2023届浙江省金华十校高三年级上册一模考试数学试题及答案

金华十校2022年11月高三模拟考试

数学试题卷

本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用

笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合”={那吟<2},N伸—3x—4«0},则“％=()

A.{x[0<x<4}B.^x|-l<x<4|C.{x|-l〈x<3}D.{x[0<x<4}

2.已知(l+i)25=3—i,其中i为虚数单位，则2=()

3.在正方形ABC。中，E,F分别为8C,CO的中点，则不正确的是（)

A.AC=AF+-ABB.AC=AE+-AD

22

C.AC=-AE+-AFD.AC=AB+AD

33

(Q、T1918

c=---------------,pill(

4.已知&=:^=-log56+-log65,

U7j2841og56+91og65

A.h>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

5.打羽毛球是全民皆宜的运动.标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为

7cm,若把球托之外由羽毛围成的部分看成一个圆台的侧面，又测得顶端所围成圆的直径是6.8cm,底部所

围成圆的直径是2.8cm,则这个圆台的体积约是（单位：cm3）（）

注：本题运算时乃取3,不取224,运算最后结果精确到整数位.

A.108B.113C.118D.123

6.已知样本空间。由所有满足a,"ceN*,a+b+c=12且的数组仇c）组成，在Q中抽取一

个数组，记事件“看=?.”为抽到的数组中。，b,c的最大值为i，则尸化=6）=（）

/71]ITITjrjr

7.已知函数/（x）=cos|公¥-彳|（（y>0）在上单调递增，且当xe时，/⑴对恒成立，则

V3）[_64J[_43.

。的取值范围为（）

51122171「41[17]*4][28]<51^22'

A.0,——,—B.0,—8,—C.0,—I8,—D.0,—,J—,8

（2」I32JI3」[2」I3」[3」（2」3J

8.如图是一个由正四棱雉与棱长为。的正方体ABCD-A6CR形成的组合体，这个组合体

在直径为26的球内，且点S,A，B},C,,3在球面上，则（）

A

。的取值范围是（0,6]

B.正四棱雉s—a4G4的高可表示为6-

c.该组合体的体积最大值为止

3

D.二面角s—4A-G的大小随着a的增大而减小

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知正方体ABC。一4耳G2,E,F分别为AA，CG的中点，则（）

A,直线8E与用厂所成角为90。

B.直线用。与G。所成角60°

C.直线AA与平面ABGA所成角为45°

D.直线A4与平面8F」D所成角的正弦值为且

3

10.已知函数/（力=炉-3%-2,A（X1,y）,B（x2,y2）,。（七,%）为图象上的三点，则（）

A./(X)有两个零点

B.若X］为极小值点，则X=0

C.直线y=0是曲线y=/(x)的切线

D若|AB|=|AC|,则%+X3+X+%+%=-6

11.已知抛物线C：V=4x,过焦点厂的直线/与C交于A(x，y),3(9,力)两点，X>2,E与F关

于原点对称，直线A3与直线AE的倾斜角分别是。与夕，则()

A.sina>tanAB./AEF=/REFC.ZAEB>90D.a<2b

12.己知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R.记g(x)=/'(x)，若/Qx+g］为偶函数，

g(T—%)为奇函数，贝U()

A./［-£|=0B.g(-2)=g⑶C.gQ)=0D.〃0)=/(5)

非选择题部分(共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式(x-L)的展开式中常数项是.

14.若直线丫=丘+〃是曲线、=卜一1和y=e-i的公切线，则实数力的值是.

15.已知圆Q:/+丁=8与圆Q:(九-7)2+y2=2,点4(8,1)是圆02上的一点，过圆心O作直线02A的

平行线与圆01交于8点(A和8不在X轴同侧)，A3交X轴于点C,以OC为直径的圆与圆01的一个交点

为E，则圆心0与圆心。2到直线CE的距离之和是

16.已知椭圆「：；+y2=1,过椭圆右焦点F作互相垂直的两条弦AB,CD,贝1J|A6|+4|CD|的最小

值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.己知数列1%是首项为1,公差为1的等差数列.

