2024年高考数学一轮复习第2章：函数与方程（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第2章：函数与方程学生版

一、单项选择题

1.函数/(x)=e'+2x—5的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从4点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速

走了一圈(路线为/8-8。一。4),则小明到。点的直线距离y与他从/点出发后运动的时间

f之间的函数图象大致是()

3.函数y=蛇二11的图象大致是()

X—1

4.在使用二分法计算函数./(x)=lgx+x-2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2),

如果要求近似解的精确度为0」，则接下来需要计算次区间中点的函数值()

A.2B.3C.4D.5

5.信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信

号强度不断减弱，这种现象称为衰减.在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声

压的衰减过程可以用指数模型：P(s)=BeFs描述声压尸⑸(单位：帕斯卡)随传播距离s(单位:

米)的变化规律，其中岛为声压的初始值，常数K为试验参数.若试验中声压初始值为900

帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K的估计值约为(参考数据：

In2比0.69,In3*1.10)()

A.0.162B.0.164

C.0.166D.0.168

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|ln（—x）,x<0,

6.已知<x）={_则函数^二y2^）一次¥）的零点个数为（）

12x»0，

A.1B.2C.3D.4

7.已知函数外）=2x+log”，且实数心6">0,满足沢。）/（3/（。）<0，若实数刈是函数>=兀0

的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是（）

A.xo<aB.xo>a

C.xo<bD.xo<c

仙一2）X>1

8.（2022•西安模拟）已知函数於）=「'’若函数g（x）=/（x）—k）耿（x+1）恰有

\x\—1,—1«1,

3个零点，则实数。的取值范围为（）

1nnn

A.|_5'3」B.15'3J

rinp.ri

C.l6‘4jD.16'4j

二、多项选择题

9.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径

为5微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、

悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤

前水中大颗粒杂质含量为50mg/L,若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L,

则PP棉滤芯层数不可能为（）

（参考数据：lg2Po.30,lg3«0.48）

A.5B.6C.7D.8

^.22x,xWO,

10.设函数人x）=,'则g（x）=/（x）—%的零点个数可能是（）

Inx—x,x>0,

A.1B.2C.3D.4

11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射

后每毫升血液中的含药量六微克）与时间f（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进

一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

A.。=3

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

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C.注射该药物1小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

8

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为52小时

32

12.已知定义域为R的偶函数,危)有4个零点处，必冷，X4(xi—),并且当x20时:

2

J(x)=x-ax+\t则下列说法中正确的是()

A.实数〃的取值范围是(-8,-2)U(2,+8)

B.当尤V0时，J(x)=x2+ax+1

C.X1X2X3X4—1

D.汇+2%2+3冷+4v4的取值范围是［23，+~)

三、填空题

13.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加

密密钥密码系统(PrivateKeyCryptosystem),其加密、解密原理为：发送方由明文一密文(加

密)，接收方由密文一明文.现在加密密钥为y=^3,如“4”通过加密后得到密文“2”，若

接收方接到密文“丄”，则解密后得到的明文是________.

256

14.若函数式x)=er—ln(x+a)在(0,+8)上存在零点，则实数a的取值范围是.

15.已知函数y=/(x)的表达式为貝x)=1''则函数y=/(/(x))的所有零点之和为

10g2%,X>0,

16.渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、

冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度厶与其出水

后时间《分钟)满足的函数关系式为厶=”屋.若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%,

出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%,那么若不及时处理,打上来的这种鱼在

分钟后开始失去全部新鲜度.(已知1g2~0.3,结果取整数)

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2024年高考数学一轮复习第2章：函数与方程教师版

一、单项选择题

1.函数/)=^+统一5的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析函数人x)=e'+2x—5在R上单调递增，而_/(l)=e—3<0,貝2)=e2—1>0,

由函数零点存在定理知，函数外)的唯一零点在区间(1,2)内.

2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从4点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速

走了一圈(路线为0/),则小明到。点的直线距离y与他从/点出发后运动的时间

f之间的函数图象大致是()

答案D

解析小明沿前走时，与。点的直线距离保持不变，

沿8。走时，随时间增加与O点的距离越来越小，

沿。4走时，随时间增加与。点的距离越来越大，故结合选项可知D正确.

3.函数y=蛇二11的图象大致是()

X—1

答案D

解析因为卜=蚂二过=—12区，xWO,故夕=她1为奇函数，图象关于原点成中心对称,

—XXX

将函数图象向右平移1个单位长度可得》=圖£丁的图象，

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所以y=蛇二」的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A,B；

X—1

又当^=曲二11=0时，x=0或x=2,故夕=蛇二」的图象与X轴有2个交点，排除C.

X—1X—1

4.在使用二分法计算函数/(x)=lgx+x—2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2),

如果要求近似解的精确度为0.1,则接下来需要计算次区间中点的函数值()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因为区间(1,2)的长度为1,每次二等分都使区间长度变为原来的%

3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为@3=9o.i,不满足题意,

O

a=上0」，满足题意.

4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为

16

5.信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信

号强度不断减弱，这种现象称为衰减.在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声

压的衰减过程可以用指数模型：P(s)=Re—检描述声压尸⑸(单位：帕斯卡)随传播距离s(单位:

米)的变化规律，其中尸。为声压的初始值，常数K为试验参数.若试验中声压初始值为900

帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K的估计值约为(参考数据：

In2Po.69,In3=1.10)()

A.0.162B.0.164

C.0.166D.0.168

答案B

解析由题意知，400=900e5K,

两边取自然对数，则In4=ln9-5K,

In9-In42(ln3-ln2)2X0.41八“

所以K=--------=---------2弋------=0.164.

