2022-2023学年北京市西城外国语学校八年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市西城外国语学校八年级（上）期中数学试

卷

一、单项选择题（每小题2分，共16分）

1.（2分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（）

A.（。2）3=〃6B.〃2・〃3=〃6C.（2〃）3=2/D.

3.（2分）图中的两个三角形全等，则N1等于（）

A.45°B.62°C.73°D.135°

4.（2分）下列运算正确的是（）

A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.2a+3b=5ab

C.2(2a-b)=4a-hD.(a+b)2=a1+b2

5.（2分）在平面直角坐标系xOy中，点尸（-3,5）关于y轴对称的点的坐标是（

A.(-3,-5)B.(3,-5)C.(3,5)D.(5,-3)

6.（2分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的

玻璃，那么最少要带第（）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃.

③

②

①

A.①B.②C.③D.①②③

7.（2分）下列命题中正确的有（）个

①三个内角对应相等的两个三角形全等；

②三条边对应相等的两个三角形全等；

③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；

④等底等高的两个三角形全等.

A.1B.2C.3D.4

8.（2分）如图所示，在长方形ABC。的对称轴/上找点P,使得△勿B,/\PBC,XPDC,

均为等腰三角形，则满足条件的点9有（）

A.5个B.4个C.3个D.1个

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.（2分）计算（-3A）3的结果是.

10.（2分）若（“-1）°有意义，则实数a的取值范围是.

11.（2分）若等腰三角形的一个外角为140。，则它的顶角的度数为.

12.（2分）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的NAO8的两边上分别取OM=OM

再分别过点用，N作OA,。8的垂线，交点为P,画射线OP,则OP平分A08.其理由

是，（填定理）

O

oNB

13.(2分)如图，在△ABC中，AB=AC,AB//CD,过点8作BE_LAC于E,8£>_LC£>于

D,CD=S,BD=3,AABE的周长为

14.(2分)现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图).

(1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为:

(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块,

还需取丙纸片块.

16.(2分)设a,6是实数，定义*的一种运算如下：a*b=(a+b)2,则下列结论：

①。%=0,KOa=-b-,②a%=b*a：③a*(h+c)=a*b+a*c-,@a*h=(-a)*(-b),

正确的有.

三、解答题(第17题8分，第18题20分，共28分)

17.(8分)计算：

(1)29^-27-(3-K)°-173-4|；

(2)(8m3-6m2+2m)4-2m.

18.(20分)计算：

(1)(-4?)(3x+l)；

(2)(3«-2)(〃+5)；

(3)(.X-2)2-(x+3)(x+1)；

(4)(2x+y+z)(2x-y-z).

四、画图题(算19题4分，第20题8分，共12分)

19.(4分)尺规作图：已知Na,Zp,

求作/ABC,使得NABC=/a-（不写作法，但要保留作图痕迹）

例如：如图，已知△4BC,ZMC=90°,作直角边AB的垂直平分线DE,分别交BC

与AB于。，E两点，连接40,则将△4BC分割成两个等腰三角形△ADC,△AOB.

（1）请在以下证明过程中填入适当理由.

证明：•••DE垂直平分4c

：.AD=DB（）

=（）

在RtZXABC中，N8AC=90°

.*.Z2+Z3=90o,Zl+Z4=90°

AZ3=Z4

：.CD=DA（）

/XADC.△ADB是等腰三角形

（2）根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹）

（3）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同

的记号标出相等的线段）

c

五、解答题（第21题6分，第22,23题每题7分，第24题8分，共28分）

21.（6分）已知：如图，C为BE上一点，点、A,力分别在BE两侧，AB//ED,AB=CE,

BC=ED.求证：AC=CD.

22.（7分）已知：如图，点8,C,E在同一条直线上，8平分NACE,NDBM=NDAN,

DMLBE于M,DNLAC于N.

（1）求证：△BOM四△4£W；

（2）若4c=7,BC=3,求CM的长.

23.（7分）已知：如图，。是△ABC的边BA延长线上一点，且AQ=AB,E是边AC上一

点，J&DE=BC.求证：ZDEA^ZC.

24.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,。为BC上一点且/AOC=60°,CELLA。于点

E,点A关于CE的对称点为点凡CF交AB于点G.

(1)依题意补全图形；

(2)求NAGC的度数；

(3)写出30与OF之间的数量关系，并证明.

六、选做题(本题共10分，第25题4分，第26题6分，计入总分但总分不超过100分)

25.(4分)阅读下列材料：

已知实数相，〃满足(2m2+n2+l)(2m2+M2-1)=80,试求2层+〃2的值.

