2023-2024学年江苏省徐州市鼓楼区某中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省徐州市鼓楼区某中学九年级（上）第一

次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.（x-1）（3+%）=5B.x2+^-1=0

C.y2+2%+4=0D.4x2=（2x—I）2

2.已知。。的半径为5,若PO=4,则点P与。。的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。。外D.无法判断

3.一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9cm,则该圆的半径是（）

A.2.5CM或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5c?n或13cm

4.一元二次方程（x-2）2=9的两个根分别是（）

A.x1=1,x2=—5B.%=-1,x2=—5

C.%1—1,%2=5D.x2=—1，%2=5

5.用配方法解方程》2-6%+5=0,配方后可得（）

A.(%+3)2=4B.(%-3)2=4(%-3)2=14D.(%-3)2=9

6.下列说法正确的是（）

A.半圆是弧，弧也是半圆B.长度相等的两条弧是等弧

C.平分弦的直径垂直于弦D.直径是同一圆中最长的弦

7.用公式法解一元二次方程％2一；=2%,正确的应是（）

4

—2+V-5Q2±

A.x=~T-Bx=-C.

8.如图所示的工件槽的两个底角均为90。,

将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有4

则该球的半径是CM.（）

A.10

B.18

C.20

D.22

二、填空题（本大题共10小题，共40・0分）

9.若x=2是方程/+3x—2m=0的一个根，则m的值为.

10.方程+2)=(x+2)的根为.

11.当工=时，代数式(3刀-4)2与(4%-3)2的值相等.

12.如图，在矩形48C0中，AB=3,AD=4.若以点4为圆心，4为半径作。4,则点4,点B,

点C,点。四点中在04外的是.

14.如图，。0的弦48、半径0C延长交于点C,BD=0A,若

/.A0C=105°,则=度.

15.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是.

16.若一元二次方程nix?+4x+5=0有两个不相等实数根，则加的取值范围

17.已知a、/?是方程/+2x-1=0的两个实数根，则a?+3a+0的值为.

18.若与、血是方程％2+3乂-3=0的两实根，则葛+言的值等于.

三、计算题(本大题共1小题，共20.0分)

19.用指定方法解下列一元二次方程

(1)3(2%-I)2-12=0(直接开平方法)

(2)2/-4x-7=0(配方法)

(3)x2+x-1=0(公式法)

(4)(2x-I)2-x2=0(因式分解法)

四、解答题(本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20.(本小题8.0分)

k为何值时，方程/——+9=0有两个相等的实数根；并求出这时方程的根.

21.(本小题8.0分)

如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分.如果M是。。中弦CD的

中点，EM经过圆心。交。。于点E,CD=10,EM=25.求0。的半径.

如图，学校准备修建一个面积为487n2的矩形花园.它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围

栏.已知墙长9/n,问围成矩形的长和宽各是多少？

23.(本小题10.0分)

为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格.某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元

下调至128元，已知每次下降的百分率相同.

(1)求这种药品每次降价的百分率是多少？

(2)已知这种药品的成本为100元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？

24.(本小题10.0分)

如图所示，己知在△ABC中，NB=90。，4B=5,点Q从点4开始沿4B边向点B以lcm/s的速

度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

(1)如果P、Q分别从4、B两点出发，那么几秒后，aPBQ的面积等于4cm2?

(2)在(1)中，的面积能否等于7cm2?试说明理由.

25.(本小题12.0分)

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，

尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场

平均每天可多售出2件.求：

(1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4、是一元二次方程，故4正确；

B、是分式方程，故B错误；

C、是二元二次方程，故C错误；

D、是一元一次方程，故。错误.

故选：A.

根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未

知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，

然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了点与圆的位置关系的应用.

已知圆。的半径为r,点P到圆心。的距离是d,①当r>d时，点P在。。内，②当r=d时，点P在

。0上，③当r<d时，点P在。。外.

【解答】

解：：。。的半径为5,若PO=4,

4<5,

.••点P与。。的位置关系是点P在00内，

故选：A.

3.【答案】A

【解析】解：设此点为P点，圆为0。，最大距离为PB,最小距离为P4则：

••,此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离

有两种情况：

当此点在圆内时，如图所示，

B

半径。B=(PA+PB)+2=6.5cm；

当此点在圆外时，如图所示，

半径OB=(PB-PA)^2=2.5cm；

故圆的半径为2.5cm或6.5cm

故选：A.

设此点为P点，圆为O。，最大距离为PB,最小距离为P4有两种情况：①当此点在圆内：②当

此点在圆外；分别求出半径值即可.

注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.

4.【答案】D

【解析1解：(x-2)2=9,

两边直接开平方得：x-2=±3,

则％-2=3,X-2=-3,

解得：xx=-1,x2=5.

故选：D.

