正方形的性质与判定完整

关于正方形的性质与判定完整情景一新知探究第2页,共86页，2024年2月25日，星期天情景一新知探究第3页,共86页，2024年2月25日，星期天情景一新知探究第4页,共86页，2024年2月25日，星期天情景一新知探究第5页,共86页，2024年2月25日，星期天情景一新知探究第6页,共86页，2024年2月25日，星期天情景一新知探究第7页,共86页，2024年2月25日，星期天情景一新知探究第8页,共86页，2024年2月25日，星期天

创设情景☞情景一问题:

从这个图形中你想到了什么？第9页,共86页，2024年2月25日，星期天菱形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？新知探究第10页,共86页，2024年2月25日，星期天ABCD情景二新知探究第11页,共86页，2024年2月25日，星期天ABCD情景二新知探究第12页,共86页，2024年2月25日，星期天ABCD情景二新知探究第13页,共86页，2024年2月25日，星期天ABCD情景二新知探究第14页,共86页，2024年2月25日，星期天ABCD情景二新知探究第15页,共86页，2024年2月25日，星期天ABCD情景二新知探究第16页,共86页，2024年2月25日，星期天ABCD情景二新知探究第17页,共86页，2024年2月25日，星期天ABCD情景二新知探究第18页,共86页，2024年2月25日，星期天ABCDAB情景二当CD移动到位置，且时，此时的图形还是矩形吗？2图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）1问题第19页,共86页，2024年2月25日，星期天邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形新知探究第20页,共86页，2024年2月25日，星期天两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等四边形平行四边形矩形菱形回忆如何在平行四边形的基础上来定义正方形第21页,共86页，2024年2月25日，星期天平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角给正方形下个定义定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形第22页,共86页，2024年2月25日，星期天菱形矩形平行四边形正形方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系

正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。第23页,共86页，2024年2月25日，星期天菱形性质矩形性质正方形的性质=第24页,共86页，2024年2月25日，星期天回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列平行四边形矩形(所特有)菱形(所特有)边角对角线图形的对称性对边平行且相等四条边相等对边平行且四条边相等对角相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形图形性质分类正方形类比归纳第25页,共86页，2024年2月25日，星期天对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,

又是中心对称图形.=菱形性质矩形性质正方形的性质第26页,共86页，2024年2月25日，星期天性质边角对角线对称性图形语言

文字语言

符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等

四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形中心对称图形第27页,共86页，2024年2月25日，星期天二、正方形的性质的应用例1、如图，正方形ABCD中，（1）一条对角线把它分成

个全等的三角形。问：这些三角形是什么三角形？（2）两条对角线把它分成

个全等的

三角形。24等腰直角ABDCO（3）对角线AC与正方形的一边所成的角为

度。45第28页,共86页，2024年2月25日，星期天例2、如图，正方形ABCD中，ABDCO

正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC=

。8√2cm第29页,共86页，2024年2月25日，星期天试一试，相信你很棒！1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角C2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的周长为

,对角线长为

,面积为

.8cm3.正方形的对角线和它的边所成的角是

度.45°4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长为

，面积为

。5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF=

。5cmABCDFPEO第30页,共86页，2024年2月25日，星期天例求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,即∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO(SAS)第31页,共86页，2024年2月25日，星期天ADCBO

正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论:结论：

分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD

；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.第32页,共86页，2024年2月25日，星期天

你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是正方形有哪些方法？）第33页,共86页，2024年2月25日，星期天正方形矩形有一组邻边相等菱形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等图形之间的变化关系第34页,共86页，2024年2月25日，星期天平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法第35页,共86页，2024年2月25日，星期天判断四边形是正方形有哪些方法？１、先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等．２、先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角．３、先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，并且一个角是直角。（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）（邻边相等的矩形是正方形）（有一个角是直角的菱形是正方形）第36页,共86页，2024年2月25日，星期天①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。第37页,共86页，2024年2月25日，星期天巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？四个角都相等的四边形是正方形；()四条边都相等的四边形是正方形；()对角线相等的菱形是正方形；()对角线互相垂直的矩形是正方形；()对角线垂直且相等的四边形是正方形;()四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.()√√√×××第38页,共86页，2024年2月25日，星期天

已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ例题教学123证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=∠BCD=90°；AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）又∵AE=BF=CG=DH∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF即BE=AH=DG=CF∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．

∴EH=EF=FG=GH

∴四边形EFGH是菱形又∵

∠3+∠2=90°且∠1＝∠3∴

∠1+∠2=90°∴∠EFG=90°

∴四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）．第39页,共86页，2024年2月25日，星期天练习.如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四边的中点。你知道四边形EFGH的形状吗？为什么？ＡＢＣＤＥＦＧＨ第40页,共86页，2024年2月25日，星期天请发表你的见解，谈谈你的收获！第41页,共86页，2024年2月25日，星期天对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等性质正方形菱形矩形平行四边形图形小结√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√第42页,共86页，2024年2月25日，星期天知识拓展:与同学讨论后填写下表：边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形几种特殊四边形的性质对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边都相等对边平行，四条边都相等对角相等，邻角互补

