机械优化设计方法

关于机械优化设计方法第一章：绪论优化设计（OptimumDesign)是60年代发展起来的一门新的设计方法，是最优化技术和计算技术在设计领域中应用的结果。

解析法数值计算法优化方法微分求极值迭代逼近最优值计算机优化设计第2页,共203页，2024年2月25日，星期天

机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。什么叫机械优化设计工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满意和最适宜的值。第3页,共203页，2024年2月25日，星期天一、从传统设计到优化设计

机械设计一般需要经过调查研究(资料检索)、拟订方案(设计模型)、分析计算(论证方案)、绘图和编制技术文件等一系列的工作过程。图1-1传统的机械设计过程第4页,共203页，2024年2月25日，星期天图1－3机械优化设计过程框图第5页,共203页，2024年2月25日，星期天优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：(1)设计的思想是最优设计；(2)设计的方法是优化方法；(3)设计的手段是计算机。二、机械优化设计的发展概况近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、航空和造船等部门得到应用。1.优化设计的应用领域第6页,共203页，2024年2月25日，星期天国内近年来才开始重视，但发展迅速，在机构综合、机械的通用零部件的设计、工艺设计方面都得到应用。2.目前机械优化设计的应用领域在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说，是在上世纪60年代后期才得到迅速发展的。优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主要有以下几方面：第7页,共203页，2024年2月25日，星期天1)目前优化设计多数还局限在参数最优化这种数值量优化问题。结构型式的选择还需进一步研究解决。第8页,共203页，2024年2月25日，星期天2)优化设计这门新技术在传统产业中普及率还不高。3)把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优化设计发展的趋势之一。第9页,共203页，2024年2月25日，星期天三、本课程的主要内容1.建立优化设计的数学模型2.选择合适的优化方法3.编制计算机程序，求得最佳设计参数第10页,共203页，2024年2月25日，星期天第一章机械优化设计概述第一节应用实例机械优化设计问题来源于生产实际。现在举典型实例来说明优化设计的基本问题。图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3×N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1×Mpa，材料密度ρ=7.8×

/，许用压应力=420MPa。求在钢管压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。第11页,共203页，2024年2月25日，星期天图2-2人字架的受力第12页,共203页，2024年2月25日，星期天人字架的优化设计问题归结为：使结构质量但应满足强度约束条件稳定约束条件第13页,共203页，2024年2月25日，星期天钢管所受的压力失稳的临界力钢管所受的压应力第14页,共203页，2024年2月25日，星期天钢管的临界应力强度约束条件可以写成稳定约束条件可以写成第15页,共203页，2024年2月25日，星期天人字架的总质量这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只有两个约束条件，可以用解析法求解。除了解析法外，还可以采用作图法求解。第16页,共203页，2024年2月25日，星期天

1-3人字架优化设计的图解第17页,共203页，2024年2月25日，星期天第三节优化设计问题的数学模型一、设计变量

在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直处于变化的参数称为设计变量。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示：第18页,共203页，2024年2月25日，星期天图2-4设计空间第19页,共203页，2024年2月25日，星期天二、约束条件一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。约束性能约束侧面约束针对性能要求只对设计变量的取值范围限制（又称边界约束）（按性质分）按数学表达形式分：第20页,共203页，2024年2月25日，星期天约束等式约束不等式约束可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。一般情况下，其设计可行域可表示为：第21页,共203页，2024年2月25日，星期天图2-5二维问题的可行域第22页,共203页，2024年2月25日，星期天三、目标函数

目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的目标。如：轴的质量，弹簧的体积，齿轮的承载能力等。

在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的优劣，故目标函数也可称评价函数。目标函数的一般表示式为：第23页,共203页，2024年2月25日，星期天

优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值，即使通常目标函数单目标设计问题多目标设计问题

目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即第24页,共203页，2024年2月25日，星期天四、优化问题的数学模型

