2023-2024学年河北省邯郸市鸡泽县高一年级下册第一次月考数学试题（含答案）

2023-2024学年河北省邯郸市鸡泽县高一下册第一次月考数学试题

一、单选题

1.给出下列物理量：①密度：②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是（）

A.①②③是数量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是数量，①③⑤是向量

C.①④是数量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量，③⑥是向量

【正确答案】D

【分析】根据向量的定义即可判断.

【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；

速度、位移既有大小又有方向，是向量.

故选：D.

【正确答案】D

根据棱台定义，上下底面平行且相似，侧棱延长交一点，逐项判断，即可得出结论.

【详解】4,C都不是由棱锥截成的不符合棱台的定义故选项A,C不满足题意；

8中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故选项B不满足题意；

。符合棱台的定义.

故选:O.

本题考查棱台的判断，注意棱台与棱锥的关系，属于基础题.

3.下列命题中正确的是（）

A.若；；、了都是单位向量，则a=b

B.若AB=DC，则A、B、C、。四点构成平行四边形

c.若力0且浮。町〃最

D.AB与朋是两平行向量

【正确答案】D

【分析】按照向量的概念及共线向量依次判断四个选项即可.

【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故“=6不一定成立；选项B中A、B、C、£）四

点可能共线，不能组成四边形；

选项C中当人=0时，：、:为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量.

故选：D.

4.等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何

体的表面积为（）

A.y/2nB.血兀或（1+>/5）兀

C.2及兀D.2〃兀或（2+近）兀

【正确答案】B

【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.

【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为r=l,高为〃=1,

母线就是直角三角形的斜边/=户彳=正，

故所形成的几何体的表面积S="/+"2=7rxlxa+7txl2=（1+0）兀；

如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高R=变，

2

两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，即母线长是乙=1,

故所形成的几何体的表面积S=2nRL=2TTX—xl=07t,

2

综上所述，所形成几何体的表面积是&兀或（1+a）兀.

故选：B.

5.在平行四边形488中，E为BC的中点，记AE=n，DE=b，AC=（）

【正确答案】c

【分析】以AB、AO为基底表示AE、£>E，从而解出A8、AD，即可求得AC.

【详解】AE^AB+BE^AB+-AD=a,DE=DC+CEAH--AD=b,

22

两式联立得，AD=a-b，AB=*,

2

1O1

所以AC=AO+A8=a-6+—（<7+b）=」a——b.

2、122

故选：C.

6.一平面四边形048c的直观图040C如图所示，其中OC_L乂轴，AB_L犬轴，B'C'//y'

轴，则四边形0A8C的面积为（）

A.辿B.3应C.3D.-

22

【正确答案】B

【分析】结合图形可得A'?=2,则可得四边形A'QC'O'面积，后可得四边形04BC的面积.

【详解】设丫,轴与AF交点为。，因洋CJLV轴,ASLf轴，则0V〃AB',又洋C〃y'

轴，则四边形OZ>*C'为平行四边形，故£>夕=OC=l.XZxW=45°,结合48UV

轴，则D4'=CM'=1,故45=2.

13

则四边形A'ffC'ty面积为］X（l+2）xl=2,因四边形A'B'C'C/面积是四边形OABC的面积的

@倍，则四边形0A8C的面积为3&.

7.平面向量0与b相互垂直，已知a=(6,-8),忖=5,且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则

h=()

A.(-3T)B.(4,3)C.(-4,3)D.«—3)

【正确答案】D

【分析】先设出向量6的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义

求解即可.

【详解】设6=*,y)

a±a"/?=0,6x-8y=0,①，

W=Jw+y：=5,②，

。与向量(1，0)夹角为钝角，.1xcO，③，

fx=~4

由①②©解得「..-./?=(-4,-3),

[)，=-3

故选：D.

8.在中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且nsinA-csinC=(b-Gc)sinB.若

。是BC边的中点，且4)=4,则/RC面积的最大值为()

A.16B.32-16后

C.64百D.32+166

【正确答案】B

【分析】首先根据题意利用余弦定理得到A=F，根据。是边BC的中点得到

O

AD=\AB+\AC,从而得到16=匕2+1从+且机.，再利用基本不等式求解即可.

