内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022-2023学年高三年级上册期中考试数学试卷

2022-2023学年内蒙古乌兰察布市集宁二中高三（上）期中数学

试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.（5分）复数z（2+i）=1-i,则^在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）曲线C："在点P（1,0）处的切线方程为（）

X

A.y=x-1B.y=2x-2C.y=ex-eD.y=-1

3.（5分）已知角a的终边过点尸（-1,73）,则（等.a）=（）

A.」B.返C..1D._2&

2222

4.（5分）已知则sin（2a+^1）的值是（)

A.1B.J-C.2D.2

9999

5.(5分)已知sinCL+C0SQ且且a则cosa-sina的值为()

242

B.近

A.C.3D.2

224

6.(5分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA=2sinC,cosB=-l()

4

A.1B.C.A/15D.

4

7.（5分）已知函数f（x）=/+a/”x的图象在（1,f（1））处的切线经过坐标原点，则函数

y=f(x)()

A-1』ln2B.-+ln2c.鼻；ln2D.1

2242:

=恒.河a

（5分）已知cosa二sin(p-a)=则sin20=()

5i±nV

C.近

A.1B.加D.1

222

9.（5分）如图，在平行四边形ABC。中，M、N分别为AB、4。上的点，且族，AN

5

=且虬），若AP="AC，则入的值为（）

3

D

A.3B.3c.D.

571113

10.（5分）已知函数/（x）=Acos⑵+（p）（<p>0）的图象向右平移工得到的图象关于

8

y轴对称，/（0）=1.当4）取得最小值时G）的解析式为（）

A.f（JC）=V^cos（2x+-5-）B.f（x）=cos（2x+-^-）

44

C.f（x）=V2cos（2x-D.f（x）=cos（2x--Z.）

44

11.（5分）把函数f（x）=3sin（2x*）的图象向右平移看个单位长度■倍，纵坐标不

变，得到函数g（x）,若g（如）=g（X2）-6,xi,%26[-n,n],则xi-x2的最大值为

()

A.12LB.ITC.12LD.2n

44

⑵（5分）若函数f（x）=2cos修-23x）（3>0）在区间（着，子）内单调递减.则

3的最大值为（）

A.2B.3c.AD.3

3432

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.（5分）已知tan（兀-a）」，a为第二象限角，则cos2a=.

3

14.（5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为

2-22

a+b-c

~~4•

15.（5分）已知两个单位向量U，T*,且二）=1/-±*尸_________________-

e1c21212

16.（5分）如图，在同一个平面内，向量水，OB.0C-1.&，豕与羽的夹角为a，且

tana=7,0B与0C0C=”0A+〃0B（〃?，nGR）.

B

三、解答题(本大题共6小题，共70分。17题10分，18-22题12分)

17.(10分)已知角a的终边在直线y=-^x上.

(1)求s,na+cosa的值;

sin。-cosCl

(2)求sin2a-sinacosa-2cos2a的值.

18.(12分)设向量m=(2cosx,V3sinx)'n=(sinx,-2sinx),记/(X)=m*n-

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

(2)求函数/(x)在［号，卷］上的值域.

19.(12分)已知aABC的内角A,B,C所对的边分别是a,h,c,kcosB+l

aV3sinA

(1)求角B；

(2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.

20.(12分)己知函数f(x)=sinx+sin，xE［0,-1-K］-

(1)求函数(x)单调递增区间；

(2)在△4BC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,角A满足f(A)=a，a=5,b+c=7

△ABC的值

2L(12分)已大口函数f(x)=cos2x-K/^sinxcosx-sin、。

(I)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(II)问方程f(x)=2在区间［三，［"］上有几个不同的实数根？并求这些实数

366

根之和.

2

22.(12分)设函数f(x)=-a21nx+；

(1)试讨论函数/(x)的单调性；

(2)如果。>0且关于x的方程/(入)=机有两个解xi，X2(xi<x2),证明：x\+xi>2a.

