2023-2024学年北京某中学九年级（上）第二次调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京某中学九年级(上)第二次调研数学试卷

一、选择题(本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意..月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计

多样.下列月饼图案中，为中心对称图形的是()

Qb©c€贽。爨

2.抛物线y=2(%-I)2+5的顶点坐标是()

A.(1,5)B.(2,1)C.(2,5)D.(-1,5)

3.用配方法解方程%2+2%-3=0,下列变形正确的是()

A.(%+I)2=-2B.(%+=2C.(%+I)2=-4D.(x+I)2=4

4.如图，线段4B是0。的直径，弦/-CAB=20°,则480。等于()一一

A.20°

B.40°

C.80°

D.70°

5.如图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图,比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是()

八成绩/分

100—^------------------------------------------------

95\/

90----------~不--------------/------

\:^甲同学成绩

85/「…乙同学成绩

°'2345藕

A.甲同学平均分高，成绩波动较小B.甲同学平均分高,成绩波动较大

C.乙同学平均分高，成绩波动较小D.乙同学平均分高,成绩波动较大

6.若关于x的一元二次方程/一3%+加=0有两个相等的实数根，则实数m的值为()

A.-9B.VD.9

7.如图，AB是半圆。的直径，点C,D在半圆。上.若〃BC=50。，则“DC的度

数为（）

A.90°B.100°C.130°D.140°

8.如图，线段4B=5,动点P以每秒1个单位长度的速度从点4出发，沿线段4B运动厂、

至点B.以点4为圆心，线段4P的长为半径作圆.设点P的运动时间为3点P,B之间的（4~~%----甘

距离为y,。4的面积为$则丫与3S与t满足的函数关系分别是（）

A.正比例函数关系、一次函数关系B.一次函数关系，正比例函数关系

C.一次函数关系，二次函数关系D.正比例函数关系，二次函数关系

二、填空题（本大题共9小题，共21.0分）

9.若点4（-2,3）与点8关于原点对称，则点B坐标为.

10.已知2（一1/1）、「2（2,%）是一次函数'=2%+1的图象上的两点，则yi%.（填“>”或或

）

11.将抛物线y=向下平移1个单位长度，得到的抛物线是

12.如图，4B是。。的直径，4c是。。的切线，A为切点,BC与。。交于点D,连接OD.

若NC=50°,则心力。。的度数为

13.某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人

行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的南道

有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种

植面积共为306平方米，设雨道的宽为x米，根据题意可列方程为.

14.如图，PA,PB是。0的两条切线,切点分别为4,B,连接。力,AB,若N04B=35。,A

则4P

OP

B

15.如图，菱形ABCD的对角线交于点。，点M为4B的中点，连接。”.若AC=4,BD=

8,则。M的长为.

16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需4,B、C,0、E,八

G七道工序，加工要求如下：

①工序C,。须在工序4完成后进行，工序E须在工序B,。都完成后进行，工序F须在工序C,。都完成后进

行；

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

工序ABCDEFG

所需时间/分钟99797102

在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名

学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟.

17.解方程：x2-8x-9=0.

三、解答题(本大题共U小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题5.0分)

已知：如图，点P和。。.

求作：直线P4使得P力与。。相切于点4

作法：(1)连接。P,分别以点。和点P为圆心，大于;OP的长为半径作弧，两弧交于C,。两点；

(2)作直线CO,交OP于点B；

(3)以点B为圆心，以。B长为半径作。B,与。0相交，其中一个交点为点4；

(4)作直线R4.

直线P4即为所求作.

0•

P

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：由作法可知，点B为线段0P的中点,连接04

0P为OB的直径，

•••Z0AP=°()(填推理的依据).

0A1PA.

•••点4在0。上，

•••P4是G)。的切线()(填推理的依据).

19.(本小题5.0分)

已知关于x的一元二次方程/-2ax+a2-1=0.

(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；

(2)若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围.

20.(本小题5.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，△。48的顶点坐标分别为0(0,0),4(5,0),B(4,-3),将△048绕点。顺时

针旋转90。得到△OAB',点4旋转后的对应点为4.

(1)画出旋转后的图形△O4B',并写出点4的坐标；

(2)求出AOAB'的面积.

21.(本小题SO分)

如图，在AABC中，AB=BC,D,E分别是4B,4C的中点，AF//DE,EF//AD.

(1)求证：四边形ADEF是菱形；

(2)连接DF,若AB=10,AC=12,求DF的长.

22.(本小题5.0分)

在平面直角坐标系xOy中，一次函数7=。》+6(£1力0)的图象由函数'=；》的图象平移得到，且经过点

(-2,1).

