2023-2024学年河北省定州市高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省定州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.抛物线丫=4必的焦点坐标为()

A.(1,0)B.(-1,0)

C.(θ,-ɪ)D.(0,—)

IoIo

【正确答案】D

【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标

【详解】解：由丫=4/，得χz=gy,

所以抛物线的焦点在)'轴的正半轴上，且2〃=9，

所以勺/

所以焦点坐标为(OJ),

16

故选：D

2."4=±1"是“直线x+y=O和直线x-∕y=O垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【正确答案】C

【分析】根据两直线垂直与斜率之间的关系求解即可.

【详解】当α=±ι时，两条直线的方程为χ+y=o和χ-y=o,

斜率分别为-1］，则-Ixl=T,所以两直线垂直，

当直线x+y=O和直线X-Yy=O垂直时，一lx±=-l,解得α=±l,

a

所以“α=±1"是“直线x+y=。和直线x-∕y=O垂直”的充要条件，

故选:C.

3.数列｛αj,｝满足4+I=I-T^("eN"),且a∣=2,则々022的值为()

A.2B.1C.ɪD.-1

【正确答案】D

【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到/叱=%，即可求解.

【详解】解：由题意，数列白，”｝满足《川=1-：(〃€旷)，且q=2,

可得见=；，4=T，4=2,4=g',

可得数列｛%｝是以2,g,-l三项为周期的周期数列，

所以«2022=«673x3+3=%=T.

故选：D.

4.圆(x+2f+(y-12)2=4关于直线x-y+4=0对称的圆的方程为()

A.(x+6)2+(y+4)2=4B.(x+8)2+(y+2)2=4

C.(x-8)2+(y-2)2=4D.(x-6)2+(y-4)2=4

【正确答案】C

【分析】求圆心关于直线对称得到的圆心，列方程组可求解，从而可确定对称圆的方程.

【详解】设圆(％+2)2+(尸12『=4的圆心(-2,12)

关于直线χ-y+4=o对称的点为(。㈤，

b-∖2,

-------=-1

a+^,整理得cι+b=10Q=8

则有，

a-2ft+124八h=2

-----------------+4=0

I22

因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为2,

所以所求圆方程为(x-8y+(y-2)2=4,

故选:C.

5.2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫.倒计时依次

为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、

小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏

至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒

露的日影长之和为()

A.21寸B.20.5寸C.20寸D.19.5寸

【正确答案】A

【分析】由题意可得日影长可构成等差数列｛q｝,且4+4+%=31∙5可求出44,从而可求

出大雪、寒露的日影长之和为2+4=2。4.

【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，

所以日影长可构成等差数列｛%｝,

因为冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5,

所以4+%+%=31.5,则3,=31.5,得g=10.5,

所以大雪、寒露的日影长之和为4+4=2%=2x10.5=21（寸），

故选：A

6.在以下命题中：

①三个非零向量α,b，C不能构成空间的一个基底，则a，b，C共面；

②若两个非零向量",力与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则0,b共线；

ULUltillUUUUlUUUU

③对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若OP=20A-2OB-2OC，则P，A,B,

C四点共面

④若α,h是两个不共线的向量，且C=2α+"b（4"∈R,4"Hθ）,则｛“1,c｝构成空间的一

个基底

⑤若｛4∕,c｝为空间的一个基底，则｛〃+附+c+20,c+α｝构成空间的另一个基底；其中真命

题的个数是（）

A.0B.IC.2D.3

【正确答案】D

【分析】直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基础知识的应用求出结果.

【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.

①根据空间基底的定义，三个非零向量”,b,C不能构成空间的一个基底，则“，b,C共

面；故命题①正确.

②由空间基底的定义，若两个非零向量α,人与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，

则α,6共线，若α,匕不共线，则α,b共面，一定有向量与4,6不共面；故命题②正确.

③对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,当群=2〃-那-雕■时，若尸，A,

B,C四点共面，则4P=/MB+〃AC,OP-OA=λ(θB-OA^+μ(θC-OA),

'∖-λ-μ=2

OP=(∖-λ-μ)OA+λOB+μOC,∖λ=-2,方程组无解，故P,A,B,C四点不共

、〃=-2

面；故命题③错误.

