2022-2023学年湖北省孝感市汉川市八年级（下）期中数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年湖北省孝感市汉川市八年级（下）期中数学试卷

1.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.V6B.V-5C.V8D.y/~a

2.下列各组数中，能构成勾股数的是（）

A.1,1,y/~2B.1,口,2C.6,8,10D.5,12,15

3.平行四边形ABC。中，乙4=50。，则NB的度数是（）

A.40°B.50°C.130°D.150°

4.设一个直角三角形的两直角边分别是a,b,斜边是c.用一把最大刻度是的直尺，可

以一次直接测得c的长度，则小匕的长可能是（）

A.a=5,b=12B.a=6,b=8C.a=4.b=10D.a=3,b=11

5.下列命题的逆命题成立的是（）

A.平行四边形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直

C.矩形的对角线互相平分且相等D.对顶角相等

6.等式Va?—4a+4=2—a成立的条件是（）

A.a>2B.a<2C.a>—2D.a<-2

7.如图，AB=BC=CD=DE=EF=1,AB1BC,AC1CD,AD1DE,AE1EF,则

AF的长为（）

A.yTZB.GC.2D.y/~5

8.如图，在菱形ABC。中，连接AC,4B=4C,点E、尸分别是4B、BC上的点，且AE=BF,

连接AF、CE交于点、H,连接。”交AC于点。.则下列结论：®AF=CE；②NCHF=60。；

③O”平分N4HC；④若48=1,则S英唱“口=今.其中正确的个数是（）

D

o.

A.4B.3C.2D.1

9.要使根式QTG有意义，那么x的取值范围是.

10.已知一个直角三角形的两直角边的长分别为6c加，8cm那么这个直角三角形斜边上中

线的长为cm.

11.己知。、方为两个连续整数，且a<C<b,则a+b=.

12.如图，数轴上点A表示的数为“，化简a+Va?-4a+4=.

13.如图，已知04=OB,NC=90。，OC=1,BC=2.数轴上点A表示的数是

14.如图，在平行四边形ABC。中，以点4为圆心，AB的长为

半径画弧交AO于点E,再分别以点8、E为圆心，大于：BE的

长为半径画弧，两弧交于点儿连接4月并延长交BC于点儿

连接EF,AF与BE相交于点。，如果BE=8,AB=5,那么四

边形AEFB的面积为.

15.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾

股数：3,4,5；5,12,13：7,24,25；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差

为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；

若此类勾股数的勾为2血（血>3,m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）.

16.如图，RtZkABC中，ZC=90°,AC=4,BC=6,。是AB的中点,

P是8c边上的一动点，贝iJPA+PD的最小值为.

17.计算：

(1)2<T7-3>^3;

(2)2>Tl8x4+

N2

18.如图，在4x4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设顶点在格点上的三角形为

格点三角形，按下列要求画图.

(1)请你在网格图中画出边长为=24，BC=<T0>力C=的格点三角形;

(2)判断△ABC的形状，说明理由，并求出△ABC的面积.

19.如图，在△ABC中，点。，E,F分别是AB,AC,8c的中点，连接。E,BE,FE.

(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；

(2)若NBEC=90。，BC=8,求四边形8OE尸的周长.

20.春天到了，奇奇和妙妙一同去春游.如图，有一座景观桥AB,他俩一同坐在离桥头A100〃?

的凉亭。处，准备从桥的不同方向到达景点C.奇奇先走到桥尾B到岸边后再坐船到景点C,

妙妙先走到桥头4到岸边，再沿与桥AB垂直的小路AC走200,〃到达景点C,若距离均以直

线计算，且两人所经过的距离相等，请利用所学知识计算桥AB的长是多少？

21.学习完《二次根式》后，思思发现了下面这类有趣味的试题，请你根据她的探索过程,

解答下列问题：

(1)具体运算，发现规律：

①7471=«2+IJ(A-I)=

②口:c=(c+W)君-C)=C-C；

=(2+A)^Z<3)=2—G

计算』=——;

(2)观察归纳，写出结论：qn+；+,n=:(n21且〃为正整数)

(3)灵活运用，提升能力：

计算：((£?+思本+熹+…+审熹克丽)('■痴+1〉

22.如图1,在硬纸板平行四边形ABC。中，过点。作CEJ.BC于点E,沿。E剪下AOEC,

平移至△4尸B处.

