2023-2024学年天津市河东区高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年天津市河东区高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

22

1.双曲线工-匕=1的焦点坐标是（）

32

A.（0,±1）B.（±1,0）C.（0,+V5）D.（±>/5,0）

【正确答案】D

【分析】根据双曲线方程可得",6,然后根据，2=/+从可得c,最后得出结果.

【详解】由题可知：双曲线的焦点在*轴上，旦a=5b=6,

所以c?-a2+b2=>c=旧

所以双曲线的焦点坐标为（土石,0）

故选：D

2.抛物线/=_2x的准线方程为（）

A.x=-\B.x-1C.x=—D.x=—

22

【正确答案】D

【分析】由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及P的值，计算可得答案.

【详解】根据题意，抛物线的标准方程为好=一2》，

则其焦点在x轴负半轴上，且p=l,

则其准线方程为x=g,

2

故选：D.

本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线标准方程的形式.

3.等轴双曲线的一个焦点是耳（-6,0）,则其标准方程为（）

AX2y2[R「—]y2x2DX2y2]

A.------------=1o.------------=1C.------------=1D.------------=1

999918181818

【正确答案】D

【分析】根据等轴双曲线，可得a=b,根据交点坐标，可求得c,值，根据“，b,c的关系,

即可得答案.

【详解】•••等轴双曲线的一个焦点为耳（-6,0）,.•.c=6,且。=6,

又,2=/+/,

；.2/=36，即/=18，

.♦.双曲线的标准方程为匕=1.

1818

故选：D

4.已知抛物线Y=2分（p>0）上一点加（加,1）到焦点的距离为：，则其焦点坐标为（）

A.（0,1）B.加C.加D.0

【正确答案】A

【分析】由抛物线的定义可求P的值，进而可求焦点坐标.

【详解】解：抛物线/=2切（°>0）上一点"（〃?」）到焦点的距离为

由抛物线的定义知加+&g,即"勺|，所以P=l，所以勺;，

,抛物线的焦点坐标为

故选：A.

2

5.若点P（l,2）在双曲线・一/二侬〉。）的一条渐近线上，则它的离心率为（）

a

A.当B.2C.D.2.V5

【正确答案】C

【分析】将点P的坐标代入双曲线的渐近线方程，求出。的值，可得出c的值，由此可求得

双曲线的离心率.

【详解】双曲线=-/=［的渐近线方程夕=±±，

aza

/、v211

因为点尸（1,2）在双曲线1-^=1的一条渐近线上，所以2='所以of则

c=y/a2+1=,

2

好

因此，该双曲线的离心率为0=£==-=右.

a2

2

故选：C.

6.下列四个数中，属于数列55+1）｝中的一项是（）

A.380B.392C.321D.232

【正确答案】A

【分析】分别令选项中的数值等于〃(〃+D，求出"是自然数时的这一项，即可得到答案.

【详解】由题意，令"("+1)=380,解得〃=19,所以A是正确的；

再令“(”+1)=392,〃(〃+1)=321,〃(〃+1)=232均无整数解，所以B、C、D都不正确，

故选：A.

7.已知等比数列｛%｝,满足log2a2+1暇％3=1>且的6。刈=16,则数列｛叫的公比为()

A.2B.vC.±2D.±-

22

【正确答案】B

【分析】利用对数运算性质可得见阳=2且出吗3>0,从而4>0，由等比数列性质有

2

。2a13=的9=2,所以%。8=8,绍'=<7?即可求公比.

“548

【详解】令公比为q,

log,a2+log2al3=log2(a,al3)=1=log,2,

故a2al3=2且出，。13>0，

所以卬3=“2夕”>0,则4>0,

8

又a2aI?=a6a9=2,a5a6a&ag=16,则%%=，

所以沁=分皿=八；，

。汹4

综上,4=；.

故选：B.