(1)求这个一次函数的解析式：

(2)当x>2时，对于x的每一个值，一次函数丫=ax+b的值小于函数y=x+ni的值，直接写出ni的取值范

围.

23.(本小题6.0分)

如图在中，ZC=90°,BD是△ABC的角平分线，点。在上，以点0为圆心，0B长为半径的圆经

过点D,交BC于点E,交AB于点F.

(1)求证：4c是。。的切线；

(2)若CE=2,CD=4,求半径的长.

24.(本小题6.0分)

某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分.记喷出的水流距喷

水枪的水平距离为xm,距地面的竖直高度为ym,获得数据如表：

x/m0.01.02.03.04.5

y/m1.63.74.43.70.0

小景根据学习函数的经验，对函数随自变量X的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小景的探究过程，请补充完整：

（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

（2）水流的最高点距喷水枪的水平距离为m；

（3）结合函数图象，解决问题：

公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱

的高度约为m.

25.（本小题6.0分）

某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动.为了解两个年级的答题

情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出

了部分信息.

a.七年级成绩的频数分布直方图如下

（数据分成五组：50<久<60,60<x<70,70<x<80,80<%<90,90<x<100）：

-2

-1

-0

9

8

7

6

5

4

3

2

—

O

b,七年级成绩在80cx<90的数据如下(单位：分)：

808185858585858585858889

c.七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表:

年级平均数中位数众数方差

七年级80.4mn141.04

八年级80.4838486.10

根据以上信息，回答下列问题：

⑴表中m=,n=；

(2)下列推断合理的是；

①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动

程度较小；

②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩.

(3)竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数.

26.(本小题6.0分)

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=7-2ax-3.

(1)求该抛物线的对称轴(用含a的式子表示)；

(2)4(刀1，月)，8(切,丫2)为该抛物线上的两点，若%i=l-2a,x2=a+1,且丫［>丫2，求a的取值范围.

27.(本小题7.0分)

如图，在等边三角形ABC中，点P为A/BC内一点，连接AP,BP,CP,将线段4P绕点4顺时针旋转60。得到

AP',连接PP',BP'.

(1)用等式表示8P'与CP的数量关系，并证明；

(2)当NBPC=120。时，

①直接写出NP'BP的度数为:

②若M为BC的中点，连接PM,用等式表示PM与4P的数量关系，并证明.

28.(本小题7.0分)

在平面直角坐标系xOy中，图形”上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d.对于点P和图形W给

出如下定义：点Q是图形小上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d,则称点P为图

形W的“关联点”.(1)如图1,图形”是矩形40BC,其中点4的坐标为(0,3),点C的坐标为(4,3),则4=

,在点2(—1,0),P2(2,8),P3(3,l),24(一，71,-2)中，矩形AOBC的“关联点”是.

(2)如图2,图形W是中心在原点的正方形DEFG,其中。点的坐标为(1,1).若直线y=x+b上存在点P,使点

P为正方形。EFG的“关联点”.求b的取值范围；

(3)已知点M(L0),N(0,q),图形W是以7«,0)为圆心，1为半径的07.若线段MN上存在点P,使点P为

的“关联点"，直接写出t的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：选项A、C、。不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原图重合，所以不是中

心对称图形；

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原图重合，所以是中心对称图形；

故选：B.

一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图

形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】4

【解析】解：抛物线y=2(x-1产+5的顶点坐标是(1,5).

故选:A.

已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标.

本题考查二次函数的性质，记住顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=/i.

3.【答案】D

【解析】解：方程移项得：/+2%=3,

配方得：x2+2x+1=4,即(X+1)2=4.

故选：D.

方程移项后，配方得到结果，即可作出判断.

此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：•••线段4B是。。的直径，弦CDLAB,

BC=BD>

•••乙BOD=2ACAB=2X20°=40°.

故选B.

由线段4B是。。的直径，弦CD1_AB,根据垂径定理的即可求得：BC=BD,然后由圆周角定理，即可求

得答案.

此题考查了圆周角定理以及垂径定理.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

5.【答案】。

【解析】解：乙同学的平均分是：[x(100+85+90+80+95)=90,

甲同学的平均分是：1x(85+90+80+85+80)=84,

因此乙的平均数较高；

=卷x[(100-90)2+(85-90)2+(80-90)2+(95-90)2]=50,

S%=卷x[(85-84)2+(90-84)2+(80-84)2+(80-84)2+(85-84)2]=14,

•••50>14,

・••乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定；

故选：D.

分别求出甲、乙的平均数、方差，比较得出答案.