2022-2023学年内蒙古乌兰察布市集宁二中高三（上）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.（5分）复数z（2+0=1-，，则W在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合共拆复数的定义，以及复数的四则运算，

即可求解.

【解答】解：Vz（2+z）=1-L

•_5_i_（1-i）（4-i）=63.,

"z=2+i=（2+i）（2-i）T

•~=16.

.♦z—M中

在复平面内对应的点（上，旦.

35

故选：A.

【点评】本题主要考查共甄复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

2.（5分）曲线C：在点P（1,0）处的切线方程为（）

X

A.y=x-1B.y=2x-2C.y=ex-eD.y=-x+1

【分析】求出曲线的导函数，把x=l代入即可得到切线的斜率，然后根据（1,0）和斜

率写出切线的方程即可.

【解答】解：•.•函数更，

X

・、,，_l-lnx

••y-——>

X

•••切线的斜率女=<k=4=L3L=1,

2

根据点斜式，可得切线方程为），=X-1.

故选：A.

【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了导数的几何意义以及

点斜式求直线方程，同时考查了计算能力，解题时要注意正确求导.属于基础题.

3.（5分）已知角a的终边过点尸（-1,返），则sin）=（）

A._AB.近c.A

222

【分析】由己知求得cosa的值，再由诱导公式得答案.

【解答】解：•••角a的终边过点P（-1,如）,

••・QP|=、（-2）2+（«）7=2,则cosa=-―,

3

・.3兀、——5

.♦sin（一「-一a）-"cosa——.

故选：C,

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题.

4.（5分）已知sin（aq，则sin（2u的值是（）

A.1B.J-C.2D.2

9999

【分析】利用诱导公式及二倍角角的余弦可得答案.

【解答】解：：a+2L+（2L2L,

365

sin（a+-2L）=cos（-2LA,

363

・%壮（2（1与）=8$（手（:-a）-1=2X篝，

।ooyo

故选：B.

【点评】本题考查诱导公式及二倍角角的余弦的应用，考查转化与化归思想及运算求解

能力，属于中档题.

（5分）已知sinCl+cosa=乂或且且a＜3^-，则cosa-sina的值为（）

242

A.B.近c..J.D.3

2244

【分析】利用平方法求出cosasina的值，根据且a＜亚判断cosa-sina的值的

42

正负.在利用平方后开方可得答案.

【解答】解：sina+cosa=J-

2O

即（cosa+sina）=l+2cosasina=—,

4

，cosasina=A.

7

,•里＜a〈萼，

42

/.cosa-sina=M>0.

则(cosa-sina)4=A/2,

/.1-6cosasina=M

可得：M2=—,

4

VA/>0,

.•.用=近,即cosa-sina—^^-.

25

故选：B.

【点评】本题考查了正余弦函数在象限的判断和同角三角函数关系式的计算.

6.(5分)在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA=2sinC,cosfi=A()

4

A.1B.2A/15C.J15D.2ZIL

4

【分析】由已知利用正弦定理可得a=2c=4,利用同角三角函数基本关系式可求sinB的

值，根据三角形的面积公式即可计算得解.

【解答】解：•.•c=2,

/.sinA=2sinC,由正弦定理可得〃=8c=4,

VcosB=—,

6

,,sinfi=Vl-coS2B

/\ABC的面积S=Lcsin8=Wx4X9XVTS-

224

故选：C.

【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解

三角形中的应用，考查了计算和转化思想，属于基础题.

7.(5分)已知函数/(x)的图象在(1,7(I))处的切线经过坐标原点，则函数

y=f(x)()

A./4］成B.1+勿2C.ln2D.1

【分析】求出函数在(l,f(l))处的切线方程，代入原点坐标求解。，得到函数解析式，

再由导数分析单调性，即可求得函数的最小值.