④若“，％是两个不共线的向量，且c=/la+〃b(Z〃eR4〃H0),则向量C与α,b构成共面

向量，｛α,"c｝不能构成空间的一个基底；故命题④错误.

⑤利用反证法：若｛α+6,b+c,c+α｝不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，

ɪ*βyɪ-jʧ

设“+Z>=x(6+c)+y(c+α)(x,yeR),当x+y=O,d与b共线，⅛x+y≠0,=—^-a+—^-b,

都有0,b,c共面，由于｛α,5,c｝为空间的一个基底,得出矛盾，所以｛α+A,6+c,c+α｝能够成

空间的一个基底，故命题⑤正确.

真命题有3个.

故选：D

7.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，"鞠''最早系外包皮革、内

饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点

2

P,A,β,C,满足以=2,24_1面48。，ACLBC,^VP,ABC=-,则该“鞠”的体积的最小

值为()

.4√28√2„9n9

A.------TiBd.-----7tC.—TtD.二"兀

3328

【正确答案】B

【分析】作出辅助线，找到球心的位置，得到PB为球的直径，推导出要想该“鞠”的体积最

小，只需AB最小，由匕Y8C=：得到AC∙3C=2,结合基本不等式，求出A8最小值，从而

得到直径最小值，求出体积最小值.

【详解】因为R4=2,P4_L面ABC,ACBC,

故AB为三角形AgC所在小圆的直径，取A3中点O',过O'作O'O∕∕AP,交3P于点0,

则。即为球心，PB为球的直径，

要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，由于昨占牙+6=〃+Μ，

故只需A8最小，其中AB=JAC?+BC?，

1I12

^VP-ABC=^-ABC∙PA=-×-ACBC×2=-,

解得：ACBC=2,

由基本不等式得：AC2+BC2≥2AC∙BC=4,当且仅当AC=BC=应时，等号成立,

故AB最小值为2,此时直径最小值为PB=√4+22=2√2，

所以该“鞠”的体积最小值为3兀(&『=半π.

解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注

意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶

点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角

三角形，利用勾股定理求得球的半径.

8.如图，F1,工分别是双曲线，•-g=l(α>0,6>0)的左、右焦点，点P是双曲线与圆

一1

f+y2=∕+b2在第二象限的一个交点，点。在双曲线上，且耳p=]5Q,则双曲线的离心

A.—B.√2C.√3D.—

23

【正确答案】D

【分析】连接PGQK,设Nw用=。,设IP4=〃，由题意推得可，尸占可得

n2=2b2-2an,根据-P=；乙。,可得I用Ql=2",在在中，由余弦定理推得

b2=2an-n2,从而求得。=]〃,b=瓜,可得C=姮〃，进而求得双曲线离心率.

22

【详解】由题意知阳周=知,C=JJ+1,连接PGQJ设NPKE=。,设IP用=〃，

由双曲线的定义可得I尸国=2α+”,

点P是双曲线与圆V+V=/+//在第二象限的一个交点，

22

可得PKjLP鸟,则〃2+（2。+〃）2=牝2,BPn=2b-2an,

Yl

在RfFIPK中，cosZPFF=cosθ-—,

122c

由耳尸=BK。,则I乃Ql=2”,由双曲线的定义可得内a=2a+2",

因为月P=g∕^Q,故4尸〃K。，所以NQEE=π-J,

n

在△匕居。中，CosNQgfj=-Cose=-----,

2c

由余弦定理可得：10"F=I。亮F+1FEF-21I∙16亮ICOSZQF2F1,

即(2α+2")2=(2〃)2+Re)?-2•2〃∙2c∙(-g),所以从=2即—〃2,

2c

3

结合〃2=2〃-，可得a=^n,b=∖[in,

所以<?=/+/=与2，故C=@1〃

42

所以双曲线的离心率为e,则e=£=V-=M'，

a，3

2

故选；D

方法点睛：求解双曲线的离心率问题，一般是要推出C之间的关系式，即可求得离心率,

本题中，结合题意连接片,设NWE=O,设|P£|=〃，利用图形的几何性质，结合余弦

定理，逐步求得，6=&〃，则问题得解.

