东省枣庄市滕州市张汪中学2023-2024学年九年级上学期开学检测 数学试题

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市张汪中学九年级第一学期开

学数学试卷

一、单选题（3*12=36分）

1.如果方程ox2+6x+c=0（aWO）,a+c—b,那么方程必有一个根为（）

A.x=\B.x=-1C.x=0D.x=2

2.如果关于x的一元二次方程b2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是

（）

A.k<]B.kWOC.且无WOD.k>\

3.用配方法解一元二次方程N-8X+2=0,此方程可化为的正确形式是（）

A.（x-4）2=14B.0-4）2=18C.（x+4）2=14D.£+4）2=18

4.已知关于X的一元二次方程N+3x+l=0有两根为XI和X2,则X1X2+XI+X2的值是（）

A.2B.-2C.ID.-1

5.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=5,BC=3,将△BCQ沿8。折叠到△BED位置，DE

交AB于点F,则。尸的值为（）

6.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,对角线AC,相交于点O,E为0。的中

点，连接AE,则△/1a>的面积为（）

7.已知多项式M-N-3x-2,'=/-如+3下列说法正确的个数为（）

①若M=0,则代数式F-1-3-x---的值为n争e；

x-3x-l3

②当“=-3时，代数式M-N的最小值为-14；

③当。=3时，若|M-2N+2|+|M-2N+15|=13,则x的取值范围是:•<x<2・

0

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.一个菱形的边长为5,一条对角线长是6,则该菱形的面积为（）

A.8B.12C.16D.24

9.某商品原价121元，连续两次降价。％后售价为100元，下列所列方程正确的是（）

A.121（1+。％）2=100B.121（1-a%）2=100

C.121（1-2a%）=100D.121（1-a2%）=100

10.如图，四边形ABCO是正方形，以CD为边作等边△CZ）E,8E与AC相交于点则

下列结论中：

①BM=DM；

②/B£C=NMQC=15°；

③NAMZ）的度数是75°；

④△AMBg△AMDg/\EMD.

A.1B.2C.3D.4

11.现定义运算"★":对于任意实数a、b,都有a'kb—dr-2a+h,如3^4=32-2X

3+4,若.d3=6,则实数x的值为（）

A.3或-1B.-3或1C.±2百D.±3

12.关于x的一元二次方程（67-1）x2+x+a2+3a-4=0有一个实数根是x=0,则a的值为

（）

A.1或-4B.1C.-4D.-1或4

二、填空题（4*6=24分）

13.已知关于x的方程/+心-机=。的两个根是0和-2,则%+"的值为.

14.若关于x的方程（m-4）-5=0是一元二次方程，则〃?=.

16.如图，0是矩形A8CZ）的对角线AC的中点，M是4。的中点.若AB=5,AD=\2,

则四边形ABOM的周长为.

17.某工程队计划将一块长64〃?，宽40,”的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建

三条宽相等的小路，其余区域进行绿化.若使绿化区域的面积为广场总面积的80%,求

小路的宽.设小路的宽为切1,则可列方程.

18.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，过点D作DHLAB于点H,连接

OH,若。A=5,OH=3,则菱形A8CD的面积为.

三、解答题

19.计算：

(1)2(%-1)2=18；

(2)%2-4x-3=0(配方法)；

(3)2X2-2&X+1=0；

(4)x(2x-5)=4x-10.

20.已知关于x的一■元二次方程炉-(m+2)x+2m—0.

(1)求证：不论，〃为何值，该方程总有两个实数根；

(2)若方程的一个根是1,求〃?的值及方程的另一个根.

21.如图，在矩形A8C。中，对角线AC,BO相交于点。，分别过点A,C作AEL8O于点

E,CFLBZ)于点尸，连接AF,CE.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若48=1,BE=EO,求BC的长.

22.己知：如图，在菱形ABCD中，点£O,尸分别为AB,AC,A。的中点，连接CE,

CF,OE,OF.

