2023年河北保定市高三3月份模拟考试数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/（x）=sin2x的图象向右平移5个单位长度得到函数g（无）的图象，若函数g（x）在区间[0,可上单调递增，

则”的最大值为（）.

71715万7"

A.—B.-C.—D.

2312~\2

已知复数2二二，则Z的虚部为（

2.)

1-1

A.-1B.-iC.1D.i

+3,凡为奇数

3.已知数列｛4｝满足：％=L=,则4=(

2a“+1,%为偶数’)

A.16B.25C.28D.33

4.已知函数/（x）在R上都存在导函数/'（X）,对于任意的实数都有%j=e2x,当％＜0时，/（x）+/'（x）＞0,

若efl/（2a+l）＞f（a+1）,则实数a的取值范围是（）

2~1「2-

A.0,-B.--,0C.[0,+oo）D.（-co,0J

5.已知非零向量a,5满足同=胴，若夹角的余弦值为义，且（〃-24“3万+5）,则实数x的值为（）

423f43

93292

6.已知随机变量。满足「信=左）=仁（1一〃,广&/，7=1,2,k=0,1,2.若；＜0＜°2＜1,则（）

A.E信）＜E©）,。&）＜。体）B.E（4J＜E⑸,。侑）＞。（乙）

C.E（0）＞E值），0（初＜£＞（曷）D.E信）＞E©）,啕＞叫）

7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

8.波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲

线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k>0,

22

且呼1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆二+4=1（a>b>0）,A,B为椭圆的长轴端

a2b2

IMAI

点，c,D为椭圆的短轴端点，动点M满足卜质=2,AMAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭

圆的离心率为（）

A&RGn百

A.-----B・-----C・-----D.-----

3322

9.已知丹，石是双曲线C:1-营=13>0力>0）的左、右焦点，A,8是C的左、右顶点，点尸在过匕且斜率为弓的

直线上，△「/针为等腰三角形，ZABP=120°,则C的渐近线方程为（）

A.y-+—xB.y=±2xC.y=±-xD.y=±百x

23

10.已知函数〃尤）=皿,8（%）=旄7.若存在%«0,中»）,勺./?使得,4％）=g（W=M&<0）成立，则

X

（\2

-e”的最大值为（）

A.e1

1

D.

11.设一个正三棱柱ABC-DE/L每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并

爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行io次，仍然在上底面的概率为60,

则儿为（）

1

+-

2

12.已知a>〃>0,则下列不等式正确的是（）

A.|Va-/?|<|v^-«|B.即一q〉柩-4

C.|^n—Z?|<\eb—<z|D.卜"-6卜卜

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知二项式卜I：）"的展开式中的常数项为-60,贝！|“=

14.已知函数若在定义域内恒有/（x）<0,则实数”的取值范围是.

\nx-ax

15.二项式（五一的展开式中所有项的二项式系数之和是64,则展开式中的常数项为.

16.已知双曲线C：与一芯=1（6>。>。）的左、右焦点为兄，F2,P（2,正）为双曲线C上一点，且高=3,

若线段PK与双曲线C交于另一点4,则APAK的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知/（x）=|x+l|+|x+3].

（1）解不等式/（x）<6；

⑵若a*,c均为正数，且〃a）+/S）+c=10,求/+从+c?的最小值.

18.（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建

立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消

除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品

加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2

万元.经统计A,3两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：

A市场：

需求量

90100110

（吨）

频数205030

3市场:

需求量

90100110

(吨)

频数106030

把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产〃吨该产品，在A、8两市场同时销售，以X

(单位：吨)表示下一个销售周期两市场的需求量，Y(单位：万元)表示下一个销售周期两市场的销售总利润.

(1)求X>200的概率；

(2)以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量"=190吨还是〃=200吨?并说明理由.

19.(12分)椭圆W：4+4=1(。>人>0)的左、右焦点分别是匕，居，离心率为走，左、右顶点分别为A，

a-b~2

B.过片且垂直于X轴的直线被椭圆W截得的线段长为1.

(1)求椭圆W的标准方程；

(2)经过点P(l,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D(不与点A、B重合)，直线C8与直线x=4相交于

点M,求证：A、。、M三点共线.

