2024年北京市高级中学等学校八年级数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024年北京市高级中学等学校八年级数学第二学期期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列说法错误的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线相等的平行四边形是矩形2．如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（）A．32 B．16 C．8 D．103．如图，在平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是（）A．3 B．4 C．5 D．2.54．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（)A． B． C． D．5．已知正比例函数y＝（m﹣8）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（）A．m≥8 B．m＞8 C．m≤8 D．m＜86．若，，则代数式的值为A．1 B． C． D．67．下列说法正确的是()A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．对角线相等的菱形是正方形8．如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE:AF=2:3，ABCD的周长为20，则AB的长为（）A．4 B．5 C．6 D．89．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（）A． B． C． D．10．在某市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，其中错误的是（）A．这次比赛的全程是500米B．乙队先到达终点C．比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快D．乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在直角坐标系中，正方形、的顶点均在直线上，顶点在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为____，点的坐标为__________．12．已知在同一坐标系中，某正比例函数与某反比例函数的图像交于A，B两点，若点A的坐标为（-1,4），则点B的坐标为___.13．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为________．14．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．15．如图所示，△ABC中，AH⊥BC于H，点E，D，F分别是AB，BC，AC的中点，HF=10cm，则ED的长度是_____cm．16．不等式组的整数解有_____个．17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，线段DE交边BC于点F，连接BE．若∠C+∠E＝150°，BE＝2，CD＝2，则线段BC的长为_____．18．如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，延长BC至E使BE=BA，过点B作BD⊥AE于点D，BD与AC交于点F，连接EF．(1)求证：△ACE≌△BCF.(2)求证：BF=2AD，(3)若CE=2，求AC的长．20．（6分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．21．（6分）如图，在中，分别是边上的点，连接，且．求证:；如果是的中点，，求的长，22．（8分）观察下列各式：①，②；③，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．23．（8分）（1）如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN，则线段AM与AN的关系．（2）如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，判断BE，DF，EF三条线段的数量关系，并说明理由．（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BD=5，EF=3，求四边形BEFD的周长．24．（8分）计算：（1）（2）（﹣1）2﹣（﹣）（+）25．（10分）如图，直线y=3x与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（1，m）和点B（1）求m，k的值，并直接写出点B的坐标；（2）过点P（t，0）（-1≤t≤1）作x轴的垂线分别交直线y=3x与反比函数y=kx（k≠0）的图象于点E，F①当t=13时，求线段EF②若0＜EF≤8，请根据图象直接写出t的取值范围．26．（10分）如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF，求证：BE//FD．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】

根据正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理判断即可．【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故正确；B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误；C、对角线相等的菱形是正方形，故正确；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故正确；故选：B．【点睛】本题考查了正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．2、B【解析】

利用三角形中位线定理知DF=AC；然后在直角三角形AHC中根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可将所求线段EH与已知线段DF联系起来了．【详解】解：∵D、F分别是AB、BC的中点，

∴DF是△ABC的中位线，

∴DF=AC（三角形中位线定理）；

又∵E是线段AC的中点，AH⊥BC，

∴EH=AC，

∴EH=DF=1．

故选B．【点睛】本题综合考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．3、D【解析】

由▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，易证得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形，则可求得BC的长，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=90°，∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠DCE=∠BCE=∠DCB，∴∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∠EBC+∠ECB=90°，∴AB=AE，CD=DE，∴AD=BC=2AB，∵BE=4，CE=3，∴BC=，∴AB=BC=2.5.故选D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意证得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形是关键．4、D【解析】

根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5、D【解析】

根据正比例函数的性质，首先根据图象的象限来判断m﹣1的大小，进而计算m的范围.【详解】解：∵正比例函数y＝（m﹣1）x的图象过第二、四象限，∴m﹣1＜0，解得：m＜1．故选：D．【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，根据一次函数的一次项系数的正负确定图象所在的象限.6、C【解析】