【解答】解：由/(x)=P+alnx,得，(x)=21+曳，

x

(1)=3+。，又/(I)=1,

，函数/(x)=/+。伉¥的图象在(6,/(1))处的切线方程为y-1=(2+Q)(X-6),

把。(0,0)代入，即4=-6.

.*./(x)=x2-Inx,得/(x)=2x-g=,2x-3、

_XX

当在(0,返_)时，当在(亚，f(x)>7,

32

：.f(x)在(0,&上单调递减亚，+8)上单调递增,

72

则f(x)mm=f号)=春小皿

故选：C.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，

考查运算求解能力，是中档题.

8.(5分)已知cosa=1^,sin(B-a)=-义匝a,则sin20=()

510

A.AB.返C.近D.1

222_

【分析】因为a,B均为锐角，所以6-ae(T，2Ly所以cos(B-a)=3呼，

sinCI.由sinp=sin[a+(p-a)]=sinacos(0-a)+cosasin(0-a)求出sinp,

5

再求出COS0,代入即可.

【解答】解：因为a,p均为锐角(玲，2L),所以c°s(B-a)=^侑，

.”275

sina='

由sinp=sin[a+(0-a)]

=sinacos(p-a)+cosasin(p-a)

=2V53V10Vs.(JU尸亚

所以sinBcosP

所以sin2p=2sinpcosp=7,

故选：D.

【点评】考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的公式的应用，中档题.

9.(5分)如图，在平行四边形A8C。中，M、N分别为AB、AO上的点，且高=居族，AN

5

=2标，若下=入菽，则入的值为()

3

D

A.3B.3c..A.D.A.

571113

【分析】根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案.

【解答】解：：京=生忌，AN=-AD.

53

；.族=入疝点+函)=入(区M+SUUAlii+a入而，

2248

•.•三点M,N,尸共线.

.且+自，

42

.•.入=_£,

11

故选：C.

【点评】本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题.

10.(5分)已知函数/(X)=Acos(2x+<p)(<p>0)的图象向右平移ZL,得到的图象关于

8

y轴对称，/(0)=1.当4)取得最小值时(x)的解析式为()

A.f(x)=J^cos(2x+—^-)B.f(x)=cos(2x+-^-)

44

C.f(x)=V2cos(2x--I-)D.f(x)=cos(2x-

44

【分析】首先利用三角函数的平移变换的应用确定<p的值，进一步利用/(0)=1,求

出A的值，进一步求出函数的解析式.

【解答】解：函数/(X)=Acos(2x+<p)(<p>0)的图象向右平移WL个单位长度后三)

38

+<P1>

由于到的图象关于y轴对称，所以-2•工+，且<P>0匹，

64

由于/'(())—5.所以所以/(x)=6cos

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的

应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

11.（5分）把函数f（x）=3sin（2x*）的图象向右平移卷.个单位长度工倍，纵坐标不

2

变，得到函数g（X）,若g（XI）=g（X2）-6,XI,X2E[-IT,TT],则X\-X2的最大值为

（）

A.B.nC.12LD.2TT

44

【分析】先根据图像的平移变换、伸缩变换的规律求出g（x）的解析式，然后根据正弦

函数的性质求出g（x）的最值点的横坐标，根据给的范围求出结果.

【解答】解：将/（x）的图象向右平移三个单位三）+2L2L）,

6666

再把横坐标缩短到原来的工倍，得至UgG）=3sin（2-6X-2L2L）,

866

由题意，要使g（X3）=g（X2）-6,X7,X2E[-71,II],

只需g（XI）=g（X）niin,g（X5）=g（X）max>4xj^y-=--y-+2k^,k£Z，

K

等，k€Z①,

x512

4乂244+6k兀，k€Z-X2』耳，k€Z……②，

/62z67

由①式，当k=2时，xi的最大值为』”；由②式，册的最小值为一些,

126

故X8-X2的最大值为型L_（且匕）=①.

12'3）4

故选：C.