(1)求凡：

2n=1,

（2）若CL%2求数列｛%｝的前几项和S”.

.%

18.设一48c的内角A,B,C的对边分别为a,b，C,且CCOSB+扬sinC=a+Z?.

（1）求角C的大小；

（2）设力为边AB的中点，—=^-,c=2,求

BC2

TT

19.如图，在四棱锥S-ABC。中，平而5AD_L平面ABD,ZASD=ZBAD=ZBCD=—,

2

SA=SD=6,AB=6BC=ECE=CSF=1.

(1)求证：EF〃平面SAB；

(2)求点E到平面S48距离：

(3)求平面SAB与平面SBC的夹角.

20.浙江省实行新高考改革方案以来，英语每年安排两次考试，第一次在1月与选考科目同期进行，称为“首

考”，第二次在6月与语文、数学同期进行，称为“老高考”，考生可选用其中一次较好的成绩计入高考

总分.英语在“首考”中“一考两用”，成绩既用于评定学业水平等级又可用于高考，学考合格后的考生,

英语第二次考试成绩仅用于高考，不计算学考等第.2022年1月“首考”中，英语成绩达到117分及以上的

考生，学考等第为从某校为了解英语考试情况，随机抽取了该校男、女各10〃(〃eN*)

高三

名学生在“首考”中的英语考试成绩，情况如下表，并经过计算可得力239.091.

男生女生

A等4〃7〃

非A等6n3〃

(1)从20〃(〃eN*)名学生中随机选择1人，己知选到的学生英语学考等第为4求这个学生是男生的概

率；

(2)从名女生中任意选2人，记这2人中获得A等的人数为自，求J的数学期望与方差.

n^ad-bcy

附:Z2，其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)e+d)

附表:

噌之飞)0.050.0100.0050.001

43.8416.6357.87910.828

21.已知双曲线E：；•—与=1(。＞0,h＞0)的一条渐近线为)，=V2x,且右焦点F到这条渐近线的距离为

ab~

日

(1)求双曲线E方程；

(2)若双曲线E的右支上存在三点A、B、C,满足Q4LQB，OC=4(Q4+OB),s^BOC

求直线A8的方程.

22.已知函数/(x)=:/+ax-(or+l)lnr(awR),记/'(x)=g(x).

(1)当a=l时，求函数/(x)的最小值；

(2)右函数g(X)有二个零点%],乙，*3，且X]＜々＜“3.

①求”的取值范围；

②证明：％+&+4%七＞3。.

试题

高三

金华十校2022年11月高三模拟考试

数学试题卷

本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用

笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合”={那吟<2},N伸—3x—4«0},则“（）

A.{x[0<x<4}B.^x|-l<x<4|C.{x|-l〈x<3}D.{x[0<x<4}

【答案】A

【分析】先求出集M、N,再求两集合的交集即可.

【详解】由log2X<2=log24,得0<x<4,所以M={x[0<x<4},

由丁一3左一440，得一所以N={x[—l<x<4},

所以McN={x[0cx<4}.

故选：A.

2.己知（l+i）25=3—i,其中i为虚数单位，则2=（）

13.13.3.3.

A.--------1B.——T卜一1C.——+1D.---------1

222222

【答案】B

【分析】由复数的运算得出N,进而得出Z.

_3-i3-i3-i3i-i23i+l13.13.

［详解［z=p-^=T^7F=^r=^r=^r=-2-21贝！Jz=---1—i

22

故选：B

3.在正方形ABC。中，E,F分别为5C,8的中点，则不正确的是（）

A.AC=AF+-ABB.AC=AE+-AD

22

试题

高三

12

C.AC=-AE+-AFD.AC=AB+AD

33

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算，一一判断各选项，可得答案.