优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。优化设计问题的一般数学表达式为：第25页,共203页，2024年2月25日，星期天数学模型的分类：(1)按数学模型中设计变量和参数的性质分：确定型模型随机型模型设计变量和参数取值确定设计变量和参数取值随机(2)按目标函数和约束函数的性质分：a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数称为线性规划问题，其数学模型一般为：第26页,共203页，2024年2月25日，星期天b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：第27页,共203页，2024年2月25日，星期天五、优化问题的几何解释无约束优化：在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在目标函数等值面的中心。约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在可行域内或在可行域边界上。第28页,共203页，2024年2月25日，星期天第29页,共203页，2024年2月25日，星期天第30页,共203页，2024年2月25日，星期天第31页,共203页，2024年2月25日，星期天第32页,共203页，2024年2月25日，星期天第33页,共203页，2024年2月25日，星期天第四节优化设计问题的基本解法求解优化问题的方法：解析法数值法数学模型复杂时不便求解可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题第34页,共203页，2024年2月25日，星期天图1-11寻求极值点的搜索过程第35页,共203页，2024年2月25日，星期天第二章优化设计的数学基础机械设计问题一般是非线性规划问题。实质上是多元非线性函数的极小化问题，因此，机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。机械优化设计问题分为：无约束优化约束优化无条件极值问题条件极值问题第36页,共203页，2024年2月25日，星期天第一节多元函数的方向导数与梯度一、方向导数

从多元函数的微分学得知，对于一个连续可微函数f(x)在某一点的一阶偏导数为：，，，…它表示函数f(x)值在点沿各坐标轴方向的变化率。有一个二维函数，如图2-1所示。第37页,共203页，2024年2月25日，星期天图2-1函数的方向导数第38页,共203页，2024年2月25日，星期天其函数在点沿d方向的方向导数为第39页,共203页，2024年2月25日，星期天二、二元函数的梯度对于二维函数在点处的梯度设为d方向的单位向量，则有第40页,共203页，2024年2月25日，星期天即第41页,共203页，2024年2月25日，星期天三、多元函数的梯度沿d方向的方向向量即第42页,共203页，2024年2月25日，星期天图2-5梯度方向与等值面的关系第43页,共203页，2024年2月25日，星期天若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点的必要条件一阶偏导数等于零，即满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极小点，还得给出极值点的充分条件设目标函数在点至少有二阶连续的偏导数，则在这一点的泰勒二次近似展开式为：第二节多元函数的泰勒展开第44页,共203页，2024年2月25日，星期天为N维函数f(x)在点处的Hesse矩阵第45页,共203页，2024年2月25日，星期天泰勒展开写成向量矩阵形式∵∵第46页,共203页，2024年2月25日，星期天（1）▽F(X*)=0；必要条件（2）Hesse矩阵G(X*)为正定。充分条件多元函数f(x)在处取得极值，则极值的条件为为无约束极小点的充分条件其Hesse矩阵G(X*)为正定的。则极小点必须满足为无约束优化问题的极值条件第47页,共203页，2024年2月25日，星期天同学考虑二元函数在处取得极值的充分必要条件。各阶主子式大于零例：求函数的极值第48页,共203页，2024年2月25日，星期天第四节凸集、凸函数与凸规划前面我们根据函数极值条件确定了极小点则函数f(x)在附近的一切x均满足不等式所以函数f(x)在处取得局部极小值，称为局部极小点。而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内的全局极小点。函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢？第49页,共203页，2024年2月25日，星期天图2-7下凸的一元函数第50页,共203页，2024年2月25日，星期天一、凸集的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。一个点集（或区域），如果连接其中任意两点第51页,共203页，2024年2月25日，星期天凸集的性质二、凸函数函数f(x）为凸集定义域内的函数，若对任何的及凸集域内的任意两点存在如下不等式：第52页,共203页，2024年2月25日，星期天称是定义在凸集上的一个凸函数。第53页,共203页，2024年2月25日，星期天三、凸性条件1.根据一阶导数（函数的梯度）来判断函数的凸性设f(x)为定义在凸集R上，且具有连续的一阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸集R内任意不同两点，不等式恒成立。2.根据二阶导数（