8.已知正项等差数歹！!｛““｝的前〃项和为S,(〃eN),若片一%-为=3,贝iJSu-%的值为()

A.3B.14C.28D.42

【正确答案】D

【分析1根据等差数列的性质得为+%=2仆，则可由已知等式求6的值，从而利用求和公

式和等差数列性质求几-%得值.

【详解】解：正项等差数列{&“},则对＞0

若则d=%+%+3=2仆+3,解得4=3或g=-l（舍）

贝IJ—%=一出=-做=144=42.

故选：D.

9.九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在

中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环

的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:己知解下1个圆环最少需要

移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记得（3n9,为解下〃个

圆环需要移动圆环的最少次数，且%=。吁2+2"、则解下8个圆环所需要移动圆环的最少

次数为（）

987654321

【正确答案】C

【分析】根据%=a“-2+2"T，逐个代入〃=2,〃=4,〃=6,〃=8,即可求解.

73}

【详解】由题，as=a6+2,&="4+2'，a4=a2+2=2+2,所以4=2+2^+2,+2,=170.

故选.C

二、填空题

10.设6,名为双曲线C：n=l的左、右焦点，尸为双曲线C上一点，且附|=4,则

1^1=.

【正确答案】10

【分析】由双曲线标准方程找出的值，在利用双曲线的定义求解即可.

【详解】由双曲线的标准方程知：a=3,b=2,

P为双曲线C上一点，且|用|=4,

所以由双曲线的定义得：||产甲-归用|=20=6,

即|4-|尸/=6,

所以|叫|=10或|”|=-2(舍去)，

故10.

11.已知数列｛%｝满足2%=%+a„+1(力22,〃wN*[a?+4+%=12吗+%+。5=9，则。2+%

等于―.

【正确答案】7

【分析】由2%=«„.1+«„+l(MS2,neN'),

变形a1t--%得出数列｛«„｝为等差数列，

再结合等差数列的性质求解即可.

【详解】因为2a”=a“_|+a"+|("22,〃eN"),

所以。“-a,i=%+「%，

所以数列｛《,｝为等差数列，

由a2+a4+a6=12,a,+%+a5=9

所以《+&+4+6+/+为=21，

即(%+%)+(4+%)+(4+%)=21,

由等差数列的性质有：。2+“5=a4+“3=%+4，

所以的+。5=7.

故7.

12.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S,,且ae=2S.+l(weN*),则为=.

【正确答案】81

fS.,72=1,.

【分析】根据对=|s_S〃>2,求得数列｛%｝的公比，再求出q=l，即可求解.

【详解】等比数列｛《,｝的前〃项和为S,,且凡“=2S“+l（〃eN）

当〃22时，atl=2S〃T+1,

：.a,n｝-a„=2a„,：.a„+l=3a„,故等比数列｛/｝的公比为3.

令〃=1,可得%=2%+1,q=1,则牝=。闯"=81.

故81.

13.已知数列｛““｝满足％=1,%=。“+3"（〃eN）,则｛%｝的通项公式《,=.

【正确答案】芝」

2

【分析】由题意得出。向-。,,=3",利用累加法可求出％.

【详解】数列｛6｝满足4=1,。用=。“+3”,=3",

因此，。.=4+（。2-《）+（。3一%）++（“”-%）T*锣+~.

1—32

故答案为.”

2

14.已知抛物线C:_/=2px（p>0）与圆O:x2+/=5交于48两点，且|AB|=4,直线/过C

的焦点F,且与C交于",N两点，给出下列命题：

①若直线/的斜率为半，则|也明=8；

②\MF\+2|必的最小值为3+2应；

③若以“尸为直径的圆与y轴的公共点为亭），则点"的横坐标为：；

④若点G（2,2）,则△GFM周长的最小值为4+6.

其中真命题的序号为（把所有正确命题的序号都填在横线上）.

