北京市海淀中学2023年九年级上册数学期末调研模拟试题（含解析）

北京市海淀中学2023年九上数学期末调研模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每题4分，共48分)

1.已知二次函数ynaV+bx+c(a/0)的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=—1；

③当x=l时，y=2a；④当加<一2时，am~+bm>0；其中正确的个数是()

-2M7

A.4B.3C.2D.1

2.如图是抛物线yi=ax2+bx+c(a#))图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(l,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线

y2=mx+n(n#0)与抛物线交于A,B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③方程ax?+bx+c=3有两个相等的实

数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(一1,0)；⑤当l<x<4时，有y2<yi,其中正确的是()

A.①④⑤B.①®④⑤C.①③⑤D.①②③

3.把两个同样大小的含45。角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点。,

且另三个锐角顶点在同一直线上，若4)=2,则AB的长是()

A.J3-V2B.72-1C.().5D.V3-1

4.已知x=-1是一元二次方程x2+mx+3=0的一个解，则m的值是（）

A.4B.-4C.-3D.3

5.二次函数y=2f—3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）

A.抛物线开口向下B.抛物线与％轴有两个交点

C.抛物线的对称轴是直线x=lD.抛物线经过点（2,3）

6.下列各说法中：①圆的每一条直径都是它的对称轴；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④

同弧所对的圆周角相等;⑤90°的圆周角所对的弦是直径;⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆；其中正确的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

7.口袋中有2个红球和1个黑球，每次摸到后放回，两次都摸到红球的概率为（）

4

1214-

A.—B.-C.一9

993

4_4

8.如图，一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=的图象交于A,5两点，则不等式|-x+3|>—-的解集为

XX

()

A.-IVxVO或x>4B.xV-1或0<x<4

C.x<-1或x>0D.x<-1或x>4

9.在同一平面直角坐标系中，若抛物线卜=丁+（2加一1）%+2加-4与y=f-（3，〃+〃）x+〃关于y轴对称，则符合

条件的m,n的值为（）

518

A.m=—,nB.m=5,n=-6C.m=-1,n=6D.m=l,n=-2

77

10.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点。为BC的中点，以。为圆心作。。交BC于点M、N,。。与AB、

AC相切，切点分别为D、E,则。O的半径和NMND的度数分别为（)

C.3,22.5°D.2,30°

11.已知两圆半径分别为6.5c机和3c机，圆心距为3.5cm,则两圆的位置关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.内含

12.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，贝！JcosB的值是（）

A.-B.-C.—D.1

222

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm,要使烛焰的像A，B，是烛焰AB的2

倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛cm的地方.

14.二次函数y=-。-6）2+8的最大值是.

15.如图，在AABC中，ZA=90°,AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC于点D,求图中阴影部分的面积为

B

y—k,x=b,

16.在平面直角坐标系内，一次函数7=所1+%与y=A*+岳的图象如图所示，则关于x,y的方程组「，'的

y-k2x=h2

4

17.如图，正方形ABCO与正方形ADEF的顶点B、E在反比例函数y=—(x>0)的图象上，点A、C、D在坐标

x

轴上，则点E的坐标是.

18.把多项式16加3-根〃2分解因式的结果是.

三、解答题(共78分)

19.(8分)已知，八”是一元二次方程f+4x+3=0的两个实数根，且|"?|<可，抛物线yuf+fex+c的图象经

过点A(/〃,0),8(0,〃)，如图所示.

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为。，试求出点C,。的坐标，并判断BCD的

形状；

(3)点尸是直线8c上的一个动点(点尸不与点3和点。重合)，过点尸作x轴的垂线，交抛物线于点点。在

直线8C上，距离点P为④个单位长度，设点P的横坐标为乙PMQ的面积为S,求出S与1之间的函数关系式.

20.(8分)如图，四边形A8CO是。的内接四边形，BC=46，ZBAC=45，ZABC=15»求AB的长.

O

8

21.（8分）如图，在等腰RrAABC中，NC=90°,AC=6,。是AC上一点，若tanZDBA=（.

⑴求AO的长;

(2)求sinNDBC的值.

22.（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m,以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直

（1）求这条抛物线的解析式;

（2）水面上升1m,水面宽是多少？

23.（10分）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C,交弦AB于D.

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若AB=24cm,CD=8cm,求（1）中所作圆的半径.

24.（10分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A8.用直尺和圆规作出A8所在圆的圆心O（要求保留作图痕迹,

不写作法）；

B

25.(12分)如图，8"是以AS为直径的。。的切线，8为切点，6c平分NA8M,弦酸交45于点E,DE=OE.

