【中考数学】2024届九年级地理论复习《二次函数与菱形综合压轴题》含解析

【中考数学】2024届九年级地理论专题复习

《二次函数与菱形综合压轴题》

典例引领：

例.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的:丫=好+^久+c经过点力(―3,-4)和8(0,-1).

(1)求抛物线的的函数表达式；

(2)将抛物线的向右平移2个单位长度得到抛物线。2,平移后的抛物线与原抛物线的相交于点C,

点£是平面直角坐标系内任意一点，原抛物线的的对称轴上是否存在点。，使得以瓦C,D,E

为顶点的四边形是以BC为边的菱形，若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：(1)、=%2+4%-1

(2)(-2,—1)或(一2八后-1)或(-2,-V6-1)

分析：(1)将点/、8的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

(2)抛物线y=/+4%-1的顶点坐标为(-2,-5),对称轴为直线x=-2,平移后的抛物线为

y=%2-5,可得点C的坐标为(一1,-4),设点。坐标为(-2,。，分BC为菱形的边、菱形的的

对角线两种情况，分别求解即可.

解：(1)解：将点/、8的坐标代入抛物线表达式得「4；2二：。+0，

解得d，

故抛物线的表达式为：y=x2+4x-1；

(2)抛物线的表达式为：y=/+4久一1=0+2/一5,

则平移后的抛物线表达式为：y=/—5,

联立上述两式并解得：［二］；，

故点C(—1,—4).

设点D(-2即)、点E(s,t),而点8、C的坐标分别为(0,-1)、(-1,-4)；

当BC为菱形的边时，

点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B,同样D(E)向右平移1个单位向上平移3个单

位得到£(。)，

即-2+1=$且根+3=t①或一2-1=5且小一3=/<g),

当点。在£的下方时，则BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32③，

当点。在E的上方时，则BD=BC,即22+(爪+1)2=/+32④，

联立①③并解得：s=—l,t=2或一4(舍去一4),

m=t—3=—1,

故点。(-2,-1)；

联立②④并解得：s=-3,t=-4土迷，

=t+3=逐一1或一1一伤，

故点D(-2,V6—1)或(—2,—V6—1);

综上，点。的坐标为：(一2,-1)或(-2,述一1)或(-2,一遥一1).

点睛：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移等，

其中(2),要注意分类求解，避免遗漏.

跟踪训练：

1.如图，抛物线y=ox2+bx+c与X轴交于/(-1,0)>B(3,0),交y轴于C(0,3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)P是直线3C上方的抛物线上的一个动点，设尸的横坐标为3当四边形O2PC的面积S

最大时;

(3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N,直接写出所有符合条件的点

N坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=N-2x-3的图象与x轴交于/、2两点，与y轴交

于点C,点/在点3的左侧

(1)求/、B、C三点的坐标.

(2)过点尸作x轴的垂线，交BC于点、E,过点E作y轴的垂线，求尸£+2跖的最大值以及此

时P点的坐标.

(3)将抛物线沿C8方向平移&个单位，点〃是新抛物线的顶点，点M是平面内一点，若

以/、。、H、M为顶点的四边形是菱形

如图，抛物线y=-^x2+x+4与％轴交于/(点/在点B的左侧)，与了轴交于点C，连接/C,

。为第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作直线。“〃/C,交x轴于点£.

(1)求点4,B,C的坐标，并直接写出直线3c的函数表达式.

(2)在点。运动的过程中，求线段的最大值及此时点。的坐标.

(3)在(2)的条件下，设。是坐标平面内一动点，是否存在这样的点0和点N,使以£>,N,

B,请直接写出点。的坐标；若不存在

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+6x+c经过点/(-1,0),B(-1,0),直线尸吗_

与抛物线交于C、。两点，垂足为G,2。〃>轴

(1)求抛物线的解析式；

(2)当&尸G+P0取得最大值时，求点尸的坐标和加；

(3)将抛物线向右平移空个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点(2)中

4

&PG+P。最大时，直接写出所有使得以点P,M

5.如图，抛物线y=-x2+6x+c与x轴交于点/(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接8C

(不与点C,B重合)，过点P作尸。〃y轴交抛物线于点。.