两边直接开平方可得x-2=±3,然后再解一元一次方程即可.

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号

的左边，把常数项移项等号的右边，化成/=a(a20)的形式，利用数的开方直接求解.

5.【答案】B

【解析】解：x2-6x+5=0,

x2-6x=—5,

x2-6x+9=4,

(x-3)2=4.

故选：B.

先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9,然后把方程左边写成完全平方的形式，从而可对

各选项进行判断.

本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题

的关健.

6.【答案】D

【解析】解：半圆是弧，弧不一定是半圆，故A不符合题意；

同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故B不符合题意：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，C不符合题意；

直径是同一圆中最长的弦，故。符合题意；

故选：D.

根据垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质判断求解即可.

此题考查了垂径定理，等弧等知识，熟练掌握垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质是解题的关

键.

7.【答案】B

【解析】解：方程整理得：4X2-8X-1=0,

这里a=4,b=-8,c=-1,

•••4=64+16=80,

._8±4C_2±C

"x-_8—-―2-'

故选：B.

方程整理后，利用公式法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键.

8.【答案】a

【解析】解：设圆心为。点，连OE,交AB于C,如图,

AB=16,CE=4,

则。EJL4B,

AC=BC=8,

在RtaOAC中，设。。的半径为R,OC=R-4,

•••OA2=AC2+OC2,

•••R2=82+(R-4/，

解得，R=10,

即该球的半径是10sn.

故选：A.

设圆心为。点，连OE,交4B于C,贝iJOE1AB,AC=BC=8,在Rt△CMC中，设0。的半径为R,

OC=R-4,利用勾股定理得到R2=82+(R—4)2,解方程即可.

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理.

9.【答案】5

【解析】解：把x=2代入，得

22+3x2-2m=0,

解得：m=5.

故答案是：5.

把x=2代入已知方程得到关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可.

此题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方

程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也

称为一元二次方程的根.

10.【答案】勺=1,x2=-2

【解析】解：x(x+2)—(x+2)=0,

(x+2)(x-1)=0,

x+2=。或x—1=0,

x=-2或1.

故答案为：=-2,小=L

将x+2看作整体，先移项，再提公因式，求解即可.

本题考查了一元二次方程的解法，是基础知识比较简单.

11.【答案】%!=-1,X2=1

【解析】解：由题意得，(3x—4产=(4x—3/

移项得，(3x—4下一(4尤一3)2=0

分解因式得，[(3x-4)+(4%-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0

解得，=—1,x2=1.

故答案为：X1=-1,%2=1-

代数式(3x-4)2与(4x-3)2的值相等,则可得到一个一元二次方程，然后移项,套用公式-川=

(a+b)(a-b)进行因式分解，利用因式分解法即可得到x的值.

本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式

分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为。的式子的特点解出方程的根.因式分

解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.

12.【答案】点C

【解析】【分析】

本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有：当

6(>「时，点在圆外；当d=7•时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.要确定点与圆的位置关系,

主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,则

d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当点在圆内.

【解答】

解：vCA=V32+42=5>4>

•・•点C在04外，

vAD=4,

.••点。在上；

AB=3<4,

二点B在。A内，

故答案为点C.

13.【答案】2d

【解析】解:连接。4如图,

vCE=3,DE=7,

CD=10,

0C=0A=5.0E=2,

vAB1CD,

AE=BE,

在Rt△40E中,AE=V52-22=721,

AB=2AE=2/71«巾）.

故答案为2>ra.

连接04如图，先计算出0C=04=5,0E=2,再根据垂径定理得到HE=BE,然后利用勾股

定理计算出AE,从而得到4B的长.

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

14.【答案】25

【解析】解：连接。8,

vBD=0A,0A=0B

所以△4。8和△B。。为等腰三角形,

设ND=x度,则40BA=2x°,，

因为0B=。4

所以=2x°,

在ZkAOB中，2x+2x+(105-%)=180,

解得x=25,

即4=25°.

解答此题要作辅助线。8,根据。4=0B=BD=半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角

和内角的关系解决.

此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中.

15.【答案】x2—5x+6=0

【解析】解：根据题意得到两根之和为2+3=5,两根之积为2x3=6,

则所求方程为/一5x+6=0.

故答案为：%2—5x+6=0.

由方程的根为3和2,得到两根之和为5,两根之积为6,写成方程即可.

本题考查了根与系数的关系：若与，乃是一元二次方程。/+以+©=09片0)的两根时，/+

b_c

%2=_]X1X2=

16.【答案】m<卷且小。0

【解析】解：・,,一元二次方程m/+轨+5=0有两个不相等实数根，

b2-4ac=42—4xmx5=16—20m>0,

解得：m<

vm0,

・•・Hl的取值范围为：771</且加。0.

故答案为：小〈衣且?71。0.