四个角都是直角对角相等，邻角互补

四个角都是直角对角线互相平分对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角中心对称图形轴对称图形、中心对称图形轴对称图形、中心对称图形轴对称图形、中心对称图形第43页,共86页，2024年2月25日，星期天5种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结第44页,共86页，2024年2月25日，星期天挑战自我第45页,共86页，2024年2月25日，星期天√√√×(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形（）√快速反应判断题:第46页,共86页，2024年2月25日，星期天（6）正方形一定是矩形．（）（7）正方形一定是菱形．（）（8）菱形一定是正方形．（）（9）矩形一定是正方形．（）

(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形．（）√√√××（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴()(13)四个角都相等的四边形是正方形()(14)四条边都相等的四边形是正方形()×××第47页,共86页，2024年2月25日，星期天正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等. BD选择题:第48页,共86页，2024年2月25日，星期天3、下列命题正确的是（）

A、四个角都相等的四边形是正方形

B、四条边都相等的四边形是正方形

C、对角线相等的平行四边形是正方形

D、对角线互相垂直的矩形是正方形D第49页,共86页，2024年2月25日，星期天

4．四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D平行四边形

5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是：（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

B．AD∥BC∠A＝∠C

C．AO＝CO

BO＝DO

AB＝BCD．AC＝BD

CA第50页,共86页，2024年2月25日，星期天6．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形

A第51页,共86页，2024年2月25日，星期天1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为

cm。

ABCDEGF7.5试一试第52页,共86页，2024年2月25日，星期天

4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=

,

正方形的面积S=______.

练一练2246365.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、

BD相交于点O，且AC＝6cm，面积S=________.则边长AB＝______,

第53页,共86页，2024年2月25日，星期天5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（）⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（）⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（）⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（）⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（）菱形矩形矩形矩形正方形第54页,共86页，2024年2月25日，星期天如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？ABCDE解：BE=DE.因为对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点，所以BE=DE第55页,共86页，2024年2月25日，星期天已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。求证：△ABO≌△BCO≌△CDO≌△ADO

例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。第56页,共86页，2024年2月25日，星期天

3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要证明BM＝CN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等?

MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。你能完成证明吗???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°

条件够吗？

还需要的条件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：第57页,共86页，2024年2月25日，星期天例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。证明：∴OA－OM＝OB－ON∴OM＝ON∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°又∵MN∥AB∠1＝∠2＝∠3＝45°∴OA＝OBAB=BC∵四边形ABCD是正方形即：AM=BN∴△ABM≌△BCN∴BM=CN第58页,共86页，2024年2月25日，星期天例3、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。ABCDEF∴四边形ABCD是正方形（)∴DE=DF()DE⊥AC，DF⊥BC∵CD平分∠ACB∴四边形ABCD为矩形()而∠ACB=90°∴∠DEC=90°，∠DFC=90°证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB有三个角是直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形第59页,共86页，2024年2月25日，星期天4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°

分析：欲证∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证_____=_____要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?

试一试看能不能完成证明???△CMD≌△ADF第60页,共86页，2024年2月25日，星期天例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，

求证：∠MFD＝45°证明：∴DM=DF∴Rt△CDM≌Rt△ADF

(AAS)又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠∴∠1＝∠2∵∠CMD＝∠AME∴∠ADC＝∠AEM＝90°∵CE⊥AF四边形ABCD是正方形∴∠MFD＝45°第61页,共86页，2024年2月25日，星期天1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。

求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

练一练第62页,共86页，2024年2月25日，星期天2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。

求证：∠CEA＝∠ABG

证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。

∴AE＝AB

AG＝AC∠1＝∠2＝90°

又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∴∠EAC＝∠BAG

∴△AEC≌△ABG

(SAS)

∴∠CEA＝∠ABG第63页,共86页，2024年2月25日，星期天3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？D`C`B`A`DCBAABCDEFG4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。第64页,共86页，2024年2月25日，星期天ABDCFE5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。第65页,共86页，2024年2月25日，星期天6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)第66页,共86页，2024年2月25日，星期天1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）课外拓展：第67页,共86页，2024年2月25日，星期天

如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）

请你当设计师第68页,共86页，2024年2月25日，星期天

1已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，如图(2)。

求：AC的长及正方形的面积S。

EFG矩形EFCG的周长。第69页,共86页，2024年2月25日，星期天第70页,共86页，2024年2月25日，星期天6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠EAO=150，求∠BOE的度数。OABCDE第71页,共86页，2024年2月25日，星期天7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。ABCDEPF第72页,共86页，2024年2月25日，星期天8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN第73页,共86页，2024年2月25日，星期天8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN第74页,共86页，2024年2月25日，星期天9、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E，①求证：四边形ADCE是矩形。②当△ABC满足什么条件时，四边形

ADCE是正方形，说明理由。ABCEMND第75页,共86页，2024年2月25日，星期天10、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC第76页,共86页，2024年2月25日，星期天11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N。（1）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP●●第77页,共86页，2024年2月25日，星期天思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于MN，试判断线段AM于BN之间的关系.探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。第78页,共86页，2024年2月25日，星期天探究四：

如图，有两