(1)求抛物线的表达式和对称轴；

(2)设尸的横坐标为3请用含f的式子表示线段的长，并求出线段尸。的最大值；

(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得

最大值时，N,使得四边形尸是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由.

yyy

ccc.

p

ABA

A/,B>

/O\x/O\x/O\x

图i图2备用图

6.综合与探究:

如图，已知抛物线y二浮号x+6与x轴交于/(点N在点8的左边)，与了轴交于点C.直

线5C与抛物线的对称轴交于点及将直线5C沿射线C。方向向下平移〃个单位，平移后的直

(2)当△CD3是以2。为斜边的直角三角形时，求出〃的值；

(3)直线3c上是否存在一点P,使以点。，E,F,P为顶点的四边形是菱形？若存在；若不

存在，请说明理由.

7.如图，抛物线y=ax2+bx+c(存0)与x轴交于4、3两点，与y轴交于点C(0,6),且。(1,

8).

y,

(2)若在线段3c上存在一点M,过点。作O〃_LOM交CB的延长线于〃，且A/O=〃O；

(3)点尸是＞轴上一动点，点0是在对称轴上一动点，是否存在点尸，Q,Q,C,。为顶点

的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐标，请说明理由.

8.如图，已知直线y=鱼x+4与x轴交于点/，抛物线y=aN+6x+4经过C两点，且与x轴的

3

另一个交点为3

(1)求抛物线的表达式；

(2)。是第二象限内抛物线上的动点，设点。的横坐标为加，求四边形/BCD面积S的最大

值及此时D点的坐标；

(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点尸，Q,使以点4C,P,请求出P,。两点的坐

(1)求该抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；

(2)点P是抛物线上一动点(不与/、3重合)，设点尸的横坐标为人

①当点尸在直线3C下方时，如图1,过点尸作尸G〃x轴交直线C2于点G,求线段PG的最

大值；并求此时△PC8面积；

②如图2,直线/尸与y轴交于点尸，其中。/=",请求出所有符合条件的/的值;

(3)若将抛物线向右平移，新抛物线的顶点为N,点。为x轴上一点.若以点M、N、B、Q

为顶点的四边形是菱形

另一个交点为3

(1)求抛物线的表达式；

(2)。是第二象限内抛物线上的动点，设点。的横坐标为相，求四边形面积S的最大

值及此时。点的坐标；

(3)若点P在抛物线对称轴上，点。为任意一点，是否存在点P、Q,C,P,。为顶点的四

边形是以NC为对角线的菱形？若存在，请直接写出尸，若不存在，请说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=工/+/+<?经过点/(-4,0),点M为抛物线的顶

2

点，点3在〉轴上(2,6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接。C,点。是直线NC上不与/、3重合的点，若%囚2=25.这，请求出点。的坐

标；

(3)在x轴上有一动点X,平面内是否存在一点N,使以点/、H、C、N为顶点的四边形是

菱形？若存在，若不存在，请说明理由.

12.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，若点/关于x轴的对称点。在一次函数y=yx+b

的图象上.

(1)求b的值；

(2)若一次函数y=-2x-1与一次函数y=-x交于B,且点B关于原点的对称点为点C.求

过4,B,C三点对应的二次函数表达式；

(3)尸为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点。.

①当四边形尸50c为菱形时，求点尸的坐标；

②若点尸的横坐标为:(-当，为何值时，四边形尸8QC的面积最大？请说明理由.

