2023-2024学年北京市房山区高一年级上册数学质量检测模拟试题（含答案）

2023-2024学年北京市房山区高一上册数学质量检测模拟试题

一、单选题

1.已知a=e's,匕=2哂"，c=（g），则。，b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<hD.b<a<c

【正确答案】B

【分析】直接根据指数函数、幕函数、对数函数的单调性即可得结果.

13

【详解】由于c==2>2'=2,log47t<log44=l,

所以。=2电*<2,即6<c,

由于a=ei'>2灯>2卩=c,即。<c〈a,

故选：B.

2.若与是方程210g?x+x+l=0的解，则与属于的区间是（）

A-H）B'。,加D-（丄2）

【正确答案】C

【分析】先定义函数〃x）=21og2X+x+l,判断/（x）的单调性，利用零点存在定理判断零

点存在区间即可

【详解】i§/（x）=21og2x+x+l,则的定义域为（0,+8）,

因为y=21og2X,y=x+l在定义域内单调递增，所以在（0,+8）上单调递增，

d!）=21og/+11=-?

当0cx<；时，/（%）=21og,x+x+1<,

/flj=21og2l+1+l=-1<0,/（l）=21og2l+l+l=2>0,/（2）=21og22+2+l=5>0

二%属于区间

故选：C

3.若a>b,c>d,则下列不等式一定正确的是（）

A.ac>bdB.a-c>b-dC.—>—D.ac-^-bd>ad-\-bc

dc

【正确答案】D

【分析】利用特殊值法可判断ABC选项；利用作差法可判断D选项.

【详解】对于A选项，取a=l,b=c=O,d=-1,则=A错；

对于B选项，取a=l,b=c=O,d=—],则a-c=b-d,B错；

对于C选项，取〃=，=1,b=d=-\,则==2,C错；

ac

对于D选项，(ac+6")-(a"+6c)=(a-b)(c-")>0,贝!]ac+M>(K/+匕c,D对.

故选：D.

4.已知｛4“｝是等差数列，且24=为+3,则%=()

A.1B.3C.5D.7

【正确答案】B

【分析】结合等差数列通项公式即可解决.

【详解】设等差数列的公差为d,由2%=佝+3得，2(q+7d)=q+84+3,

贝ljq+64=3=a7.

故选：B.

5.等差数列｛%｝的前“项和S“，/=3,SU=66,则Sg=()

A.9B.12C.30D.45

【正确答案】D

【分析】由等差数列的通项公式与前〃项和公式求得。“，然后再由前〃项和公式结合等差数

列的性质计算.

【详解】｛%｝是等差数列，

7.Sj,=1\a=66,&=6,d=———=1,

b6—3

an=3+(n-3)xl=/?,%=5,

$9=96=9x5=45.

故选：D.

6.已知公差不为0的等差数列｛4｝中，4>0,|生|=|40|，则使其前〃项和S”取得最大值

的正整数〃的值为()

A.11或12B.6或7C.10或11D.5或6

【正确答案】D

【分析】分d>0和d<0两种情况进行讨论，当d<0时利用等差数列的求和公式结合二次

函数的基本性质可求得S,取得最大值时的〃的值

【详解】当d>0时，由q>0可得为>0,且等差数列｛q｝单调递增,不存在同=|叫；

当4<0时，则数列｛为｝为单调递减数列，

由|?|=ko|可得的=,则“2+”10=24=。'

所以q+5d=。,则4=-5d,

所以，当”=5或6时，5,取得最大值.

故选：D

7.已知等比数列｛%｝的前〃项和为金，若a“>0,公比q>l,%+%=20,%%=64,则$6=

()

A.31B.36C.48D.63

【正确答案】D

【分析】根据等比中项的性质可得=4%=64,解方程即可得数列中的项，进而可得首

项与公比，求得晨.

【详解】由等比中项的性质得4%=%%=64,

又4+4=20,

[a,=4[a,=16

解得3或广

[%=16[%=4

当FJ时，4=2或"=-2（舍）,

[«5=16

&二16

当力时，4=±万(舍),

%=4

4=4

所以

%=16’

此时4=1,

4（〜6）Ml-26）

所以$6=--------=---------=63,

i-q1-2

故选：D.

