2023-2024学年湖南省长沙市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖南省长沙市高二上册期末数学模拟试题

一、选择题：本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若直线/过点4（1,2）,不过第四象限，则直线/的斜率的最大值为（）

1

A.0B.1C.-D.2

2

2.函数y=sin、+x}anx的一条对称轴方程是（）

71c兀

A.X=0B.x=­C・x=一

42

34

D.x=——

4

3.若集合/={〃eN|A：=A：T},6={〃eN|C：=C：-"},则/8=()

A.0B.{4}C{0,4}

D.{0,1,2,3,4}

4.如图，在同一平面内以平行四边形N8CD两边/氏/。为斜边向外作等腰直角

JT八八

△4DF,若AB=2,AD=1,/BAD=-,则/。研=()

372

F

逑

F

5.6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至

少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（）

A.540种B.360种C.180种D.120

种

6.双曲线乌―g=l（a>0,b>0）的右焦点尸与抛物线y2=8x的焦点重合，两曲线有一

个公共点为P,若|=4,则该双曲线的离心率为（）

A.y/2.4-1B.y/3+1C.y/3-1D.2

7.函数/（工）=/）+/+・・・+工一1（%>0）的零点属于区间（）

乜石T）

8.己知X/,OER,若e'T<（x-y一1）/,则J+歹2-2xcos6—2ysin6的最小值等

于（）

A.3—2>/2B.2—2^/^C.2+2>/2

D.3+272

二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是

符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知复数z=-2+i,则（）

A.Z的虚部是一2B.Z的共枢复数是-2-i

C.z的模是J?D.z在复平面内对应的点是（一2,1）

10.下列数列｛%｝中，单调递增的数列是（）

A.%=（“一3）2B.a=_fC

na“=tan〃

11.法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面

直角坐标系中，方程/+3?=34呼所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当。=1时，笛卡尔

叶形线具有的性质是（）

A.经过第三象限B.关于直线y=x对称

C.与直线x+y+l=O有公共点D.与直线x+y+l=O没有公共点

12.过下列哪些点恰可以作函数/(x)=2/—3x的两条切线()

A.(-2,-10)B.(-2,3)C(-2,6)

D.(-2,8)

三、本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.+的展开式的常数项是.

14.圆/+/=1与圆a—4)2+⑶一4y=25的公共弦长等于.

15.如图，在正方体Z8CD—44G2中，动点加在线段4c上，异面直线力口和8M所

成的角为。，则6的取值范围是.(用区间表示)

16.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的

程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设

计.曲线y=/(x)在点(x,7(x))曲率的计算公式是K=/,其中/是V的导

函数.则曲线肛=1上点的曲率的最大值是.

三、本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题10分)

“学习强国”学台是由中宣部主管，以深入学习宣传为主要内容，立足全体党员，面向全社

会的优质平台.该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满

足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国

家动态，紧跟时代脉搏的热门APP.某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家

政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图

是根据调查结果绘制的频率分布直方图.

(1)估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间［6,8)内的概率和每周利用“学习强国”

的平均时长；

(2)若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从

［4,6)和［10,12)组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取

的2人来自不同的组的概率.

18.(本题12分)

记&为数列｛%｝的前"项和，已知外=1,>的公差为1的等差数列.

(1)求｛为｝的通项公式；

(2)证明：1---1—,H---<2.

q/a„

19.(本题12分)

如图，△/8C中，角B,C的对边分别为a,b,c,(b+c+a)(b+c-a)-3bc.

(1)求4的大小；

(2)若A4BC内点P满足NPAB=NPBC=NPC4=NP4C,求/8尸。的大小.

20.(本题12分)

如图所示，在直三棱柱Z8C—44G中，AB工BC,AB=BC=2BB1=2,E为BB1的

中点.

(1)直线3C与平面的交点记为M,直线4片与平面NEC的交点记为N.证明:

直线MN〃平面NCC/i•

(2)求二面角E—NG—。的大小；

21.(本题12分)

22

设P,E分别是椭圆]+]=l(a〉b>O,aeN*)的左，右焦点，椭圆上存在点M满足

NENF=900且丛ENF的面积为20.

(1)求b的值；

(2)设点P的坐标为(1,1),直线过点P,与椭圆交于点4B,线段43的中点记为若

|列是|E4|与|£B|的等比中项，求。的最小值，并求出此时直线/的方程.

22.(本小题12分)

设函数/(x)=ln(x+l)-",aeR,曲线y=/(x)在原点处的切线为x轴,

(1)求〃的值；

x2

(2)求方程/(x)=———的解;

x+2

20232022.420242023.5

(3)证明:<e<

20222023

考试答案

2-0

1.答案：D解析：直线/的斜率的最大值=——=2.

1-0

171

2.解析：y=sinxXWATTH——，攵cZ,对称轴方程是工=左江+—,左£Z,取左=0,

k2J2

TT

知*=一是一条对称轴.选C.

2

3.答案：B解析:4={4},8={0,1,2,3,4},4B={4}.

3

4.答案：B解析：ACEF=(AB+ADy(AF-AE)=ADAF-ABAE=--.

5.答案：B解析：共有C；C；C；A；=360种.

6.解析：不妨设点尸在第一象限，；|尸尸|=4=p,的坐标为(2,4).•.•双曲线的焦

点是尸(2,0),^(-2,0),根据双曲线的定义2。=|尸耳卜|P*=4逝-4,...

e=—=y/2+1.

a

C解析因为/(%)是增函数

1if

1.2

-1-----1-----1=一—1=—0,

10

21--2

2

+•••+>0,所以/(x)有唯一的零点

8.解析：由题意得e"尸2=》—歹―1,所以x-y-2=0.设P是直线x-y-2=0上的

点,0(cosQsin。)是圆是+产曰上的点,则丁十科—2xcos。—2ysin8=|尸。f一1,

答案:B.