(1)求证：!\BCE运△DCF；

(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEO尸是正方形？请说明理由.

23.某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高

于55元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间符合

一次函数y=-2x+140的关系.

(I)当每件售价35元时，每天的利润是多少元？

(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？

(3)该商场销售这种商品每天是否能获得900元的利润？请说明理由.

24.已知正方形ABCD,点E,尸分别在边BC,CO上.

(1)如图1,过点A作AG_LAF交CB的延长线于点G,AE平分NBAF交BC于点E.

①求证：AADF^AABG；

②试判断4F,DF,BE之间的数量关系，并说明理由.

(2)如图2,若NEAF=NCEF=45°,直线EF与48,AO的延长线分别交于点M,N,

求证：EF2=ME2+NF，2.

图1

参考答案

一、单选题（3*12=36分）

1.如果方程or2+bx+c=0（aWO）,a+c=b,那么方程必有一个根为（）

A.x=\B.x=-1C.x=QD.x=2

【分析】根据题意知，当x=-l时，a-h+c—O,即：a+c—h,由此可以判定x=-l是

原方程的一个根.

解:-：a-b+c=O,且当x=-1时，a-b+c=O,

即：a+c=b,

-1是原方程的一个根.

故选：B.

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一

元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数

所得式子仍然成立.

2.如果关于x的一元二次方程近2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么我的取值范围是

（）

A.k<lB.RWOC.左<1且氏WOD.k>l

【分析】方程有两个不相等的实数根，则△>（）,由此建立关于左的不等式，然后就可以

求出人的取值范围.

解：由题意知：％wo,A=36-36k>0,

.•/VI且k#0.

故选：C.

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△>00方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0=方程有两个相等的实数根；

（3）△<00方程没有实数根.

注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键.

3.用配方法解一元二次方程X2-8X+2=0,此方程可化为的正确形式是（）

A.(x-4)2=14B.(%-4)2=18C.(x+4)2=14D.(x+4)2=18

【分析】移项，配方，即可得出选项.

解：x2-8x+2=0,

x2-8x=-2,

x2-8x+16=-2+16,

(x-4)占14,

故选：A.

【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键.

4.己知关于工的一元二次方程N+3工+1=0有两根为普和X2,则X1X2+M+X2的值是()

A.2B,-2C.1D.-1

【分析】由题意知，Xl+X2=-3,X1X2=1,代入求解即可.

解：由题意知，Xl+X2=-3,X1X2=1，

.*.X1X2+Xl+X2=l-3=-2,

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值.解题的关键在于熟

练掌握：一元二次方程，*+云+。=0的两根为xi和小则xi+x广上，X,x0=-.

5.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=5,BC=3,将△BC。沿BD折叠到△BE。位置，DE

交AB于点F,则。尸的值为()

【分析】由矩形的性质得NA=90°,AB//CD,AD=BC=3,则NA8Z)=/8B,由折

叠得NEDB=NCDB,所以NABO=NE£)B,则OF=B凡由勾股定理得32+(5-DF)

=。尸，则。F=¥，于是得到问题的答案.

解：•・•四边形A8CO是矩形，AB=5fBC=3,

：.ZA=90°,AB//CD,AD=BC=3f

：.ZABD=ZCDBf

由折叠得

，NABD=NEDB,

:.DF=BF,

•・・A£>2+A产=。尸，AF=5-BF=5-DF,

A32+(5-DF)=DR,

解得DF=¥，

5

故选:B.

【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知

识，证明。F=BF是解题的关键.

6.如图，在矩形43co中，A8=6,BC=8,对角线AC,8。相交于点0,E为。。的中

点，连接AE,则△AEQ的面积为()

【分析】过点A作于尸，根据勾股定理求出8£>=AC=10,得到。E的长度，利

用面积法求出A尸即可.