【正确答案】②③④

【分析】首先求出抛物线的解析式，设出",N的坐标，联立进行求解，当加=6时，|MN|=16

进而判断①错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断②；画出大致图像，过点〃作

准线的垂线，垂足为"’，交V轴于加1,结合抛物线的定义判断③；过G作GH垂直于准线,

垂足为“，利用抛物线的性质判断④即可.

【详解】由圆和抛物线的对称性可知点（1,2）在抛物线C：V=28上，

所以22=2。解得夕=2,所以C:/=4x,F（1,O）,

设直线/：工=到+1,于「=4x联立得丁-4叩-4=0,

设M（x”0），N（X2，%）,所以乂+%=4/，y]y2=-4,

2

所以=\ll+m\y}-y-\=\Jl+nr-，（乂+%）z-4凹力=4（1+〃/），

当时，|"M=16,①错误；

111__1_+_1_X,+X2+2__（弘+%）+4_"+4斗

\MF\|NF|不+1为+1%电+区+毛+1（vv）24m+4,

',%-+〃?（*+%）+3

则网+2网=（幽+2|网）（向+向卜3+鬻+鼾3+2&,

当且仅当阿尸|=1+0，|NE|=1+当时等号成立，②正确；

如图，过朋■作准线的垂线，垂足为AT,交V轴于A/一

取必■中点为。，过。作夕轴的垂线，垂足为R,

则//OF,DD、为梯形OFM%的中位线，

由抛物线的定义可得

所以|即|」明+}MU+（卜L吟,

所以以“尸为直径的圆与y轴相切,

所以点（0,*）为圆与y轴的切点，所以。点的纵坐标为当，

又。为M尸中点，所以M■点纵坐标为指，

又点“在抛物线上，所以加点横坐标为］,③正确；

过过G作GH垂直于准线，垂足为“，

所以△GFN的周长为|MG|+|幽+|G同=|M（\+|MM\+7?>|（7/^^5=3475,

当且仅当点M的坐标为（1,2）时取等号，④正确：

故②③④

三、双空题

15.设等差数列｛""｝满足％=1,a„>O（neN*）,其前〃项和为工，若数列｛疯卜也为等差

数列，则。“=______;誓'的最大值是_____.

an

【正确答案】2n-l121

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d,则2店=何+£,可得2反;=1+"有，解得

d,再利用等差数列的通项公式、求和公式可得%,S.+,。，进而得出.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则2厄=而+卮,

2y/2+d=l+yj3+3d,解得d=2,

/.an=2n-\

・•.S**I。=（”+10）X1+5+?"+9）x2=5+10）2,个=（2"-I）2.

1c021

（）+

黑!1=（"+5=JTp=1（1+二1_）2,

a,,2（2"-1>（2n-l）42n-\

）］S

令，=3>0,则T=z1（i+，）2,在f>0时单调递增，71单调递减，

2/7-1%42/7-1

S

所以，当”=1时该式最大，此时T的为121.

故2〃-1：121.

四、解答题

16.已知双曲线的方程为4x2-/=%写出它的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与

渐近线方程.

【正确答案】顶点坐标（-1,0）和（1,0）,焦点坐标卜石,0）和（石,0）,实半轴长为1,虚半轴

长为2,渐近线方程为y=±2x

【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质.

【详解】双曲线的方程为4/-/=4化为标准方程--己=1

4

则a=l,b=2,c=>/5

所以双曲线的顶点坐标为（-1,0）和（1,0）,焦点坐标为卜6,0）和（右,0）,

实半轴长为1,虚半轴长为2,渐近线方程为y=±2x

17.已知椭圆C：，+，=l（a>6>0）的左右焦点分别是耳、6，左右顶点分别是48.

⑴若椭圆C上的点到人,巴两点的距离之和等于4,求此椭圆C的方程；

（2）若P是椭圆C上异于48的任一点，记直线P4与总的斜率分别为心且勺•&=-；，

试求椭圆C的离心率.