Hesse矩阵)来判断函数的凸性第54页,共203页，2024年2月25日，星期天设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件Hesse矩阵在R上处处半正定。四、凸规划对于约束优化问题若都为凸函数，则此问题为凸规划。第55页,共203页，2024年2月25日，星期天凸规划的性质：1.若给定一点，则集合为凸集。2.可行域为凸集3.凸规划的任何局部最优解就是全局最优解第56页,共203页，2024年2月25日，星期天第五节等式约束优化问题的极值条件约束优化等式约束不等式约束求解这一问题的方法消元法拉格朗日乘子法第57页,共203页，2024年2月25日，星期天1.消元法（降维法）以二元函数为例讨论。二、拉格朗日乘子法（升维法）对于具有L个等式约束的n维优化问题处有将原来的目标函数作如下改造：第58页,共203页，2024年2月25日，星期天拉格朗日函数待定系数新目标函数的极值的必要条件例2-4用拉格朗日乘子法计算在约束条件的情况下，目标函数的极值点坐标。第59页,共203页，2024年2月25日，星期天第六节不等式约束优化问题的极值条件在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束条件的优化问题。有必要引出非线性优化问题的重要理论，是不等式约束的多元函数的极值的必要条件。库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件一、一元函数在给定区间上的极值条件一元函数f(x)在给定区间[a,b]上的极值问题，可以写成下列具有不等式约束条件的优化问题：第60页,共203页，2024年2月25日，星期天拉格朗日乘子法，除了可以应用于等式的极值问题，还可以用于不等式的极值问题。需引入松弛变量，将不等式约束变成等式约束。设a1和b1为两个松弛变量，则上述的不等式约束可写为：第61页,共203页，2024年2月25日，星期天则该问题的拉格朗日函数根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件：第62页,共203页，2024年2月25日，星期天由（起作用约束）（不起作用约束）同样，来分析起作用何不起作用约束。因此，一元函数在给定区间的极值条件，可以表示为：第63页,共203页，2024年2月25日，星期天多元库恩-塔克条件分析极值点在区间的位置，有三种情况第64页,共203页，2024年2月25日，星期天当时，此时，则极值条件为第65页,共203页，2024年2月25日，星期天当时，此时则极值条件为即第66页,共203页，2024年2月25日，星期天当时，此时，则极值条件为即第67页,共203页，2024年2月25日，星期天从以上分析可以看出，对应于不起作用的约束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用约束的下标集合。一元函数在给定区间的极值条件，可以改写为：极值条件中只考虑起作用的约束和相应的乘子。第68页,共203页，2024年2月25日，星期天二、库恩-塔克条件仿照一元函数给定区间上极值条件的推导过程，可以得到具有不等式约束多元函数极值条件：用起作用约束的下标集合表示第69页,共203页，2024年2月25日，星期天用梯度形式表示，可得或库恩-塔克条件的几何意义：在约束极小点处，函数的负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度的非负线性组合。第70页,共203页，2024年2月25日，星期天下面以二维问题为例，说明K-T条件的几何意义第71页,共203页，2024年2月25日，星期天从图中可以看出，处在和角锥之内，即线性组合的系数为正，是在取得极值的必要条件。第72页,共203页，2024年2月25日，星期天三、库恩-塔克条件应用举例若给定优化问题的数学模型为K-T条件第73页,共203页，2024年2月25日，星期天第74页,共203页，2024年2月25日，星期天第三章一维搜索方法采用数学规划法求函数极值点的迭代计算：K+1次迭代的搜索方向搜索的最佳步长因子当搜索方向给定，求最佳步长就是求一元函数的极值。称为一维搜索。是优化搜索方法的基础。求解一元函数的极小点，可用解析法。第75页,共203页，2024年2月25日，星期天上式求α的极值，即求α导数为零。则从上式看，需要求导进行计算，对于函数关系复杂的，解析法十分不便。数值法的基本思路：确定的搜索区间，在不断缩小区间，最终获得近似值。第76页,共203页，2024年2月25日，星期天第二节搜索区间的确定和区间消去法原理一、确定搜索区间的外推法第77页,共203页，2024年2月25日，星期天图3-2正向搜索的外推法第78页,共203页，2024年2月25日，星期天图3-3反向搜索的外推法第79页,共203页，2024年2月25日，星期天三、区间消去法原理第80页,共203页，2024年2月25日，星期天第81页,共203页，2024年2月25日，星期天为了避免多计算函数值，将第三种情况合并到前两种情况中。第82页,共203页，2024年2月25日，星期天三、一维搜索方法的分类从前面的分析可知，每次缩短区间，只需要在区间内在插入一点并计算其函数值。而插入点的位置，可以由不同的方法来确定。就形成了不同的一维搜索方法。一维搜索方法分类试探法插值法黄金分割法二次插值法第三节一维搜索的试探法最常用的一维搜索试探法是黄金分割法，又称0.618法。第83页,共203页，2024年2月25日，星期天要求插入点a1、a2的位置相对于区间[a,b]两端点具有对称性。除对称要求外，黄金分割法还要求在保留下来的区间再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。第84页,共203页，2024年2月25日，星期天2所谓的“黄金分割”是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段的比值，即第85页,共203页，2024年2月25日，星期天第86页,共203页，2024年2月25日，星期天第四节一维搜索的插值方法假定要在某一区间内寻找函数的极小点的位置，虽然没有函数表达式，但能够给出若干试验点处的函数值。