20.(12分)已知函数，=+a--g(x)=g^

(1)当。为何值时，X轴为曲线〉=/(%)的切线；

(2)用max{/",〃}表示加、〃中的最大值，设函数〃(x)=maxW(x),xg(x)}(x>0),当0<”3时，讨论〃(x)

零点的个数.

21.(12分)设抛物线。：尸=2px(p>0)过点(相,2标)(m>0).

(1)求抛物线C的方程；

(2)产是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若际=2而，求IA8|的值.

22.(10分)在正三棱柱45。1出1。中，已知48=1,44]=2,昆/,6分别是棱441,4。和4。|的中点，以{用，FB,FG^

为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

(1)求异面直线AC与5E所成角的余弦值;

(2)求二面角尸-BGC的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

由题意利用函数了=45缶(5+⑼的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出。的最大值.

【详解】

解：把函数/(%)=sin2x的图象向右平移丁个单位长度得到函数g(x)=sin(2x-5)的图象，

若函数g(x)在区间［0,上单调递增，

在区间［0,«］±,2。-刍，

333

则当。最大时，2a-求得〃=与，

3212

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin(5+e)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题.

2.A

【解析】

分子分母同乘分母的共枕复数即可.

【详解】

2i2i(i+l)-2+2i

z=-----=---------------=-------1-i,故二的虚部为一1.

i-1(i-l)(i+l)-2

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.

3.C

【解析】

依次递推求出得解.

【详解】

n=l时，生=1+3=4,

n=2时，％=2X4+1=9,

n=3时，4=9+3=12,

n=4时，as=2x12+1=25,

n=5时，a6=25+3=28.

故选：C

【点睛】

本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4.B

【解析】

先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.

【详解】

令g(x)=e"(x),则当x<0时,g'(x)=e'"(x)+r(x)]>0,

又g(—x)=e-xf(-x)=e"(x)=g(x),所以g(x)为偶函数，

从而eaf(2a+1)>/(«+1)等价于e2a+'f(2a+\)>ea+'f(a+1),g(2a+1)2g(a+1),

2

因此g(—I2。+11)Ng(—|a+11),—|2。+1—|a+11,3。-+2。K0「.一Q<a<0.选B.

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

5.D

【解析】

根据向量垂直则数量积为零，结合同=4w以及夹角的余弦值，即可求得参数值.

【详解】

依题意，得,一2方)•(3M+5)=0,即3同2—5小5_2忖，=0.

将同=/1同代入可得，18万—19/1—12=0,

34

解得/1=不(4=一”舍去).

29

故选：D.

【点睛】

本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.

6.B

【解析】

根据二项分布的性质可得：夕(4)=0，，(或)=P,(1—P,),再根据;<化<〃2<1和二次函数的性质求解.

【详解】

因为随机变量自满足外刍/卜。：。—〃)-**，—？，Z=0,l,2.

所以。服从二项分布，

由二项分布的性质可得：E(4)=0，〃(当)=pj(1-0),

因为g<Pl<P2<l，

所以E(《)<E($),

由二次函数的性质可得：/(x)=x(l-X),在上单调递减，

所以£>(4)>£>©).

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

7.A

【解析】

由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，

且两直角边分别为1和2,所以底面面积为S=Lx1x2=1

2

112

高为人=2的三棱锥，所以三棱锥的体积为V=—S〃=4xlx2=4,故选A.

333

8.D

【解析】

求得定点M的轨迹方程入—2)+/="土可得_1*2。乂百4=8-'2"』。=1,解得a,b即可.

2323

【详解】

IAMI

设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).；动点M满足匕』=2,

\MB\

则J(x+a)2+/=2yJ(x-a)2+y2=2,化简得(x-^-)2+y2=.

,.,△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,

「41,1,

••一x2ax—。=8o,一x2bx-ci—\,解得a=&力

2323

.••椭圆的离心率为＜1一£=且.

\a22

故选D.

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题.

9.D

【解析】

根据△P48为等腰三角形，乙钻尸=120。可求出点尸的坐标，又由PK的斜率为立可得出。，c关系，即可求出渐

4

近线斜率得解.