22444

【详解】因为asinA-csinC=（Z?-百c）sin3,由正弦定理得/-c?=/一6人。，

所以力2+/_。2=有be,cosA="———=—,

2bc2

TT

因为0cA<兀，所以4=工.

6

112l21.1.2

因为。是边8C的中点，所以AO=-43+-AC,AD=-AB+-ABAC+-AC.

22424

因为A£）=4,ZA=2,所以16=』/+1/+—bc>—bc+—bc=^+^'be,

6444244

所以机W64（2-G）,当且仅当b=c时，等号成立.

所以$A48c=（历sinA416x（2—G）=32-16月，即面积最大为32-16石•

故选：B

二、多选题

9.如图，在菱形ABC。中，ZBAD=l20°,则以下说法正确的是（）

A.与AB相等的向量（不含AB）只有一个

B.与AB的模相等的向量（不含AB）有9个

C.8。的模是。A的模的石倍

D.CB与D4不共线

【正确答案】ABC

【分析】根据向量及相等向量的概念，以及向量模的概念，逐项判定，即可求解.

【详解】因为AB=DC，所以与AB相等的向量只有OC，所以A正确；

与向量AB的模相等的向量有：DA,DC,AC,CB,AD.CD,CA,BC,BA,所以B正确;

在直角△AOD中，因为NAOP=30,所以|OO卜乎阿，所以向卜网网，

所以C正确；

因为C8=D4，所以CB与£）4是共线向量，所以D不正确.

故选：ABC.

10.（多选）下面关于空间几何体的叙述正确的是（）

A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

C.长方体是直平行六面体

D.存在每个面都是直角三角形的四面体

【正确答案】CD

【分析】通过对空间几何体的结构特征辨析可以判断ACD选项，对轴截面理解判断B选项.

【详解】对于A:底面是正多边形，当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，其他

情况不是正棱锥，A错误；

对于B:当平面与圆柱的母线平行或者垂直时，截得的截面才是矩形或圆，否则为椭圆或椭

圆的一部分，B错误；

对于C:长方体的侧棱垂直于底面，各个侧面都是平行四边形，所以长方体是直平行六面体,

C正确；

对于D:正方体48CO-A4Gp中的三棱锥G-ABC,四个面都是直角三角形,D正确.

故选：CD.

11.已知平面向量。=（-2,1）,人=（4,2）,c=（2,r）,则下列说法正确的是（）

A.若3//Z,则f=-lB.若/?_Lc,则/=~4

C.若r=l,则向量a在c上的投影向量为|cD.若则向量b与c的夹角为锐角

【正确答案】AB

【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量a在c上

3

的投影向量为-gc,即C错误；由可得dc>0,但此时向量〃与c的夹角可以为零角

并非锐角，可得D错误.

【详解】若“/无，根据平面向量共线性质可得一=±，即r=-l,所以A正确；

1t

若6_Lc,可得6"c=0,即4x2+2,=0,解得f=—4,所以B正确；

ci»c—44-13

若f=l,c=（2,l）,由投影向量定义可知向量〃在c上的投影向量为『。二球彳。：-]。，

即C错误；

若则b.c=4x2+2/>0,所以8s8Q=箭

但当r=l时，cos9，c）=l，9，c）=0,即此时向量8与0的夹角为零角，所以D错误.

故选：AB

12.在工45c中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,J.tanA+tanB,则下

acosB

列结论正确的是（）

A.A=-

6

B.若。=2,则该三角形周长的最大值为6

C.若,ABC的面积为2,a",c边上的高分别为",4,％,且九质为斗，则产的最大值为24G

D.设=且4）=1,贝l]b+2c•的最小值为电

2b+c7

【正确答案】BCD

【分析】A选项，利用正弦定理和三角恒等变换得到,访0=13即0,从而得到

cosAcosBsinAcosB

tanA=6,求出A=1,A正确；B选项，由余弦定理结合基本不等式求出周长的最值；C

选项，利用三角形面积公式，得到儿=巡，4"4=里=迪，利用余弦定理及基本不

3-abca

等式求出/士疲，从而求出r=萼4246，C正确；D选项，7T变形为

AD=^-AB+-^—AC,两边平方后得到。+2=77,再利用基本不等式“1”的妙用求出

最值.