BD=AC=VAB2+BC2=10'

:对角线AC,8。相交于点O,

•、OB=OD寺D=5，

为。。的中点，

••­DE&D=2.5，

S△虹D=^AB-AD=yBD«AF

AB-AD6X8

•••AF-=4.8

BD10

.•.△AE。的面积为事比・AFqX2.5X4.8=6

故选：A.

【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确掌握矩形的性质及利用面积法求出AF

是解题的关键.

7.已知多项式M-N-3X-2,N=N-or+3下列说法正确的个数为（）

①若M=O,则代数式一^-1-3-x---的值为n名e；

x-3x-l3

②当〃=-3时，代数式M-N的最小值为-14；

③当〃=3时，若|M-2N+2|+|M-2N+15|=13,则x的取值范围是x<2-

A.0个B.1个C.2个D.3个

13x

【分析】①根据/-3尤-2=0,解方程求得x的值后求出代数式一------的值即可；

x"-3xT

②当〃=-3时，求出M-N关于尤的解析式是一次函数，故可判断②；

③当。=3时求出M-2N,再根据绝对值的意义得出二-15W-/+3x-8W-2,再根据

二次函数的性质求出x的取值范围.

解：®,：M=0,

.”f

解得：x=空叵或立，

22

.,o.._39±13c7

••1DX,

2

Vx2-3x-2=0,

Ax2-3x-1=1,

.—132L__1O..39±13A/T7

x"+3xT2

故①是错误的，不符合题意；

②当。=-3时，

M-N=(x2-3x-2)-(x2+3x+3)

=-6x-5,

.♦•M-N没有最小值，

故②是错误的，不符合题意；

③当4=3时，N=N-3X+3,

：.M-2N=N-3x-2-2(x2-3x+3)=-N+3x-8,

；.|M-2N+2|+|M-2N+15|=13,

:.-15W-x2+3x-8W-2,

令y--x2+3x-8=-(x--)2-

24

V-l<0,

•"•y有最大值-毕•，

4

-15<--<-2,

4

当-N+3x-8=-15时，

解得了尸？》函,X2=3jV37_；

22_

...-/+3x-8》-15的解集为三返2巨，

22__

即当2N+2|+|M-2N+15|=13时，则x的取值范围是三洛"Wx〈生李工.

故③错误，不符合题意•.

故选：A.

【点评】本题考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方

程的解法.

8.一个菱形的边长为5,一条对角线长是6,则该菱形的面积为()

A.8B.12C.16D.24

【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对

角线乘积的一半求得菱形的面积.

解:如图，当8力=6时，

AD

O,

BC

•.•四边形A8CD是菱形,

J.ACLBD,AO=CO,80=00=3,

：48=5,

-A0=J怔2t。2=V25-9=4,

.♦.AC=8,

，菱形的面积是：6X8+2=24,

故选：D.

【点评】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等

于两条对角线的积的一半.

9.某商品原价121元，连续两次降价。％后售价为100元，下列所列方程正确的是()

A.121(1+a%)2=iooB.121(1-。％)2=100

C.121(1-2a%)=100D.121(1-a2%)=100

【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于。的一元二次方程，此题得解.

解：根据题意可得，

100(1-a%)2=121,

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

10.如图，四边形ABC。是正方形，以CZ)为边作等边△8E,8E与71C相交于点则

下列结论中：

①BM=DM；

②NBEC=NMDC=15°；

③的度数是75°；

④AAMB注AAMD注AEMD.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据正方形的性质得：BC=DC,ZBCA=ZDCA=45°,依据“SAS”可判定

△BCM和△£>CM全等，从而可以结论①进行判定；

根据等边三角形和正方形的性质可证/BEC=NEBC,ZBCE=150°,据此可求出N

BEC=15°,再根据△2CM和△£>CM全等得：NMBC=NMDC,据此可对结论②进行

判定;

由/MOC=15°,ZDC/1=45°可求出NAM。的度数，据此可对结论③进行判定；

由AB=A。，/84M=/D4M=45。可依据“SAS”判定△AMB和△AM。全等，由A。

=ED,ZADM=ZEDM=15°可依据“SAS”判定△AMD和△£：〃/)全等，据此可对结

论④进行判定.