9.如果AB>O,BC>O,那么直线4v+By+C=O经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】B

【分析】分A>0,8>0,C>0,A<0,B<0,C<0两种情况，得到直线所过象限，得到答案.

【详解】AB>0,BC>0,若A>O,B>O,C>O,则Ar+8y+C=。经过第一、二、三象限:

若A<0,8<0,C<0,则Ar+3y+C=O经过第二、三、四象限，

综上：直线4∙+3y+c=o一定经过第二象限.

故选：B

二、多选题

10.等差数列｛叫的前〃项和为S,,,若q>0,公差d<0,贝U()

A.若邑>\,则与<0B.若J=Sg,则Sf是S“中最大的项

C.若S，>S6，贝∣JS4>S5D.若S3>54,贝∣JS4>S5

【正确答案】ABD

【分析】根据S4>纵可推得％+%<。，利用等差数列的性质以及前〃项和公式，可判断A；

由其=既可推出％+%=。，进而判断%>0,α7<θ，则“<0，即可判断B；由S5>S6可

得4<0,d<0,a5=ab-d,无法判断％的正负，可判断C；由S3>S4推出4<0,1<(),

则%=4+1<0,由此判断D.

【详解】由S,>Sii,得$8-54=%+%+%+4=2(4+%)<0，

所以4+%‹。，

则兀=搂3；%)=6(4+%)<0,A正确;

因为邑=Sti,

所以Sli-S4=%+4+%+%=2(4+%)=O，即4+。7=0，

因为q>0,d≠0,

所以4>0,«7<0,则d<(),等差数列｛%｝为递减数列，

则则臬是S“中最大的项，B正确；

若Ss>Sfi,则4-S5<O,即4<0，

因为4>0,d≠0,则d<0,故α5=4-d,无法判断处的正负，

故邑=S4+%,不能判断S4>反，C错误；

因为S3>S4,所以S4-S3=/<0,

因为“∣>0,d≠0,所以d<0,则为=%+d<0,

则S5=S4+a5<S4,D正确,

故选：ABD

11.如图，正方体ABeQ-A由G。的棱长为1,则下列四个命题正确的是()

TrTT

A.两条异面直线DTC和BC1所成的角为:B.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于;

34

C.点。到面ACQ的距离为GD.三棱柱AAA-BBC外接球半径为走

2

【正确答案】ABD

【分析】证明BG//AR,求出ARC即可判断A项；可证80，平面4BG"，则直线BC与

平面48G，所成的角为NC8G，即可判断B项：根据等体积转换=%ic"，即可求

点。到面AC。的距离，进而判断C项；三棱柱A4,R-B3C∣的外接球即为正方体

ABCD-ABCR的外接球，直接求正方体外接球的半径即可判断D项.

【详解】对于A项，如图1,连接AC、CD1

因为A3〃GA且/W=GA,则四边形ABGR为平行四边形，BC1MD1,

所以异面直线RC和Ba所成的角的大小即等于直线D1C和AD1所成的角ZAD1C的大小.

又AC=AD∖=D∣C=O,则AACR为正三角形，即NAz)C=故A正确；

对于B项，如图2,连接B∣C.在正方形BBCC中，SC1IB1C.

因为AB/平面BgCC,BcU平面BBeC,所以

又ABlBG=B,ABU平面ABCa,86匚平面480口，

所以8C，平面A8G2∙

所以，直线BC与平面ABCa所成的角为NCBG=故B正确;

对于C项，如图1,设点。到面ACR的距离为从因为ZXACR为正三角形，所以

Sv,S=LXACXARSiT=且又S"CD=∣×AD×CD=1.根据等体积转换可知：

23222

^D-ACDi~^Di-Λcυ>即Qx〃xS.口=QXDAXSAC0,即'x〃x=JXIXL所以〃=亭,故C

3ɔ3232

项错误；

对于D项，三棱柱AAa-88G的外接球即为正方体ABC。-ABCQ的外接球，

则外接球的半径即为正方体ABCO-AAGD体对角线的一半，即R=*,故D项正确.