【详解】A选项，tanA+tanB=卫二，由正弦定理可得：也&+包g=百必£,

4cos3cosAcosBsinAcosB

__sinAsinBsinAcosB+cosAsinBsin(A+8)sinC

ifn।===

cosAcos3cosAcosBcosAcosBcosAcosB

故sinC_73sinC

cosAcosBsinAcosB

因为0<C<兀且cos5位于分母位置，故sinC工。,cos3w。，

所以tanA=6,

又0vAv兀,

所以A=?故A错误；

B选项，由A选项知：A=W，由余弦定理得:

b+c

a2=4=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc>(b+c)2-3

所以（匕+。）2416,Z?+c<4,当且仅当〃二c时等号成立,

此时a+Z?+c46,所以周长的最大值为6,故B正确；

C选项，结合三角形面积公式得;她=2,；力〃2=2,；d%=2,

44464

则4=一,"=7，4,

a~bc~abc

又因为S△郁c=^bcsinA=^bc--==2,所以Z?c=^^,

结合余弦定理得/=/+/一历22机■-秘=当叵，当且仅当6=c时等号成立,

3

所以/?也为=9='8,所以产=粤424公，

~abcaci

所以『的最大值为246，故C正确;

对于D选项，因为8。=—^BC,gpAD-AB=—^(AC-AB

2b+c2Z?+c'

2bc

AD=——AB+—^—AC,

c+2bc+2b

4/721.2M/72A/)2J1

两边平方并化简得IA。|2=1=2+2+2X

(C+2〃)2(c+2勿2(c+2322

即(c+2Z?)2=7/?-2,c+2Z?=\[lbcy7+—=5/7,

bc

当且仅当b=c时取等号，所以h+2c的最小值为蛀，故D正确.

7

故选：BCD.

方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有

关的范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，

或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值

三、填空题

13.已知△ABC的平面直观图是边长为。的正三角形，那么原AA8C的面积为

［正确答案］亚/##逊

22

【分析】根据原图和直观图的关系求得原图的面积.

【详解】直观图如下图所示，A'UC是边长为。的正三角形，0'是8c的中点,

A'O'1B'C',过A'作A'D〃8'C',交。轴于W,

由于Nx'O'y'=45。，所以△©DO是等腰直角三角形，

所以O'C=-,O'A'=A'D'=—a,O'D'=—a.

原图如下图所示，则三角形ABC的高等于0。=2O'D'=瓜a,

所以三角形A8C的面积为=迈片

22

故等

14.己知向量”，b满足卜|=血，忖=3,且“，8的夹角为45。，贝!jRa-4=

【正确答案】不

【分析】=，结合数量积的公式代入数据计算即可.

【详解】因为向量“，。满足卜卜血,什=3,且。,匕的夹角为45。,

所以12a-W=J（2a-b）=^48-4x0x3x等+9=忖

a-4。为+/7

故非

15.在平行四边形ABC。中，点E满足OE=—2无，且。是边AB中点，若AE交。。于点

M.S.AM=AAB+juAD,贝必+〃=

【正确答案】|

uuiruuinuuimuuu/inmuuir、uum7llLUH4"3uun7uun

【分析】由已知可得AW=AD+OM=4O+OE+EM=A£）+-£>C+—E4=-AO+-AB

\f3777

可得答案.

【详解】在平行四边形ABC。中，点E满足。七=_2及，且。边A8中点,

DEEM4uuir4ULr

所以E是边OC离近C的三等分点，可得会=芸=?,EM』A,

AOMA37

liuirUllBlLlllLIlUllD/UUIUUUIT\

所以AM=AQ+DW=AO+（DE+EM）

uu®7uuur4uir

=AD+-DC+-EA

37

uum7Ulffl4uunuuw7ULB4/UUUI皿叫

=AO+—A3——AE=AD+-AB——AD+DE

3737V/

3uun2uun

——A。+—A3又4M=2.AB+juAD,

所以

故答案为q

O

AB

M

16.已知圆锥的顶点为A,过母线AB,AC的截面面积是2石.若AB,AC的夹角是60,且

AC与圆锥底面所成的角是30,则该圆锥的表面积为.