(1)求证：AACB是等腰直角三角形；

(2)求证：OA2=OE»DC：

(3)求tan/AC。的值.

1x-21

26.先化简，再求值：(—%~+--期中元=2sin30+1.

x+1.V-1x+1

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1,B

【分析】由题意根据二次函数图像的性质，对所给说法进行依次分析与判断即可.

【详解】解：•••抛物线与y轴交于原点，

c=0,故①正确；

-2+0

•.•该抛物线的对称轴是：------=-1,

2

该抛物线的对称轴是直线x=-l,故②正确；

：x=l,Wy=a+b+c,c=0,

二当x=l时，y=a+b,故③错误；

Vx^m,贝=加?，由图像可知》<一2时，y>0,

.,.当m<—2时，am2+bm>0»故④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(aWO)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与

y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.

2、C

【分析】①根据对称轴x=l,确定a,b的关系，然后判定即可；

②根据图象确定a、b、c的符号，即可判定；

③方程ax2+bx+c=3的根，就y=3的图象与抛物线交点的横坐标判定即可；

④根据对称性判断即可；

⑤由图象可得，当l<x<4时，抛物线总在直线的上面，则y2<yi.

【详解】解：①•••对称轴为：x=l,

---=1贝!Ja=-2b,即2a+b=0,故①正确；

2a

•.•抛物线开口向下

.\a<0

•.•对称轴在y轴右侧，

.*.b>0

•••抛物线与y轴交于正半轴

.\c>0

:.abc<0,故②不正确；

•.•抛物线的顶点坐标A(1,3)

二方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=l,故③正确；

•抛物线对称轴是：x=l,B(4,0),

...抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0)故④错误；

由图象得：当l<x<4时，有y2<yi；故⑤正确.

故答案为C.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像，考查知识点较多,解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数知识.

3、D

【分析】过点D作BC的垂线DF,垂足为F,由题意可得出BC=AD=2,进而得出DF=BF=L利用勾股定理可得出

AF的长，即可得出AB的长.

【详解】解：过点D作BC的垂线DF,垂足为F,

E

由题意可得出，BC=AD=2,

根据等腰三角形的三线合一的性质可得出，DF=BF=1

利用勾股定理求得：AF7Abi-DF?=#)

,AB=AF-BF=6-1

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解此题的关键.

4、A

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=-1代入方程得1-m+2=0,然后解关于m的一次方程即可.

【详解】解：把x=T代入x2+mx+3=0得1-m+3=(),解得m=l.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程中含有参数的解，只需要把x的值代入方程即可求出.

5、B

【详解】A、a=2,则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；

B、当y=0时，2x2-3=。，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项正确；

C、抛物线的对称轴为直线x=0,所以C选项错误；

D、当x=2时，y=2x4-3=5,则抛物线不经过点(2,3),所以D选项错误，

故选B.

6、A

【分析】根据对称轴、等弧、圆周角定理、三角形外接圆的定义及弦、弧、圆心角的相互关系分别判断后即可解答.

【详解】①对称轴是直线，而直径是线段，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，①错误；

②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，不在同圆或等圆中不一定是等弧，②错误；

③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，不在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，③错误；

④根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，④正确;

⑤根据圆周角定理推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，⑤正确；

⑥根据三角形外接圆的定义可知，任何一个三角形都有唯一的外接圆，⑥正确.

综上，正确的结论为③④⑤.

故选A.

【点睛】

本题了考查对称轴、等弧、圆周角、外接圆的定义及其相互关系，熟练运用相关知识是解决问题的关键.

7、D

【分析】根据题意画出树形图即可求出两次都摸到红球的概率，进而得出选项.

【详解】解：设红球为1,黑球为2,画树形图得：

故选：D.

【点睛】

本题考查用列表法与树状图法求随机事件的概率，列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列

表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

8、C

y=_%+3

【分析】先解方程组’4得A(-1,4),8(4,-1),然后利用函数图象和绝对值的意义可判断或x

>=一一

Ix

>1时，|-x+3|>-

X

y=-x+3(..

x=-lx=4

【详解】解方程组4得/或〈「则A(-1,4),B(4,-1),

y=一[y=4[y=-l

Lx

4

当xV-l或时，|-x+3|>--,

X

4

所以不等式1-x+3|>--的解集为xV-1或QL

X

故选：C.

【点睛】

考核知识点:一次函数与反比例函数.解方程组求函数图象交点是关键.

9、D

【解析】由两抛物线关于y轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于y轴对称，与y轴交于同一点，由此可得二次项系

数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于m、n的方程组，解方程组即可得.