我们可以根据这些点处的函数值，利用插值的方法建立函数的近似表达式，进而求处函数的极小点，作为原来函数的极小点的近似值。这种方法称作插值法，也称函数逼近法。一、牛顿法（切线法）一维搜索函数，假定一给出极小点的一个较好的近似点，因为一个连续可微的函数在极小点附近与一个二次函数很接近，因此，在点附近用一个二次函数逼近。第87页,共203页，2024年2月25日，星期天求二次函数的极小点作为极小点的新近似点即依次继续下去，可得牛顿法迭代公式：第88页,共203页，2024年2月25日，星期天牛顿法的几何解释：第89页,共203页，2024年2月25日，星期天牛顿法的计算步骤：给定初始点，控制误差，并令k=0。1）计算2）求3)若则求得近似解，停止计算，否则作4。4）令转1。第90页,共203页，2024年2月25日，星期天优点：收敛速度快。缺点：每一点都要进行二阶导数，工作量大；要求初始点离极小点不太远，否则有可能使极小化发散或收敛到非极小点。二、二次插值（抛物线法）利用在单谷区间中的函数值，作出如下的二次插值多项式它应满足条件（1）第91页,共203页，2024年2月25日，星期天从极值的必要条件求得（2）（3）要求出系数和，联立方程组（1）、（2）、（3）。第92页,共203页，2024年2月25日，星期天令所以则第93页,共203页，2024年2月25日，星期天第94页,共203页，2024年2月25日，星期天第95页,共203页，2024年2月25日，星期天第96页,共203页，2024年2月25日，星期天第97页,共203页，2024年2月25日，星期天第四章无约束优化方法第一节概述从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题是约束优化问题。约束优化问题的求解——转化为一系列的无约束优化问题实现的。因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。无约束优化问题的极值条件第98页,共203页，2024年2月25日，星期天解析法数值法数学模型复杂时不便求解可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题搜索方向问题是无约束优化方法的关键。各种无约束优化方法的区别：确定搜索方向的方法不同。无约束优化方法分类利用目标函数的一阶或二阶导数利用目标函数值（最速下降法、共轭梯度法、牛顿法）（坐标轮换法、鲍威尔等）第99页,共203页，2024年2月25日，星期天第100页,共203页，2024年2月25日，星期天第二节最速下降法优化设计追求目标函数值最小，若搜索方向取该点的负梯度方向，使函数值在该点附近的范围内下降最快。按此规律不断走步，形成以下迭代算法：以负梯度方向为搜索方向，所以称最速下降法或梯度法。搜索方向确定为负梯度方向，还需确定步长因子即求一维搜索的最佳步长，既有第101页,共203页，2024年2月25日，星期天由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。第102页,共203页，2024年2月25日，星期天第103页,共203页，2024年2月25日，星期天例4-1求目标函数的极小点。第104页,共203页，2024年2月25日，星期天第105页,共203页，2024年2月25日，星期天第三节牛顿型方法在第三章中，我们已经讨论了一维搜索的牛顿方法。得出一维情况下的牛顿迭代公式对于多元函数，在泰勒展开，得设为函数的极小点，根据极值的必要条件第106页,共203页，2024年2月25日，星期天这是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。例4-2用牛顿法求的极小值。对牛顿法进行改进，提出“阻尼牛顿法”第107页,共203页，2024年2月25日，星期天第108页,共203页，2024年2月25日，星期天第四节共轭方向及共轭方向法为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展了一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。一、共轭方向的概念共轭方向的概念是在研究二次函数时引出的。首先考虑二维情况第109页,共203页，2024年2月25日，星期天如果按最速下降法，选择负梯度方向为搜索方向，会产生锯齿现象。为避免锯齿的发生，取下一次的迭代搜索方向直接指向极小点，如果选定这样的搜索方向，对于二元二次函数只需进行两次直线搜索就可以求到极小点。第110页,共203页，2024年2月25日，星期天应满足什么条件？对于二次函数在处取得极小点的必要条件等式两边同乘得是对G的共轭方向。第111页,共203页，2024年2月25日，星期天三、共轭方向法1、选定初始点，下降方向和收敛精度ε，k=0。2、沿方向进行一维搜索，得3、判断是否满足，若满足则打印否则转4。4、提供新的共轭方向，使5、置，转2。第112页,共203页，2024年2月25日，星期天第113页,共203页，2024年2月25日，星期天第五节共轭梯度法共轭梯度法是共轭方向法的一种，共轭向量有迭代点的负梯度构造出来，所以称共轭梯度法。从点出发，沿G某一共轭方向作一维搜索,到达而在点、处的梯度分别为：第114页,共203页，2024年2月25日，星期天得出共轭方向与梯度之间的关系。此式表明沿方向进行一维搜索，其终点与始点的梯度值差与的共轭方向正交。第115页,共203页，2024年2月25日，星期天图4-9共轭梯度法的几何说明第116页,共203页，2024年2月25日，星期天第117页,共203页，2024年2月25日，星期天第六节变尺度法变尺度法的基本思想：前面讨论的梯度法和牛顿法，它们的迭代公式可以看作下列公式的特例。变尺度法是对牛顿法的修正，它不是计算二阶导数的矩阵和它的逆矩阵，而是设法构造一个对称正定矩阵H来代替Hesse矩阵的逆矩阵。并在迭代过程中，使其逐渐逼近H-1