8.数列n｝的通项公式为。,,=加+"+1,则“％>-；”是“｛叫为递增数列”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【正确答案】B

【分析】根据“向-%>。以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可

【详解】由题意得数列｛4｝为递增数列等价于对任意

neN",a“+]-““=[k(〃+l)-+n+2^-(kn2+n+\^=2kn+k+\>0恒成立，

即k>-J二对任意”eN*恒成立，

因为一不二<0,且可以无限接近于0,所以忆20,

所以“A>-3”是“｛4｝为递增数列”的必要不充分条件，

故选：B

9.已知七，x/匕满足(；)=log।x,,(g)=log,x,,(g)=log।x3,贝I」外,

的大小关系为()

A.Xj<x2<x3B.x2<x3<xlC.<x3<x2D.x2<xx<x3

【正确答案】c

【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到X一巧，七的大小关系.

【详解】在同一平面直角坐标系内作出

y=i0glx、y=(g)、y=以、的图像

y=W过点4］）a。）；=（；）过点（o,i）、a，m；

y

y=W过点（0,l）、（lg）；y=（g）过点（o,；）«,；）,

则产（扑>=（；］、y=（；「与图像交点横坐标依次增大,

故选：C

10.我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德

与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放

一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个

格子就行了通过计算，国王要给阿基米德1+2+4++263=2（"-1粒米，这是一个天文数

字.100年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于

当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部

分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先

把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此

计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒

米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给

国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的

方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案

显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算64个格子一共能得到

()粒米.

A.262+1B.263+1C.262+62D.2w+63

【正确答案】D

【分析】按照小明的方案，设第〃个格子放的米粒数为其中〃eN",分析可知数列｛为｝

满足：4=1,«2=2,a“=2a,i-1(〃之3),求出数列｛%｝的通项公式，利用分组求和法可

求得结果.

【详解】按照小明的方案，设第"个格子放的米粒数为%,其中“eN*,

则数列｛%｝满足：4=1,%=2,a„=2a„_1-l(n>3),

所以，当"23时，％-1=2(%—1),

故数歹是从第2项开始成以2为公比的等比数列，且4-1=1，

所以，%-1=1X2"T,则％=2"~+1,

所以，数列｛%｝的前64项和为k=1+2+侬+1)+(22+1)++(262+1)

=3+(2+22++262)+62=+65=263+63.

故选：D.

二、填空题

11.在等比数列｛%｝中，。3=1，=则%=.

【正确答案】8

【分析】利用等比数列的性质求出%=16,继而算出d=2,即可得到答案

【详解】因为数列｛q｝是等比数列，设其公比为4,

所以”5・〃9="391=16

又。3=1,所以即=16,所以炉=氏=16,d=2,

“3

所以4=〃3=。3(d)=8

故8

12.已知数列｛《｝的前"项和为国=1。氏(3*2"),则｛4｝的通项公式为.

…”｛he

【分析】利用q,=S,-S,i计算即可，注意求”=1时，％的值.

【详解】由已知当,22时，

3x2"

a„=S„-S„_l=log,(3x2")-log,(3x2"-')=log,=log22=l,

又〃=1时，a,=S,=log2(3x2)=l+log23,

故(«„｝的通项公式为例=(+吸'"=1,

1+log3,72=1

故答案为.4,=2

1,77>2

13.已知数列｛%｝满足《=2,%=3,且对于V/eN*,均有4+2=*，则心23=

【正确答案】-3

【分析】利用递推公式可得到数列｛4｝的周期为8,即可求解

，亠a”-1,4—11a,-11c厶-11

【详解】由q=2,%=3,限=词可得%=«=§，/=栃=5,％=弱=-5

1

4=------7=-T，

4+13

%-1,4-1oa7-l外一1

«7==-3,%=------；=-2,%=------7=2,a,0=------=3,

a5+1a6+1%+1G+1

所以数列｛%｝的周期为8,

因为2023=252x8+7,所以限=%=-3,

故-3

14.函数/(x)=2x+白(x>0)的最小值为.

Q7

【正确答案】-##2-

22x2x2x2

【分析】把2>彳变形为丁丁丁正，再由四元基本不等式求其最小值

2

【详解】x>0,所以彳>0

_22x2x2x2

「・2x4--=—+—+—+—M怪三互三=4值上

3?/3333/?Y3333d\813

2x2

当且仅当丁=彳即户|时等号成立,

.•./（x）=2x+白（》>0）的最小值为|.

皿8

故］

15.已知对于实数x,y,满足疝+3乂410,|x-y|<5,则|x+2y|的最大值为.

