C正确;

因为g(x)=头9=1-彳、，所以g(x)的图象关于点(2」)对称，

所以f(X)与g(x)的交点关于点(2,1)对称，不妨设％<%<X3<…<招，

则xl+xm=9+X.T=w+X吁2=…=4，％+>,”=%+笫1=%+%-2=…=2

所以％+乡++x„,=2m,yl+y2++ym=m,

X,+X,++x„,〜

所以」~=-------=2,D正确.

乂+必++y,„

故选：BCD

22.(2023•广东茂名•统考二模)已知数列｛%｝和｛%｝满足：化=1,%=2,Pe=P,+3q“，q,z=2p,+q“，

〃wN*,则下列结论错误的是()

A.数列1P“-乎?「是公比为1+新的等比数列B.仅有有限项使得2p“>扃，

D.数列■P“-乎久,是递减数列

C.数列出以见-扃汁是递增数列

【答案】ABD

Pe=P“+3q“

【解析】由题意可知

4,+i=2p“+%

第二个式子乘以；I0X-；)后与第一和式子相加可得

P“”+义/+|=(1+22)化,+(3+2)%=(1+2彳)(乙+

令a=当，解得/=?必，

1+2/12

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取4=-q可得P0+1-乎%+1=(1-#)P"-当-，

因为Pi=1，q、=2,所以P]一2^^产0,

戊

氏+1一-^~Qn\广

所以-----4=-+=1-V6,

Pn一-1见

所以数列<乎必•是公比为1-n的等比数列，选项A说法错误；

因为Pi=1,0=2,所以p“_*%=(1_佝，

所以当〃为正奇数时，Pn一争“=(1-可’<0.即

当〃为正偶数时，pn一44“=(1-")>0.即p“>Rq”,选项B说法错误；

山Pi=l，7=2,P“+i=P“+3g“，%+i=2p“+q“，可知p">。，%>0,且数列｛p“｝和｛/｝均为递增数列，

而|2p“g"-悯=<7„=2qnp,t-^9„=2<7„|(1,

所以数列｛|2p“%-扃%是递增数列，选项C说法正确；

因为忆-冬“=(后-1)“，所以数列”“J”是递增数列，选项D说法错误；

故选：ABD

23.(2023•广东佛山•华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)已知函数/(x)=(x-l)lnx,且f(e")>/(6).

则下列结论一定正确的是()

A.若。>0,贝U"-6>0B.若。>0,则e"-b>0

C.若“<0,则e"+0>2D.若°<0,则a—In匕<0

【答案】BD

【解析】函数〃力的定义域为｛%1%>0｝,因为/(x)=(x-l)lnx,

所以/'a)=lnx+l-L令人⑴=Inx+l-L

xx

则”(x)=g+*>0,所以函数〃(x)=lnx+l-g在(0,+功上单调递增，

第20页共57页

又，7⑴=0,所以当0<x<l时，〃(x)<0,即r(x)<0,所以/(X)在(0,1)上单调递减,

当x>l时，〃(x)>0,即/")>0,所以/(力在(1,物)上单调递增，

所以〃EL=〃i)=°・

所以当。>0,取a=2,/?=e,因为所以/(e")>〃b),此时a—6<0,A错误；

当a>0时，e">l,由/(e")>/(b)得e">6，即e"-b>0,B正确；

当〃<0时，取。=一1力=1,e-'<l,满足/(e")>/他)，此时e"+b<2,C错误；

当a<0时，0<ea<1,山/(e")>/⑻得6>e",则lnb>a,即a-lnb<0,D正确.

故选：BD.

24.(2023•广东广州•统考模拟预测)已知正四面体P-A8C的棱长为分别为正四面体棱

BC,AC,/%的中点，尸为面A8C内任意一点，则下列结论正确的是()

3兀

A.平面EBC截正四面体P-ABC的外接球所得截面的面积为?

O

B.若存在使得PF=ZPM+〃PN,则线段C尸长度的最小值为且

C.过点P作平面a〃平面EBC,若平面a平面ABC=4,平面a平面PAC=4,贝以4所成角的正弦

值为近

3

D.平面EW与平面A8C夹角的余弦值为也

3

【答案】ABD

2

【解析】A选项，连接N3,过点P作HTL平面ABC,则点T在线段3N上，RBT=qBN,

球心。在PT上，连接OB,设正四面体的外接球半径为R,则QB=OP=R,

因为正四面体的棱长为1,所以取=4,尸7=比，

33

由勾股定理，得072+372=032,即停_R)+停j=R2,解得R=号,

过点7作水，BN交BC于点K,则以点T为坐标原点,TK,77V,TP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

J八>/3f1>/3(1>73](V6小黑倒。1。,喑,

则I1,l30,-----,0,C—,—,0,A—,—,0,P0,0,—

326263

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设平面EBC的法向量为m=(x,y,z),

-PS=(x,y,z)-(，与

y-0

则，

,EC=(”z>g*旦$=0

m

126

令y=l,则x=-&,z=-20,则机=(-G,1,-20),

-卜31，-20)

则点。0,0,到平面ESC的距离为公\OBin\°-T