本题考查平均数、方差的计算方法，从统计图中获取数据，是正确计算的前提.

6.【答案】C

【解析】解：••・关于x的一元二次方程/一3%+m=0有两个相等的实数根，

A=b2—4ac=(-3)2—4m=0,

解得m=

故选：c.

若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式4=从-4ac,建立关于m的等式，即可求解.

此题考查了根的判别式.一元二次方程£1/+以+©=0((1乎0)的根与』=炉一4公有如下关系：(1)4>

0Q方程有两个不相等的实数根；(2)4=0=方程有两个相等的实数根；(3)2<0=方程没有实数根.

7.【答案】D

【解析】解：:AB是半圆。的直径，

•••Z.ACB=90°.

又"BC=50°,

•1-44=40°,

•••四边形4BDC为圆。的内接四边形，

Z.A+上BDC=180°,

•••乙BDC=140°,

故选：D.

根据直径所对的圆周角是直角求得，4CB=90。，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解N4再根据圆

内接四边形的性质即可得解.

此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：由题意得：y=5-t（t<5）,属于一次函数关系，

S=7Tt2（t<5）,属于二次函数关系，

故选：C.

根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型.

本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

9.【答案】（2,—3）

【解析】解：点4（一2,3）与点B关于原点对称，则B点的坐标：（2,-3）.

故选答案为：（2,-3）.

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案.

此题主要考查了关于原点对称点的性质，点P（x,y）关于原点。的对称点是P'（-阳-y）.

10.【答案】<

【解析】解：,:一次函数y=2x+1中的k=2>0,

.1•y随x的增大而增大，

Pi（-i,yi）、22（2,先）是一次函数y=2x+1的图象上的两点，且-i<2,

y-i<丫2，

故答案为：<.

根据一次函数的增减性即可得.

本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键.

11.【答案】y=^2_i

【解析】解：将抛物线y=：/向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y=ix2-l,

故答案为：y=|xz—1.

根据“上加下减”的规律进行解答即可.

本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键.

12.【答案】800

【解析】解：・・・4B是。。的直径，4C是。。的切线，

・•・乙BCA=90°,

vZ-C=50°,

・・/48。=90。-50。=40。，

又「OB=OD,

・••乙OBD=乙ODB=40°,

・•.Z.AOD=Z.OBD+Z.ODB

=40°+40°

=80°,

故答案为：80°.

根据切线的性质求出NBC4根据直角三角形的性质求出乙4BC,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定

理可求出答案.

本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及三角形的内角和定理，掌握切线的性质和直角三角形的

边角关系是正确计算的关键.

13.【答案】(20-2x)(18-x)=306

【解析】解：•••花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米，

二种植花卉的部分可合成长为(20-2x)米，宽为(18-x)米的矩形.

根据题意得:(20-2x)(18-x)=306.

故答案为：(20-2x)(18-x)=306.

由花园的长、宽及雨道的宽，可得出种植花卉的部分可合成长为(20-2吗米，宽为(18-乃米的矩形，结

合花卉种植面积共为306平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

14.【答案】70

【解析】解：•：OA=OB,

Z.OAB=/.OBA=35°,

•••3AOB=180°-Z,OAB-Z.OBA=110°,

PA,P8是O0的两条切线，

•••Z.OAP=AOBP=90°,

AP=360°-Z.AOB-Z.OAP-Z.OBP=70°,

故答案为：70.

先根据等边对等角和三角形内角和定理求出乙40B=110°,再根据切线的性质得到N04P=LOBP=90°,

再根据四边形内角和定理求出NP的度数即可.

本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知切线的性质是解

题的关键.

15.【答案】<5

【解析】解：•.•四边形2BCD是菱形，AC=4,BD=8,

AC±BD,OA=OC=；4c=；x4=2,OB=OD=gBD=；x8=4,

4408=90°,

■■■AB=VOA2+OB2=722+42=2c,

•・•点M为AB的中点，

•••OM=^AB=1x2<5=屋,

故答案为：V-5.

由菱形的性质得AC_LBD,OA=OC=^AC=2,08=00=^80=4,则NAOB=90°,所以AB=

7042+082=2门，由点M为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得。”=

厅，于是得到问题的答案.

此题重点考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求

出4B的长是解题的关键.

16.【答案】5328

【解析】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分钟），

即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；

假设这两名学生为甲、乙，

•••工序C,。须在工序4完成后进行，工序E须在工序B,。都完成后进行，且工序A,B都需要9分钟完成，

甲学生做工序4,乙学生同时做工序B,需要9分钟，

然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C,乙学生工序C完成后接着做工序G,需要9分钟，

最后甲学生做工序E,乙学生同时做工序F,需要10分钟，

・•・若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28（分钟），

故答案为：53,28.

