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文档简介
关于概率与数理统计PPT二二维随机变量的分布1二维随机变量的联合分布定义2.5设(X,Y)为二维随机变量,对于任意的x,y,二元函数F(x,y)=p(Xx,Yy)
称为(X,Y)的分布函数。或称为
X与Y的联合分布函数联合分布函数的几何含义:联合分布函数在点(x,y)处的函数值F(x,y)就表示随机点落在以(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域(-
<
u
x,-
<
v
y)内的概率。(x,y)
xyo联合分布函数的性质:(1)F(x,y)是变量x或
y的单调不减函数。即:对任意固定的y,当x2>x1时,F(x2,y)
F(x1,y)
对任意固定的x,当
y2
>y1时,F(x,y2)
F(x,y1)
第2页,共33页,2024年2月25日,星期天oxx1
x2
yy1
y2
(2)对任意的x
和y都有:0
F(x,y)
1(x,y)
xyo(3)对x
和y,F(x,y)都是右连续的(4)当x1
<
x2
,y1
<
y2时,有
P(x1<X
x2,y1<Y
y2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)第3页,共33页,2024年2月25日,星期天定义:二维随机变量(X,Y)中,随机变量X(或Y)自身的分布称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布。
结论:设(X,Y)
的联合分布函数为F(x,y),则有2边缘分布边缘分布函数:X的分布函数
FX(x)和
Y的分布函数FY(y)边缘分布函数可由联合分布函数确定。
边缘分布从某种意义看,就是一维随机变量的分布,它具有一维分布的性质。只不过边缘分布在二维空间考虑。第4页,共33页,2024年2月25日,星期天3条件分布(84页)定义:二维随机变量(X
,Y)中,已知随机变量X取定值x时,随机变量Y的分布称为在(X=x)条件下Y的条件分布。
4随机变量的独立性(90页)定义:二维随机变量(X,Y)中,联合分布函数和边缘分布函数分别为F(x,y),FX(x),FY(y)。若满足
F(x,y)=FX
(x)FY(y)则称随机变量
X和Y
相互独立。已知随机变量Y取定值y时,随机变量X的分布称为在(Y
=y)条件下X的条件分布。
第5页,共33页,2024年2月25日,星期天二维离散型随机变量第6页,共33页,2024年2月25日,星期天定义2.6:如果二维随机变量(X,Y)
所有可能取的数对是有限个或可列个,则称(X,Y)
为二维离散型随机变量。2.6.2二维离散型随机变量1二维离散型随机变量的联合分布
y
jy
2y
1x
1x
2x
ip
11p
12p
1jp
21p
22p
2jp
i1p
i2p
ij
Y
X
设二维离散型随机变量(X,Y
)所有可能取的数对为(x
i
,y
j
)(i,j
=1,2,
)则P(X=
x
i
,Y
=
y
j
)=
p
i
j
(i,j
=1,2,
)称为二维离散型随机变量(X,Y
)的联合概率函数或联合分布。例:同时掷两枚色子,朝上面的点数记为X,Y
,则
二维随机变量(X,Y
)为离散型。(X,Y
)的联合概率函数表:(1)pij0,i,j=1,2,…
联合概率分布的性质(2)第7页,共33页,2024年2月25日,星期天(X,Y)的可能取值为:(i,j),i,j=1,2,3例:盒中装有标号1,2,2,3的4个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从盒中任取一球。以X,Y分别记为第一,二次取到球上的号码数,求(X,Y)的联合分布。解:
P(X=1,Y=1)=
P(X=1,Y=2)=
P(X=1,Y=3)=
P(X=2,Y=1)=
P(X=2,Y=2)=
P(X=2,Y=3)=
P(X=3,Y=1)=
P(X=3,Y=2)=
P(X=3,Y=3)=0011Y
X
01/121/61/61/61/61/1201/62332(X,Y)的联合概率分布表:(X,Y
)的联合分布函数第8页,共33页,2024年2月25日,星期天设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
P(X=
x
i
,Y=
y
j
)=
p
i
j
(i,j
=
1,2,
)
y
jy
2y
1x
1x
2x
ip
11p
12p
1jp
21p
22p
2jp
i1p
i2p
ij
YX
1
p
i(1)
行和
p1(1)
p2(1)
pi(1)
pj
(2)
列和
p1(2)
p
2(2)
pj(2)
则2二维离散型随机变量的边缘分布称为二维随机变量(X,Y)关于X,Y的边缘分布第9页,共33页,2024年2月25日,星期天注意:联合分布唯一确定边缘分布,边缘分布不能唯一地确定联合分布。二维随机变量(X,Y
)关于X,Y的边缘分布x1XP2(1)P1(1)Pi(1)xi...x2Pi(1).........y1YP2(2)P1(2)Pj(2)yj...y2Pj(2).........11Y
X
01/121/61/61/61/61/1201/62332例:(X,Y)的联合概率分布求:X,Y的边缘分布解:X,Y的边缘分布1pX