555

[n(—Y)

6.已知貝x)=,'’则函数y=^(x)—劣代)的零点个数为()

口，x20,

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析由题设，当x<0时，/(x)GR且单调递减，当时，/(x)e(0,l)且单调递减,

令则y=3P—2/=0,可得/=0或£=],作出函数外)的图象，如图所示，

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由图知，当f=0时有一个零点，当f=2时有两个零点，故共有3个零点.

3

7.已知函数次》)=2叶唳>，且实数a>6>c>0,满足大吻6)女)<0,若实数xo是函数尸危)

的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是()

A.x^<aB.x6>a

C.xo<hD.XQ<C

答案D

解析由函数的单调性可得，

函数貝x)=2*+log2X在(0,+8)上单调递增，

由危次切©<0,

则/(a),/(b),/(c)为负数的个数为奇数，

选项A,B,C可能成立；

对于选项D,当xo<c时，

由函数的单调性可得负。)>0,负6)>0,

即不满足以求助(c)〈0,

故选项D不可能成立.

—2)x>]

8.(2022・西安模拟)已知函数义x)=,'‘若函数8(X)=貝刈-10訣。+1)恰有

|x|—1,—1WxW1,

3个零点，则实数a的取值范围为()

AEI]Bfi9

arin

C.l6‘。4jD.L6‘4j

答案B

解析令g(X)=/(X)—l0ga(x+1)=0,可得加)=10g4a+1),

所以曲线y=/(x)与曲线y=lo改(x+1)有三个交点，

当时，曲线y=/(x)与曲线>=10即(工+1)只有一个交点，不符合题意;

当04vl时，若使得曲线y=/(x)与曲线歹=log，x+l)有三个交点，

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10ga3>-1,

则,log“5<T,解得?档.

0<«<1,

二、多项选择题

9.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径

为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、

悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤

前水中大颗粒杂质含量为50mg/L,若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L,

则PP棉滤芯层数不可能为()

(参考数据：1g2七0.30,1g3=0.48)

A.5B.6C.7D.8

答案ABC

解析由题意得，经〃层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为50。3=50XQ",“GN",

则50XG"<2.5得，20XG"W1,

所以lg20+lgUz<0,

lg10+lg2+n(ig2-lg3)^0,

所以l+0.3+(0.3-0.48)nW0,1.3W0.18”,

得普，

因为n为正整数，

所以〃的最小值为8.

/+2工，

10.设函数外)=，'''则g(x)=/(x)一加的零点个数可能是()

Inx-Xfx>0,

A.1B.2C.3D.4

答案AB

9+2x,XWO,

解析由函数/(x)=,'''得大—1)=貝

lnx-x,x>0,

则函数g(x)=/(x)—〃z的零点个数就是函数y=/(x)的图象与y=m的交点个数，

画出^=危)和，=用的图象，如图所示，

第7页共11页

由图可知，当机＞0时，两个函数的图象有1个交点，

当mWO时，两个函数的图象有2个交点，

所以函数g（x）=f（x）—m的零点可能有1个或2个.

11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射

后每毫升血液中的含药量武微克）与时间/（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进

一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，贝哎）

y(微克)

A/(l,4)

r（小时）

A.a—3

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物;小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

O

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为52小时

32

答案AD

'4l,0^«1,

解析由函数图象可知y=.|T|

LJ”，闫，

当t=\时，y=4,

即日宀=4,解得。=3,

4t,O^Kl,

故A正确,

药物刚好起效的时间，当4f=0.125,即/=丄,

药物刚好失效的时间=0.125,

解得£=6,

故药物有效时长为6—^-=5豆（小时），

3232

注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物1小时后

O

每毫升血液含药量为4X：=0.5（微克），故C错误.

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12.已知定义域为R的偶函数/(X)有4个零点X|,X2，工3，X4(X142a3<X4)，并且当时,

2

J(x)=x-ax+\9则下列说法中正确的是()

A.实数。的取值范围是(一8,-2)U(2,+8)

B.当x<0时，J(x)=x2+ax+1

C.X1X2X3X4—1

D.xi+2工2+3工3+4工4的取值范围是,+°°)

答案BC

解析因为兀V)为偶函数且有4个零点，

则当xX)时兀0有2个零点,

Z=q2—4>0,

即’_二£八解得a>2,A不正确；

了u,

2

当工<0时，-x>0,则,/(X)=/(—X)=X2+QX+1,B正确;

偶函数y(x)的4个零点满足：X1<X2<X3<X4,

则不3,X4是方程N—。才+1=0的两个根，

则有X3>0,X3X4=1且修=一冗4,X2=—%3,

于是得X|X2X3X4=(X3X4)2=1,C正确；

由C选项知，X|+2%2+3x3+4x4—X3+3x4=X3H，

X3

且0VX3V1,而函数歹=x+±在(0,1)上单调递减，

X

从而得%3+二£(4,+°°),D不正确.

X3

三、填空题

13.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加

密密钥密码系统(PrivateKeyCryptosystem),其加密、解密原理为：发送方由明文一密文(加

密)，接收方由密文一明文.现在加密密钥为》=依3,如“4”通过加密后得到密文“2”，若

接收方接到密文“丄”，则解密后得到的明文是.

答案丄

2

解析由题可知，加密密钥为卜=依3,

由已知可得，当x=4时，>=2,

所以2=4X43,解得左=3=丄，

故^=丄炉，显然令y=丄，即丄=丄必

32丿25625632

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解得X3=L即X=L

82

14.若函数貝x)=er—ln(x+a)在(0,+8)上存在零点，则实数。的取值范围是

答案(一8,e)

解析由题意可得，函数y=er与ga)=ln(x+a)的图象在(0,+8)上有交点，

当A0时，g(x)=lna+q)的图象是由函数y