解：：四边形ABC。为正方形，AC为对角线，

：.BC=DC,NBC4=N£»CA=45°,BC=DC,ZBCD=90°,

在△8CM和△£>“中，

'BC=DC

'NBCA=NDCA=45°，

CM=CM

:.缸BCMQMDCM(SAS),

：.BM=DM,故结论①正确；

VACDE为等边三角形，

AZDCE=60°,DC=CE,

：.BC=CE,

：.ZBEC=ZEBC,

VZBCE=ZBCD+ZDCE=900+60°=150°,

•'­ZBEC=ZEBC=y(180°-ZBCE)=15°>

■:丛BCM4丛DCM,

：.NMBC=NMDC,

即：ZBEC=ZMDC=\5°；故结论②正确；

VZMDC=15°,ZDCA=45°,

：.ZAMD^ZMDC+ZDCA=60Q,故结论③不正确；

在aAMB和△AMO中,

AB=AD

-ZBAM=ZDAH=45°，

AM=AM

：./\AMB^/\AMD（SAS）,

•.•四边形ABC。为正方形，△CCE为等边三角形，

：.AD=ED,ZADC=90°,ZEDC=60",

\'ZMDC=\50,

：.ZADM^ZADC-ZA/DC=75°,NEDM=NMDC+NEDC=75",

：.NADM=NEDM=75°,

在△AMD和中，

'AD=ED

>ZADM=ZEDM=75°，

DI=DM

.♦.△AM。丝△EM。（SAS）,

A/XAMB^/\AMD^/\EMD,故结论④正确，

综上所述：正确的结论是①②④，共有3个.

故选：C.

【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定等知识

点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，理解正方形和等边三角形的性质.

11.现定义运算“★”：对于任意实数“、b,都有c+b=a2-2a+b,如3*4=32-2X

3+4,若收3=6,则实数x的值为（）

A.3或-1B.-3或1C.±2百D.±3

【分析】首先根据新定义有a-kb=a2-2a+b把XT*T3=6转化为x2-2x+3=6,然后利用

因式分解法解一元二次方程即可.

解：：对于任意实数4、b,都有〃★/尸用-24+6,如3*4=32-2X3+4,

.”★3=/-2x+3,

1★3=6,

.,.x2-2%+3=6,

Ax2-2x-3=0

.'.X|--1,X2=3.

故选：A.

【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新

定义。★8=/-2a+b,此题难度不大.

12.关于X的一元二次方程(a-1)x1+x+a1+3a-4=0有一个实数根是x=0,则a的值为

()

A.1或-4B.1C.-4D.-1或4

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解.

解：(1)：x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得“2+3〃-4=0,解此方

程得到m=-4,“2=1;

(2)•.•原方程是一元二次方程，，二次项系数a-1#0,即a/1；

综合上述两个条件，«=-4,

故选：C.

【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出«的值，但不能忽视一元二次方程成立

的条件a-1W0,因此在解题时要重视解题思路的逆向分析.

二、填空题(4*6=24分)

13.已知关于x的方程N+nx-机=0的两个根是0和-2,则m+n的值为2.

【分析】根据一元二次方程解的定义，将两个根是0和-2代入关于x的方程x2+nx-m

=0中，可得到关于〃、机的二元一次方程组，解之即可解答.

解：；关于x的方程N+ZJX-机=0的两个根是。和-2,

.-m=0

(-2)(_2)•n_m=0

.\m+n=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据定义得出二元一次方程组是解题的关键.

14.若关于x的方程(机-4)+2+级-5=0是一元二次方程，则m=0.

【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为

0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案.

解：•.•方程*”-2i+3x+5=o是一元二次方程，

pn-4W0

i|m-2|=2'

解得w=0.

故答案为：0.

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

15.如图，在菱形A8CD中，AB=5,NB：NBCD=l：2,则对角线AC等于5.