［详解】由题意可得AC^AF+FC^AF+-DC^AF+-ABA正确;

22

E

B

4。=4石+£'。=4£+：8。=4尸+34。,故8正确；

由A£=A8+BE=AB+，BC=AB+LA。，AFAD+DFAD+-DC=AD+-AB,

2222

可得AB+AD=g(AE+AF),

2-2一

故AC=A3+A£>=—AE+—A/，故C错误，D正确；

33

故选：C.

/Q\41918

4.已知a=3,/,-iog6+-log5,C=~~~则()

=5s66

127)2841og56+91og65

A.h>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

333

【分析】解得。=],又利用对数运算可判断logs6<2,结合基本不等式可判断与Q的大小，即可得

a,b,C的大小关系.

【详解】解：y3=停j=f|Y；|

3-

由于5=1%》=］幅后＞1幅病=1%6,

,1,91,9川/］产6・0福3取等条件应为5136=菰9章

2g58g62810g65

试题

高三

333

,即logs6=—,而log56<—,故6>—,

181818183

---------------------------------——j”—————9

41。“6+——oLTT9122,取等条件为410g56=~-

41og,6+91og6541gs6+2Og56即

°log65f-logft5皿

333

logs6=5,而logs6<5,故所以b>a>c.

故选：A.

5.打羽毛球是全民皆宜的运动.标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为

7cm,若把球托之外由羽毛围成的部分看成一个圆台的侧面，又测得顶端所围成圆的直径是6.8cm,底部所

围成圆的直径是2.8cm,则这个圆台的体积约是(单位：cm3)()

注：本题运算时〃取3,逐取2.24,运算最后结果精确到整数位.

A.108B.113C.118D.123

【答案】D

【分析】由圆台的体积公式求解即可.

【详解】圆台的体积为1=；(3.42%+1.42万+,3.42万142万)xj72—(68：28j=123

故选：D

6.已知样本空间C由所有满足a,Z?,ceN*,a+Z?+c=12且aK8的数组(4方,。)组成，在。中抽取一

个数组，记事件=?.”为抽到的数组中。，b,。的最大值为i，则P(J=6)=()

11

C

B.6-4-

【分析】列举出所有符合题意的数组，可得满足4=6的数组个数，根据古典概型的概率公式，即可得答案.

【详解】由题意可知,符合题意数组有：(1,1,10),(1,2,9(,(1,3,8),(1,4,7),(1,5,6),

(2,2,8),(2,3,7),(2,4,6),(2,5,5),(3,3,6),(3,4,5),(4,4,4),共12组,

其中事件“J=6”的数组有(1,5,6),(2,4,6),(3,3,6),

31

故P传=6)=五=了

试题

高三

故选：D.

/\「1r1

7.已知函数/(x)=cos|8-彳3>o)在-,-上单调递增，且当xe时-，/(*)之0恒成立，则

”的取值范围为()

17(4…285522Q

A.B.C.I0n,-J8,—D.0,——,8

■U吟23I223

【答案】B

【分析】由已知，分别根据函数/(x)在区间上单调递增，在xe时，”x)zo恒成立，列出

不等关系，通过赋值，并结合。的本身范围进行求解.

【详解】由已知，函数/(x)=cos(ox-g［3>0)在上单调递增，

兀G解得：绝—;比2K71

所以2Al兀一兀《①工一§<2kMk、Z)，—<x<­—+总占GZ)，

CD.3(oCbJCD

兀2匕兀2兀

——-----

71712人兀2兀22］兀।716CD369

由于U(占eZ),所以<,解得：

一6'4_co3a)9CD36y兀,2km71

—<——4-

4CD369

4

124-4<啰48%[+—(^GZ)①

/7t17T7T

又因为函数/(x)=cos[s-]J(0>0)在xe上〃x"0恒成立,

兀JTJT2k1tF-z),

所以2%2兀一万aGJX-—K2A2兀+/(22EZ),解得:2—<x<

co6G

Tt

>-2-女-2兀--71

由于口］"乃一白生+当4

所以《CD6：,解得：

[43」[①6a)CD6。」7t,2k吓5兀

<——+

,3co6co

25

8公—Q<①<6k)+5(%2£Z)②

试题

高三

cy>0

4

又因为勿＞0,当匕=%2=0时，由①②可知:-4<<y<-,解得。w

3

25

——<(1)<—

32

0>0

02817

当匕=右=1时，由①②可知:8<<y<—，解得。e8,—.