1/21/41/4321pY
1/21/41/432那么其边缘分布函数为:第10页,共33页,2024年2月25日,星期天3条件分布设(X,Y)的联合分布律为:P((X=
x
i,
Y
=
yj
)=p
i
j
(i,j
=1,2,
)边缘分布:现考虑在事件(Y
=yj
)已发生的条件下,事件(X=
xi
)的条件概率P(X=x
i|Y=y
j)。定义:设
(X,Y
)
是二维离散型随机向量,对于固定的j,若P(Y=y
j
)>0,则称为在Y=y
j
条件下随机变量X的条件分布(或条件概率函数)同样,对于固定的i,若P(X=x
i
)>0,则称为在X=x
i
条件下随机变量Y的条件分布(或条件概率函数)第11页,共33页,2024年2月25日,星期天在X=2的条件下,Y的条件分布为:=1/3例:(X,Y)的联合概率分布11YX01/121/61/61/61/61/1201/62332P(X=2)=1/6+1/6+1/6=1/2在Y=1时,X
的条件分布解:1
P(Y|X=2)Y
1/31/31/332=1/3=1/3求:在X=2时,Y
的条件分布在Y=1的条件下,X的条件分布为1
P(X|Y=1)X
2/31/30324随机变量X,Y的独立性离散型随机变量X,Y
独立的充要条件是对一切i,j=1,2,…
都有pij=pi(1)•
pj(2)如上例:随机变量X,Y不相互独立。即:
P(X=
x
i
,Y=
y
j
)=P(X=
x
i)
P(Y=
y
j
)(i,j
=
1,2,
)因:
P(X=1,Y=1)=0P(X
=1
)=1/4,P(Y=1
)=1/4P(X=1,Y=1)
P(X
=1
)
P(Y=1
)第12页,共33页,2024年2月25日,星期天二维连续型随机变量第13页,共33页,2024年2月25日,星期天定义2.7:设二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x
,
y)。
如果存在非负可积函数f(x,y),使得2.6.3二维连续型随机变量则称(X,Y)为二维连续型随机变量,f(x,y)
称为(X,Y
)的联合概率密度函数,或简称联合密度。1联合密度函数二维连续型随机变量的联合密度的基本性质(1)f(x,y)
0
x
,
y
R(2)第14页,共33页,2024年2月25日,星期天给出联合密度f(x,y)
后,事件{(X,Y)
G}的概率都可用二重积分表示,然后化为累次积分计算
OxyabG
1(x)
2(x)当G为长方形时,OxyabGcd将“<”改为“
”上式仍然成立。例:(均匀分布)设二维随机向量(X,Y)具有概率密度:
f(x,y)
=c,(x,
y)
G
0,其他求:常数c
解第15页,共33页,2024年2月25日,星期天例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度:
f(x,y)
=ce
-3(x+y),0<
x<+,0<
y<+
0,其他求:(1)常数c
;(2)联合分布函数F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域G
内的概率。解OxyG11x+y=1c=9(2)当0<
x<+
,0<
y<+
时当x,
y不都大于0时=(x,y)
xyo第16页,共33页,2024年2月25日,星期天求:(1)常数c
;(2)联合分布函数F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域G
内的概率。例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度:
f(x,y)
=ce
-3(x+y),0<
x<+
,0<
y<+
0,其他解:(3)Oxy1y=1-x1x1-x001第17页,共33页,2024年2月25日,星期天设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为f(x,y),则其边缘分布函数为若记则显然fX(x)
0,并且对任意实数x,都有fX(x)是X的密度函数,称fX(x)是(X,Y)关于X的边缘密度函数。把称为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。2边缘密度函数求:边缘密度函数
例:设(X,Y)具有概率密度:
f(x,y)
=9e
-3(x+y),0<
x,y<+
0,其他解:边缘密度函数
当x
0时当x>0时
fX(x)
=3e
-3x,0<
x<+
0,其他
fY(y)
=3e
-3y
,0<
y<+
0,其他第18页,共33页,2024年2月25日,星期天例:已知随机向量(X,Y)服从圆形区域G
上的均匀分布,其密度函数为0,其他求:边缘密度函数f
x(x)和f
y(y)。解:关于X
的边缘密度函数为同理,关于Y
的边缘密度函数为当
x>R时当
xR时0x>R0y>R第19页,共33页,2024年2月25日,星期天二维正态分布若二维连续型随机向量(X,Y)的联合密度为其中
1,
2,
1>0,
2>0
,|
|<1均为常数,则称(X,Y)服从参数为
1,
2,
1,
2,
的二维正态分布,记作(X,Y)~N(
1,
2,
12
,
22
,