故选：ABD.

12.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号"，从此我国开

始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律.卫星在以地球

为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，

即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦

A.卫星向径的取值范围是[α-c,α+c]

B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

D.卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆

【正确答案】ABC

【分析】根据椭圆的定义以及儿何性质，结合题意依次判断每个选项，可得答案.

【详解】A选项：根据椭圆的定义可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，

所以最小值为α^^c,最大值为α+c,所以A正确；

B选项：因为运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，

所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，

卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，

则向径越大，速度越小，卫星在左半椭圆弧运动时向径大于在右半椭圆弧运动时的向径,

所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；

C选项：因为卫星运行速度是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，

在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等,

根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，

在远地点时向径最大，故速度最小，故C正确；

D选项：设e为椭圆得离心率，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，

即一-=—=—越小，则e越大，椭圆越扁，故D不正确，

a+c∖+eι+e

故选：ABC.

三、填空题

13.在三棱锥O-A8C中，OA,0B,OC两两垂直，OA=3,03=4,OC=5,。是A8的

中点，E为OC的中点，则OE与平面OAB所成的角的正切值为.

【正确答案】1

【分析】利用空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量，求线面夹角的正弦值即

可求解.

因为。4,0B,。C两两垂直，所以以04,08,0C为X，％z轴建系如图,

所以。(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),0(：,2,0),E(0,0,|),

22

OE=(-g,-2,2),因为OCJ■平面OA8,

22

所以OC=(0,0,5)为平面OAB的一个法向量，

设Z）E与平面所成的角为0,

25

DEOC2______λ∕2

所以Sine=∣cos<DE,OC>|=

DE^OC∣9.25J2

'-+4+——×5

44

TrTr

因为e∈0,7,所以。=:，所以ta∏e=l,

故答案为:1.

14.数列｛4｝中,若4=1,4+ι=〃;万4，贝!∣4o=-

【正确答案】ɪ

【分析】利用累乘法求得｛%｝的通项公式即可求解.

Qzn

【详解】由q田=Tn4可得=R,

n+2ann+2

ιa2a,a.an123n-∖1×22

“4a2a3an_1345∕ι+ln(n+1)n(n+1)*

Lɪ23n-∖1×22

Wrpl-=-×-×-××-----=---------=---------.

4345w+1n(n+1)∕ι(n+1)

221

因为4=1,所以4=/，所以4。=ICIl=W

∏(∏+1)IOxll55

故答案为:

22

15.已知椭圆C:二+±=1的左焦点为F,A,8是C上关于原点对称的两点，且

259

NAf8=90。，则三角形A3尸的周长为.

【正确答案】18

【分析】设椭圆右焦点为F',连接AF',根据椭圆的对称性可得18FI=IA尸'1,由ZAF3=90。可

得∣A8∣=2c=8,结合椭圆定义，即可求得答案。

【详解】由题意C:工+匕=1的半长轴4=5,半焦距c=0ΓW=4,

259

如图示，设椭圆右焦点为F',连接4尸'，

由于AB是C上关于原点对称的两点，则IBFI=IA臼，

因为NAAB=90。，。为A8的中点，故IABl=2c=8,

而IA尸I+∣BFI=IAF∣+∣AF'I=2a=10,

故三角形ABF的周长为IAFI+∣BF∣+IAB1=10+8=18,

故18

16.已知函数/(χ)=二Ξ[+2的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=l的对称点

在y=-丘+1的图象上，则实数&的取值范围是.

【正确答案】

【分析】变形后得到y=M二班+2表示的图象为以M(2,2)为圆心，1为半径的上半圆,

则y=球+2关于直线V=I的对称图象也是一个半圆，圆心为N(2,0),半径1,画

出图象，数形结合得到当直线斜率位于直线A8与直线AC之间(含原8,不含心C)时，

满足要求，求出的B，3c，得到不等式，求出实数k的取值范围.