【分析】根据题意可得出NB=60°,结合菱形的性质可得BA=BC,判断出AABC是等

边三角形，即可得到AC的长.

解：•••四边形ABCD是菱形，

：.ZB+ZBCD=\S0°,AB=-BC,

VZB：/BCO=1：2,

.".ZB=180°X—=60°,

3

.二△ABC是等边三角形，

：.AB=BC=AC=5.

故答案为：5.

【点评】此题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出4

ABC是等边三角形是解答本题的关键.

16.如图，。是矩形A8CQ的对角线AC的中点，M是AO的中点.若AB=5,A£>=12,

则四边形A3OM的周长为20.

-----------------------C

【分析】根据题意可知OM是△AOC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求

出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出80的长，进而求出四

边形的周长.

解：：。是矩形ABC。的对角线AC的中点，M是A。的中点，

：.OM=—CD=—AB=2.5,

22

'：AB=5,AO=12,

-,-AC=yl52+122=l3t

：。是矩形ABCD的对角线AC的中点，

：.BO=—AC=6.5,

2

四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20,

故答案为：20.

【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大.

17.某工程队计划将一块长64〃?，宽40n/的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建

三条宽相等的小路，其余区域进行绿化.若使绿化区域的面积为广场总面积的80%,求

小路的宽.设小路的宽为初?，则可列方程(64-2x)(40-X)=64X40X80%.

【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%,即可得出关于

x的一元二次方程.

解：设小路的宽为x米，则绿化区域的长为(64-2x)米，宽为(40-x)米，

根据题意得，(64-2x)(40-x)=64X40X80%,

故答案为：(64-2%)(40-%)=64X40X80%.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列

出一元二次方程的关键.

18.如图，菱形ABCD的对角线AC,3。相交于点O,过点。作QHLAB于点H,连接

OH,若OA=5,OH=3,则菱形48CD的面积为30.

B

【分析】由菱形的性质得。4=OC=5,OB=OD,AC1BD,则AC=10,再由直角三角

形斜边上的中线性质求出8。的长度，然后由菱形的面积公式求解即可.

解：；四边形ABC。是菱形，

：.OA=OC=S,0B=0£>,AC1BD,

；.AC=10,

"：DH±AB,

：.ZBHD=90Q,

•.•BQ是斜边上的中线，

，B£>=2OH=2X3=6,

，菱形ABCD的面积=1AC・8Z)=1X10X6=30,

22

故答案为：30.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公

式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BO的长是解题的关键.

三、解答题

19.计算：

(1)2(x-1)2=18；

(2)/-4x-3=0(配方法)；

(3)改-2正》+1=0；

(4)x(2x-5)=4x-10.

【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法解答即可；

(2)移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

(3)根据完全平方公式和直接开平方法解答即可；

(4)方程利用因式分解法求解即可.

解：(1)2(x-1)2-18=0,

2(x-1)2=18,

(x-1)2=9,

x-1=±3,

x=l±3,

解得川=4,X2=-2；

(2)N一以-3=0,

x2-4x=3,

配方得：/-4文+4=3+4,

(x-2)2=7,

开方得：X-2=±J7，

解得：XI=2+J7，及=2-JY；

⑶2X2-2&X+1=0,

(5/2^-I)2=0,

J?

解得：M=X2=¥*;

2

(4)x(2x-5)=4x-10,

x(2x-5)=2⑵-5),

x(2x-5)-2(2x-5)=0,

(2x-5)(x-2)—0,

2r-5=0或x-2=0,

解得筋=微，X2=2.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，完全平方公式，熟

练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

20.已知关于x的一元二次方程N-(/n+2)x+2m=0.

(1)求证：不论，〃为何值，该方程总有两个实数根；

(2)若方程的一个根是1,求〃?的值及方程的另一个根.