)。可求出边缘密度函数为:表明,二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。
X~N(
1,
12
)
Y~N(
2,
22
)
第20页,共33页,2024年2月25日,星期天称为在Y=y条件下X
的条件分布(或条件密度函数)。3条件密度函数称为在X=x条件下Y的条件分布(或条件密度函数)。设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为f(x,y),边缘密度函数为fX(x),fY(y)
第21页,共33页,2024年2月25日,星期天解:0其他例:设(X,Y)~f(x,y)=求:条件密度函数
f(x|y),
f(y|x)0其他0其他对于满足
y
<R的固定值y,f
Y
(y)>0,则:0其他0其他对于满足
x
<R的固定值x,f
X
(x)>0,则:第22页,共33页,2024年2月25日,星期天4连续型随机变量的独立性设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为f(x,y),边缘密度函数为fX(x),fY(y),若f(x,y)=fX
(x)fY(y),则X,Y独立例:设(X,Y)~f(x,y)=判断X,Y是否独立0其他解:0其他0其他f(x,y)fX(x)fY(y),则X,Y不独立例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度:
f(x,y)
=9e
-3(x+y),0<
x<+
,0<
y<+
0,其他
fX(x)
=3e
-3x,0<
x<+
0,其他
fY(y)
=3e
-3y
,0<
y<+
0,其他f(x,y)=fX
(x)fY(y),则X,Y独立第23页,共33页,2024年2月25日,星期天例:因为随机变量X
与Y
独立,所以对任意实数x,y都有设随机变量X
与Y独立,且都服从正态分布,其密度函数为求:(X,Y)
的联合密度函数。解:(X,Y)~N(
1,
2,
12,
22
,0)
此例说明:若XN(
1,
12),YN(
2,
22),且X与Y独立,则(X,Y)N(
1,
2,
12,
22
,0);若(X,Y)N(
1,
2,
12,
22,0),则X
与Y独立。所以,二维正态随机变量X
与Y独立的充要条件是
=0。第24页,共33页,2024年2月25日,星期天2.6.5二维随机变量函数的分布若存在二元函数z=g(x,y),使得对二维随机变量(X,Y)的每一取值(x,y),随机变量Z
的相应取值为z=g(x,y),则称随机变量Z是随机变量(X,Y
)的函数,记作Z=g(X,Y)。由(X,Y)
的分布求出Z=g(X,Y)的分布呢?
例:
Z=X+Y结论:当随机变量X
与Y独立,边缘分布唯一确定联合分布.定理2.3当随机变量X
与Y独立,则g(X)与h(Y)独立.第25页,共33页,2024年2月25日,星期天例:对一块长方形的土地进行测量,用随机变量X与Y
分别表示其长与宽的测量值。已知(X,Y)的联合分布如表6,求土地的面积Z
的概率函数。因为Z=X•Y,所以Z的可能取值是20,20.4,21,21.42。解:于是,Z
的概率函数如表7所示。2020.42121.420.20.30.40.1ZP表7
P(Z=20)=P(X=5,Y=4)=0.2
Y
X544.20.20.4表65.10.30.1
P(Z=20.4)=P(X=5.1,Y=4)=0.3
P(Z=21)=P(X=5,Y=4.2)=0.4
P(Z=21.42)=P(X=5.1,Y=4.2)=0.11二维离散型随机变量函数的分布第26页,共33页,2024年2月25日,星期天例:已知(X,Y
)
的联合分布如表求Z=X+Y
的概率函数。因为Z=X
+Y,所以Z
的可能取值是1,2,3,4,5解:于是,Z
的概率函数如表所示。123450.10.250.270.380ZP表7
P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.110Y
X00.020.180.20.050.20.150.10.11232
P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.15+0.1+0.02=0.27P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2)=0.2+0.18=0.38P(Z=5)=P(X=2,Y=3)=0第27页,共33页,2024年2月25日,星期天例:若随机变量X与Y
相互独立,它们都取非负整数值,概率函数分别为
P(X=k)=a
k(k=0,1,2,…)
P(Y=k)=b
k(k=0,1,2,…)求Z=X+Y
的概率函数。解:(r
=0,1,2,…)
此即求独立离散型随机变量和的分布的公式,称为离散型独立随机变量和的卷积公式,亦称为褶积公式。=a
0br+a
1br-1+…+a
rb0第28页,共33页,2024年2月25日,星期天例:设随机变量X与Y
相互独立,X~B(n,p),Y~B(m,p)求Z=X+Y
的分布。因为X~B(n,p),Y~B(m,p
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