【详解】

如图，

因为△P48为等腰三角形，ZABP=120°,

所以|P8HAB|=2a,NPBM=60°,

xp=|PB|-cos6()°+a=2a,yp=\PB\sin60°=6a,

又_8-o_G

人Kpp------------，

'2a+c4

2a=c

3a2=h29

解得2=百，

a

所以双曲线的渐近线方程为y=土6x,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.

10.C

【解析】

由题意可知，g(x)=/(e*),由/(%)=g伍)=%(%<0)可得出0<X]<1,w<0,利用导数可得出函数y=/(x)

在区间(0,1)上单调递增，函数y=g(x)在区间(—,0)上单调递增，进而可得出％=e*,由此可得出

土=々=g(%2)=Z,可得出(生■2

ek=k'ek,构造函数〃(后)=廿1,利用导数求出函数y=〃(A)在左€(F,0)

玉e-(西

7

上的最大值即可得解.

【详解】

・•・/3=竽

由于/(xj=g

=女<0,则In%<0=>0<玉<1,同理可知,x2<0,

x\

函数y=/(x)的定义域为(0，+8)，/'(%)=号”〉0对Vxc(o,l)恒成立，所以，函数)，=〃x)在区间(0,1)上

单调递增，同理可知，函数y=g(x)在区间(YO,0)上单调递增，

==则玉=e*,.,.三=々=g(z)=左，则*ek=k2ek,

玉eIx"

构造函数〃(%)=左2i，其中k<0,则〃'⑻=(公+2左)修=攵(女+2)六

当左<一2时，〃'仅)>0,此时函数>=/?(%)单调递增；当一2<女<0时，〃'仅)<0,此时函数y=〃化)单调递减.

4

所以，=

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.

11.D

【解析】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率

21

为§月一”②若上一步在下面，则第〃-1步不在上面的概率是1-47.如果爬上来，其概率是3(1-月“)，两种事件

21

又是互斥的,可得匕+-(1-^,),根据求数列的通项知识可得选项.

【详解】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为月.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为］匕_|(〃22)；

②若上一步在下面，则第n-1步不在上面的概率是1一月T，(〃>2).如果爬上来，其概率是g(l-匕),(〃>2),

两种事件又是互斥的,•..以=：£1+；(1-41),即

•••数列］匕是以g为公比的等比数列，而［=］，所以匕

2⑶2

故选：D.

【点睛】

本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.

12.D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项.

【详解】

已知。>6>0,赋值法讨论a>匕>0的情况：

(1)当时，令a=2,b=\,贝“右一。|<|新一《，卜"一。|>——《，排除B、C选项；

(2)当()</><a〈l时，令“=3，b=；,贝!]]右一0>|乐一《，排除A选项.

故选：D.

【点睛】

比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条

件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

在二项展开式的通项公式中，令1•的幕指数等于0,求出，•的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-/60求得实数〃的

值.

【详解】

:,二项式的展开式中的通项公式为7；+/=4r'f,

令6-2r=0,求得r=3,可得常数项为160,-,-a=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

1

14.

【解析】

根据指数函数y=/与对数函数y=Inx图象可将原题转化为-ox）（lnx—以）＜0恒成立问题，凑而可知y=◎

的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零

的条件可最终确定”的取值范围.

【详解】

x

由指数函数y=e'与对数函数y=lnx图象可知：e＞inx»

.,./（》）＜0恒成立可转化为士”＜0恒成立，即（，一奴）（lnx—以）＜0恒成立，.、一依〉]!!%，即丁=6是

\nx-ax

夹在函数y=e'与y=Inx的图象之间,

y=◎的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.

设过原点且与y=InX相切的直线与函数相切于点（〃4Inm）,

[m=e

1Inm

则切线斜率占=一=——，解得：L1?

mmk[=一

、e

设过原点且与y=e"相切的直线与函数相切于点（〃,e"）,

则切线斜率&=e"=《，解得：|：一1；

-n[k2=e

当。=一时，Inx—x«0,又Inx—一满足题意；

eee

综上所述：实数。的取值范围为

【点睛】

本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数

函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得

的讨论.

in15

15.彳

【解析】

由二项式系数性质求出〃，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项.

【详解】

由题意2"=64,〃=6.

展开式通项为（+1=C；（五）6-=（_，）'CA"E,由3—三二0得厂=2,

2x22

・••常数项为（=（一3）2。；=?.