9.答案：BCD

10.答案：BD

11.答案：BD解析：A：若x<0,y<0,则d+y1o,3孙〉0,/+w3砂

B：若点（x,y）在曲线上，则点（y,x）也在曲线上.

C、D：由方程组卜3+L得［*+'=°方程组无解.

x+y=-\［x+y=-1

13.答案：20

14.答案：V2解析：易知点4（1,0）,8（0,1）为两圆交点，

ITTT

15.答案：解析：连结8G，由正方体的性质，知8G「所以异面直线

和BM所成的角即直线BCy与BM所成的角，3的最小值为BC］与平面A.BC所成的角•设

7T

3M的交点为。，则“g为的与平面.所成的角.所以。的最小值为»

的最大值为一,一

63

16.答案：—解析：对于曲线呼=l，V=—4/"=W

2xx

K=,当且仅当|x|=1时等号成立.

17.解：（1）由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在［6,8）内的频率为0.15x2=0.3,

所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在［6,8）内的概率为0.3.

由题意知各组的频率分别为0.05,（）.1,0.25,0.3,0.15,0.1,0.05,

所以于=1x0.05+3x0.1+5x0.25+7x0.3+9x0.15+11x0.1+13x0.05=6.8,

所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长是6.8小时.

（2）由（1）知，利用“学习强国”时长在［4,6）和［10,12）的频率分别为0.25,0.1,故两

组人数分别为250,100,采用分层抽样的方法从［4,6）组抽取5人，记作a,b,c,d,e；

从［10,12）组抽取2人数为，记作4B-,……

从7人中抽取2人的基本事件有

ab.ac,ad,ae,aA,aB,be,bd,be,bA,bB,cd.ce,cA,cB,de,dA,dB,eA.eB,AB,共21个，来

自不同组的基本事件有。4响四姐”,俎d4gMs'共I。个'故所求概率尸=?.

另解：P=婴=12.

C；21

S1

18.解：(1)因为q=1,所以'•二一.

11x22

c11<?11

又因为4〃是公差为上的等差数列,所以-〃♦=」+上(〃一1),

〃(〃+l)J3〃(〃+1)23

所以S“=！〃(〃+1)(2〃+1).

6

2

当〃22时，an=Sn-Sn_{=n,n=1时，ax=1也满足上式.

所以{%}的通项公式是勺=".

(2)当〃=1时:—=1<2,不等式成立；

当心2时，LL…+，」+[+[+…+二<1+,+'+1

H----------------

a}a2an1231x22x3(〃一1)〃

=1+1-;+n

—+…+=2--<2

3)(〃一1n

19.解：(1)因为(力+c+a)S+c-a)=3bc,

所以b2+C1-a1=bc,

“2由«彳b2+c2-a2be1

由余弦理，得cosA=-----------=----=-

2bc2bc2

TT

因为0</〈乃，所以/=—.

3

(2)设4PCB=a/PBA=0,在△尸6c和△P48中分别应用正弦定理，得

PBsinaPAsinB厂、，八，八八

——=------,—=———,因为R4=PC,

PCsin30°PBsin30°

]TTTT27r

所以sina-sin4=—,又因为a+，=—,所以a=/?=—,所以N8PC=——

4363

AA

20.解：根据题意知，两两垂直，分别以也1为x轴，y轴，z轴建立

如图所示的空间直角坐标系8-平.因为AB=BC=2BB1=2,£为8民的中点.所以

^(0,0,2),m0,0),C(2,0,0),£^0,p0^,C1(2,l,0),Jc>(2,l,-2),Ict(2,0,-2).

(1)直线8C与GE的交点即为直线8c与平面ZEG的交点〃，直线ZE与4片的交点

即为直线44与平面ZEC的交点N,所以M(-2,0,0),N(0,l,-2).

所以加二(2,1,—2),加=NC；,所以MN〃/G，又(=平面/CG4,朋Na平面

ACC,A,,所以直线MN〃平面NCG4.

(2)设G为NC的中点，则6G_L/C,因为平面Z8C_L平面NCG4，且它们的交线

是/C,所以8G，平面/CG4,所以平面ZCG4的一个法向量3G=(l,0,l).

ZE=(0,；,—2),EG=(2,g,0),设/1=(xo，%,zo)是平面AEC,的法向量，则

^-AE'=0,5%-2ZO=O,X(11、Tx

l4X〃Tg=S，i2x0+，％=0.令X)=2,得〃=I——2,2,2-),8G-〃=0,所以二面角

E—〃G—C的大小是90°.

m+n=2a,

21.解《)设|2|=m,|即|=〃，根据题意得(加2+〃2=4。2=4(/—62),解得62=20

mn=40

(2)由中线长公式|桢|2=g(|£4『+|五—力力切2,

又因为IFN|2=|FA\-\FB\,所以『=2（|E41FB.

设/（X|,乂），8（看,8），记c=《6-20,则J（X]+c『+y；+J（x「C）2+y\—2a,从

而1（Xi+c）2+y；-J（X1—c『+y；+4+/=〃+卜，即

\FA\=-xi+a,同理|必|=二/+4,

aa

所以|F/H所|=：（X「马），带入①，得（七一工2）2+（乂一/）2=苧（为一》2）2.

整理，得（乂一%）2=巧竺&—0）2

由②得。2-40»0,因为aeN*,所以a的最小值为7,

此时（%—为y=2国—当）2,即直线/的斜率为上三=±3.

49Xj-x27

3

又点尸（1,1）在椭圆内，于是两条直线y-l=+-（x-1）均满足要求.

综上，a的最小值是7,此时直线/的方程为3x-7y+4=0或3x+7y—10=0.

22.(1)a=l