【正确答案】7

31

【分析】由题意可得-1042x+3y410,-5<x-y<5,Kx+2y=j（2x+3>'）--（x-y）,

利用不等式的性质即可求解

【详解】由|2x+3y|410,|x-y|<5nJM-10<2x+3y<10,-5<x-y<5,

3131

因为x+2y=g(2x+3y)-《(x-y),-6<^(2x+3y)<6,-l<--(x-y)<l

所以-74x+2y47,故|x+2y|47,则|x+2y|的最大值为7,

故7

31)

16.已知数列｛q｝满足4=j,且对于V〃eN*,34=24+4+—,则logs--11=.

【正确答案】-10

【分析】构造等比数列求得数列丄7的通项公式，进而求得log.丄-1的值.

〔为J（4。）

31个

【详解】由3。〃=2。“+同〃+。〃+1，可得一=一+2

a”

整理得3丄T=丄-1,又丄-1=:，

W+I)a„43

则数列丄-1是首项为2公比为!的等比数列，

U33

则,—1=(；),则log,,-i—log,1)=-10

故一10

17.已知函数〃x)=lg(以2-23+。—2)的值域为R,则”的取值范围是.

【正确答案】[0,3]

【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数。是否为0进行分类讨论，即可

求出〃的取值范围

【详解】解：因为函数f(x)=lg(加-2屆+〃-2)的值域为R,

所以，(0,+的是函数了=加-2岳+。-2的值域的子集，

所以，当“=0时，y=-2石x-2的值域为R,满足题意；

当"0时，要使(0,的)是函数)=以2-2岳+。-2的值域的子集，则需满足

。>0

U=12-M«-2)>0'解得。<1,

综上，。的取值范围是[0,3]

故[0,3]

18.方程1叫卜+(6)[=log3[(6)'-2、的解为.

【正确答案】4

【分析】利用对数定义将题给方程转化为指数方程，构造新函数并利用函数单调性求得新方

程的解，进而求得题给方程的解.

(17Y(77y

【详解】由(冋可得半>1=券，则x>0,

I丿\7

贝ij2、+(G)'>2.可令p+(6)〔=log.,[(百)'-2，0)

2*+(©'=£

则；，">0),

(75)-2*=3，

整理得(冋+(冋=5,+3',(/>0),即33+5?=3'+5',">0)

Y

又y=3*+5,为R上单调递增函数，则

则2，=(4)'-(C，x>0,

、x、x

整理得-1=0,x>0,

2丿2

又^=-1为R上单调递增函数,

且打图

则方程2，=（6）"-（6）',》>0有且仅有一个解尢=4.

则方程log5,+=log［（V5）'-2、

3的解为x=4.

故4

19.已知数列（墨｝是首项为4,公差为3的等差数列，数列｛q｝的前"项和记为S.，则使

得S„+1能被5整除的最小正整数n的值为.

【正确答案】4

［分析】利用等差数列的定义得到卬=（3〃+1>2",用错位相减法可得到5„=4+2向（3n-2）,

即可求出答案

【详解】因为数列1会［是首项为4,公差为3的等差数列，

所以髪=4+3（“-1）=3〃+1，

所以《,=（3〃+1卜2",

所以S“=4x2i+7x22++（3n+l）-2n,

则有25“=4x2?+7x2'++（3n+l）-2,,+1

23

两式相减得：-Sn=8+3（2+2++2"）-（3"+1）-2'用=8+3x幺g~J-（3〃+l>2向，

因止匕S“=4+2相（3〃一2）,

所以S“+l=5+2"+i（3〃—2）,

要使S“+l能被5整除，只需3”-2能被5整除,

因为“eN*,故3x1-2=I,3x2-2=4,3x3—2=7,3x4-2=10,

所以最小正整数〃的值为4

故4

三、双空题

20.已知"，b,m,〃都为正数，且a+6=2,(2am+bn)(2bm+an)=4,则机〃的最大值

为；此时，m=.

【正确答案】1##0.5J##0.5

【分析】利用二维形式的柯西不等式即可求解

【详解】因为“，匕，用，〃都为正数，

所以由二维形式的柯西不等式可得

(2am+/???)(2bm+an)>[\j2am■\[an+\j2bm-\/bn^=2nm(a+b)~,

因为a+b=2,(2am+bn)(2bm+aii)=^,

所以4W2/mx4,BPmn<—,

2

当且仅当到=察，即机=丄"=1时，取等号，

an2bm2

故丄・丄

四、解答题

21.已知基函数/(%)=(庁-"5)d是偶函数，g(x)=/(x)+ln(x+3)+ln(3—x).