32

22.17

——<CD<—

32

（417

所以。的取值范围为0,彳8,—

I32

故选：B.

【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组

对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.

8.如图是一个由正四棱雉与棱长为。的正方体A3CD—A4GD形成的组合体，这个组合体

在直径为26的球内，且点S,4，B],C,,Q在球面上，则（）

A.a的取值范围是（0,6]

正四棱雉S-44C|A的高可表示为6—小3—9

B.

该组合体的体积最大值为"士拽

3

D.二面角s—Aq-G的大小随着a的增大而减小

【答案】C

试题

高三

【分析】由球心与截面圆的圆心以及球面上的点的关系结合勾股定理可判断AB；表示出组合体的体积，利

用导数研究单调性，可判断C；表示出二面角的正切值并研究单调性可判断D

【详解】球的直径为26，则半径为道,

2

由题意知,所以故A错误;

设正方体上下中心分别为a，a，外接球球心为o,

B___________

o?B\=W，°B\=6，则

所以高SO2=R—OO2=—

S⑷=3/+冬面—网

v733

?故。正确;

所以V（a）在（0,2］单调递增，V（«）＜V（2）=

设二面角S-Ag的平面角为6,

故选：c

试题

高三

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知正方体A8CD-,E，尸分别为A。-CG的中点，则（）

A.直线8E与片厂所成角为90°

B.直线BC与所成角为60。

C.直线AA与平面所成角为45°

D.直线A4与平面BED所成角的正弦值为且

3

【答案】ABC

【分析】建立空间直角坐标系，求出正方体各顶点坐标，求出相关向量以及相关平面法向量的坐标，根据

数量积的计算以及空间角的向量求法，即可判断答案.

【详解】以。为坐标原点，以射线为x,yz轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长

为2,

试题

高三

则

0((),(),0),D}(0,0,2),A((2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),£(1,0,2),尸(0,2,1),A((2,0,2),Bt(2,2,2),C,(0,2,2),

则3£=(—1,—2,2)，4户=(—2,0,—1),故3£4/=2—2=0,则

故直线3E与8尸所成角为9()°,A正确：

.B,C,C.D41

4c=(-2,O,-2),C；D=(O,-2,-2),COS〈4C,CQ〉=|8©S|=20X20=5'

■■，，，・—•TT_TT

又〈4CCQ〉£［0,兀］,故即直线gc与CQ所成角为B正确；

AB=(0,2,0),AD1=(-2,0,-2),=(0,0,2),

设平面ABCQi的法向量为〃=«y,z),

［n-AB=2y=0

则〈，令x=l,则几=(1,0,—1),

［加-AZ),=—2x—2z=0

故cos〈〃,A4)=2=-7=-=-..因为直线与平面所成角范围为［0,当，

Irtll^m<2x222

故直线A4与平面ABJR所成角的正弦值为也，

2

所以直线A4与平面ABG。所成角为45°,C正确；

DF=(0,2,1),DB=(2,2,0)，设平面BFD的法向量为m=(a,b,c),

fm•DB=2。+2Z?=0

则，，令。=1,则m=(1,—1,2),

[m-DF=2b+c=0

/人八加・A4j4V6

故cos〈m,A4〉=「——4=—=—,

\m\\A4j|v6x23

故直线A4与平面BED所成角的正弦值为Yi,D错误.

3

故选：ABC.

3

10.已知函数/(力二％—3x—2,A(X|,y),B(x2,y2),C(£,%)为图象上的三点，则()

A./(x)有两个零点

B.若玉为极小值点，则X=0

试题

高三

C.直线y=0是曲线y=/（x）的切线

D.若=|AC|,则X|+工2+工3+x+%+%=-6

【答案】AC

【分析】利用导数研究/（X）的单调性、极值，进而确定零点并画出函数图象，即可判断A、B、C；在/（X）图

象上任找仇C两点，线段8C中垂线交/（X）图象与A点，即有|AM=|AC|,图象上找反例，判断D.