直接提取公因式将原式分解因式，进而将已知数值代入求出答案．【详解】，，．故选：．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．7、D【解析】

利用菱形的判定、平行四边形的判定、正方形的判定及矩形的性质逐一判断即可得答案.【详解】A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项错误，B.矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故该选项错误，C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该选项错误，D.对角线相等的菱形是正方形，正确，故选D.【点睛】此题主要考查了菱形的判定、正方形的判定、平行四边形的判定及矩形的性质等知识，对角线互相垂直的平行四边形是菱形以及四条边相等的四边形是菱形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线相等的菱形是正方形；熟练掌握相关判定方法及性质是解题关键．8、A【解析】

根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

∴BC+CD=10÷1=10，

根据平行四边形的面积公式，得BC：CD=AF：AE=3：1．

∴BC=6，CD=4，

∴AB=CD=4，

故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，平行四边形的一组邻边的比和它的高的比成反比．9、D【解析】试题分析：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．故选D．考点：函数的图象．10、C【解析】

由横纵坐标可判断A、B，观察图象比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的图象在甲图象的下面可判断C，由图象得乙队在1.1至1.9分钟的路程为300米，可判断D．【详解】由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是500m，故选项A正确；由横坐标可以看出，乙队先到达终点，故选项B正确；∵比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的图象在甲图象的下面，∴乙队的速度比甲队的速度慢，故C选项错误；∵由图象可知，乙队在1.1分钟后开始加速，加速的总路程是500-200=300（米），加速的时间是1.9-1.1=0.8（分钟），∴乙与甲相遇时，乙的速度是300÷0.8=375（米/分钟），故D选项正确．故选C．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与实际应用，观察图象理解图象中每个特殊点的实际意义是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】

先求出点、的坐标，代入求出解析式，根据=1，（3,2）依次求出点点、、、的纵坐标及横坐标，得到规律即可得到答案.【详解】∵（1,1），（3,2），∴正方形的边长是1，正方形的边长是2，∴（0,1），（1,2），将点、的坐标代入得，解得，∴直线解析式是y=x+1，∵=1，（3,2），∴的纵坐标是，横坐标是，∴的纵坐标是，横坐标是，∴的纵坐标是，横坐标是，∴的纵坐标是，横坐标是，由此得到的纵坐标是，横坐标是，故答案为：（7,8），（，）.【点睛】此题考查一次函数的定义，函数图象，直角坐标系中点的坐标规律，能根据图象求出点的坐标并总结规律用于解题是关键.12、(1,−4)【解析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．【详解】∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，

∵一个交点的坐标为(−1,4)，

∴它的另一个交点的坐标是(1,−4)，

故答案为：(1,−4).【点睛】本题考查反比例函数图象的对称性，解题的关键是掌握反比例函数图象的对称性.13、1【解析】试题分析：根据勾股定理得到AE==1，由平行线等分线段定理得到AE=BE=1，根据平移的性质即可得到结论．∵∠C=90°，AD=DC=4，DE=3，∴AE==1，∵DE∥BC，∴AE=BE=1，∴当点D落在BC上时，平移的距离为BE=1．考点：平移的性质14、2【解析】

如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝215、1【解析】

分析中先利用直角三角形的性质，然后再利用三角形的中位线定理可得结果．【详解】∵AH⊥BC，F是AC的中点，

∴FH=AC=1cm，

∴AC=20cm，

∵点E，D分别是AB，BC的中点，

∴ED=AC，

∴ED=1cm．

故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点：三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是基础知识较简单．16、3【解析】

首先解每个不等式，把解集在数轴上表示出来即可得到不等式组的解集，然后确定解集中的整数，便可得到整数解得个数.【详解】，解不等式得：，解不等式得：，不等式的解集是，则整数解是：，共个整数解.故答案为：.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分.解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.17、2【解析】