。由于对称矩阵H在迭代过程中是不断修正改变的，它对于一般尺度的梯度起到改变尺度的作用，因此H又称变尺度矩阵。第118页,共203页，2024年2月25日，星期天一、尺度矩阵的概念变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过尺度变换可以把函数的偏心程度降低到最低限度。对于一般二次函数如果进行尺度变换第119页,共203页，2024年2月25日，星期天则在新的坐标系中，函数的二次项变为选择这样变换的目的：降低二次项的偏心程度。若矩阵G是正定的，则总存在矩阵Q使使得函数偏心度变为零。用Q-1

右乘等式两边，得再用Q左乘等式两边，得所以第120页,共203页，2024年2月25日，星期天说明二次函数矩阵G的逆矩阵，可以通过尺度变换矩阵Q求得。这样，牛顿法迭代过程中的牛顿方向可写成：三、变尺度法的一般步骤第121页,共203页，2024年2月25日，星期天第122页,共203页，2024年2月25日，星期天第七节坐标轮换法坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方法。它把多变量的优化问题轮流地转化成单变量的优化问题。因此又称变量轮换法。

其基本原理是将一个多维的无约束最优化问题转化为一系列较低维的最优化问题来求解，简单地说，就是先将(n-1)个变量固定不动，只对第一个变量进行一维搜索得到最优点x1（1）。然后，又保持(n-1)个变量不变，再对第二个变量进行一维搜索到x2（1）等等。第123页,共203页，2024年2月25日，星期天第124页,共203页，2024年2月25日，星期天图4－12坐标轮换法原理图（动画演示）第125页,共203页，2024年2月25日，星期天2.搜索方向与步长的确定（1）搜索方向的确定对于第k轮第i次的计算第k轮第I次的迭代方向，它轮流取n维坐标的单位向量。第126页,共203页，2024年2月25日，星期天3.搜索步长的确定关于值通常有以下几种取法（1）加速步长法（2）最优步长法最优步长法就是利用一维最优搜索方法来完成每一次迭代，即此时可以采用0.618方法或二次插值方法来计算的值。第127页,共203页，2024年2月25日，星期天图4－13加速步长法的搜索路线第128页,共203页，2024年2月25日，星期天图4－14最优步长法的搜索路线第129页,共203页，2024年2月25日，星期天4.坐标轮换法存在的问题图4－15坐标轮换法在各种不同情况下的效能（a）搜索有效；（b）搜索低效；（c）搜索无效第130页,共203页，2024年2月25日，星期天第八节Powell法（方向加速法）