13.如图1,抛物线y=aN+6x+3交x轴于点/(3,0)和点3(-1,0),交y轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点。是直线/C上方抛物线上一动点，连接8C,和8D,设△4DM的面积为

△BCM的面积为S2,当$-S2=1时，求点D的坐标；

(3)如图2,若点尸是抛物线上一动点，过点P作轴交直线/C于。点，使以P,Q,

E,C为顶点的四边形是菱形，请直接写出点E的坐标；若不存在

0)，点初为抛物线的

顶点，点2在y轴上(2,6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点尸Cm,n)在抛物线上，当-4W—W2时;

(3)连接。C,点0是直线/C上不与/、3重合的点，若&ae=2SAoa,请求出点。的坐

标；

(4)在x轴上有一动点X,平面内是否存在一点N,使以点/、H、C、N为顶点的四边形是

请说明理由.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线＞="2+及+3；与x轴交于点n和C,与了轴交于点

8.点P为直线上方抛物线上一动点，交线段于点已知点/(4,0)

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)求当〃■是P。中点时的尸点坐标;

(3)作PN_L4B,垂足为N,连接尸5

请从下列两个问题中任选一个问题完成.若两个问题都被做了，则按照第一个题给分.

问题①：求PN的最大值;

问题②：求△B48的面积最大值.

(4)连接。当x为何值时，四边形0Mp3为平行四边形？四边形0MPB能为菱形吗？若

能求出尸点坐标，说明理由.

参考答案

1.解：(1)抛物线》=QX2+6X+C与1轴交于4(-1,7),0),3).

a-b+c=8a=-l

:9a+3b+c=6，「・<b=8，

c=3c=3

・•・抛物线的表达式为y=-N+8x+3.

(2)设直线BC的表达式为：y=kx+3f代入B(8,k=-1,

••y—~x+3,

过尸作PQ〃歹轴交5C于点。，设尸(R+2X+3),Q(x,

**•PD=(-x8+2x+3)-(_x+6)=-N+3x,

・二S四边形03尸c=S△尸5cH~品。§。=旦x3二尸Z)+81x3*(-x2+5x)+—x4><3=--x2+—x+——(x-—)

223234226

2+毁，

8

.•.当：=$时，s醐彩oac的最大值=旦3,此时P点的坐标(2,坨).

2824

(3)存在点N,使得以点/、C、M,满足条件的N的坐标为(415百3，7)或(0,3)

A(-4,0),3)A/10，当/C作为菱形的一条边时，N(V10Vl0，8)或(0.

当/C作为菱形的对角线时，设菱形的边长为x,OC=3,OM^AM-OA^x-3,32+(x-8)

・・x=7.

：.N(-5,3).

0=x6-2x-3,

解得x=5或x=-1,

：.A(-1,5),0),

在数y=N-7%-3中，令x=0得>=-8,

：.C(0,-3),

：.A的坐标为(-6,0),0),-7)；

由5(3,0),-7)得直线5c解析式为》=%-3,

设P(冽，m2-3m-3),则石1(m,

:.PE=m-3-(m3-2m-3)=-m5+3m,EF=m,

；・PE+2EF=-m2+3m+2m=-m2+5m=-(m-—)2+-^-,

84

•・•-3<0,

，当机=8时，PE+2跖取最大值空，

54

止匕时机3-2m-3=--,

4

：.P(区,-工);

44

(3)把抛物线y=x4-2x-3=(x-5)2-4沿CB方向平移个单位，再向上平移1个单位,

，新抛物线解析式为y=(x-1-8)2-4+2=(x-2)2-8=x2-4x+3,

新抛物线顶点〃(2,-3),

设。(5,t),〃),

又/(-1,0),

①若HQ,M4为对角线,MA的中点重合,

2+2=m-l

-4+t=n,

,18=9+t2

/_/

m=3]m=7

解得，n=0或，n=-6(H,舍去),

.t=3t=-3

：.M(7,0)；

②若HM,0/为对角线,QA的中点重合,

2%1=2-1

-3+n=t

2

L18=(t+6)

m=-lm=-l

解得-n=8V2或＜n=-6V^,

,t=3V5-3lt=-3V2-3

：.M(-1,3&)或(-b./6);

③若4H,。加■为对角线，0M的中点重合,

’2-1=2加

-3=t+n

.9+t4=(t+3)2

m=-7

解得，n=-3，

t=0

:・M(-6,-3)；

综上所述，M的坐标为(5,4&)或(-1")或(-1.