图I图2

(1)四边形AOEF的形状为；

(2)已知AD=10,平行四边形A8CO的面积为60.在⑴中的四边形ADE尸的EF边上取一点M,

使EM=8,如图2,剪下AOME,平移至AAHF处，拼成四边形4HM0.

①求证：四边形A"加力是菱形；

②求四边形AHMD的两条对角线的长.

23.如图1,在矩形ABCD中，点£为对角线AC上的一点(不与点A重合),将△ADE沿射线

AB方向平移到△BCF的位置，点E的对应点为点凡过点E作EG〃BC,交FB的延长线于点G,

连接4G.

DCDC

(1)求证：△EGAWABCF；

(2)求证：四边形ACFG是平行四边形；

(3)如图2,连接CG,若48=4,BC=2,当CF最小时，则CG的长为.

24.如图，矩形A8C。中，CD=4,NCBD=30°.一动点P从B点出发沿对角线8。方向以

每秒2个单位长度的速度向点。匀速运动，同时另一动点。从。点出发沿QC方向以每秒1

个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.

设点P、Q运动的时间为/秒(t>0).过点P作PE1BC于点E,连接£Q,PQ.

(1)求证：PE=DQ；

(2)四边形PEQQ能够成为菱形吗？如果能，求出相应的/值；如果不能，说明理由.

(3)当r为何值时，APQE为直角三角形？请说明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A,/石是6的算术平方根，6>0,所以一石是二次根式，选项4正确，符合题意;

B,<^5，-5<0,无意义，故厂^不是二次根式，选项B错误，不符合题意；

C,弼=2不是二次根式，选项C错误，不符合题意；

D,厂5,没有明确a的范围，存在a<0的情况，不能保证广有意义，故，々不是二次根式，选

项。错误，不符合题意；

故选：A.

利用二次根式的定义进行筛选即可.

本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：A、不是正整数，

这一组数不能构成勾股数，不符合题意；

B、不是正整数，

・•.这一组数不能构成勾股数，不符合题意；

C、-：62+82=102,

・•.这一组数能构成勾股数，符合题意；

。、•••52+122丰152,

二这一组数不能构成勾股数，不符合题意；

故选：C.

根据勾股数的定义进行逐一判定即可：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为

勾股数.

本题考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的概念.

3.【答案】C

【解析】解：因为平行四边形A8C。中，AD//BC,

••Z-B+Z-A=180°,

:.Z.B=180°-50°=130°.

则的度数是130。.

故选：C.

根据平行四边形的对边平行，同旁内角互补即可求解.

本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质.

4.【答案】B

【解析】解：A、：a=5,b=12,

.■-c>b>10,斜边长超过直尺最大刻度，不能直接测量，不符合题意；

B、•：a=6,b=8,

c=Va2+b2=10,可以直接测量，符合题意；

Cs•••a=4,b=10,

.■.c>b=10,斜边长超过直尺最大刻度，不能直接测量，不符合题意；

D'''a=3,b=11,

.•.c>b>10,斜边长超过直尺最大刻度，不能直接测量，不符合题意；

故选：B.

斜边能被一把最大刻度是10cm的直尺，直接测得长度，那么斜边c的长度不能超过直尺的最大刻

度，且要是有理数，据此求解即可.

本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟知直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的

平方是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：A、逆命题：对角线相等的四边形是平行四边形，根据对角线互相平分的四边形是平

行四边形判定，故此逆命题不成立，不符合题意；

3、逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，根据对角线垂直且平分的四边形是菱形，故此逆命

题不成立，不符合题意；

C、逆命题：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此逆命题成立，符合题意；

。、逆命题：相等的角是对顶角，而相等的角不一定是对顶角，故此逆命题不成立，不符合题意；

故选：C.

根据菱形、平行四边形、矩形，对顶角的性质分别判断得出即可.

本题考查了菱形、平行四边形、矩形，对顶角的性质，熟练掌握性质，正确写出逆命题是解题的

关键.