【详解】y=y∣∖-(x-2^+2≥2,变形得到(x-2)2+(y-2)2=l,

故y=Jl_(x_2『+2表示的图象为以M(2,2)为圆心,1为半径的上半圆，

则y=Ji石工尸+2关于直线V=I的对称图象也是一个半圆，圆心为N(2,0),半径为1,

且该圆与X轴交于3(l,0),Q(3,0)两点，

如图所示：直线y=-丘+1恒过点4(0,1),

设直线y=-履+1与半圆N相切时，切点为C,

故当直线斜率位于直线A8与直线AC之间(含心"，不含砥C)时，满足函数

〃x)=Jl-(X-2)2+2的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=ι的对称点在

y=—丘+1的图象上，

1-0∣2m+l∣

其中％AB=H=T,设直线AC:y=mx+l,则鼻」=1,

0—1√^n^^+1

4

解得：加=-§或0(舍去)，

故一左∈(-*-l,解得：⅛∈L：)，

四、解答题

17.已知等差数列｛%｝的前"项和为S“，且$8=100,々=5,设数列低｝的前〃项和为

n+

Pιι=2'-2.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)设％=anbn,数歹!|｛%｝的前,项和为7；.

【正确答案】⑴％=3〃-1,2=2"；

(2)7；,=(3Λ-4)72n+l8.

【分析】(1)求得数列也｝的公差，由此求得凡.利用H=K-Ii求得力；

(2)由(1)可求得c,,=(3/7)∙2",写出Trl与2],作差化简即可求得7；.

【详解】(I)解：设等差数列｛%｝的公差为d∙

8x7

I-用∖=8a+——t/=8a+28^=100…fq=2

由已知可得＜，2I，解得〈jɔ,

JUd=3

a2=a1+a=51

所以q,=4+(n-l)t∕=3n-l.

由g=2"'-2,令〃=1得4=22-2=2,

P=2向-2

当〃22时，尸'=2"-2'两式相减得"=2"，

显然々=2'=2也符合上式，

所以a=2".

(2)解：由⑴知q=αΛ,=(3"T)∙2".

7；,=2-2'+5-22+∙+(3n-l)∙2∖

27；,=2-22+5-23++(3n-l)∙2,,+l,

两式作差得：

23

-^=4+3×2+3×2++3x2"-(3"-l)∙2"T=z∣I3X2∙x(l-2"')二向

1-2`,

=(4-3n)∙2,,+1-8,

所以，7；,=(3n-4)72n+l8.

18.己知ABC的顶点B(3,2),AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0.

(1)求直线A8的方程；

(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中.

①角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=O

②BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-I2=0

,求直线AC的方程.

【正确答案】(l)2x+y-8=0

(2)答案见解析

【分析】(1)根据AB边上的高所在的直线方程，可求得直线AB的斜率，可得答案；

(2)选①，先求出点4坐标，再求得点B关于角A的平分线的对称点坐标，该对称点一定

在直线AC上，由此可求得直线AC的方程；

选②，联立方程，先求出点A坐标，根据BC边上的中线所在的直线方程，求出点C坐标满

足2x-y-20=0,联立方程求出C点坐标，即可求得直线AC的方程.

【详解】(1)因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,

所以直线AB的斜率为Z=-2,

又因为ABC的顶点B(3,2),

所以直线AB的方程为：y-2=-2(x-3),即2x+y-8=0；

(2)若选①，角A的平分线所在直线方程为x+2y-13=0,

2x+y-8=0,解得厂=1,所以点A坐标为A(l,6),

x+2y-13=0Iy=6

设点B关于x+2y-13=0的对称点为Zr(Xo,%),

AZ2=2

27一

⅞-5

则IXI)-3,解得.

弘

%-一

⅛±212×At2-i3=05

I2+2

2734

即？坐标为(丁,二)，

34乙

——-()

又点8'(3乡在直线AC上，所以L=2―一，

55--\11

5

2

所以直线AC的方程为y—6=1(x-l),即2x-lly+64=0.