Powell法是利用共轭方向可以加速收敛的性质所形成的一种搜索算法。一、共轭方向的生成第131页,共203页，2024年2月25日，星期天第132页,共203页，2024年2月25日，星期天二、基本算法第133页,共203页，2024年2月25日，星期天三、改进的算法在鲍维尔基本算法中，每一轮迭代都用连结始点和终点所产生出的搜索方向去替换原来向量组中的第一个向量，而不管它的“好坏”。改进的算法是：首先判断原向量组是否需要替换。如需要替换，在产生新的向量。第134页,共203页，2024年2月25日，星期天第135页,共203页，2024年2月25日，星期天

第六章约束优化方法

根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法两类。

机械优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题，其数学模型为：

直接解法是在满足不等式约束的可行设计区域内直接求出问题的约束最优解。

属于这类方法的有：随机实验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。第136页,共203页，2024年2月25日，星期天

间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。

由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法，并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。

直接解法的基本思想：

在由m个不等式约束条件gu(x)≤0所确定的可行域φ内，选择一个初始点x(0)，然后确定一个可行搜索方向S，且以适当的步长沿S方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可行的新点x(1)，即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程，每次均按如下的基本迭代格式进行计算：

第137页,共203页，2024年2月25日，星期天x(k+1)＝x(k)+α(k)S(k)(k=0,1,2,…)逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。第138页,共203页，2024年2月25日，星期天直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始点不同，而搜索到不同的局部最优解。3）要求可行域有界的非空集。第139页,共203页，2024年2月25日，星期天a)可行域是凸集；b)可行域是非凸集第140页,共203页，2024年2月25日，星期天间接解法的求解思路：将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优化问题。新目标函数加权因子然后对新目标函数进行无约束极小化计算。第141页,共203页，2024年2月25日，星期天第142页,共203页，2024年2月25日，星期天第二节随机方向法随机方向法的基本思路：在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为搜索方向d。从初始点x0出发，沿d方向以一定步长进行搜索，得到新点X，新点x应满足约束条件且f(x)<f(x0)，至此完成一次迭代。基本思路如图所示。随机方向法程序设计简单，搜索速度快，是解决小型机械优化问题的十分有效的算法。第143页,共203页，2024年2月25日，星期天第144页,共203页，2024年2月25日，星期天一、随机数的产生下面介绍一种常用的产生随机数的数学模型首先令取r=2657863，按一下步骤计算：令若则若则若则则（0，1）之间的随机数第145页,共203页，2024年2月25日，星期天在任意(a,b)区间内的随机数二、初始点的选择

随机方向法的初始点x0必须是一个可行点，既满足全部不等式约束条件。初始点可以通过随机选择的方法产生。1）输入设计变量的下限值和上限值，即2）在区间（0，1）内产生n个伪随机数3）计算随机点x的各分量第146页,共203页，2024年2月25日，星期天4）判别随机点x是否可行，若随机点可行，用x代替x0为初始点；若非可行点，转到步骤2）重新产生随机点，只到可行为止。三、可行搜索方向的产生产生可行随机方向的方法：从k个随机方向中，选取一个较好的方向。其计算步骤为：1）在(-1,1)区间内产生伪随机数，得随机单位向量第147页,共203页，2024年2月25日，星期天2)取一试验步长a0，按下式计算k个随机点3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算余下的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标函数最小的点XL

。4)比较XL

和X0两点的目标函数值，若f(XL)<f(X0)，则取XL

和X0连线方向为可行搜索方向；若f(XL)>f(X0)，则步长α0

缩小，专步骤1）重新计算，直至f(XL)<f(X0)为止。如果α0

缩小到很小，仍然找不到一个XL，使f(XL)<f(X0)则说明X0是一个局部极小点，此时可更换初始点，转步骤1）。第148页,共203页，2024年2月25日，星期天产生可行搜索方向的条件为：则可行搜索方向为：四、搜索步长的确定步长由加速步长法确定。第149页,共203页，2024年2月25日，星期天五、随机方向法的计算步骤第三节复合形法复合形法是求解约束优化问题的一种重要的直接解法。

它的基本思路是在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，找到目标函数最大的顶点（最坏点），然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新的复合形，复合形的形状没改变一次，就向最优点移动一步，直至逼近最优点。

