线性方程组解题归纳

关于线性方程组解题归纳题型一线性方程组解的基本概念1.如果α1、α2是下面方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何？第2页,共45页，2024年2月25日，星期天解：因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)=r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换易见仅当a=-2时，r(A)=r(Ab)=2＜3，故知a=-2。第3页,共45页，2024年2月25日，星期天2.设A是秩为3的5×4矩阵，α1、α2、α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T,3α1+α2=

（2，4，6，8）T,求方程组Ax=b的通解。第4页,共45页，2024年2月25日，星期天解:因为r(A)=3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4-r(A)=1个向量构成，又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2）=2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T,是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,由A（α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4（α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，故Ax=b的通解是第5页,共45页，2024年2月25日，星期天3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，-5，13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组的三个解，求此方程组的通解。第6页,共45页，2024年2月25日，星期天分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。解：A是3×4矩阵，r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T,η2=ξ2-ξ3=(8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量，于是4-r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。第7页,共45页，2024年2月25日，星期天总结：不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。第8页,共45页，2024年2月25日，星期天题型2线性方程组求解4.矩阵B的各行向量都是方程组的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系？若不能，这4个行向量是多了还是少了？若多了如何去掉，少了如何补充？第9页,共45页，2024年2月25日，星期天解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量α1=（1，-2，1，0，0）T,α2=(1,-2,0,1,0)T,Bα3=(5,-6,0,0,1)T,B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2，B中线性无关的行向量只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。第10页,共45页，2024年2月25日，星期天1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解；2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论⑴参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组有无穷多解；（2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程组有唯一解。题型3含参数的线性方程组解的讨论第11页,共45页，2024年2月25日，星期天一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解；二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解：1.初等行变换法2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。第12页,共45页，2024年2月25日，星期天5.设线性方程组（1）证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解；（2）设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T，β2=（1，1，-1）T是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。第13页,共45页，2024年2月25日，星期天解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。（2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为X=c(β2-β1)+β1。（c为任意常数。）第14页,共45页，2024年2月25日，星期天6.设n维向量组α1，α2，α3（n≥3）线性无关，讨论：当向量组aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3线性相关时，方程组的解，且当有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示其通解。第15页,共45页，2024年2月25日，星期天解：（aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3）

=

因为α1，α2，α3线性无关，所以向量组

aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3线性相关的充要条件是即b(a2-1)=0所以b=0或a=±1第16页,共45页，2024年2月25日，星期天方程组的增广矩阵（Ab）=(1)当a=1，b≠0时，方程组无解；（2）当a=-1，b≠0时，方程组唯一解；（3）当b=0，a≠1时，方程组唯一解；（4）当a=1，b=0时，方程组有无穷多解。第17页,共45页，2024年2月25日，星期天此时：取x3为自由未知量第18页,共45页，2024年2月25日，星期天题型4线性方程组的公共解、同解问题情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组的所有非零解，即为所求。第19页,共45页，2024年2月25日，星期天6.设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ），求：（1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系；（2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。第20页,共45页，2024年2月25日，星期天解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α2=（0，0，1，0）T；同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T，α4=(-1,0,1,1)T(2)将方程组Ⅰ和Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：第21页,共45页，2024年2月25日，星期天将其系数矩阵进行初等行变换得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为

X=k（-1，1，2，1）T,k取全体实数。第22页,共45页，2024年2月25日，星期天情况2.仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。第23页,共45页，2024年2月25日，星期天7.已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是α1=（1，2，5，7）T,α2=(3,-1,1,7)T，α3=（2，3，4，20）T，

Β1=（1，4，7，1）T，

β2=（1，-3，-4，2）T。求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。第24页,共45页，2024年2月25日，星期天解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k1α1+k2α2+k3α3与λ1β1+λ2β2，令其相等得到k1α1+k2α2+k3α3=λ1β1+λ2β2即第25页,共45页，2024年2月25日，星期天于是（k1,k2,k3,λ1，λ2）T=t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T即k1=-3t/14,k2=4t/7,k3=0,λ1=t/2,λ2=t于是可得λ1，λ2的关系为λ1=t/2=λ2/2，将此关系式代入通解即为所求的公共解为λ1β1+λ2β2=（λ2/2)β1+λ2β2=（λ2/2)(β1+2β2)=（λ2/2)(3,-2,-1,5)T，=λ(3,-2,-1,5)T，其中λ=λ2/2为任意实数。第26页,共45页，2024年2月25日，星期天情况3已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组，求其非零公共解：常将通解代入另一方程组，求出通解中任意常数满足的关系，即求出通解中独立的任意常数，再代回通解，即得所求的非零公共解。简言之：已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。第27页,共45页，2024年2月25日，星期天8.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)′+k2(-1,2,2,1)′.(1)求齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系;(2)问方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解;若没有，则说明理由.第28页,共45页，2024年2月25日，星期天解：1）由所以以x2,x3为自由未知数可得基础解系（2）令第29页,共45页，2024年2月25日，星期天则可得：即所以有公共解第30页,共45页，2024年2月25日，星期天题型5与AB=0有关的问题已知矩阵A，求矩阵B使AB=0，此类问题常将B按列分块，B=(b1,b2,….bn)，将列向量bi视为Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B的部分列向量，B的其余列向量可取为零向量。第31页,共45页，2024年2月25日，星期天题型5与AB=0有关的问题例9设求一个4×2矩阵B使

AB=0，且r(B)=2.第32页,共45页，2024年2月25日，星期天解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=o的解向量。显然r(A)=2，未知量的个数是4，因而Ax=o的基础解系含有2个解向量，于是如果求出Ax=o的基础解系，以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B。为此对A进行初等行变换得基础解系α1=（1，5，8，0）T,α2=(0,2,1,1)T令B=(α1,α2),则B即为所求。第33页,共45页，2024年2月25日，星期天题型6已知基础解系反求其齐次线性方程组法1：解方程组法（1）以所给的基础解系为行向量做矩阵B，（2）解Bx=0，求出其基础解系；（3）以（2）中所得基础解系中的向量为行向量作矩阵，该矩阵即为所求的一个矩阵A.第34页,共45页，2024年2月25日，星期天法2

初等行变换法以所给的线性无关的向量作为行向量组成一矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形矩阵，再写出Bx=0的一个基础解系，以这些基础解系为行向量组成的矩阵，就是所求的齐次线性方程组的一个系数矩阵A，从而求出了所求的一个齐次线性方程组Ax=0.第35页,共45页，2024年2月25日，星期天例10写出一个以X为通解的齐次线性方程组。第36页,共45页，2024年2月25日，星期天解：法1.令α1=（2，-3，1，0）T，α2=（-2，4，0，1）T，以α1Tα2T为行向量作矩阵B，只需写出Bx=0的一个基础解系β1=（1,0,-2,2）T,β2=(0,1,3,-4)T,则所求齐次线性方程组的系数矩阵为A，第37页,共45页，2024年2月25日，星期天所求的一个齐次线性方程组为Ax=0,即第38页,共45页，2024年2月25日，星期天法2

把所给通解改写为由上式易知所求方程组有两个自由未知数X3和x4和两个独立变量x1，x2，且对应的方程组为即第39页,共45页，2024年2月25日，星期天题型7抽象线性方程组求解1.已知系数矩阵A的秩，求Ax=0的通解:

为求Ax=0的通解，必先由A的秩明确一个基础解系含多少个解向量，然后设法求出这些解向量。