若选②：BC边上的中线所在的直线方程为2x-)-12=0,

2x-y-12=0’='，所以点A(5,-2),

由2f。,解得

7=-2

设点C(5,y),则BC的中点在直线2x-y-12=0上,

所以2x券一空40,

即2%-%-20=0,所以点C在直线2x-y—20=0上,

2x-y-20=0

又点C在直线x-2y-5=0上,联立

x-2y-5=0

35

X---

解得1θ,即得烤,学，

lθ÷244

所以砥C=噌一=£，所以直线AC的方程为y+2=^(x-5),

--5ɔɔ

3

即直线AC的方程为4x-5y-30=0.

19.已知圆C1:厂+V=1()与圆Q：尸+y2+2x+2y-7=0

(1)求证：圆Cl与圆C?相交；

(2)求两圆公共弦所在直线的方程；

(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵2x+2y+3=O

(3)X2+√-6X-6>'-19=0

【分析】(1)根据圆G与圆G圆心距与两半径关系证明；

(2)两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程；

(3)设出经过两圆交点的圆系方程，圆心坐标代入所在直线即可求解.

【详解】(1)圆G4+y2=ιo,圆心坐标为G(0,0),半径/=，而，

圆。2：/+y2+2》+2丫-7=0化成标准方程为(犬+1)2+()，+1)2=9,圆心坐标为Cz(T,T),

半径々=3,

圆心距IeGl=Jl2+『=夜,IL引<m<A+u所以圆G与圆Cz相交.

(2)两圆方程相减，得2x+2y+3=0,所以两圆公共弦所在直线的方程为2x+2y+3=0.

(3)设所求圆的方程为χ2+y2+2x+2y-7+4(χ2+y2-10)=0(4*-l),即

(1+Λ)X2+(1+Λ)y2+2x+2y-7-10λ=0,圆心坐标为代入直线

I1+Λ1+Λ/

114

x+y-6=0可得一匕_匕_6=0,解得/l=_g,所求圆的方程为d+y2_6x_6y_19=0

ɪ+Λ1÷Æ3

20.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，4=4,S“—〃=gm+2),(“eN)

⑴求数列｛4,｝的通项公式4和前〃项和S,■

(2)设a=(s“+；)%JZeN)数歹IJ｛⅜ι｝的前〃项和记为7；,证明：7；,<!,(neN*)

4,∕ι=2⅛-l

【正确答案】⑴%=α∈N*);Λ∈N*.

—2,n=2kS=；'二2k-∖

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据数列递推式S,,-"=g(q,+l),可得Sm-("+I)=]”向+l),("eN"),两

式相减推出/+∣+α.=2,即可发现数列规律，可得数列通项公式，继而分〃为奇数和偶数,

讨论求得5.；

(2)利用(1)的结论，求出“=(k∈N")的表达式，利用裂项求和法，即可

(邑《+2)$2*+1

求得答案.

,

【详解】(1)由-〃=；(4+1),WS,,+1-｛n+∖)=∣(¾+1+1),(neN),

两式相减可得EIM-("+1)-5〃+〃=；3,向+2)-；&+2),即。向+%=2

因为4=4,则4=一2,

数列｛叫为4,—2,4,—2,4,—2,

4,n=2⅛-l

-2,〃=2%'八"

当〃为偶数时，S„=-[4+(-2)]=«,

M—1

当〃为奇数时，SZT=W-[4+(-2)]+4=〃+3,

n,n=2k*

故SL,Z∈N.

〃+3,〃=2%—1

(2)由4=7----------------,(ZWN)

⑵田(S2,÷2)S2,+1)，

1111I

¾bt=-----------------=----------------------=—(----------------)x

寸〃

(S2M+2)52,,+1(2"+2)∙(2∕Z+4)4n+∖〃+2

所以W一111111

—+——++-----M--)=Wq一)<—

334n+1/7+28

21.如图，直三棱柱ABC-AI及G的体积为4,点O,E分别为AC,AA的中点，Ecg的

面积为2&•

(1)求点A到平面EBC的距离；

(2)AAt=2AB,平面EBC，平面A网A,求平面DBE与平面BECI所成角的余弦值.