故答案为：:.

4

【点睛】

本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键.

伤9血

10.----

4

【解析】

由已知得|尸周=3归闾即归用2=9「周2,上闾2=（2—4+2,可解得心由P（2,后）在双曲线C上,代入即可求得

双曲线方程,然后求得直线PK的方程与双曲线方程联立求得点A坐标，借助S“g=S&pg-，即可解得所求.

【详解】

由已知得归制=3|"|,又|PK『=（2+C）2+2,|PR『=（2_C）2+2,所以（2+c）?+2=9[（2-域+2],解得

4242

1=1〃=3a2=2

c=3或c=2,由尸（2,/）在双曲线C上，所以＜a1b2或＜/一乒，所以"6或（舍去），因

b2=2

a2+b2=9a2+b2=4

22

此双曲线C的方程为工一二=I.又耳（-3.0），所以线段PR的方程为yx+3）,与双曲线C的方程联立消去

36

f7

x整理得8y2—10&),+4=0,所以x=?,必=3,所以点A坐标为一二,一，所以

I44J

SbPAF?=SAPFR-§必65

2244

【点睛】

本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，考查求三角形面积，考查学生的计算能力，难度较难.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）（-5,1）；⑵2

【解析】

（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.

（2）利用柯西不等式可求标+〃+c.2的最小值.

【详解】

2x+4,x>-l

(1)/(x)=<2,-3<x<-l,

-2x-4,x<-3

x>-l-3<x<-lxW—3

由/(n)<6得<或<CN或V

2x+4<62<6-2x-4<6'

解得XG(-5,1).

(2)/(a)+/®+c=(2a+4)+(»+4)+c=10,

所以2z7+2Z?+c=2,

由柯西不等式+〃；+裙)仅：+力；+&)N(岫+a2b2+得：

[a2+b2+c2)^+T2+l2)>(2a+2b+c)2

所以g3+/+c+w+zb+cy=4,

44

BPa2+h2+c2>-(当且仅当a=b=2c=—时取“=”).

99

4

所以/+〃+。2的最小值为g.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平

方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象

法求解时注意图象的正确刻画.利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.

18.(1)0.42；(2)〃=200吨，理由见解析

【解析】

(D设“A市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件A,4,A3,“8市场需求量为90,100,110吨”分别记为

事件%83,由题可得尸(4),P(A),尸(A),尸(鸟),代入

B2,P⑻,P(BQ,

尸(X>200)=,计算可得答案；

(2)X可取180,190,200,210,220,求出〃=190吨和"=200吨时的期望，比较大小即可.

【详解】

(1)设“A市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件4，4，4,“B市场需求量为90,100,11()吨”分别记为

事件用，则

B2,B3,

P(A)=0.2,P⑷=0.5,P(A,)=0.3,

p(4)=0.1,尸(务=0.6,P(员)=0.3,

p(X>200)=P(44+A,B2+)

=p(a)p(⑷+P(A)P(52)+P(4)P(4)

=0.5x0.3+0.3x0.6+0.3x0.3=0.42；

(2)X可取180,190,200,210,220,

P(X=180)=0(A4)=0.2x0.1=0.02

P(X=190)=P(A,BI+4B2)=0.5X0.1+0.2X0.6=0.17

当〃=190时，E(r)=(180x5-10x2)x0.02+190x5x(1-0.02)=948.6

当〃=200时，E(y)=(180x5-20x2)x0.02+(190x5-10x2)x0.17+200x5x(1-0.02-0.17)

=985.3.

v948.6<985.3,

.•・〃=200时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量〃=200吨.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.

r2

19.(1)±+y2=1；(2)见解析

4

【解析】

2b2

(1)根据已知可得式-=1,结合离心率和。*,C关系，即可求出椭圆W的标准方程；

a

(2)8斜率不为零，设CO的方程为了=加'+1,与椭圆方程联立，消去x,得到纵坐标关系，求出方

程，令x=4求出M坐标，要证A、D、/三点共线，只需证心。一心,”=0,将心0-&时分子用纵坐标表示,

即可证明结论.

