算法及其推广

关于算法及其推广EM算法是一种迭代算法，1977年由Dempster等人总结提出，用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计。EM算法的每次迭代由两步组成：E步，求期望；M步，求极大。所以这一算法称为期望极大算法（ExpectationMaximization）,简称EM算法。第2页,共26页，2024年2月25日，星期天极大似然估计极大似然估计是概率论在统计学中的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次实验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。第3页,共26页，2024年2月25日，星期天极大似然估计似然函数：已知样本集X,X是通过概率密度p(x|θ)抽取。样本集X中各个样本的联合概率：为了便于分析，由于L(θ)是连乘的，还可以定义对数似然函数，将其变成连加的：第4页,共26页，2024年2月25日，星期天极大似然估计求极值可以转换为以下方程：θ的极大似然估计量表示为：第5页,共26页，2024年2月25日，星期天9.1EM算法的引入9.1.1 EM算法9.1.2 EM算法的导出9.1.3 EM算法在非监督学习中的应用9.2EM算法的收敛性第6页,共26页，2024年2月25日，星期天9.1.1EM算法例9.1（三硬币模型）假设有3枚硬币，分别记作A,B,C.这些硬币正面出现的概率分别是π,p,q.进行如下掷硬币试验：先掷硬币A，根据其结果选出硬币B或硬币C，正面选硬币B，反面选硬币C；然后掷选出的硬币，掷硬币的结果，出现正面记作1，出现反面记作0；独立地重复n次试验（这里，n=10），观测结果如下：1,1,0,1,0,0,1,0,1,1假设只能观测到掷硬币的结果，不能观测掷硬币的过程。问如何估计三硬币正面出现的概率，即三硬币模型的参数。第7页,共26页，2024年2月25日，星期天解三硬币模型可以写作y:观测变量，表示一次试验观测的结果是1或0z:隐变量，表示未观测到的掷硬币A的结果θ：θ=(π,p,q)是模型参数第8页,共26页，2024年2月25日，星期天将观测数据表示为Y=(Y1,Y2,…,Yn)T,未观测数据表示为Z=(Z1,Z2,…,Zn)T,则观测数据的似然函数为

即考虑求模型参数θ=(π,p,q)的极大似然估计，即

第9页,共26页，2024年2月25日，星期天EM算法首先选取参数的初值，记作

，然后通过下面的步骤迭代计算参数的估计值，直至收敛为止。第i次迭代参数的估计值为。EM算法的第i+1次迭代如下E步：计算在模型参数下观测数据yj来自掷硬币B的概率

那么观测数据yj

来自硬币C的概率为1-μ(i+1)第10页,共26页，2024年2月25日，星期天M步：先写出期望然后分别求导，计算模型参数的新估计值第11页,共26页，2024年2月25日，星期天假设模型参数的初值取为由E步公式对yj=1与yj=0均有μj(1)=0.5利用M步迭代公式，得到继续计算μj(2)=0.5，j=1,2,…,10继续迭代，得于是得到模型参数θ的极大似然估计：

EM算法与初值的选择有关，选择不同的初值可能得到不同的参数估计值。如果取初值

那么得到的模型参数的极大似然估计是第12页,共26页，2024年2月25日，星期天算法9.1（EM算法）输入：观测变量数据Y，隐变量数据Z，联合概率分布P(Y,Z|θ)，条件概率分布P(Z,Y|θ)；输出：模型参数θ.（1）选择参数的初值，开始迭代，参数的初值可以任意选择，但需注意EM算法对初值是敏感的；（2）E步：记为第i次迭代参数θ的估计值，在第i+1次迭代得E步，计算这里，是在给定观测数据Y和当前的参数估计下隐变量数据Z的条件概率分布.注意，的第一个变元表示要极大化的参数，第2个变元表示参数的当前估计值.每次迭代实际在求Q函数及其极大；第13页,共26页，2024年2月25日，星期天（3）M步：求使极大化的θ，确定i+1次迭代得参数的估计值（4）重复第（2）步和第（3）步，直到收敛，这里给出停止迭代得条件，一般是对较小的正数，若满足

则停止迭代.第14页,共26页，2024年2月25日，星期天定义9.1（Q函数）完全数据（观测变量数据Y和隐变量数据Z）的对数似然函数关于在给定观测数据Y和当前参数下对未观测数据Z的条件概率分布的期望称为Q函数，即第15页,共26页，2024年2月25日，星期天9.1.2EM算法的导出琴生（Jensen）不等式如果f是凸函数，X是随机变量，那么

E[f(X)]≥f(EX)特别地，如果f是严格凸函数,E[f(X)]≥f(EX)那么当且仅当p(x=E[X])=1，也就是说X是常量。这里我们将f(E[X])简写为f(EX)Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向，也就是E[f(X)]≤f(EX)第16页,共26页，2024年2月25日，星期天下面通过近似求解观测数据的对数似然函数的极大化问题来导出EM算法，由此可以清楚地看出EM算法的作用。假设在第i次迭代后θ的估计值是.我们希望新估计值θ能使L(θ)增加，即L(θ)>L(),并逐步达到极大值.为此，考虑两者的差：第17页,共26页，2024年2月25日，星期天利用Jensen不等式得到其下界：令则

第18页,共26页，2024年2月25日，星期天任何可以使增大的θ，也可以使L(θ)增大.为了使L(θ)有尽可能大的增长，选择

使达到极大，即现在求的表达式.省去对θ的极大化而言是常数的项，有上式等价于EM算法的一次迭代，即求Q函数及其极大化.EM算法是通过不断求解下界的极大化逼近求解对数似然函数极大化的算法.第19页,共26页，2024年2月25日，星期天第20页,共26页，2024年2月25日，星期天9.1.3EM算法在非监督学习中的应用有时训练数据只有输入没有对应的输出{(x1,·),(x2,·),…,(xn,·)}，从这样的数据学习模型称为非监督学习问题EM算法可以用于生产模型的非监督学习生成模型由联合概率分布P(X,Y)表示，可以认为非监督学习训练数据是联合概率分布产生的数据.X为观测数据，Y为未观测数据.第21页,共26页，2024年2月25日，星期天9.2EM算法的收敛性定理9.1设P(Y|θ)为观测数据的似然函数，(i=1,2,…)为EM算法得到的参数估计序列，则(i=1,2,…)为对应的似然函数序列，则是单调递增的，即第22页,共26页，2024年2月25日，星期天证明由于取对数有由令于是对数似然函数可以写成第23页,共26页，2024年2月25日，星期天只需证明右端为非负值即得出结果，由于使达到极大，所以有

其第二项，由

得出第24页,共26页，2024年2月25日，星期天定理9.2设L(θ)=logP(Y|θ)为观测数据的对数似然函数，(i=1,2,…)为EM算法得到的参数估计序列，(i=1,2,…)为对应的对数似然函数序列.（1）如果P(Y|θ)有上界，则收敛到某一值L*；（2）在函数