过C作CM⊥DE于M，过E作EN⊥BC于N，根据平行四边形的性质得到BC∥AD，根据平行线的性质得到∠BFE=∠DFC=∠ADE，根据旋转的性质得到∠BFE=∠DFC=∠ADE=60°，推出∠DCM=∠EBN，根据相似三角形的性质得到CM=BN，DM=EN，得到FM=BN，设FM=BN=x，EN=y，则DM=y，CM=x，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过C作CM⊥DE于M，过E作EN⊥BC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BFE＝∠DFC＝∠ADE，∵将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，∴∠BFE＝∠DFC＝∠ADE＝60°，∴∠FCM＝∠FBN＝30°，∵∠DCF+∠BEF＝150°，∴∠DCM+∠BEN＝90°，∵∠BEN+∠EBN＝90°，∴∠DCM＝∠EBN，∴△DCM∽△EBN，∴＝＝，∴CM＝BN，DM＝EN，在Rt△CMF中，CM＝FM，∴FM＝BN，设FM＝BN＝x，EN＝y，则DM＝y，CM＝x，∴CF＝2x，EF＝y，∵BC＝AD＝DE，∴y+x+y＝2x+y+x，∴x＝y，∵x2+y2＝4，∴y＝，x＝，∴BC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18、【解析】

根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，同理可得且，且，然后证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．【详解】解：还应满足．理由如下：，分别是，的中点，且，同理可得：且，且，且，四边形是平行四边形，，，即，是菱形．故答案是：．【点睛】本题考查了中点四边形，其中涉及到了菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半得到四边形的对边平行且相等从而判定出平行四边形是解题的关键，也是本题的突破口．三、解答题(共66分)19、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)2+2.【解析】

（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC，∠FCB=∠ECA=90°，由于AC⊥BE，BD⊥AE，根据垂直的定义得到∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，由于∠CFB=∠AFD，于是得到∠CBF=∠CAE，证得△BCF≌△ACE；（2）由（1）得出AE=BF，由于BE=BA，BD⊥AE，于是得到AD=ED，即AE=2AD，即可得到结论；（3）由（1）知△BCF≌△ACE，推出CF=CE=2，在Rt△CEF中，EF=CE2+CF2=2，由于BD⊥AE【详解】(1)∵AC⊥BC，BD⊥AE∴∠FCB=∠BDA=90°∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°∵∠CFB=∠AFD∴∠CBF=∠CAE∵AC=BC∴△ACE≌△BCF(2)由(1)知△ACE≌△BCF得AE=BF∵BE=BA，BD⊥AE∴AD=ED，即AE=2AD∴BF=2AD(3)由(1)知△ACE≌△BCF∴CF=CE=2∴在Rt△CEF中，EF=CE2∵BD⊥AE，AD=ED，∴AF=FE=2，∴AC=AF+CF=2+2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．20、（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.【解析】

（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=CF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.21、见解析；【解析】

（1）根据两角对应相等两个三角形相似即可得证．（2）根据点E是AC的中点，设AE=x，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出x的值．【详解】证明:．由知点是的中点，设，解得(不和题意舍去)．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．22、（1）；（2）；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；

（2）根据规律写出含n的式子即可；

（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．试题解析：(1)(2)(3)故答案为(1)23、（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．理由见解析；（2）BE+DF=EF；（3）四边形BEFD的周长为1．【解析】

（1）利用正方形条件证明△ABM≌△ADN，即可推出结论,（2）过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G,证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解题,（3）过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解题.【详解】（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠ADN=∠BAD=90°，∵BM=DN，∴△ABM≌△ADN，∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，∴∠AMN=∠BAD=90°，∴AM⊥AN，（2）如图②中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°．∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．∴∠BAE=∠DAG．在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG．∴AE=AG，BE=DG．∵∠EAF=45°，AG⊥AE，∴∠EAF=∠GAF=45°．在△FAE和△FAG中，，∴△AEF≌△AGF．∴EF=FG．∵FG=DF+DG=DF+BE，∴BE+DF=EF．（3）如图③中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°∴∠ABE=∠ADG，∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EA