【详解】由题设/'（幻=3（/一1）,易知：（Y0,-1）、（1,物）上/'（x）>（）,即/（X）递增，（-l,l）±.f（x）<0,

即/（X）递减.

所以极大值为/（-1）=0,极小值为/（1）=-4,且/（2）=0,显然/（X）有两个零点，A正确，B错误；

/（X）的函数图象如下：

由上分析及图知：直线y=0是曲线y=/（x）的切线，c正确；

在/（X）图象上任找5,C两点，线段3C中垂线交/（X）图象于A点，此时|A用=|AC|,

如上图，在/a）图象中可取A,8,C三点，其中8（1,-4）,乂，为<-4,%],x3<0,

所以，存在玉+工2+工3+X+%+为<-11，D错误.

故选：AC

11.已知抛物线C:y2=4x,过焦点尸直线/与C交于A（5,yJ,两点，X>2,E与尸关于

原点对称，直线与直线AE的倾斜角分别是。与£,则（）

A.sina>tan£B.ZAEF=/BEFC.ZAEB>90D.a<2b

试题

高三

【答案】BD

【分析】作4£>1_》轴于。，做3C_Lx轴于C,设直线/的方程为y=A(x-l),与抛物线方程联立求出

X1+%2,王龙2，求出sine,tan,可判断A；求出女曲+女此可判断B：求出tan力利用基本不等式得出

tan/?<1可判断C；求出tane、tan2尸，做差tanc-tan2尸与0比较大小可判断D.

【详解】做A£>_Lx轴于O,做BCJ_x轴于C,

所以。&,0),。(々,0),抛物线C：V=4x的焦点尸(1,0),

因为y>2,所以斗>1,即。<90,所以直线/的斜率存在设为Z,

可得直线/的方程为y=A(x-l),与抛物线方程联立<：="[：一”,整理得

、yx

2

k2x2-(2k2+4^x+k2=0,所以jq+犬2=，才=4巷，

\AD\y,\AD\y,

对于A,sina=[—=—tan〃=U=­匕，所以sma=tan〃，故错误;

\AF\内+1\ED\%1+1

对于B'因为脸=告?矶=等?

%।y"(，2—1)(玉+1)+Z(%]—1)(*2+1)

所以^AE+即E

(“2+i)a+i)

x2+1Xj+1

,2X1X2-%々-/―2

,所以直线AE与BE的倾斜角互补，即

(x2+l)(x,+l)

ZAEF=NBEF，故正确；

对于C,因为华，所以‘a加圈=含=需<第=】’即ZA045,

因为NAEF=NBEF，所以NAEB<90，故错误;

对于D,因为NAEB<90，所以0<2h<90,

2y

力(

所以tan22ta"nfr土xx+丁1节2y(学x1+1)

tan«匕叨一西一

|FD|玉一1

1

试题

高三

_2>(%+1)=环一，-2yxi-2yl=f.一3y

所以tanc-tan2〃=<0,

/—I(内―1丫(MT

所以tanc<tan2尸，即a<2/7,故正确.

故选：BD.

己知函数/(x)及其导函数尸(x)的定义域均为R.记g(x)=7'(x),若/[2x+|)为偶函数,

12.

3

gx为奇函数，则()

=0B.g(—2)=g⑶0D./(0)=/(5)

【答案】CD

龙=_|对称，由g|-x)为奇函数，可得g(x)

【分析】由为偶函数，可得/(x)的图象关于直线

的图象关于1|,0)对称，再由尸(x)=一/(5—x),可得g(x)的图象关5于对称，然后逐个分析判断

2

即可.