3.解：(1)令夕=0,

...—1-2+x+4.=4，

4x

解得：X1=-2,X6=4,

，点/(-2,8),0),

令x=0,则y=8,

...点C(0,4),

设直线BC的函数表达式为》=履+6,

把点3(6,0),4)分别代入＞=依+6中

(2k+b=0,

ib=4

解得」kf

lb=4

•••直线8c的函数表达式为夕=-x+4,

即点/(-8,0),0),5)；

(2)如图1,设直线DE交y轴于N,DE于H,

：.NDFM=ZFCO=NCOG,NFDM=ZCND=NOCG,

丛MDFs丛GCO,

•.•-M-D--G-C-,

DFCO

：GC和CO的长为定值，

•••曲为定值，

DF

当。尸的长最大时，的长最大，

设。Cm,—^-m2+m+4-),则点尸(机，

5

：・DF=WnT+in+3+冽一4=-Am2+2m=—~(m-2)日+2,

当加=2时，。方有最大值,

此时点。的坐标为(5,4)

设直线AC的解析式为y=kx+b,

把点/(-2,5),4)代入y=fcv+6求出直线/C的解析式为y=2x+5,

..•直线。河可以看作是直线/C向右平移2个单位，

二直线DM的解析式为y=2(x-7)+4=2%,

由题意得：5x=-x+4,

解得：x=生

7

当x=2■时，7=—»

33

.•.点M(1,g),

83

DM=J(8《),+(41)*=-^/5，

即DM的最大值为看,此时点D的坐标为(2；

(3)存在.

由(2)知点。坐标为(5,4),

又,；点B(4,6),

5£>=V(4-2)6+42=3V5>如图2,DQ=BD=*^,

的坐标为(4+W^，2),Q的坐标为(2-8«,4),当3。作对角线时，2),

如图4,当。。作对角线时,

，点。3的坐标为（8,-4）,

综上所述，。点的坐标为（7,（8+2'而，＜6-275-（4.

4.解：(1)把N(-1,0),B(-L,oy+bx+c,

l-b+c=0

解得：;，

6

I2

••.该抛物线的解析式为尸N--5..

（2）如图1,延长尸。交直线CD于点区

•••直线y=x+」与坐标轴交于E.

：.E（二，6）,工），

22

:.OE=OF=L,

2

ZEOF=9Q°,

：.ZEFO=45°,

〃了轴，即尸0〃EF,

，ZPHG=NEFO=45。,

'JPGLCD,

.•.电=sin/PHG=sin45°=®,

PH2

:.PH=MPG,

设P(f,产--,t+—),3),

282

：.PH=t+--Ct3-—t-鼻2+2什37-3/-&+2当什

22222224

:•近PG+PQ=PH+PQ=-f2+旦什3+(-22+7什里=-2(-4)2+^-,

22222

：-5<0,

...当f=1时，47PG+PQ取得最大值手，点P的坐标为(1；

(3)存在点N,使以点/,P,M,理由如下：

'：A(-8,0)0),

5

•••原抛物线的对称为直线x=3,

8

•••新抛物线的对称轴为：直线x=4,并设对称轴与x轴交于点T；

由(2)知尸(1,-4),

•1•^=V(-l-l)8+[0-(-3)]4二代

设点M的坐标为(4,s),w),

当/尸为菱形的边时，

①以点尸为圆心，/尸长为半径作圆1,MT，过点P作尸轴交直线x=4于点R,如图所示,

此时PR=3,

由勾股定理可得可得，MiR=M1R=2,

:.M\T=5,M2T=5,

：.M4(4,-1),MT,(4,-5),

,：A(-7,0),-3),

•••点A向下平移4个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点P,

...点Mi(2,-1)向上平移3个单位长度6(2,2),

同理可得，外(2,-2)；

②以点/为圆心，/尸长为半径作圆，

,：AT=6,且5>近§,

此圆与直线x=4无交点；此时不存在点N.