(1)求实数人的值和f(x)解析式；

(2)判断g(x)的奇偶性，并用定义证明；

(3)直接写出g(x)的单调递减区间,并求不等式g⑺<g(1T)的解集.

【正确答案】⑴4=一2,f(x)=x-2

(2)偶函数，证明见解析

⑶g(x)的单调递减区间(0,3),植<r<1或1<r<3)

【分析】(1)利用基函数的定义进行求解，并检验是否为偶函数即可；

(2)利用奇偶函数的定义即可判断；

(3)利用复合函数的单调性质得到单调递减区间，然后利用偶函数和单调性求不等式进行

求解

【详解】(1)因为/(》)=(&2T-5)x*是嘉函数，所以左2一"5=1,解得k=3或左=一2,

当4=3时，〃司=/在R上是奇函数，不满足题意，舍去：

当人=—2时，/(x)=/在(-a>,0)U(0,内)上是偶函数，

综上，左=一2,f(x)=x2

(2)g(x)=/(x)+ln(x+3)+ln(3-x)=x-2+ln(x+3)+ln(3-x),XG(-3,0)u(0,3),

对于任意的xe(-3,0)(0,3),g(-x)=x-2+ln(3-x)+ln(3+x)=g(x),

故g(x)是x«-3,0)(0,3)上的偶函数

(3)因为g(x)=E2+ln(x+3)+1n(3-x)=x-2+ln(x+3)(3-x)=x-2+ln(-x2+9),

且y=x-2,y=+9在(0,3)上是单调递减，y=lnx在定义域内是单调递增，

所以g(x)在(0,3)上是单调递减，

因为g(x)是偶函数，所以g(x)在(-3,0)上是单调递增，

所以g(x)的单调递减区间(0,3),

0<|f|<3

所以由g«)<g(iT)可得g(M)<g(|i-4),所以o<I<3,

加>|1_|

解得或1</<3,

所以不等式g(/)<g(lT)的解集为稲<r<1或1<f<3｝

22.已知数列｛4｝满足q=：,其前"项和满足滲彳=nan.

(1)求出,%的值并猜想。”的表达式；

(2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想;

（3）求使得S”成立的最小正整数”的值.

a=

【正确答案】（1）,4，%=4，"（2n-l）（2n+l）

（2）证明见解析；

⑶44

【分析】（1）先求得的,%的值，并依据条件即可猜想牝的表达式；

（2）利用数学归纳法证明的逻辑和格式要求即可证明（1）中的猜想；

（3）先求得S“的表达式，进而求得使得S“＞黑成立的最小正整数〃的值.

【详解】（1）数列｛%｝中，=1,S'=〃（2〃-1）可，

由/+；=2（2X2-1”2,解之得%=取,

由“3+百+]=3（2x3-l）“3,解之得色=不,

猜想~777；~

（2〃一1）（2〃+1）

（2）当〃=1时，a｝结论成立；

（2—1）（2+1）3

假设当〃二%时,有4=诙二岛访,

则当〃=2+1时，由&=&（24一1）%,S&+]=仏+1）（2吊+1）%+]

可得&+「工=仏+1)(24+1)%「&(2Z-1)%

2k-\2k—11

4+i=4=x

旧2攵+3"2%+3(2%-1)(2攵+1)

1___________1__________

—(2/+1)(2/+3)-[2仅+1)-1][2仏+1)+1]

则当"=4+1时假设成立,

综上，a—对任意非零自然数均成立.

n(2〃-1)(2〃+1)

〃（2九一1）n

(3)由(2)可得S,,=〃(2〃-1”“=

(2n-l)(2n+l)2〃+1

,01000一相n1000⑺、妨1000C二

由可得7；~~,解乙得“＞1^"43.5

20232〃+1202323

则使得S"＞黑成立的最小正整数〃的值为44

23.某游乐园在今年年初用196万元建造一批新的游乐设施.预计第一年各种维修费用为24

万元，从第二年开始每年所需维修费用比前一年增加8万元，这些游乐设施每年收入预计为

100万元.