6.【答案】B

［解析］解：丫Va2-4a+4=2-a，

J(a-=2-a,J(a_2尸=|a-2|=2—a

•••|a—2|=2—a,

CL-2WO,

-a<2,

故选：B.

根据二次根式的性质可得、a2-4a+4=|a-2|=2-a，由此可得a-2WO,据此求解即可.

本题主要考查了化简二次根式，正确得到|a-2|=2-a是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：在RtAABC中，AB=BC=1,NB=90。，

•••AC=VAB2+BC2=「，

同理4。=VAC2+CD2=y/~3,AE=VAD2+DE2=2，AF=VAE2+EF2=V-5，

故选：D.

利用勾股定理先求出AC,再求出4力，进而求出4E即可求出AF的长.

本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：•.・菱形ABC。，AB=AC,

:.AB=AC=BC=CD=DA,

・•.△ABC是等边三角形，

・・・/,EAC=Z-FBA=60°,

EA=FB

•・•Z.EAC=乙FBA=60°,

AC=BC

EAC^LFBALSAS),

・・・AF=CE,

故①正确；

•・•△E4cg△FBA(SASy

・•・Z-ACE=Z-BAF,

vZ-CFH=Z.ACE+MAH,

:.Z.CFH=Z.EAH+Z.CAH=Z.BAC=60°,

故②正确；

过点A作4M1BC于点、M,

•••△4BC是等边三角形，AB=1,

：.BM=CM=^BC=\,AM=J/_(y=?,

•••S菱形ABCD=BC.AM=与,

故④正确;

AD

•.•菱形ABC。，AB=AC,

•••AB=AC=BC=CD=DA,BC//DA,

••.△4BC是等边三角形，AEAC=AFBA=60"

•••Z.EAC=乙FBA=/.ADC=Z.ACD=Z.DAC=60°,

•••乙FHC=^LADC=60",

•••4、H、C、。四点共圆，

4AHD=^ACD=MHD=/.CAD=60°,

故QH平分乙4HC；

故③正确；

故选：A.

根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆计

算判断即可.

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点

共圆，熟练掌握相关知识是解题的关键.

9.【答案】x<1

【解析】解：由题意可知：1一尤20,

**,X1,

故答案为：x<1.

根据二次根式有意义的条件即可求出答案.

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础

题型.

10.【答案】5

【解析】解：一个直角三角形的两直角边的长分别为65b8cm,

则斜边长为d@+82=10cm,

斜边上中线的长为¥=5cm,

故答案为：5.

根据勾股定理求出斜边长，再根据斜边中线等于斜边一半求解即可.

本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练运用勾股定理求出斜

边长，利用斜边中线的性质求解.

11.【答案】5

【解析】解：K7<9,

•••2<C<3.

•••a、6为两个连续整数，

••a=2,b=3,

a+b=2+3=5.

故答案为：5.

先估算出门的取值范围，得出。，6的值，进而可得出结论.

本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意求出a,h的值是解答此题的关键.

12.【答案】2

【解析】

【分析】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握|a|.

根据|a|进行二次根式化简，再去绝对值合并同类项即可.

【解答】

解：原式=a+|a—2|=a+2-a=2,

故答案为：2.

13.【答案】+

【解析】解：•••。4=OB,4c=90。，OC=1,BC=2,

■■OA=OB=VI2+22-A/-5；

•••点A在原点左侧，表示负数，

故点A表示的数是-仁.

故答案为：—亏.

根据勾股定理计算04=OB=V12+22=C，结合数轴的意义计算数即可.

本题考查了勾股定理，数轴上表示数，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

14.【答案】24

【解析】解：根据题意，可知AF是/BAE的平分线，AB=AE,

•.Z.EAF=Z.BAF.

•・•四边形A8CQ是平行四边形，

・・・BF//AE,

，Z.EAF=Z.AFB,

:.Z.ABF=乙BAF,

:.AB=BF,

・•・AE=BF.

vBF〃AE,

・•・四边形ABFE是平行四边形.

vAB=BF,

・•・四边形A8FE是菱形，

・•・BO=；BE=4,AF=2A0,BE1AF.

在Rt△48。中，AO—>JAB2—BO2=V52-42=3»

:.AF=6,

二四边形ABFE的面积是-BE=6x8xj=24.