解：设2"?+”2=/,则原方程变为31)(/-1)=80,

整理得P-1=80,P=81,

**•t=i9,

V2zn2+n2^0,

2，挤"2=9.

上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复

杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则

能使复杂的问题简单化.

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.

(1)已知实数x、y满足(2?+2/+3)(2/+2$-3)=27,求，+丫2的值；

(2)在(1)的条件下，若孙=1,求G+y)2和x-y的值.

26.(6分)在平面直角坐标系X。)，中，对于任意图形G及直线心12,给出如下定义：将

图形G先沿直线/i翻折得到图形G1,再将图形G1沿直线/2翻折得到图形G2,则称图形

G2是图形G的山，⑵伴随图形.

例如：点P(2,1)的［x轴，y轴］伴随图形是点产(-2,-1).

(1)点。(-3,-2)的次轴，y轴］伴随图形点。，的坐标为；

(2)己知4(r,1),B(L3,1),C(63),直线机经过点(1,1).

①当f=-1,且直线，"与y轴平行时，点A的［x轴，〃“伴随图形点4的坐标

为;

②当直线机经过原点时，若△A8C的［x轴，刈伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5

的点，直接写出，的取值范围.

2022-2023学年北京市西城外国语学校八年级（上）期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（每小题2分，共16分）

1.（2分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；

8、是轴对称图形，故错误；

C、是轴对称图形，故错误；

。、不是轴对称图形，故正确.

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

沿对称轴折叠后可重合.

2.（2分）下列计算正确的是（）

A.（/）3=/B.a2,a3=a6C.（2a）3—2a3D.a^-i-a1—a5

【分析】根据同底数暴的乘法、同底数暴的除法、幕的乘方以及积的乘方解决此题.

【解答】解：A.根据基的乘方，得（«2）3=〃6,故A符合题意.

B.根据同底数塞的乘法，得〃2./=“5,故B不符合题意.

C.根据积的乘方，得（2a）3=8〃3,故C不符合题意.

D.根据同底数累的除法，得故。不符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查同底数基的乘法、同底数基的除法、幕的乘方以及积的乘方，熟

练掌握同底数累的乘法、同底数第的除法、幕的乘方以及积的乘方是解决本题的关键.

3.（2分）图中的两个三角形全等，则N1等于（）

A.45°B.62°C.73°D.135°

【分析】根据全等三角形的性质得出即可.

【解答】解：•••两个三角形全等，

，边长为a的对角是对应角，

.,.Zl=73°,

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等.

4.（2分）下列运算正确的是（）

A.（a+h）（a-b）=a2-b1B.2a+3h=5ah

C.2（2a-b）^4a-bD.（a+b）2=aW

【分析】各式计算得到结果，即可作出判断.

【解答】解：A、原式=/-序，符合题意；

8、原式不能合并，不符合题意；

C、原式=4a-2b,不符合题意；

D、原式="2+2"+。2,不符合题意.

故选：A.

【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，去括号与添括号，以及完全平方公式，

熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键.

5.（2分）在平面直角坐标系xOy中，点尸（-3,5）关于y轴对称的点的坐标是（）

A.（-3,-5）B.（3,-5）C.（3,5）D.（5,-3）

【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案.

【解答】解：点尸（-3,5）关于y轴对称的点的坐标是：（3,5）.

故选：c.

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键.

6.（2分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的

玻璃，那么最少要带第（）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃.

A.①B.②C.③D.①②③

【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形.

【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，

只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是

符合题意的.

故选：C.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、/MS、”3做题时要根据已知条件进行选择运用.

7.（2分）下列命题中正确的有（）个

①三个内角对应相等的两个三角形全等；

②三条边对应相等的两个三角形全等；

③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；

④等底等高的两个三角形全等.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据三角形全等的判定定理SSS、SAS.ASA、AAS、HL.可得出正确结论.

【解答】解：①三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；

②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；

③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；

④等底等高的两个三角形不一定全等，错误；

故选：B.

【点评】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有SSS、SAS.ASA、A4S、4L.做题

时要按判定全等的方法逐个验证.

8.（2分）如图所示，在长方形ABC。的对称轴/上找点P,使得△办B,APBC,/XPDC,

△公。均为等腰三角形，则满足条件的点「有（）

A.5个B.4个C.3个D.1个

【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂

直平分线交/于尸；二是在长方形内部

在/上作点P,使%=AB,PD=DC,同理，在/上作点P,使PC=£）C,AB=PB；三

是如图，在长方形外/上作点P,使AB=8P,DC=PC,

同理，在长方形外/上作点P,使AP=AB,PD=DC.