【正确答案】(1)交；

2

z9λ5√33

⑷-----

33

【分析】(1)利用三棱锥体积公式，根据三棱锥的等体积法，即可求得答案.

(2)根据题意证明BC,8A,两两垂直，求得相关线段的长，建立空间直角坐标系，求得

相关点坐标，求得平面DBE与平面BEG的法向量，根据空间向量的夹角公式，求得答案.

【详解】(1)在直三棱柱ABC-ABC中，设点A到平面EBC的距离为/?,

点E为4A的中点，所以AE=JA41,

而直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,

1112

所以三棱锥E-ABC的体积为LYBC=-S'ΛE=-S=

3ABCOo3

又，ECB的面积为2加，

故三棱锥A-EBC的体积V-EBC=;SEBC∙h=当h=V-C=j，

EΛB

解得〃=正，所以点A到平面EBe的距离为变.

22

(2)取项的中点F,连接AF,如图,

由题意知例=248,故AE=A8,所以AF_LEB,

又平面£BC_L平面ABB1A1,平面EBCc平面ABB1A1=EB,

且AFU平面ABBl4，所以AF_L平面EBC,

由BCU平面E8C,故ABC,

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BBtl平面ABC,

BCU平面ABC,可得88∣LBC,

又AF,u平面ABBM且AF,B4为相交直线，

否则若4尸〃8B∣,则F点在落在AAl上，AA与SE不垂直，则与AZ7LEB矛盾,

所以BC工平面ABBM,氏4,881<=平面485小，

故BC±BA,BC1BBt,

所以8C,8A,8BJ两两垂直，以B为原点，以BC,8A,Bg为％y,z轴，

建立如图空间直角坐标系，

由于AF_L平面EBC,故点A到平面EBC的距离即为AF,由(1)知4尸=",

2

⅛⅛BE=√2,.∙.AB=AE=I,AA1=2,

因为BC工平面ABB1A1,BEU平面ABBtAl,所以BC，BE,

由£ECB的面积为2&，则ɪBC×BE=2√2,.∙.BC=4,

则B(0,0,0),E(0,1,1),。(2,g,0),C(4,0,2),

则3。=(2,1O),BE=(0,1,1),

ZBD=O

设平面BOE的法向量为〃=α,y,z),则，,

JbBE=O

2Jv+]V—0

即<2',令χ=l,则>=-4,2=4,故〃=(1,-4,4)；

7+2=0

5C1=(4,0,2),设平面BEG的法向量为加=(。也C)，

m∙BE=0b+c=O

则和

m∙BCl=04。+2c=0

令α=l,JH∣JC=-2,6=2,可得心=(1,2,-2),

-155而

故CoS(〃,ni)=""

∖n∖∖m∖√33×3^33

由原图可知平面DBE与平面BEG所成角为锐角，

故平面QBE与平面BEG所成角的余弦值为ɪ.

关键点点睛：求解二面角时，要根据条件利用面面垂直的性质推得线线和线面垂直，从而推

出8C,8A,88J两两垂直，从而建立空间直角坐标系，关键点时要注意到利用(1)中结论,

求出三棱锥的相关棱长，从而确定坐标系中各点坐标，利用向量法求解二面角的余弦值.

22.在一张纸上有一圆C:(x+G『+y2=8,定点何(6,0),折叠纸片使圆C上某一点Ml

恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕EF,设折痕EF与直线MC的交点

F

（1）求证：I∣7Cl-ITMll为定值，并求出点7的轨迹C'方程；

⑵已知点A（2,l）,直线/交C'于P,Q两点,直线ARAQ的斜率之和为0.若tanZPAQ=2√2,

求的面积.

【正确答案】（1）证明过程见解析，—-/=1

2

⑵雇

9

【分析】（I）根据双