故答案为：24.

根据尺规作图的步骤可知A尸是NBAE的平分线，再证明四边形AEF8是菱形，然后根据勾股定理

求出A0,最后根据菱形面积公式求出答案即可.

本题主要考查了尺规作角平分线，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，求菱形的

面积等，判断四边形ABFE是菱形是解题的关键.

15.【答案】m2+l

【解析】解：Tm为正整数，

•••2巾为偶数，设其股是。，则弦为a+2,

根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2,

解得Q=m2—1,

・,・弦为Q+2=Tn?-1+2=加2+1；

故答案为：m2+1.

根据题意得2m为偶数，设其股是内则弦为a+2,根据勾股定理列方程即可得到结论.

本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

16.【答案】3，石

【解析】解：如图：作点。关于直线8c的对称点。，连接4力，交BC于点、P,点P即为所求作

的点，DD'交BC于点、E,

iB

^DE=D'E,PD=PD',

•・・。是43的中点，

BA2

•・•AC1BC,DE1BC,

:.DD'"BC,

••・△BDEs^BAC,

・BD__BE_DE_1

：，~BA='BC=~AC=29

.5E_DE_1

•・TnT-5'

:.BE=3,DE=2,

:.EC=BC-BE=6—3=3,D'E=DE=2,

r

vDD//ACf

・•.△ED'Ps^CAP,

..&=史

CACP

,2_EP

A4-3-EP'

解得EP=1,

■.PC=EC-EP=3-1=2,

•••PD'=VEP2+D'E2=Vl2+22=V-5-

AP=VAC2+PC2=742+22=2”，

AD'=AP+PD'=2AT5+V-5=3门，

PA+PD=PA+PD'=3门，

故答案为：3，亏.

作点。关于直线BC的对称点。，连接40',交BC于点P,点P即为所求作的点，交BC于点

E,首先根据相似三角形的判定与性质，即可求得QE=Z)'E=2,EP=1,CP=2,再根据勾股

定理即可求解.

本题考查了最短路径问题，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确找到

点尸的位置是解决本题的关键.

17.【答案】解：(1)2^^7-3/3

=2x3c-3AT3

=6c-3c

=3A/-3.

,—Fl―「

(2)2<^8X45+3^^^+q

Ii,—

=2x4x18x+3xV12-T-3

=8x34-3x2

=30.

【解析】(1)先化简二次根式，再合并即可；

(2)先利用二次根式乘除法则计算，再合并即可.

本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式混合运算的法则进行计算.

18.【答案】解:(1)如图所示.

(2)△ABC是直角三角形，理由如下：

V(2。)2+(y/~2)2=(AHL0)2-

AB2+AC2=BC2,

••.△ABC是直角三角形，

SXABC=]X2yl2XV~2-2,

△4BC的面积为2.

【解析】(1)根据勾股定理，可得2。是2x2正方形的对角线，中是lx3矩形的对角线，门

是1x1正方形的对角线，画出图形，即可解答；

(2)计算三边长的平方，根据勾股定理可得△ABC是直角三角形，再进一步计算面积，即可解答.

本题考查了作图-应用与设计，勾股定理，理解题意是解题的关键.

19.【答案】(1)证明：•・•点。，E分别是AB,AC的中点，

DE是△ABC的中位线，

DE//BC,

同理可证Efy/BD,

.••四边形8CEF为平行四边形；

(2)解：ABEC=90°,点F是8c的中点，

•••EF=^BC=BF=4,

又•.•四边形8OEF为平行四边形，

.••四边形BDEF为菱形.

四边形8OEF的周长=4x4=16.

【解析】(1)根据三角形中位线定理分别证明。E〃8C,EF//BD,即可证明四边形BOEF为平行

四边形；

(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EF=^BC=BF=4,进而证明四边形

BDEF为菱形,再由菱形周长公式求解即可.

本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的判定，三角形中位线定理，直角三角形的性质，

灵活运用所学知识是解题的关键.

20.【答案】解：设桥AB长为x%,则BD=(X—100)m,由题可知，AD+ACBD+BC,

/.100+200=x—100+be,

桥尾

凉亭。

桥九4

景点C

•1•BC=(400—x)m,

为直角三角形，

.-.AB2+AC2=BC2,

：./+2002=(400-X)2,

解得：x=150,

答：桥AB长150m.