【详解】因/(2x+|5]为偶函数，所以/(_2x+：)=/(2x+|5),

22

令-2x+*=f,则2x=9-f,所以/Q)=/(5—f),即/(x)=,f(5-x),

22

所以/(x)的图象关于直线x=|对称，

试题

高三

所以/(0)=/(5),所以D正确，

由/(%)=/(5-x),得f\x)=一/'(5-x),

所以g(x)=-g(5-x),所以g(x)+g(5-x)=0,

所以g(x)的图象关于(g,0)对称，

因为8((一》]为奇函数，所以g[T+x]=_g13_x

所以g(x)的图象关于(；,())对称，

所以g(x)的周期为2x(|—3]=2,

令元=0,

因为g(x)的周期为2,所以g(—2)=g(O),

因为g(x)的图象关于佶对称，所以8闭=招(0),所以g(—2)=g⑶不一定成立，所以B错误，

由g(T+x)=_g(T_x)'可得/'(m+x)=_/'(l'_x)，所以/(l'+x)=/(l'_x)+C(C为常数)，

所以，(一；)=，[：1+。=/[。1+。，此式不一定为零，所以A错误，

故选：CD

【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和对称性的综合应用，考查抽象函数的奇偶性，解题的关键是

利用已知的式子结合奇偶性的定义求出函数的对称轴和对称中心，再得到函数的周期，考查数学抽象能力,

属于难题.

非选择题部分(共90分)

试题

高三

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式(％—工)的展开式中常数项是.

【答案】6

【分析】求出二项式展开式的通项，令x的指数为0,结合通项公式即可求得答案.

【详解】二项式—的展开式的通项为=(-l)'C：x4Q,r=o,i,2,3,4,

令4一2厂=0,「.r=2即二项式—的展开式中常数项是(—l)2xC：=6,

故答案为：6.

14.若直线》=丘+人是曲线、=^一1和》=61的公切线，则实数力的值是

【答案】0

【分析】设直线丫=丘+力与曲线y=e「l、y=ei分别相切于点A(x”e』-1)、8伍d-。，利用导

数求出曲线y=e*-l在点A处的切线方程，以及曲线丁=61在点8处的切线方程，可得出关于/、4的

方程组，解出这两个量的值，即可求得力的值.

【详解】设直线丫=b+人与曲线丁=/一1、＞=6曰分别相切于点4卜"”-1)、8■2炉7),

对函数y=e'-1求导得y'=e\则％=9，

曲线y=e，-1在点A处的切线方程为y-eV|+1=e*(x-xj,即y=e'^+^-x^e"'-1,

对函数y=e'-1求导得y'=e^1,则％=户，

曲线y=e，在点B处的切线方程为y-=ee)，即y=e*2Tx+(1-9)e迎,

X)=0

A

i-T

所以‘bk=-(e—J6»e=l=(lf)e…化简可得'=1

k=1

h=0

故答案为：0.

15.已知圆q：f+y2=8与圆。2：(x-7)2+y2=2,点A(8,l)是圆。2上的一点，过圆心。|作直线。，

试题

高三

的平行线与圆a交于8点（A和8不在X轴同侧），A3交X轴于点C，以为直径的圆与圆。I的一个交

点为E，则圆心。|与圆心。2到直线CE的距离之和是.

【答案】3亚

【分析】根据三角形相似，以及两圆位置关系，通过几何关系，即可容易求得结果.

【详解】根据题意，连接A3交x轴于C,过。2作EC的垂线，垂足记作N,如下所示:

因为斗心，故△印…。…，则\0,品C\=lA扁Od=V*2可1

又因为点E在以。。为直径的圆上，故又E在圆/+>2=8上，则Q闽=2血,

又△QEC-NC,"嗡=图=翳裳,故刖=瓜

则|q£|+|QN|=30,即圆心。|与圆心。2到直线C£的距离之和为3垃.

故答案为：3夜.