(1)请分别写出经过x(xeN*)年后盈利总额y和年平均盈利必关于x的函数关系式；

(2)游乐园在未来又要将游乐设施进行更新换代，现对游乐设施有两种处理方案：①若干年

后，当盈利总额达到最大时，以10万元的价格将设施卖岀；②若干年后，当年平均盈利达

到最大值时，以46万元的价格将设施卖出；请问对于①②两种方案，哪一种方案比较划算？

并说明理由.

【正确答案】⑴经过x(xsN*)年后盈利总额y=-4/+80x-196,xeN*

平均利润y2=—=-4Jt+80-^^,A-eN*.

XX

(2)方案②更划算，理由见详解

【分析】(1)根据题意得出x年后所需各种费用的总和为：4Y+20x,然后根据条件列出总

利润和平均利润即可；

(2)根据二次函数的性质求出方案①的利润，利用基本不等式求出方案②的总利润，并进行

比较，即可得出结论.

【详解】(1)由题意可知：x(xwN*)年后所需维修费用的总和为：

24x+.亚-DX8=4X2+20X,

2

经过x(xeN*)年后盈利总额y=1OOx-196-4/-20x=-4x2+8()x-196,xeN*

所以经过x(xeN*)年后盈利总额y=-4x2+80x796,xeN*

平均禾U润必=—=-4^+80--,xeN*.

XX

(2)方案①，因为,=-4/+80x796,开口向下，对称轴为x=l(),

所以经过10年后，盈利总额达到最大，此时获得的所有利润为204+10=214万元；

方案②，=-4X+80-—=-(4X+—)+80<-2J4^—+80=24当且仅当4》=些

XX\XX

时，即x=7时取等号，所以经过7年后平均利用达到最大，此时将设施卖出得到的总利润

为168+46=214万元，

由于方案①是10年后获利214万元，而方案②是7年后获利214万元，

故方案②更划算.

24.已知两个均含有w项的有限数列厶:。”/，…，。”，B:bt,b2,...,bn,其中对于Vi=l,2,,n,

qe{0,l}且ee{0,l}.定义数列A与B之间的距离：

“（A，8）=f|4-引=何-4|+|“2-即+.定义数列A的“和序列,a„,

1=1

其满足对于Wi=l,2,,n,%=之%=4+〃2++4，数列，的〃项和记为：

k=\

Sa=at+a2++%；定义数列5的“和序列，耳，其满足对于切=1，2,，“，

艮=乞久=4+瓦++b.,数列，的"项和记为：Sq=£|+夕2+.

&=1

（1）已知数列A：l,0,l,l,8:0,1,0,0,求d（A,8）和|S“-S3

⑵当〃=4且d（A3）=l时，求瓦-S“|的所有可能取值；

⑶当〃=10且4（43）=2时，求同-S4的最大值和最小值，并分别列举一对数列A,B,

使|%-sj取到最大值和最小值；

（4）求证：对于V〃24,当4W4（A,3）W〃且d（A8）是4的倍数时，N-Sj的最小值为0；

（5）当〃=10,"（48）=7时，直接写出一对数列A,B,使得昌—5/=0.

【正确答案】⑴d（A,3）=4,W-S〃|=4

（2）4,3,2,1

（3）氏一$/的最大值19,例如：A:0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,8:1,1,0,0,0,0,0,0,0,°；岛—S」的

最小值1,例如：A:0,0,0,0,0,0如,0,1,0,B:0,0,0,0,0,0,0,0,0,1（A,8的列举不唯一）

（4）证明见解析

（5）数列A：0,0,1,0,0,0,U,1,0,B：0,1,0,1,0,0,0,0,0,1（答案不唯一）

【分析】（1）利用新定义直接代入计算即可；

（2）当〃=4且d（A,B）=l时，打一⑷中1的个数为1,其余3个为0,结合瓦-因的表达

式即可得出结果;

(3)当”=10且"(AB)=2时，性-⑷中1的个数为2,其余8个为0.结合

句-5/=10佃-4)+9低一生)++2仅9一%)+3。-4。)|分析可得出结果；

(4)设d(A8)=4k,keN*,444&4〃，归一力中1的个数为必，其余的为0.在

…(i=l,2,，“)中，取相邻4项作为一组，共取女组(取的项不重复)，即可求解；

(5)当〃=10,d(AB)=7时，打一蜀中1的个数为7,其余3个为0,结合条件国-5"|=0

写出结果即