【详解】

r2

(1)由于02=储—从，将X=-C代入椭圆方程'+=1,

Q-

Wy=±—.由题意知近=1,即a=2〃.

aa

又e=£=正，所以a=2,b=l.

a2

2

所以椭圆W的方程为工+y2=i.

4-

(2)解法一：

依题意直线CO斜率不为0,设CO的方程为x=my+l,

x=my

联立方程X2,，消去X得（〃?2+4）;/+2/2一3=0,

一+y=1

I4'

由题意，得/>0恒成立，设。(王，,)，D(x2,y2),

b,、，2m3

所以x+%=一-一-r-T

加+4m+4

直线CB的方程为y=-A；（x—2）.令x=4,得V（4,-^）.

%1-2%1-2

又因为4—2,0）,。（乙,必），

则直线A"■的斜率分别为原L养'正号，

%y=3%（内一2）一%（工2+2）

所以％AO—^AM

x,+23（尤1—2）3（Xj—2）（X2+2）

上式中的分子3y2(王一2)—y(x2+2)=3%。孙一1)-X(加为+3)

c〜、-6/〃+6帆八

=2g%-3(y+y)=­；——=0,

2m-+4

一心“=0.所以A，D,"三点共线.

解法二：

当直线CD的斜率攵不存在时，由题意，得CO的方程为x=l,

代入椭圆W的方程，得C(l,日)，DQ,-日),

直线CB的方程为y=-¥(x-2).

则M(4,-g),AM=(6-y/3),AD=(3-—),

2

所以丽=2而，即A，D,M三点共线・

当直线CD的斜率Z存在时，

设8的方程为3=网无一1)(b0),D(x2,y2),

'y^k(x-l),

联立方程I炉消去y,得(4代+l)f-8公x+4公-4=0.

工+丁=1,

I4

Qb24*2—4

由题意，得/>0恒成立，故%%=丝1・

直线C8的方程为y=-A;(x-2).令x=4,得"(4,-^).

Xj-2x,-2

又因为A(—2,0),。(马。2)，

则直线AD,AM的斜率分别为原一六‘脑=建'

所以心。一心”二春一反含53y2(%—2)—%(々+2)

3(X,-2)(%+2)

上式中的分子3%(%一2)—%(%+2)=3Z&2-1)(玉-2)-k(x,-l)(x2+2)

4“2_48I-2

=2@々-5Mxi+x2)+8k=2kx-v------5kx--~~+Sk=0

4t+14F+1

所以MD-以M=0.

所以A，D,/三点共线.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查

计算求解能力，属于中档题.

3

20.(1)。=—；(2)见解析.

4

【解析】

/'(xo)=°

(1)设切点坐标为(毛,0),然后根据\八可解得实数"的值;

/(%)=°

冲令力(力=4(力=一/+公-；,g](x)=xg(x)=lnx(x>o),然后对实数。进行分类讨论，结合工a

和于\(1)的符号来确定函数y=〃(x)的零点个数.

【详解】

/5)=。

设曲线y=/(x)与x轴相切于点(七,0),则"

/'(%)=0'

-+a----——o1

4%

即《,解得，

3

―2%+~r^~°a--

4片4

3

所以，当a=a时，X轴为曲线y=/(x)的切线;

3

(2)令/(x)=4(x)-x+ax-—,g}(x)=xg(x)=Inx(x>O),

则〃(x)=max{/；(x),g|(x)},<'(力=-3f+。，由<'(力=0,得.丫=a

3

当xe0,J1时，<'(力>0,此时，函数y=/；(x)为增函数；当xe号+8时，此时，函数y=/；(%)

为减函数.

­.-0<a<3,0<^<l.

3

①当工,即当0<4<1时，函数y=/i(x)有一个零点;

3

②当工,即当q=j时，函数y=〃(x)有两个零点;

35

③当<，即当时，函数y=〃(x)有三个零点;

［创<0

>05/、

④当,即当a=j时，函数y=/?(x)有两个零点;

［工⑴=0

,即当:<时，函数只有一个零点.

⑤当a<3y=/i(x)

〔工⑴>0

35

综上所述，当0<a<：或j<a<3时，函数y=/z(x)只有一个零点;

当4=彳或a=W时，函数y=/7(x)有两个零点；

当时，函数y=/i(x)有三个零