当4P为菱形的对角线时，为另一对角线，此时/尸的中点为(5,-3),

2

设MN与直线x=2的交点为法，

:点/(-1,5),-3),

/.直线AP的解析式为：y=-lx-

42

二直线AW的解析式为：j^=—.

36

：.Mi(4,—),

6

由中点坐标公式可知，M(-2,-空).

6

5.解：(1)设抛物线的表达式为：y=-(x-xi)(x-X2),

即y=-(x+4)(x-4)=-x2+8x+4,

则抛物线的对称轴为直线x=-———^=立

3X(-1)6

(2)设直线8C的表达式为：y^kx+4,

将点8的坐标代入上式得：0=34+4,解得：k=-1,

故直线BC的表达式为：y=-x+6,

设点P(f,-什4),-祥+5什4),

则PQ=(-祥+8什4)-(-?+4)=-t5+4t,

V-1<3,故尸。有最大值，

当r=2时，P0的最大值为4；

(3)存在，理由：

当/=4时，点尸(2,

设点M(3,m),0)；

2

:四边形PEW是菱形,

则2尸=5〃，即(4-6)2+26=(4-3)2+m2,

3

解得：加=+1,

一2

即点M的坐标为(3,丘)或(2,-近).

7224

6.解：(1)当歹=0时,--|-X2+|-X+6=0>

解得x=-3或x=8,

：.A(-2,3),0),

当x=0时，y=6,

：.C(0,6),

设直线AC的解析式为y=kx+3,

-2左+6=6,

解得左=3,

・•・直线AC的解析式为y=3x+4,

设直线BC的解析式为y=㈤x+6,

・,・8发+3=0,

解得ie=-3,

7

直线BC的解析式为y=-当+5；

•••抛物线的对称轴为直线x=3,

：.E(8,区)，

4

平移后的直线解析式为尸--j-x+6-n,

：.D(3,-n),

3

；.CD2=9+(„+±)2,BD2=25+(^-n)2,B^lOO,

44

；ACDB是以BC为斜边的直角三角形，

.•.100=9+(〃+且)2+25+(生-")6,

74

解得“=3+8&或n=3-4~/6.

44

(3)存在点P,使以点。，E,F,理由如下：

当4x+6=-—x+6-〃时-^-n,

515

：.F(-且"，-—w+8),

155

当EF、FD为邻边时,

：.ED±FP,

，尸尸〃x轴,

：.P(6+-^-n,-—n+6),

155

-—77+6=-工)+7,

5

解得"=工

2

：.P(8,3)；

当跖为菱形的对角线时，FP//ED,

：.P(-工—n+6),

158

:PE=ED=n,

:.E点向左平移居"个单位3"个单位得到P点,

35

：.P（2-&,尊+斗），

525

解得〃=至，

8

：.P（-乌，红）；

48

综上所述：P点坐标为（8,3）或（-3,至1）.

22

7.解：（1）•抛物线y="2+6x+c（存0）顶点为。，且。（5.

...抛物线解析式为y=a（x-1）2+6,

把点C(0,6)代入得0+8=6,

••6Z=2,

...抛物线的解析式为＞=-2(x-1)2+6=-2x2+7x+6；

(2)''y--2x2+4x+6,令y=82+4x+7=0,

解得x=3或-4,

：.A(-1,0),3),

设直线BC的解析式为y=kx+t,

:直线BC经过点3(3,0),3),

.pk+t=0

"lt=2

解得(k=-2,

lt=6

,直线BC的解析式为y=-7x+6,

设点M的坐标为(m,-2m+8)(0<m<3),

如图8,过点M作轴于点N,

则ZMNO=ZOKH=90°,

"：OHLOM,

：.ZMOH=90°,

'：MO=HO,

：.AMOH是等腰直角三角形，

VZMON+ZKOH=90°,ZOHK+ZKOH^9Q0,

：.ZMON=ZOHK,

:.△OMN"/\HOK(AAS),

：.MN=OK,ON=HK.