【详解】关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，

2m-1=3m+n

.*.59

n=2m—4

故选D.

【点睛】

本题考查了关于y轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键.

10、A

【解析】解：连接OA,

・・・AB与。O相切，

/.OD±AB,

・・•在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,O为BC的中点，

AAO1BC,

AOD/7AC,

TO为BC的中点，

/.OD=AC=2；

VZDOB=45°,

AZMND=ZDOB=1.5°,

故选A.

本题考查切线的性质；等腰直角三角形.

11、C

【解析】先求两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系.

【详解】••,两圆的半径分别为6.5cm和3cm,圆心距为3.5cm,且6.5-3=3.5,

，两圆的位置关系是内切.

故选：C.

【点睛】

考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.设两圆的半径分别为K和，，且心r,圆心距为d：外离d>R+r；外

相交R-rVdVR+r；内切d=R-r；内含d<R-r.

12、B

【分析】过点C作CD_LAB,利用间接法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出AB、BC的长度，然后求出CD的

长度，即可得到NB的度数，然后得到答案.

【详解】解：如图，过点C作CDLAB,

S',”-6x6—x6x3—x6x2—x4x3—36—9—6—6=15>

we222

,:AB=，6?+32=35，BC=d6+*=2面，

又,••％肥=；・48・8=15,

•3*忖

CD_2>/5_V2

在RtZkBCD中，sin6

近一2而一万

AZB=45°,

A/2

cosB=cos45°=~T

故选：B.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理与网格问题，解题的关键是作出辅助线正确构造直角三角形，利用三角函

数值进行求解.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、8

【解析】设蜡烛距小孔Xcm,则小孔距成像板(24-x)cm,

由题意可知：AB〃A，B，,

xAB1Eg八，、

----=——=—，解得：X=S(cm),

24—xArBr2

即蜡烛与成像板之间的小孔相距8cm.

点睛：相似三角形对应边上的高之比等于相似比.

14、1

【分析】二次函数的顶点式y=a(x-h)2+6在X=h时有最值,a>0时有最小值,a<0时有最大值，题中函数a=—1<0,

故其在x=6时有最大值.

【详解】解：；a=—1<0,

二)'有最大值,

当x=6时，y有最大值1.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.

15、1

【分析】连接AD,由图中的图形关系看出阴影部分的面积可以简化成一个三角形的面积，然后通过已知条件求出面

积.

【详解】解：连接AD,

VAB=BC=2,ZA=90°,

AZC=ZB=45°,

AZBAD=45°,

/.BD=AD,

-,.BD=AD=V2>

.•.由BD,AD组成的两个弓形面积相等,

.••阴影部分的面积就等于AABD的面积,

•"•SAABD=-AD*BD=—Xyf2Xy[2=L

故答案为：L

【点睛】

本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键.

x-2

16、〈

y=i

【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解.

【详解】•••一次函数产"ix+bi与尸《*+岳的图象的交点坐标为（2,1）,

y-k,x=b,x-2

，关于X,y的方程组.「J的解是

y-k2x=b2y=i

x=2

故答案为

)=i

【点睛】

本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.

17、(75+1,75-1)

【分析】设点E的坐标为（。,切，根据正方形的性质得出点B的坐标，再将点E、B的坐标代入反比例函数解析式求

解即可.

【详解】设点E的坐标为（4切，且由图可知。＞力＞0

则OD=a,DE=AD=b

AB=OA=OD—AD=a—b

■■点B的坐标为(a—b,a-b)

将点E、B的坐标代入反比例函数解析式得:

4

a-b=

a-h

ab=4

整理得:

a-b=2

Cl-y/5+1Cl—\—y/5

解得：厂或厂（不符合舍去）

h=yl5-\[Z?=-l-V5

故点E的坐标为(近+1,行-1).

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义与性质，利用正方形的性质求出点B的坐标是解题关键.

18>m(4m+n)(4m-n).

【解析】试题分析：原式=皿16"?2-〃?)=m(4m+n)(4m-n).故答案为m(4m+n)(4m-n).

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

三、解答题(共78分)

1a

22

19、(1)y^x-2x-3;(2)C(3,0),D(l,-4),88是直角三角形；(3)当0<f<3时，5=-1z+jr,当，<0

14

或t>3时，S=-t2--t.

22

【分析】(1)先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

(2)先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出_30。和曲都是等腰直角三角形，从而得到结论；

(3)先求出。尸=1,再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可.