【解答】解：如图，作A8或。C的垂直平分线交/于P,

如图，在/上作点P,使用=AB,同理，在/上作点P,使尸C=OC,

如图，在长方形外/上作点P,使A8=BP,同理，在长方形外/上作点P,使PO=QC,

综上所述，符合条件的点P有5个.

故选：A.

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用

分类讨论的思想分析解答.

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.（2分）计算（-3.26）3的结果是一27加.

【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的基相乘；某的乘

方，底数不变指数相乘，求解即可.

【解答】解：（-3办）3,

=（-3）3x（fl2）3义说

=-27Xa6XZ>3,

=-27疑3.

【点评】本题主要考查积的乘方的性质，塞的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的

关键.

10.（2分）若Q-1）°有意义，则实数a的取值范围是a^\.

【分析】直接利用零指数基的定义得出答案.

【解答】解：若（a-1）°有意义，则a-IWO,

解得：aWL

故答案为：aWL

【点评】此题主要考查了零指数累，正确掌握零指数累的定义是解题关键.

II.（2分）若等腰三角形的一个外角为140°,则它的顶角的度数为40°或100°.

【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于等腰三角形外角

的位置不确定，因此本题要分情况进行讨论.

【解答】解：本题可分两种情况：

①如图，当NDCA=140°时，ZACB=40°,

\"AB=AC,.*.ZB=ZACB=40°,

；./A=180°-ZB-ZACB=100°；

②如图，当NE4C=140°时，N84C=40°,

因此等腰三角形的顶角度数为40°或100°.

故填40°或100°.

E

A

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质；若

题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，

也是解答问题的关键.

12.（2分）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的/408的两边上分别取。例=0M

再分别过点M,N作OA,0B的垂线，交点、为P,画射线0P,则0P平分AOB.其理由

【分析】利用作法得到OM=ON,/PM0=NPN0=9G,加上OP为公共边，然后根

据直角三角形的判定方法可判断RtZ\POM丝RtZ\PON,从而得到NPOM=/PON.

【解答】解：由作法得OM=OMNPMO=NPNO=90°,

"：OP=OP,

：.Rt/\POM^Rt/\PON(HL),

NPOM=APON,

即OP平分AOB.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考

查了全等三角形的判定与性质.

13.（2分）如图，在△ABC中，AB=AC,AB//CD,过点8作8E_LAC于E,BO_LCD于

D,CD=S,BD=3,ZVIBE的周长为II.

E

【分析】根据角平分线的性质得出BE=BD,再由证明RtZ\BEC经心△BOC得出CE

=C。即可推出结果.

【解答】解：：AB=AC,

NABC=ZACB,

'JAB//CD,

：.ZABC=ZBCD,

：.NACB=NBCD,

又,；BDLCD,BEICE,

：.BE=BD,

又,：BC=BC,

：.RtABEC^RtABDC（HL）,

：.CE=CD,

「△ABE的周长=AE+BE+AB,AB=AC,

即△ABE的周长=CA+AE+BE^CE+BE=CD+BD=8+3=11,

故答案为：11.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理以

及角平分线的性质是解题的关键.

14.（2分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.

（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为搭.；

（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块,

还需取丙纸片4块.

【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为一块乙种纸片的面积为层，一块丙种

纸片面积为防，即可求解；

(2)利用完全平方公式可求解.

【解答】解：(1)由图可知：一块甲种纸片的面积为一块乙种纸片的面积为房，一

块丙种纸片面积为ab,

...取甲、乙纸片各1块，其面积和为J+必，

故答案为：/+房；

(2)设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，(x20)

.,.c^+^kr+xah是一个完全平方式，

..x为4,

故答案为：4.

【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键.

15.(2分)已知”=8产，b=2742,c=961,则“，h,c的大小关系是.(用

连接)

【分析】利用幕的乘方的法则把各数的底数转为相等，再比较指数的大小即可.

【解答】解：0=8产=(3-31=3124,

b=2742=(33)42=3已6,

C=961=(32)61=3122,

/#3122<3124<3126;

即c<a<b.

故答案为：c<a<b.

【点评】本题主要考查'幕的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用.

16.(2分)设a,6是实数，定义*的一种运算如下：a*b=(a+b)2,则下列结论：

①a*Z>=0,贝！Ia=-bx®a*b—b*a；③a*(6+c)—a*b+a*c；@a*b—(-a)*(-b),

正确的有①②④.