丫2

16.已知椭圆「亍+y2=i,过椭圆右焦点尸作互相垂直的两条弦A6,CD,则IABI+4|81的最小

值为_______________

【答案】—##7.2

试题

高三

【分析】考虑直线的斜率是否存在情况，存在时设AB：y=k(x-yf3)(k^0),联立椭圆方程，得到根与

系数的关系式，化简求得弦长|AB|,1m的表达式，进而推出吃+;7、=|,从而将|A8|+4|8|化

I||CZJ|

411

为三(|ABI+dlCDIXE7+y；),利用基本不等式即可求得最小值.

j|AD||CDI

2

【详解】由椭圆-+>2=1可知右焦点尸(6,0)，

4

当直线A8的斜率不存在时，AB方程为x=应,

则C0：y=O,此时|AB|=1,|C£>|=4,\AB\+4\CD\=17；

当直线A8的斜率存在时，

设48：,=攵(％—6)(女工0),则CD:y=--(x-s/3),

k

又设点A(X|,y),B(x2,y2).

联立方程组[，消去y并化简得(4z2+1)/-86二%+]2%

-4=0,

[X+4y=4

因为AB过椭圆右焦点凡则必有A>0,

8月/{2k2-4

,•%I+X2=4F71'2='

•'.IA8|=J(X]-&)2+(x-乂)2=Jl+%2IX-%I

,92K—16(3%2-1)(止+1)_4U2+1)

—+\(4/+i)2=4k2+1

由题意知，直线CO斜率为-工，同理可得|8|=也型?，

k4+/

2

rrrl115k+55

J|X|AB|十|CD|一4(1+1)-1'

所以|A6|+4|CO|=?|A8|+4|8|）（M+册）

4436

5\AB\|CDI5VLI\CD\5

试题

高三

当且仅当|AB|=y,|CD|=|时取得等号，

故综合以上，|48|+4|8|的最小值为三，

故答案为：—.

【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系的应用，考查了最值问题的求解，综合性强，计算量大，解答

时要能熟练应用联立方程利用根与系数的关系，求解弦长问题，解答的关键是根据弦长的表达式特征求得

115

+=继而利用基本不等式力”的巧用求解最值・

\A.B\\CD\4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知数列是首项为1,公差为1的等差数列.

（1）求。〃：

2n=1,

（2）若c.=｛]n&鹿〉2求数列｛%｝的前"项和S”.

.an-\一.

【答案】（1）4

（2）2+21n〃

【分析】（1）由于数列是首项为1,公差为1,则可求得半，即得4；

（2）按照裂项求和求S“即可.

【小问1详解】

解：是首项为公差为的等差数列，

I〃J1,1

则91•=1+（〃-1）=〃，

n

可得=n2.

【小问2详解】

解：・・・£=2,

试题

高三

时,21n-----2-[ln〃_ln1)]

n-\

•••S“=q+C2++c”

=2+2[ln2-lnl+ln3-ln2++ln〃-ln(〃-l)]=2+21n〃.

18.设..ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且30$5+6戾山。=4+人.

(1)求角C的大小；

(2)设。为边AB的中点，C2=@,c=2,求

BC2

7T

【答案】(1)c=一

3

(2)a=2

【分析】(1)由已知，借助正弦定理进行边角转化，将条件转化为sinGcos3+JIsinBsinC=sinA+sinB，

然后利用sinA=sin(3+C),进行拆分组合，即可完成角C；

(2)由已知，可设CB=2x,借助余弦定理得到等量关系，直接求解即可.

【小问1详解】

,•*ccosB+V3/?sinC=a+b-

由正弦定理可得sinCcos3+JGsinBsinC=siivl+sinB.

由sinA=sin(B+C),则有sinCcosB+KsiriBsinCMsinlB+C)+sinB,

化简可得：sinCcosB+V3sinfisinC=sinBcosC+cosBsinC+sinB，

即V3sinBsinC=sinBcosC+sinB，则sin5^V3sinC-cosC-l^=0,

:sinBw0,V3sinC-cosC-1=0，且si/C+sin2c=1,

1jt

解得cosC=—或cosC=-l(舍).故。=—.

23

【小问2详解】

在_ABC中，设CD=&x,CB=2x,

CD。+AD?-AC?3x2+1—82

cosZCDA=

20AD2y/3x