由于复合形的形状不必保持规则的图形，对目标函数和约束函数无特殊要求，因此这种方法适应性强，在机械优化设计中应用广泛。第150页,共203页，2024年2月25日，星期天第151页,共203页，2024年2月25日，星期天初始复合形生成的方法：1）由设计者决定k个可形点，构成初始复合形。设计变量少时适用。2）由设计者选定一个可形点，其余的k-1个可形点用随机法产生。第152页,共203页，2024年2月25日，星期天3）由计算机自动生成初始复合形的所有顶点。二、复合形法的搜索方法1.反射1）计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小，求出最好点XL、最坏点XH

及次坏点XG，即第153页,共203页，2024年2月25日，星期天2）计算除去最坏点XH

外的（k-1）个顶点的中心XC

3）从统计的观点来看，一般情况下，最坏点XH和中心点XC的连线方向为目标函数的下降方向。第154页,共203页，2024年2月25日，星期天4）判别反射点XR的位置

若XR

为可行点，则比较XR

和XH

两点的目标函数值，如果f(XR)<f(XH)，则用XR取代XH

，构成新的复合形，完成一次迭代；如果f(XR)>=f(XH),则将α缩小0.7倍，重新计算新的反射点，若仍不行，继续缩小α，直至f(XR)<f(XH)为止。

若为非可行点，则将α缩小0.7倍，直至可行为止。然后再重复可行点的步骤。2.扩张第155页,共203页，2024年2月25日，星期天3.收缩第156页,共203页，2024年2月25日，星期天第157页,共203页，2024年2月25日，星期天第158页,共203页，2024年2月25日，星期天第五节惩罚函数法

惩罚函数法是一种很广泛、很有效的间接解法。它的基本原理是将约束优化问题中的不等式和不等式约束函数经加权后，和原目标函数结合为新的目标函数——惩罚函数。

将约束优化问题转换为无约束优化问题。求解无约束优化问题的极小值，从而得到原约束优化问题的最优解。加权转化项第159页,共203页，2024年2月25日，星期天

惩罚函数法是按一定的法则改变加权因子的值，构成一系列的无约束优化问题，求一系列无约束最优解，并不断地逼近原约束优化问题的最优解。因此又称序列无约束极小化方法。常称SUMT方法。根据它们在惩罚函数中的作用，分别称障碍项和惩罚项。

障碍项的作用是当迭代点在可行域内时，在迭代过程中将阻止迭代点越出可形域。

惩罚项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。

按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行，分为：内点法、外点法及混合法。第160页,共203页，2024年2月25日，星期天一、内点惩罚函数法

内点法将新目标函数定义于可行域内，这样它的初始点及后面的迭代点序列必定在可行域内。

采用内点法只能求解具有不等式约束的优化问题。转化后的惩罚函数形式为：障碍项第161页,共203页，2024年2月25日，星期天障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。例6-5用内点法求问题约束最优解。第162页,共203页，2024年2月25日，星期天第163页,共203页，2024年2月25日，星期天用内点法求解，首先构造内点惩罚函数：用解析法对函数求极小值。求解得第164页,共203页，2024年2月25日，星期天不满足约束条件，舍去。无约束极值点为：第165页,共203页，2024年2月25日，星期天下面介绍内点法中的初始点、惩罚因子初值及其缩减系数的选取和收敛条件的确定。1.初始点的选取

初始点应选离约束边界较远的可行点。程序设计时，一般，考虑具有人工输入、和计算机自动生成可行初始点的两种功能。2.惩罚因子的初值的选取惩罚因子的初值选取应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。太大会影响迭代次数，太小会使惩罚函数的形态变坏，难以收敛到极值点。1）取r0=1，根据试算的结果，再决定增加或减少r0

值。第166页,共203页，2024年2月25日，星期天2）按经验公式

计算r0

值。这样选取的r0

，可以是惩罚函数中的障碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障碍项的值太大则其支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽略掉。3.惩罚因子的缩减系数c的选取

在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为：第167页,共203页，2024年2月25日，星期天惩罚因子的缩减系数通常的取值范围：0.1-0.7之间。4.收敛条件第168页,共203页，2024年2月25日，星期天第169页,共203页，2024年2月25日，星期天