将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加

工要求可知甲学生做工序4,乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D,乙学生同时做工序C,乙学生工序

C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E,乙学生同时做工序F,然后可得答案.

本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键.

17.【答案】解：（x-9）（x+l）=0,

x—9=0或x+1=0,

所以Xi=9,x2=-1.

【解析】利用因式分解法解方程.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因

式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方

程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.

18.【答案】90直径所对圆周角为直角过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线

【解析】解：（1）依作法所作图形如图所示：

•••OP为0B的直径，

N04P=90。（直径所对圆周角为直角）（填推理的依据）.

•••OA1PA.

••,点4在O。上，

・••PA是。。的切线(过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线)(填推理的依据).

故答案为：90,直径所对圆周角为直角，过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.

(1)依照题中所提供步骤作图即可；

(2)利用圆周角定理推论即切线判定定理证明即可.

本题考查了尺规作图的应用，圆的性质的应用是解题关键.

19.【答案】(1)证明：依题意，得/=(―2a)2—4(a2—1)=4a?—4a?+4=4,

v4>0,

该方程总有两个不相等的实数根：

2

(2)解：解方程——2ax+a-1=0,得x1=a-1,x2=a+1,

•.•方程的两个根均为负数，

.fa-1<0,

"la+1<0.

解得a<-1.

【解析】本题考查了一元二次方程a/+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：(1)21>0o方程有两个不

相等的实数根；(2)4=0o方程有两个相等的实数根；(3)21<0=方程没有实数根.

(1)求出方程的判别式4的值，求得4>0,根据判别式的意义即可证明；

(2)根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可.

20.【答案】解：(1)如图1所示，△。4'8'即为所求，

此时A'(0,-5)；

(2)夕(-3,-4),

△04B'的面积=3x5-|x3x4-|x3xl=15-6-|=y.

【解析】（1）将点4、B分别绕点。顺时针旋转90。得到对应点，再与点0顺次连接即可，根据图形得出A坐标；

（2）利用割补法求面积即可.

本题考查作图一一旋转变换以及勾股定理求长度，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

21.【答案】（1）证明：vAF//DE,EF//AD,

•••四边形4DEF是平行四边形，

D,E分别是4B,AC的中点，

.•.4。=1"8,。片是448（；的中位线，A'----刁F

DE=\BC,//'\/

2DK---------哭

■：AB=BC,/\

AD=DE,I\

BC

四边形4DEF是菱形；

（2）解：连接DF交4E于。，

•••四边形4DEF是菱形，

•••AEIDF,AO=^AE,OD=^DF,

"D,E分另I」是AB,4c的中点，AB=10,AC=12,

・•・AD=5,AC=6,

・•・AO=3,

•1.DO=VAD2-AO2=752-32=4）

DF=8.

【解析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ADE尸是平行四边形，根据三角形中位线定理得到OE=

|BC,得到40=0E,根据菱形的判定定理即可得到四边形AOEF是菱形；

（2）连接。尸交4E于0,根据菱形的性质得到AE1DF,4O=；4E,OD根据线段中点定义得到40=5,

AC=6,根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的

关键.

22.【答案】解：（1）;一次函数丫=。%+伏。片0）的图象由函数丫=；%的图象平移得到，

1

7?

又•••一次函数y=|x+b的图象经过点(一2,1),

*，•-1+Z7—1.

:•b=2,

・•・这个一次函数的表达式为y=j-x+2;

(2)•把％=2代入y=2久+2,解得：y=3,

把点(2,3)代入y=x+m,求得：m=1,

•・,x>2时,一次函数y=ax+b的值小于函数y=%+zn的值，

・•.zn的取值范围是：m>1.

【解析】(1)先根据直线平移时攵的值不变得出/c=l,再将点4(1,2)代入y=x+b,求出匕的值，即可得到

一次函数的解析式；

(2)根据点(2,3)结合一次函数的性质即可求得.

本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键.

23.【答案】(1)证明：如图，连接0D,

v0D=0B,

・••Z-ODB=4OBD,

・・・BD是AaBC的角平分线，

・•・Z.OBD=Z-DBC,

・••Z-ODB=乙DBC,

・•.OD//BC,

・•・Z.ODA—Z.C=90°,

•・,4C经过。为的半径OD的端点D,且4c1OD,

・•・4c是。。的切线.