【正确答案】(6+4石卜

【分析】画出圆锥几何体，数形结合可知二ABC是等边三角形，求出AC,再由直角AOC求

出圆锥底面半径，最后用圆锥的表面积公式即可解得结果.

【详解】如图所示，A8,AC的夹角是60,AB=AC,:.ABC是等边三角形，

:.-XAC2=2-J3,解得AC=2夜.

4

AC与圆锥底面所成的角是30°,

.二圆锥底面半径r=OC=ACeos30=2\[2x^-=瓜.

2

则该圆锥的表面积=^x(#)2+Lx2〃xnx2&=(6+4G);r.

2

故答案为.(6+46卜

四、解答题

17.在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为百的圆柱，求圆柱的表面积.

【正确答案】（2+2⑹兀

【分析】由已知中底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为6的圆柱，可计算出

圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案.

【详解】解：设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为，表面积为S,

底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=26，

则圆柱的上底面为中截面，可得厂=1,

25底=2兀，S侧=2y/in,

.•.5=（2+26）兀.

本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题

的关键.

18.（1）已知G，e?是两个不共线的向量，向量a=q+2e2，b=3e「5e],求4“-3A（用

e2表示）.

（2）设a,b是不共线的两个非零向量.若8a+筋与+2b共线，求实数&的值.

【正确答案】（1）一5q+23e2；（2）*=±4.

【分析】（1）由平面向量的线性运算求解即可；

（2）由平面向量的共线定理求解即可

【详解】（1）Va=e,+2e2,1=3g-5（，

4a—3b=4（e1+2e,）—3（3q—5e,）=—5q+23e,；

（2）由“，人不共线可知h,+2）为非零向量，而8a+妨与版+2。共线，

所以存在唯一实数4,使得8a+妨=2（垢+25）=痴+2肪，

因为“，人不共线,

8=成

所以

k=22’

解得k=+4

19.如图所示，底面半径为1,高为1的圆柱。«中有一内接长方体ABGA-ABCO,设

矩形ABCD的面积为S,长方体A8CQ-4BC。的体积为匕AB=x,

（I）将S表示为x的函数;

（2）求V的最大值.

【正确答案】（l）S=xH而（0<x<2）；

(2)2.

【分析】（1）连接AC,求出BC=F巨，即得解；

（2）求出丫的解析式，再利用二次函数图象性质求解.

【详解】（1）连接AC,因为矩形ABCO内接于。0,

所以AC为。。的直径.

因为AC=2,AB=x,

所以3C=j4-x2,

所以S=AABC=X，4-X2（0<：X<2），

(2)因为长方体的高AA=1,

所以V—S-A4,=x14_x2=yjx"(4_=J_(*2_2)+4,

因为0<x<2,所以0<d<4,

故当丁=2即》=拒时，丫取得最大值，此时k=2.

20.已知向量a=(-1,3),6=(1,2).

⑴求£力；

(2)求囚-耳及“在6上的投影向量的坐标；

⑶(。-mb)_L。，求机的值.

【正确答案】(1)5

⑵12a叫=5,0在/，上的投影向量的坐标为(1,2)

(3)机=2

【分析】(1)根据数量积的坐标运算即可；

(2)根据向量坐标的线性运算求解2a-6的坐标，即可得囚一耳；按照投影向量的定义列式

求解即可；

(3)由向量垂直得数量积为零，进行计算即可得〃?的值.

【详解】(1)已知向量〃=(一1,3),〃=(1,2),所以a.6=-lxl+3x2=5;

(2)\2a-b\=|2(-1,3)-(1,2)|=|(-3<4)|=7(-3/+42=5,

又血上的投影向量的坐标为同cos«,%=芦力=/。,2)=(1,2)

(3)因为(a-〃?b)_La,所以(”一，油)=4。奴=+3?-5m=0,解得加=2.

21.NBC中