【详解】解(1)f+4x+3=0,

・二%=-1,*2=-39

•"J〃是一元二次方程f+4x+3=0的两个实数根，且1川<1〃1,

m=-1,〃=—3,

抛物线y=d+云+c的图象经过点A(m,O),3(0,〃)，

1一〃+。=0

•Jr，

c=-3

方=-2

c=-39

抛物线解析式为y=x2-2x-3,

(2)令y=0,则2x-3=0,

玉=-1,X-,=3,

.■.C(3,0),

y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

二顶点坐标。(LT),

过点。作力E，y轴，

E|D

OB=OC=3,

:.BE=DE=1,

.•-60。和BED都是等腰直角三角形,

:.ZOBC=ZDBE=45°,

：.ZCBD=90°,

.,.△38是直角三角形；

(3)如图，

VB(0,-3),C(3,0),

•••直线BC解析式为y=x-3,

点p的横坐标为r,轴，

二点M的横坐标为/,

点P在直线8c上，点M在抛物线上，

过点。作。尸，加，

PQF是等腰直角三角形，

PQ=也,

-.QF=i,

当点尸在点M上方时，即0<t<3时，

PM=/-3-(r2-2r-3)--r2+3/,

iii3

:.S=-PMxQF=-(-t2-3t)=一一r+-t,

2222

如图3,当点P在点M下方时，即/<0或/>3时，

PM=t2-2t-3-(,t-3),

1113

,S=-PMxQF=-(t2-3t)=-t2__t.

:2222

iQ

综上所述：当点P在点“上方时，即0<r<3时，s=--t2+-t,当点p在点用下方时，即/<0或/>3时，

22

123

S=­t1.

22

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定,

解本题的关键是利用等腰直角三角形判定和性质求出NCBD=90。,QF=\.

20、4百.

【分析】如图，连接OC、OB、OA,过点。作于点E,通过勾股定理确定OB、OC的长，利用AB与

BE的关系确定最终答案.

【详解】如解图所示，连接OC、OB、OA,过点。作。于点E,ZBAC=45，且NBOC=2N84C,

ZBOC=90，

在一BOC中，NBOC=90，OB=OC,BC=4叵，

:.OB2+OC2=BC2=32,

OB-OC—4，

ZBOC=90，OB=OC,

ZOBC=45，

ZABC=75，

ZABO=ZABC-ZOBC=75-45=30，

Q4?是的弦，OE过_）。的圆心O,且OE_LAB于点E，

BE=-AB,且ZBEO=90，

2

NEBO=ZABO=30，

.•.£O」O5」x4=2,

22

BE=ylOB2-ECf="2-22=2百，

AB=2BE=2x2g=4百.

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键.

21、（1）AD=2;（2）sinNDBC=

13

r\fj

【分析】（1）先作DHLAB,由等腰三角形ABC,ZC=90°,得到tan/OBA=——，根据勾股定理可得AO；

BH

（2）由A。长度，再根据锐角三角函数即可得到答案.

【详解】（1）作

等腰三角形ABC,ZC=90°

.-.ZA=45°

AH=DH

DH

tan/DBA=——

BH

:.DH=HA

：.AB=6AH

AC2+BC2=AB-

：.AB=672

AH=DH=6

AH2+DH2=AD2

：.AD=2

（2）AD=2

：.DC=4

tanNOB"='

5

sin乙DBH==—

26BD

sinNDBC=

2屈13

【点睛】

本题考查等腰三角形和锐角三角函数，解题的关键是掌握等腰三角形和锐角三角函数.

22、(1)y=-x2+2x；(2)2/m

【分析】(1)利用待定系数法求解可得;

(3)在所求函数解析式中求出y=l时x的值即可得.

【详解】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

3

将点O(0,0)、A(4,0)、P(3,-)代入，得：

2

c=0

・16。+4。=0

9a+3/?=0

解得：

[1

a=——

2

〃=2,

c=0

所以抛物线的解析式为y=-gx2+2x；

(2)当y=l时,--i-X2+2X=1>即X?-4X+2=0,

解得：x=2±72>

则水面的宽为2+0-(2-0)=20(m).

答：水面宽是：2逝1m.

【点睛】

考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.

23、(1)答案见解析；(2)13cm

【分析】(D根据垂径定理，即可求得圆心；

(2)连接OA,根据垂径定理与勾股定理，即可求得圆的半径长.

【详解】解：(1)连接BC,作线段BC的垂直平分线交直线CD与点O,

以点O为圆心，OA长为半径画圆，

圆O即为所求；

(2)如图，连接OA

B

:.AD=—AB=12cm

2

设圆O半径为r,则OA=r,O