【分析】根据新定义运算法则即可求出答案.

【解答】解：①a"=(a+b)2=0,

：.a+b=O,故①符合题意.

②a*6=Ca+b')2=b*a,故②符合题意.

③a*(b+c)=C.a+b+c)2=a1+b^+c^+lab+lac+lhc,

a*b+a*c—(a+Z?)2+(a+c)2=a1+2ab+b1+a2'+2ac+c2,

a*(6+c)^a*b+a*c,故③不符合题意.

@a*b—(a+6)2=(-a-b)2=(-4)*(-/?),故④符合题意.

故答案为：①②④.

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及完全平方公

式，本题属于基础题型.

三、解答题(第17题8分，第18题20分，共28分)

17.(8分)计算：

(1)294-27-(3-II)°-|\^3-4|；

(2)(8〃户-6,〃2+2〃?)-4-2/W.

【分析】(1)根据同底数幕的除法，实数的零次基和绝对值的性质先化简，再加减即可

解答本题；

(2)根据多项式除以单项式的法则计算可以解答本题.

【解答】解：(1)29-?27-(3-n)°-|V3-4|

=4-1-(4-V3)

—4-1-4+^3

=-I+V3；

(2)(8m3-6m2+2m)-7-2m=4m2-3m+l.

【点评】本题考查实数的混合运算和整式的除法，解答本题的关键是明确实数混合运算

的运算法则和运算顺序.

18.(20分)计算：

(1)(-4?)(3x+l)；

(2)(3/?-2)(n+5)；

(3)(x-2)2-(x+3)(x+1)；

(4)(2x+y+z)(2x-y-z).

【分析】(1)根据单项式乘多项式的法则即可求出答案.

(2)根据多项式乘多项式法则即可求出答案.

(3)根据完全平方公式以及整式的加减运算法则即可求出答案.

(4)根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案.

【解答】解：(1)原式=(-4J?)・3X-(-4?)

2

=-12A?-4X.

(2)原式=3〃2+15〃-2〃-10

=3〃2+13〃-10.

(3)原式=/-4x+4-(/+4x+3)

=/-4x+4-x2-4x-3

=-8x+l.

(4)原式=[2r+(y+z)}\2x-(y+z)1

=47-(y+z)2

=4/-(_y2+2yz+z2)

=4*-y2-2yz-z2.

【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题

属于基础题型.

四、画图题(算19题4分，第20题8分，共12分)

19.(4分)尺规作图：已知Na,Zp,

求作/ABC,使得(不写作法，但要保留作图痕迹)

【分析】根据基本作图，先作再在/ABO内部作/OBC=NB，则/ABC

满足条件.

【解答】解：如图，NABC为所作.

a

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.

20.（8分）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；

例如：如图，已知△ABC,NBAC=90°,作直角边AB的垂直平分线OE,分别交BC

与AB于力，E两点，连接40,则AO将△ABC分割成两个等腰三角形△ADC,^ADB.

（1）请在以下证明过程中填入适当理由.

证明：垂直平分AC

：.AD=DB（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）

AZ1=Z2（等边对等角）

在RtZ\A8C中，ZBAC=90°

；./2+/3=90°,Nl+/4=90°

；./3=/4

：.CD=DA（等角对等边）

...△AOC、△AQB是等腰三角形

（2）根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹）

（3）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同

的记号标出相等的线段）

【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定和性

质解决问题即可；

（2）先分割成两个直角三角形，再利用直角三角形斜中线的性质解决问题；

（3）先分割成两个等腰三角形，再将其中一个等腰三角形分割成两个直角三角形，再利

用斜边中线分割成4个等腰三角形即可.

【解答】（1）证明：垂直平分AC

：.AD=DB（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）

.\Z1=Z2（等边对等角）

在RtZ\ABC中，N8AC=90°

；.N2+N3=90°,Zl+Z4=90°

Z.Z3=Z4

：.CD=DA（等角对等边）

.♦.△AOC、△AO8是等腰三角形.

故答案为：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，等边对等角，等角对等

边；

（2）图形如图所示:

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判

定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

五、解答题（第21题6分，第22,23题每题7分，第24题8分，共28分）

21.（6分）已知：如图，C为BE上一点，点A,。分别在BE两侧，AB//ED,AB=CE,

BC=ED.求证：AC^CD.

【分析】根据AB//ED推出再利用SAS判定△ABC丝从而得出4C=

CD.

