抛物线及其标准方程

关于抛物线及其标准方程喷泉第2页,共25页，2024年2月25日，星期天第3页,共25页，2024年2月25日，星期天第4页,共25页，2024年2月25日，星期天复习回顾：

我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：

都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0＜e

＜1(2)当e＞1时，是双曲线;(1)当0<e<1时,是椭圆;(其中定点不在定直线上)lF·Me＞1那么,当e=1时，它又是什么曲线

？·FMl·e=1第5页,共25页，2024年2月25日，星期天

如图，点是定点，是不经过点的定直线。是上任意一点，过点作，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？

提出问题：

MF几何画板观察第6页,共25页，2024年2月25日，星期天问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|

，点M的轨迹是什么？探究？

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)M·Fl·e=1我们把这样的一条曲线叫做抛物线.第7页,共25页，2024年2月25日，星期天M·Fl·e=1

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线|MF|=dd为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:第8页,共25页，2024年2月25日，星期天解法一：以

为

轴，过点

垂直于

的直线为轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点设动点点，由抛物线定义得：

化简得：.M(X,y).xyOFl二、标准方程的推导第9页,共25页，2024年2月25日，星期天解法二：以定点

为原点，过点垂直于

的直线为

轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点，的方程为设动点，由抛物线定义得化简得：二、标准方程的推导第10页,共25页，2024年2月25日，星期天l解法三：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方,整理得xKyoM(x,y)F二、标准方程的推导依题意得这就是所求的轨迹方程.第11页,共25页，2024年2月25日，星期天三、标准方程

把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.且p的几何意义是:焦点坐标是准线方程为:想一想:

坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)焦点到准线的距离第12页,共25页，2024年2月25日，星期天y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)P的意义:抛物线的焦点到准线的距离方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.四．四种抛物线的对比第13页,共25页，2024年2月25日，星期天P66思考：

二次函数的图像为什么是抛物线？当a>0时与当a<0时，结论都为：第14页,共25页，2024年2月25日，星期天yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2第15页,共25页，2024年2月25日，星期天例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x

，求它的焦点坐标及准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求抛物线的标准方程（3）已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程焦点F(,0)32准线：x=－32x2=－8yy2=－4xy2=x或x2=y4392看图看图看图第16页,共25页，2024年2月25日，星期天课堂练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y

或

x2=-4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=

-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2第17页,共25页，2024年2月25日，星期天例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。第18页,共25页，2024年2月25日，星期天解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。

设抛物线的标准方程是，由已知条件可得，点A的坐标是，代入方程，得即所以，所求抛物线的标准方程是，焦点的坐标是第19页,共25页，2024年2月25日，星期天4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．1.抛物线的定义:2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对焦点和准线对应一种形式.3.p的几何意义是:焦点到准线的距离第20页,共25页，2024年2月25日，星期天第21页,共25页，2024年2月25日，星期天（2000.全国）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，两点，若线段与的长分别为，则等于（）A.B.C.D.分析：抛物线的标准方程为，其焦点为

.取特殊情况，即直线平行与轴，则，如图。故第22页,共25页，2024年2月25日，星期天xyolF（0,－2）返回解：（2）因为焦点在y轴的负半轴上，并且p2=2，p=4，所以所求抛物线的标准方程是x2=－8y.第23页,共