【解析】设桥AB长为xm,贝IJBD=Q-100)m,利用两人所经过的距离相等，求得BC=(400-

x)m,在RtA/lBC中，利用勾股定理列式计算即可求解.

本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键.

21.【答案】V-6—y/~SVn+1—V-n

【解析】解：(1)-

vb十V5

故答案为：/石-，石；

(2)根据题中的规律，可得y“+：+G=-q.

故答案为：Vn+1-V-ns

1111._____

(3)(^=——+-=~=+----=+-­•+/_..)(<^024+1)

\T2+1O+>T22+0V2024+，2023

={yH.-1+…+AT2024-V2023)(72024+1)

=(V2024-1)(，2024+1)

=2024-1

=2023.

(1)根据二次根式运算法则化简即可；

(2)按照题中规律，即可解答；

(3)运用(2)中的规律，先化简前一个括号中的式子，再根据平方差公式计算，即可解答.

本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化类，分母有理化，发现式子中的规律是解题的关键.

22.【答案】矩形

【解析】(1)解：•.•四边形ABCZ)是平行四边形，

AD//BC,

由平移可知：AF//DE,

四边形AOE尸是平行四边形，

DE1BC,

乙DEB=90°,

二四边形AQEF为矩形，

故答案为：矩形.

(2)①证明：•.•在硬纸板平行四边形ABCD中，AD=10,平行四边形ABC。的面积为60,

ADxDE=10DE=60,DE=6,

•••△2HF是由△"ME平移得到，

AH//DM,AH=DM,

••・四边形AHMD是平行四边形，

在Rt△CEM中，DM=VDE2+EM2=V62+82=10=AD.

••.平行四边形AHWO是菱形.

②解：如图，连接AM,DH,

HFME

图2

在Rt△4FM中，FM=EF-EM=10-8=2,

AM=VAF2+FM2=762+22=

在Rt△OEH中，HE=MH+EM=10+8=18,

•••DH=VDE2+HE2=V62+182=

••・四边形AHMD的两条对角线的长分别为2cU、6口石.

(1)根据平行四边形的性质及平移的性质即可得到四边形AOE尸是平行四边形，根据DE1BC即可

判断出四边形AOEk为矩形；

(2)①根据平行四边形的性质及平移的性质即可得到四边形AHMD是平行四边形，根据线段AD的

长度及平行四边形ABC。的面积即可求出OE的长度，根据EM的长度及勾股定理即可求出DM

的长度，即可得到4D=DM,即可判断出结论成立；②在RtA/lFM中根据勾股定理即可求出AM

的长度，在Rt△CEH中根据勾股定理即可求出HD的长度，即可得到答案.

本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，平移的性质等知识点，熟练掌握

其性质是解决此题的关键.

23.【答案】红詈

【解析】(1)证明：由平移可知：AE=BF,AE//BF,

••Z-ACB=乙FBC,

vEG//BC,

•••Z.AEG=Z-ACB.

:.Z-AEG=乙FBC,

vEG//BC,CE//BG.

・•・四边形CEG8是平行四边形，

.・.EG=BC,

在△EGA和中，

(AE=BF

\^AEG=LFBC,

(EG=BC

・•.△EGA^H8"(S4S),

(2)证明：•.,四边形CEG8是平行四边形,

ACE=GB.

vAE=BF,

・•.CE+AE=GB+BF.

AC-GF,

•・•△EGA^LBCF

・••GA=CF

二四边形AC/G是平行四边形.

(3)解：由(1)可得△EGA丝△BCF(SAS),

:.CF=DE,即当。E取最小值时，C尸才取最小值,

vAB=4,BC=2,乙ABC=90",

AC=VAB2+BC2=2底,

当CEL4c时，OE取最小值，

11

■■■S^ACD=^AC-DE=^AD-CD,

AC-DE=AD-CD,即2cXDE=2x4，

解得：DE=~^

CF=DE=*，

由(2)可得：四边形ACFG是平行四边形，

・•・GF=AC—2V~~5»

•・,NF=Z.DEA=90°,