内点法是将惩罚因数定义于可行域内，而外点法与内点法不同，是将惩罚项函数定义于可行区域的外部。序列迭代点从可行域外部逐渐逼近约束边界上的最优点。二、外点惩罚函数法外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。对于约束优化问题第170页,共203页，2024年2月25日，星期天惩罚因子，它是由小到大。惩罚项

由惩罚项可知，当迭代点不可行时，惩罚项的值大于零。

当迭代点离约束边界越远时，惩罚项愈大，这可看成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。转化后的外点惩罚函数的形式为：第171页,共203页，2024年2月25日，星期天第172页,共203页，2024年2月25日，星期天例6-6用外点法求问题约束最优解。首先构造外点惩罚函数：用解析法求解第173页,共203页，2024年2月25日，星期天求解得第174页,共203页，2024年2月25日，星期天外点法惩罚银子按下式递增递增系数，通常取c=5-10。

与内点法相反计算r0

值。选取的r0

太大则会使惩罚函数等值线偏心或变形，难以取得极小值。但r0太小，势必增加迭代次数。经验计算一般取r0=1，c=10常常可以取得满意的效果。也可以通过经验公式获得r0

值第175页,共203页，2024年2月25日，星期天外点法的特点：

1．初始点可以任选，但应使各函数有定义2．对等式约束和不等式约束均可适用3．仅最优解为可行设计方案4．一般收敛较快5．初始罚因子要选择得当6．惩罚因子为递增，递增率c有c>1。内点法的特点：

1．初始点必须为严格内点 2．不适于具有等式约束的数学模型3．迭代过程中各个点均为可行设计方案4．一般收敛较慢5．初始罚因子要选择得当6．罚因子为递减，递减率c有0<c<1。 第176页,共203页，2024年2月25日，星期天三、混合惩罚函数法1.混合惩罚函数法及其算法步骤

在构造惩罚函数时，可以同时包括障碍项与惩罚项，并将惩罚因子统一用r（k）表示：

由于内点法容易处理不等式约束优化设计问题，而外点法又容易处理等式约束优化设计问题，因而可将内点法与外点法结合起来，处理同时具有等式约束和不等式约束的优化设计问题。第177页,共203页，2024年2月25日，星期天

这种同时处理等式和不等式约束的惩罚函数法称为混合惩罚函数法。混合惩罚函数法与前述内点法和外点法一样，也属于序列无约束极小化(SUMT)方法中的—种方法。第178页,共203页，2024年2月25日，星期天第八章机械优化设计实例第一节应用技巧一、机械优化设计的一般过程机械设计的全过程一般可分为：1.建立优化设计的数学模型。2.选择适当的优化方法。3.编写计算机程序。4.准备必须的初始数据并上机计算。5.对计算机求得的结果进行必要的分析。第179页,共203页，2024年2月25日，星期天二、建立数学模型的基本原则

数学模型的建立要求确切、简洁的反映工程问题的客观实际。数学模型的三要素：设计变量、目标函数、约束条件。1.设计变量的选择

在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其主次，应尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。应注意各设计变量应相互独立，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。第180页,共203页，2024年2月25日，星期天3.约束条件的确定2.目标函数的确定

把最重要的指标作为目标函数，其余的次要的指标可作为约束条件。对于一般机械，可按重量最轻或体积最小的要求建立目标函数；对应力集中现象尤其突出的构件，则以应力集中系数最小为追求的目标。对于精密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。

约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件。第181页,共203页，2024年2月25日，星期天三、数学模型的尺度变换1.目标函数的尺度变换第182页,共203页，2024年2月25日，星期天2.设计变量的尺度变换当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定的搜索方向上各自的灵敏度相差也很大。灵敏度大的搜索变化快，灵敏度小的搜索变化慢。为了消除这种差别，可以对设计变量进行重新标度。使它成为无量纲或规格化的设计变量，这种处理称设计变量的尺度变换。第183页,共203页，2024年2月25日，星期天3.约束函数的规格化约束函数的尺度变换称规格化。

由于各约束函数所表达的意义不同，使得各约束函数值在量级上相差很大。

例如某热压机框架的优化设计中，许用应力为[σ]=150MPa，而下横梁的许用挠度[δ]=0.5mm，约束函数为：第184页,共203页，2024年2月25日，星期天

两