：.H(-2加+6,-m),

■1点H(-3冽+6,-m)在直线＞=-2x+8上，

-2(-2m+3)+6=-m,

解得：“=反，

6

把机=旦代入y=-8x+6得：y=后■,

55

...点M的坐标为（旦，殁）；

55

（3）分两种情况讨论：

VC(0,6),3),

CD=4]2+（4-6）2=&，

'.DQ=CD=y[s，

二。点的坐标为（1,2-辰,8+我）;

②当CA为菱形的对角线时，

如图3,设点。（1,P（6,

VC(0,6),5),

加+〃=6+8=14,

14-m.

:・P(6,14-加)，

.*.PC=14-m-6=8-m,

・10*82+3-6)5,PC=CQ,

•'-8-m=Vl2+(m-6)2,

解得：m=—,

8

...点。的坐标为（1,—）；

4

综上所述，点。的坐标为（775）或（1V2）或（1,空■）.

4

8.解：（1）对于丫=言*+3，当x=0时，当y=0时，

3

...点/的坐标为（-8,0）,4）,

:对称轴是直线：x=-5,

=4

9a_3b+c=7a

3

c=4

二有：〈解得：b=V'

—^-=-2

2a

c=4

726,

抛物线的表达式为:y=~x-^x+4；

(2)对于y=—1-乂"--|_>+4，当》=4时，,4X+2=CH=5,切=1,

oOoO

...点5的坐标为(7,1),

又；点/(-3,8),4),

/.OA=3,08=7

...点。的坐标为(m,n),则门二三/-|■In+5，

33

：.OE=-m,DE=n,

.\AE=OA-OE=3-(-m)=m+3,

・・・QEJ_%轴，则四边形。CQE为直角梯形，

811

S四边形加(OC+DE)»OE=y(4+n)•(-m)=-^iun-2m，

OCDE/fD

S

又AADE^AE'DE^(m+3)n=^-nffHyn-SAB0C=^OB'OC=yX6X4=2,

u乙乙乙0乙

••S——S四边形

又

R4-9R99

S吟(Vm吟m+4)-2m+8=-2m-8m+8=-2(m+2.5)+12.5,

Zo0

当机=-1.5时，S为最大，

止匕时n=-^m2《111+4=5

...点。的坐标为(-1.5,6).

(3)存在点尸和点°,使以点/,C,P,理由如下:

:点P在抛物线的对称轴x=-1上，

...可设点P的坐标为：（-1,/）,

•.•以/,C,P,。为顶点的四边形是以NC为对角线的菱形,

:.PA=PC=QA=QC,NC与尸。互相垂直平分，

设直线x=-6与x轴交于点凡过点尸作尸TUy轴，

，CM=3,C0=4,OT=PF=t,

：.AF=OA-0F=4-1=2,CT=OC-07=4-t,

在RtZUP/中，由勾股定理得：PA^PF^+AF6=t?+4,

在RtZXCPT中，由勾股定理得：PC2=PT1+CT2=6+(4—)2

.12+4=1+(6-力2,解得：占

8

二点尸的坐标为（-5,至），

8

设点K的坐标为（XK，>K），

:点K为/C的中点，

•••XK^X（-3+0）=-7.5，Yv-yX（0+4）=3>

设点。的坐标为（XQ,歹0）,

・・•点K为尸。的中点，

5=,X（XQ+1），3^X仇喏），

解得：XQ—~2,=—7—>

二点。的坐标为（-3,号）.

9.解：（1）;抛物线与x轴交于/（1,0）,3）两点,

•••设所求抛物线的函数表达式为y=a（x-5）（x-1）,

把点C(8,5)代入,

解得。=1,

所求抛物线的函数表达式为y=(x-4)(x-1)=/-4X+5=(x-3)8-4,

.•.点M坐标为(3,-8)；

(2)①过点尸作尸轴，交8C于点£,

图1

,:B(5,0),7),

，直线3C的函数表达式为夕=-x+5.