【分析】(1)先计算根的判别式的值得到△20,然后利用根的判别式的意义得到结论；

(2)设方程的另一个根为/,根据根与系数的关系得1+「=机+2,1义/=2如然后解方程

组求出〃，和f即可.

【解答】(1)证明：；△=(〃?+2)2-4X2m

=(w-2)2,0,

...不论，"为何值，该方程总有两个实数根；

(2)解：设方程的另一个根为3

根据根与系数的关系得1+/=机+2①，1XX2祖②，

②-①得-1=m-2,

解得w=l,

把m=\代入②得t=2,

所以加的值为1,方程的另一个根为2.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若X”及是一元二次方程以2+法+c=0(。#0)的

两根时，.+、2=-2，X1X2=S.也考查了根的判别式.

aa

21.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,30相交于点。，分别过点A,C作AEL3。于点

E,CFLBD于点F,连接AF,CE.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若A8=l,BE=E0,求8c的长.

【分析】(1)由矩形的性质得出AB=C。，AB//CD,证明△ABE名△(7/)尸(A4S),由

全等三角形的性质得出AE=CF,由平行四边形的判定可得出结论；

(2)根据垂直平分线的性质可得40=48=1,然后根据勾股定理即可求出8c的长，

【解答】(1)证明：-：AE±BD,CF±BD,

：.AE//CF,NAEB=NDFC=90",

•.•四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZABE=ZFDC,

在△ABE和△(?£)尸中，

'NABE=NFDC

<ZAEB=ZDFC-

AB=CD

.,.△ABE/ACDF(.AAS),

:・AE=CF,

・・・四边形AECF为平行四边形；

(2)解：:四边形A8CQ是矩形，

：.AC=2AOf

VAE1BO,BE=EO,

：.AO=AB=lf

：.AC=2f

•••BC=VAC2-AB2=

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记

各性质与平行四边形的判定是解题的关键.

22.已知：如图，在菱形ABC。中，点E,0,尸分别为AB,AC,AO的中点，连接CE,

CF,OE,OF.

(1)求证：△BCE9XDCF；

(2)当A5与3C满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由.

【分析】(1)由菱形的性质得出NB=N。，AB=BC=DC=AD,由己知和三角形中位

线定理证出AE=BE=£»F=AF,OF=—DC,OE=—BC,OE//BC,由SAS证明△BCE

22

丝△QCF即可；

(2)由(1)得：AE=OE=OF=AF,证出四边形AEO尸是菱形，再证出N4EO=90°,

四边形AEO尸是正方形.

【解答】(1)证明：；四边形ABCQ是菱形，

:.NB=ND,AB^BC=DC=AD,

•.•点E,0,尸分别为A8,AC,A。的中点，

：.AE=BE=DF=AF,OF=—DC,OE=—BC,OE//BC,

22

BE=DF

在ABCE和△QCF中，，NB=/D，

BC=DC

：./\BCE^/\DCF（SAS）；

（2）解：当ABJ_BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：

由⑴得：AE=OE=OF=AF,

...四边形AEO尸是菱形，

\'AB±BC,OE//BC,

：.OE1AB,

：.ZAEO=90°,

二四边形AE。尸是正方形.

【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三

角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键.

23.某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高

于55元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合

一次函数'=-2x+140的关系.

（1）当每件售价35元时，每天的利润是多少元？

（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？

（3）该商场销售这种商品每天是否能获得900元的利润？请说明理由.

【分析】（1）利用每天的利润=每件的销售利润X每天的销售量，即可求出结论；

（2）利用每天的利润=每件的销售利润X每天的销售量，可得出关于x的一元二次方

程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

（3）假设能，利用每天的利润=每件的销售利润X每天的销售量，可得出关于x的一元

二次方程，由根的判别式△=-200<0,可得出该方程没有实数根，假设不成立，即该

商场销售这种商品每天不能获得900元的利润.

解：（1）当x=35时，（%-30）（-2x+140）=（35-30）X（-2X35+140）=350.

答：当每件售价35元时，每天的利润是350元；