2/

【正确答案】（1）工+3-

4①

（2）椭圆C的离心率为2

【分析】（1）根据椭圆的定义先确定。的值，再将点"坐标代入方程得〃，即可得到椭圆

的标准方程;

（2）设点尸坐标为（乙,为），化简得为2=4（〃2T2）,得到4=L从而求出离心率.

a~a"2

【详解】（1）解：椭圆C上的点用卜［

4,所以2a=4na=2,

将点坐标代入方程?+*=1,得从=3,

所以所求方程为.+片=1;

43

（2）解：设点P坐标为（"（,）,贝道+畛=1,所以为2=与（〃2r2）,

aba

又/(一a,0)、5(a,0),

---工二工=匕1_白

x0+axQ-axQ-a~x0—aa

1r2I

又k\"_「所以勺=_L，即。=扬，又/=〃+已2,所以

2a2

所以椭圆的离心率e=£=g=Y2.

aJ2h2

18.已知数列｛/｝是公差不为0的等差数列，数列｛",｝是公比为2的等比数列，的是％,

的等比中项，b3-a3=3,4=2%.

(1)求数列｛对｝,也｝的通项公式；

(2)求数列｛《也,｝的前〃项和S,,.

【正确答案】(1)。“=2”-1也=2"

(2)邑=(2〃-3)2向+6

【分析】(1)根据々是《，生的等比中项，且4-%=3,4=2%,由

(%+")'=q•a+4(/),8q-(%+))=3求解；

(2)由⑴得到“也=(2〃-1)-2”，再利用错位相减法求解.

【详解】(1)解：因为的是。I，。5的等比中项，且4一%=3,々=2《,

所以(4+"『=q•(%+4/),8q-(q+加)=3,

解得a[=l,d=2,4=2,

所以%=2"-1也=2"；

(2)由(1)得。也=(2〃-1)2,

所以S.=1・2+3-22+5・23+...+(2N-1)-2",

则2s,=1-22+3・23+5・24+...+(2〃一1>2"",

两式相减得-S“=2+2(22+23+...+2")-(2W-1)-2'M,

=2+2—------L-（27-1）-2!+',

=（3_2〃）2"M_6,

所以S.=（2〃-3）2"“+6.

x2y2

是椭圆C：（人>0）与抛物线氏=2px（p>0）的一个公

共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点厂.

（1）求椭圆C及抛物线E的方程；

...................3

（2）2,3是椭圆C上的两个不同点，若直线04,08的斜率之积为-二（注：O为坐标原点）,

4

BM

点〃是线段。4的中点，连接在并延长交椭圆。于点N,求\谒的\值.

【正确答案】⑴二+仁=1；y2=4x

43

【分析】（1）结合已知条件求出抛物线方程，并求其焦点，然后可得力-/=[,再将点尸代

入椭圆方程即可求解；（2）设“（X”必），B（x2,y2）,%（不，%），瑞=3〉。）,然后利用

向量用A和8点坐标表示出N点坐标，并将N点代入椭圆方程并化简整理，再结合OB

3

斜率之积为W即可求解.

【详解】（1）竽是抛物线E：/=2px（p>o）上一点,

：.p=2,即抛物线E的方程为炉=4x,焦点尸（1,0）,

：.a2-b2=1.

又姿I在椭圆c捺+A上‘二十―"

结合/—A?=1知/=3,a2=4f

22

...椭圆C的方程为t+二=1,抛物线E的方程为/=4.Y.

43

（2）设/（4必）,8N,%），N（w，%）,j^j=A（A>0）,

•••点用是线段CM的中点，.•."［要?,

8"=仔-乙母-乃），8%=卜3一》2，%-%），BN=2,BM，

谢一孙必-为卜彳5一程/一%）

X3=1Xl+（1-^>2

<

%=1%+（1-2）为

:点7（三,%）在椭圆C上，

...r1+,+（1-4［宗蔡+〃1T）（牛+竽）=1

•••点/（七,必），8（x2，力）在椭圆C上，

3

又・・・。4,08斜率之积为一二，

4

.•.江+日=1,互+区=