,点尸的坐标为。，修-7什5),

...点£的坐标为(/,-Z+5),

：PG〃x轴，

•■.点G的坐标为(-fi+6t>t2-2t+5),

••PG—XG_xp--t2+2t-t—-fi+5t--(t-—)2+-。」，

23

V-l<0,当片哇时坦，

24

：.P(2，-空)；

24

••PE=yE~yp—(-£+4)-(P—6/+2)=-卢+5/,

S^PBC=—*PE*(XB-xc)——(-祥+5力=-—(/-—)2+125,

22268

•・•-2<0,

.•.当时，S.BC最大值为」•空；

68

@'：OA^OF,A(1,

：.F(6,-1),

，直线/尸解析式为：y=x-l,

如图3,过点2作直线/尸的平行线/i交y轴于点£,

图2

二直线BE解析式为：y=x-5,

：.E(4,-5)

...点E关于点尸的对称点X(0,3),

过点〃作/尸的平行线［2,

..•直线/2解析式为：y=x+7,

直线/1和/2与抛物线的交点即为符合条件的点P,

令炉-6x+5=x-2和N-6x+4=x+3,

解得x=2或x=2(舍)或x=和x=5-V^I

22

综上所述，所有符合条件的/的值为2或垦退L或上返L；

24

(3)'：B(5,0),-8),

:.BM=2芯,

•••。和8都是x轴上的点，N是M平移后的点，

：.QB//MN,且点N在"的右侧，

若点M、N、B、。为顶点的四边形是菱形

z)当点。在点3的右侧时，如图6«,

，新抛物线的表达式为y=(X-8-2V5)2-4；

zz)当点Q在点B的左侧时，如图4,

图4

.'MB中点为(4,-2),

直线Affi解析式为y=2x-10,

设。Qq,2),

:・N(8-g,-4),

♦；MN=QM,

•••6-q-3=V(3-q)4+(-4)2>

解得q=8,

：.N(8,-4),

，新抛物线的表达式为y=(x-4)2-4；

综上所述，满足条件的抛物线解析式为y=(X-7-2V5)4-4或了=G-8)8-4.

10.解：(1)当x=0时，y=4,

：.C(4,4),

当。=0时,-1-x+4=8,

o

••x--~3,

：.A(-3,4),

•・•对称轴为直线工=-1,

：.B(1,2),

「・设抛物线的表达式：y—ci(x-1),(x+3),

.*.2=-3〃，

・.・及二f4

b

..•抛物线的表达式为：y=—(x-7)*(x+3)=-^x2—1-x+4;

367

(2)如图1,

作。于/，交AC于E,

・3237

，D(m,-77111+4)?E(in,—m+4)?

oo

・027

•，-DE=--m-77111+4-

'SzkADCADEQA吟.(Wm2_4m)=-3m2-6ir,

7SAABC号研式二方又4X4=5，

•,S=-2m2-3m+8=-2(m+^)^+^->

•••当m=-|时，S最大普，

当m=-1■时，y=-|-XX(得+3)=5，

ZoDf

5)；

(3)设尸(-7,〃)，

..•以/,C,P,0为顶点的四边形是以/C为对角线的菱形，

；.PA=PC,

即：R42=pc,

：.(-2+3)2+H8=1+(n-4)3,

p(-1>孕)，

o

*.*XP+XQ=XA+XC^yp+yQ=yA+ycf

=?:

•\XQ=-3-(-1)=-8,=4->蓑~^

图1

11.解：(1)把/(-4,0),4)代入y=^x'

+bx+c，

得：p-4b+c=3；

l2+2b+c=7

解得(b=2,

lc=0

，抛物线的解析式为y=^x2+6x；

(2)-：A(-4,0),4),

SAOCA4X8X6=12,

SAOAQ=2SAOCA=24,

设直线AC的表达式为y=kx+d,

将点/(-7,0),6)代入得：<P=-4k+d

(6=6k+d

解得心口,

Id=4

•'•AC的表达式为歹=x+7.

设点。的坐标为(［，9+4),

SAO«4X4|<1+4|=24,

解得g=-16或q=5,

当q--16时，g+4=-12,

当4=8时，q+2=12.