【解答】证明：：48〃£：£）,

在△ABC和△CE£>中,

'AB=CE

<NB=/E，

BC=ED

:./XABCQ丛CED(SAS).

：.AC=CD.

【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有

一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明

显.

22.(7分)已知：如图，点B,C,E在同一条直线上，CD平分乙4CE,NDBM=NDAN,

于M,DNLAC于N.

(1)求证：^BDMqAADN；

(2)若4c=7,BC=3,求CM的长.

【分析】(1)由角平分线的性质可得。M=£W,再由A4S即可证得△8OW丝ZSAON；

(2)由“〃证RtZ^DCN丝RtZxOCM,得CM=CN,再由得BM=4N,

则AC=AN+CN=BM+CM=BC+CM+CM=BC+2CM,即可得出结果.

【解答】(1)证明：：CD平分NACE,DM±BE,DN±AC,

：.DM=DN,NDMB=NDNA=90°,

在△BOW和△A£W中，

，ZDBN=ZDAN

<ZDMB=ZDNA>

DM=DN

:.丛BDM^AADN(A45)；

(2)解：在RtZ\£»CN和RtZXDCM中，

[DC=DC,

1DN=DI，

：.Rt/\DCN^RtADCM(HL),

：.CM=CN,

:ABDMqLADN,

：.BM=AN,

'.'AC=AN+CN=BM+CM=BC+CM+CM=1,

，3+2CM=7,

：.CM=2.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等

三角形的判定与性质是解题的关键.

23.（7分）已知：如图，。是△ABC的边54延长线上一点，且AQ=AB,E是边AC上一

点，iLDE=BC.求证：ZDEA=ZC.

【分析】过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F,根据全等三角形的判定和性质证

明即可.

【解答】证明：过点。作8C的平行线交CA的延长线于点F,

：.ZC^ZF.

•.•点4是8。的中点，

：.AD=AB.

'ZC=ZF

在△A。尸和△ABC中，，ZDAF=ZBAC

AD=AB

/XADF^/XABC(AAS)

：.DF=BC,

'：DE=BC,

:.DE=DF.

：.ZF=ZDEA.

又：NC=NF,

：.ZC^ZDEA.

【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，根据全等三角形的判定和性质证

明是解题关键.

24.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,。为8c上一点且NACC=60°,CE_LA。于点

E,点A关于CE的对称点为点凡CF交AB于点G.

(1)依题意补全图形：

(2)求/AGC的度数；

(3)写出8。与。F之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)依照题意画出图形即可求；

(2)由轴对称的性质和外角的性质可求解；

(3)由“AAS”可证aCPF丝△ADB,可证8£>=PF=OF.

【解答】解：(1)如图所示：

(2)：AB=AC,

ZB=NACB,

•点A关于点E的对称点为点F,CEVAD,

；.AC=C尸，NACE=NECF,

：./AGC=ZB+ZBCG^NB+NACB-NACF=2NB-2ZECF,

'：NECF=90°-AEFC,NEFC=60°+ZBCG,

：.ZAGC=2ZB-180°+120°+2ZBCG,

：.ZAGC=60°；

(3)BD=DF,理由如下：

如图，在CO上截取DP=3凡连接尸P,

...△尸力尸为等边三角形，

:.NDPF=60°,DP=DF=FP,

，NFPC=120°,

/.NADB=NFPC,

又；AC=CRAB=AC,

：.AB=CF,

'：ZBAD^ZBCG,

：.ACPF^/\ADB(AAS),

：.BD=PF,

：.BD=PF=DF.

【点评】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等

三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

六、选做题(本题共10分，第25题4分，第26题6分，计入总分但总分不超过1()()分)

25.(4分)阅读下列材料：

己知实数〃满足(2m2+ra2+l)(2m2+n2-1)=80,试求2〃/+〃2的值.

解：设2/"2+”2=右则原方程变为G+1)0-1)=80,

整理得P-1=80,±=81,

；.f=±9,

：2"?2+”2'O,

2m2+n2—9.

上面这种方法称为‘'换元法"，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复

杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则

能使复杂的问题简单化.

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.

(1)己知实数x、y满足(2?+2/+3)(2)+2/-3)=27,求/+/的值；

(2)在(1)的条件下，若孙=1,求(x+y)2和x-y的值.

【分析】(1)设2/+2/=/,解一元二次方程得到尸±6,根据2?+2)220,得至IJ2/+2/

=6,进而求出/+y2=3；

(2)根据完全平方公式解答即可.

【解答】解：(1)设2f+2y2=r,