(2)如图，设。。的半径为丁，则08=0G=r,

作OGJLBE于点G,则BG=EG,^OGB=90°,

vZ-ODC=zC=Z-OGC=90°,

・・.四边形ODCG是矩形，

•・・CE=2,CD=4,

・•.OG=CD=4,CG=OD=r,

•••BG=EG=r—2,

•••OB2=OG2+BG2,

r2=42+(r-2)2,

解得r=5,

.•・。。的半径长为5.

【解析】(1)连接。D,证明OD〃BC,则=NC=90°,再根据圆的切线的判定定理证明力C是Q。的切

线；

(2)设。。的半径为r,则。B=OG=r,作。GIBE于点G,证明四边形。DCG是矩形，在Rt△OBG中根据

勾股定理列方程即可求出r的值.

此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确的作出所需要的

辅助线，再利用平行线的性质、矩形的性质、垂径定理等知识解题.

24.【答案】22.825

(2)由图象得，水流的最高点距喷水枪的水平距离为2m,

故答案为:2；

(3)设抛物线的关系式为y=a(x-2V+4.4,

把(0,1.6)代入可得1.6=4a+4.4,

解得a=-0.7,

二抛物线的关系式为y=-0.7(%-2)2+4.4,

当*=3.5时,y=2.825,

答：石柱的高度约为2.825m.

故答案为:2.825.

(1)根据常识，结合所给的点，可画出大致图形为抛物线；

(2)由图象可得水流的最高点距喷水枪的水平距离：

(3)根据图象求出抛物线的关系式，再求出当久=3.5时的值即可.

本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式.

25.【答案】8385①②

【解析】解：(1)把七年级30个学生的成绩从小到大排列，排在第15和第16个数分别是81,85,故中位数

七年级30个学生的成绩中出现次数最多的是85,故众数n=85.

故答案为:83；85；

(2)由题意可知，样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学

生成绩的波动程度较小，故①说法正确；

若八年级小明同学的成绩是84分，大于八年级成绩的中位数，所以可以推断他的成绩超过了该校八年级一

半以上学生的成绩，故②说法正确；

故答案为：①②；

⑶600x詈=340(名)，

答：估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名.

(1)分别根据中位数和众数的定义解答即可；

(2)分别根据方差和中位数的意义解答即可；

(3)用700乘样本中达到优秀学生所占比例即可.

本题考查频数分布直方图、众数、中位数、样本估计总体，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关

键.

26.【答案】解：(1)••・抛物线y=x2-2ax-3,

二该抛物线的对称轴为直线x=-g=a；

(2)抛物线开口向上，x2=a+1>a,

①当Q<x2<时，丫1>丫2，

则Q+1V1-2Q,即avo；

②当％1=1-2a<a时，

-

则a—%1>x2a时,乃>丫2，

则a—(1—2a)>a+1—a,即a>余

综上，a<0或a>|.

【解析】(1)根据抛物线对称轴公式：x=-或，即可得到答案；

(2)分两种种情况讨论，得到关于a的不等式，解不等式即可.

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是

解本题的关键；确定a的范围是本题的难点.

27.【答案】解：⑴BP'=CP,

证明：如图，・••△4BC是等边三角形，

：.AB=AC,Z.BAC=60°,

z.24-z.3=60°

,••将线段4P绕点4顺时针旋转60。得到AP',

•••AP=AP',4PAP'=60°,

Z.1+Z2=60°,

•1■z.1=43,

"AP'=AP,AB=AC

ABP'=^ACP(SAS),

BP'=CP；

(2)①60°;

@AP=2PM,理由如下：

延长PM到N,使MN=PM,连接8N,CN,如上图:

•••”为BC的中点，

二BM=CM,

四边形PBNC为平行四边形,

•••BN//CP电BN=CP,

：.BN=BP',49=46,

又•••48+46=60°,

Z8+Z9=60°,即"BN=60。，

•••乙PBP'=乙PBN,

又：BP=BP,P'B=NB,

P'BPNBP(SAS),

PP'=PN=2PM,

•••乙PAP'=60°,AP=AP',

・•.△APP'为正三角形，

•••PP'=AP,

:.AP=2PM.

【解析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定

与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键.

(1)利用S4S证明△ABP'ACP,即可得出答案；

(2)①由三角形内角和定理知48+N6=180°-乙BPC=60°,再利用角度之间的转化对NP'BP进行转化，

4P'BP=Z4+Z7=Z.5+60°-Z8=60°-Z6+60°-48,从而解决问题；

则48+46=180°-4BPC=60°,

•••△ABP'SAACP,

・•・z.4=z5,

・•・乙P'BP=z4+z7

=45+60°-z8

=