.•.点。的坐标为0（-16,-12）或。（8；

（3）存在一点N,使以点/、H、C,理由如下:

①当/C为菱形的对角线时，如图所示，

由（2）可知，04=08=4,

ZBAO=45°,

：.ZNAO=90°,

，菱形为正方形，

②如图所示，当为菱形对角线时，C,

③，当/N为对角线时，^=^1（2+4）5+（6-0）5=672,

，CN=AC=5值，

...点N的坐标为（2+/，6）或（2-5加，6）.

综上所示，点N的坐标为：N（6+672,7）或6）,6）或N（3.

12.解：（1）：一次函数了=-2x-1与y轴交于点/，点/关于x轴的对称点。在一次函数y='x+b，

・••点A坐标为（0,-4）,

・•・点。坐标为（0,1）,

:点。在一次函数y得X+b的图象上，

5

・•・15xo+b，

:・b=8；

（2）由方程组产-2x7,解得卜=-6,

ly=-xIy=l

点坐标为（-1,7）,

又C点为8点关于原点的对称点，

.••。点坐标为（1,-1）,

:一次函数y=-7x7与y轴交于点/,

：.A点坐标为（0,-7）,

设二次函数对应的函数表达式为y=aN+6x+c,

-l=c

把4B,C三点的坐标分别代入，得，3=a-b+c，

-l=a+b+c

a=l

解得b=-8-

Lc=-1

...二次函数对应的函数表达式为y=x2-x-4；

(3)①当四边形尸2QC为菱形时，PQLBC,

•.•直线3c对应的函数表达式为y=-x,

二直线PQ对应的函数表达式为y=x.

Z

V=X

联立方程组2

Ly=x-x-1

解得卜=8-噌或卜=1+即，

y=l-V7[y=6+v2

...尸点坐标为1飞历)或(3/，1W7)；

②当f=0时，四边形P3QC的面积最大

如图，过P作PD_L3C,过尸作x轴的垂线，

易知S四边形PBQC=2SAPBC=3XyBCPD=BCPD)

:线段3C的长固定不变，

...当PD最大时，四边形尸80。的面积最大，

易知/P£D=N/OC(固定不变)，

...当PE最大时，尸。也最大，

■:P点在二次函数图象上，E点在一次函数y=-x的图象上,

，尸点坐标为(r,-1-1),£点坐标为(/,

:・PE=~t~(F-/-2)=-F+1,

.・・当，=3时，依有最大值1,即四边形尸5QC的面积最大.

13.解：(1)把点/(3,0)和3(-6.9a+3b+6=0

a-b+3=6

=-

解得:al

b=2

二抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

(2)设。(x,y)5+2X+3,令X=5,

：.C(0,3),

：S8-S2=l,

：.S8=S2+1,

S6+SAABM-S2+SAABM+1>即S^ABD=SA0BC+5,

.*._Lx8xy=工，

22

••—•y—3—,

2

-x2+6x+3=—，

4

解得X=1+返>或X=1-亚_；

58

...点。的坐标为(1+亚，工)或(3-巨，1)；

2222

(3)存在，理由如下：

设直线NC的解析式为：y=kx+b',

..J3k+b，=3,

"lby=3

解得,

lby=3

...直线NC的解析式为：y=-x+3；

"：A(3,4),3),

：.OA=OC=3f

：.ZOAC=ZOCA=45°f

此时四边形CEQ尸是正方形.

^PQ=EQ.

设尸（加，-m2+2m+3）,贝!J。（冽，

••PQ-—m2+3m,

-m2+7m=m,解得加=0（不合题意舍去）或加=2,

止匕时OE=OC-m=3-2=1,

：.E（2,1）.

②当。。为菱形的边时，作于点

冲

E、

设P（m,-m2+5m+3）j贝!J0（m,

：.HQ=\m\,PQ=\-m2+4m\,

VZOG4=45°,

:.CQ=®HQ=\®,

CE=PQ=\-/w6+3m|=|V2^|>

解得：加8=3-\反，〃%=3+&或加=6（舍）.

：.Ei（0,5-3扬，E5（0,