由一元二次方程771/+轨+5=0有两个不相等实数根，可得△=/-4第：>0且相。0,解此不

等式组即可求得答案.

此题考查了根的判别式.注意△>00方程有两个不相等的实数根.

17.【答案】一1

【解析】解：・・・明0是方程/+2%-1=0的两个实数根，

，a?+2a—1=0,a+/?=-2.

・,・川+2a=1

・•・a?+3a+/?=a?+2a+a+0=1—2=—1.

故答案为：—1.

根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到小+2a-1=0,a+/?=-2,根据

a?+3a+夕=a?+2a+a+夕即可求解.

本题考查了根与系数的关系：若%1，%2是一元二次方程a7+bx+c=0(aW0)的两根时，+

亚=T，XXX2=2考查了一元二次方程根的定义.

18.【答案】-5

【解析】解：:Xi、是方程/+3》-3=0的两实根，

•**Xi+%2=—3,%],%2=—3.

...原式=辿=(肛+丫2)心逐2=丝=_5.

Xj-%2-3

故答案为：—5.

根据一元二次方程a/+以+。=。的根与系数的关系得到与+上=-3,方•冷=一3,然后变形

原代数式为原式=正名=(巧+肛)2-2x62,再代值计算即可.

X「X2xvx2

本题考查了一元二次方程a/+bx+C=0的根与系数的关系：若方程两根为%1，%2，则％1+%2=

bC

-?/

19.【答案】解：(1)3(2%-1)2-12=0,

移项，得3(2x-l)2=12,

两边都除以3,得(2x-1)2=4,

两边开平方，得2%-1=±2,

移项，得2%=1±2,

解得：%i=|,x2=

(2)2X2-4X-7=0,

两边都除以2,得%2—2%-(=0,

移项，得/-2%=1,

配方，得/-2%+1=3，即(％-1)2=3，

解得：x-1=±

即—j3Q_.3—

即=1H——»x2=1------?

(3)x2+%—1=0,

这里a=1,b=1,c=-1,

vb2—4ac=l2—4x1x(―1)=5,

-i±\Ts

,X二2x1

解得：/=匚磬，&=匚尹；

(4)(2%—I)2—x2=0.

方程左边因式分解，得(2%-1+为(2%一1一%)=0,即(3x—1)(%-1)=0,

解得：X]=g，x2=1.

【解析】(1)方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；

(2)方程利用配方法求出解即可；

(3)方程利用公式法求出解即可；

(4)方程利用因式分解法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题

的关键.

20.【答案】解:

•••x2-(k-2)%+9=0有两个相等的实数根，

.•.4=0,即(k-2产-4x9=0,解得k=8或k=-4,

即当k的值为8或-4时，方程有两个相等的实数根,

当/c=8时，方程为—6x+9=0,解得与=刀2=3，

当k=—4时，方程为/+6x+9=0,解得X[=&=-3.

【解析】由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的方程，可求得k的值，再解

方程即可.

本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键.

21.【答案】解：如图,连接OC,

•••”是弦CD的中点，EM过圆心0,

:.EM1CD.

•••CM=MD.

vCD=10,

CM=5.

设OC=x,贝iJOM=25-x,

在COM中，根据勾股定理，得

52+(25-x)2=%2,

解得x=13.

二。。的半径为13.

【解析】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距

和弦长的一半为三边的直角三角形.

连接。C,根据垂径定理得出EM1CD,则CM=M。=5,设。C=X,贝iJOM=25-x,在Rt△COM

中，有0。2=。“2+。”2,进而可求得半径0C.

22.【答案】解：设宽为xm,则长为(20-2x)m.

由题意,得x•(20-2x)=48,

解得%!=4,x2=6.

当x=4时，20-2x4=12>9(舍去)，

当x=6时，20-2x6=8.

答：围成矩形的长为8巾、宽为6m.

【解析】设宽为xm，则长为(20-2x)m,然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可

解决问题.

此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到关键描述语，从而找到等量关系准确的

列出方程.

23.【答案】解：(1)设这种药品每次降价的百分率是x,

依题意,得：200(1-x)2=128,

解得：/=0.2=20%,右=1-8(不合题意，舍去).

答：这种药品每次降价的百分率是20%.

(2)128x(1-20%)=102.4(元),

v102.4>100,

按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本.

【解析】(1)设这种药品每次降价的百分率是X，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即

可得出关于尤的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

(2)根据经过连续三次降价后的价格=经过连续两次降价后的价格x(1-20%),即可求出再次降

价后的价格，将其与100元进行比较后即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

24.【答案】解：(1)设xs后，ZkPBQ的面积等于4刖2.

此时，AQ~xcm,QB=(5—x)cm,BP=2xcm.

由邻BQ=4,得5(5-x)2x=4.

即/-5x+4=0,解得X]=1,x2=4.

当x=l时，B