【点评】本题考查三角函数的图像变换以及性质，属于中档题.

12.（5分）若函数f（x）=2cos4-23x）（3>0）在区间啥，卷）内单调递减.则

3的最大值为（）

A.2B.3c.AD.3

3432

【分析】直接利用余弦型函数性质的应用求出结果.

【解答】解：根据函数的诱导公式,

/、/兀、/兀、

f（x）=2cos（-z--4Wx）=2cos（23x--

由于函数在区间彳，;）内单调递减，

利用函数的单调性,递减区间满足5k兀423x6k兀+兀，

整理得3（2L.+k兀）*+k兀）（k£Z）,

wow3

（3/打亓、,兀

~TTC^+k兀）^-T-

WooA

故L讯冗，解得l+6k<345k4

信（等+g>f3

当％=2时，143《春

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和

数学思维能力，属于基础题.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.（5分）已知tan（兀.J）°，a为第二象限角，则cos2a=_&■_.

35

【分析】利用诱导公式与二倍角公式求解即可.

【解答】解：因为tan（兀-a）g所以tana=*，即更吟

33cosQ-3

.2

所以sinQ=1y解得sin2a=」-,

1-sin4a910

又因为Ct是第二象限角，所以sina=t

smV1010

所以cos7a=l-2sin5a=1—

bb

故答案为：2.

5

【点评】本题考查了三角函数求值应用问题，是基础题.

2-22

14.（5分）△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a+b-c

4

n

T-,

【分析】代入三角形面积公式，代入余弦定理即可.

227

【解答】解：因为△ABC的面积为免些而

4

225

所以■^■absinO^—~J=）X2abcosC,

O30

所以sinC=cosC,即tanC=l,得,="看.

故答案为：

4

【点评】本题考查余弦定理，考查同角函数关系，属于基础题.

15.(5分)已知两个单位向量应，且|3+扇|=14_肩|=_?/§_.

【分析】根据最为单位向量，对|,+6|=1两边平方即可求出2/・$；=_1，

从而可求出国_6|2=3,进而可求出同w卜

【解答】解：•.・q2=[2=],且£+0=]；

•I••■o•2•••4―••

e+e=e;

,*I32।5+2e5-e2+e2-2+2e8»e2=l

♦..

=;

,・5巳[•e2-5

\e^~e2^=el2e2+64?=I**]=九

Ie4-e2I=V3-

故答案为：Vs-

【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算，以及向量长度的求法.

16.(5分)如图，在同一个平面内，向量赢，而，QC.11近,示与西的夹角为a,且

tana=7,OB-^5OC0C=m0A+«OB(m,neR)3.

【分析】如图所示，建立直角坐标系.A(1,0).由示与权的夹角为a,且tana=7.可

得cosa,sina.可得

cos(a+45°),sin(a+45°).利用OC=，"OA+"OB(〃?，〃6R),即可得出.

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，0).

0A=(1，4).

由永与死的夹角为a.

.•.cosa=1,sina^.

唱於

cos(a+45°)=2L±L(cosa-sina)=

75

sin(a+45°)=y_A-(sina+cosa)=—.

28

・“I得，1)•

Db

••-0B=(总，4).

、85J

V0C=A/20A0B(m，

•,•—2—171_dR,——『—fl..,

5755

解得n=—,m=—.

54

贝！］m+n=2.

故答案为：3.

【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分。17题10分，18-22题12分）

17.（10分）已知角a的终边在直线y=-^x上.

（1）求s+na+cosa的值;

sin。-cosCL

（2）求sin2a-sinacosa-2cos2a的值.

【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求tana的值.

（1）利用同角三角函数基本关系式化简即可求解；

（2）利用同角三角函数基本关系式化筒即可求解.

【解答】解：因为角a的终边在直线y=-^x上，

所以tana=2,

2

-4+6

⑴sina+cosa=tana+1=2__工，

sina-cosatana-63

2

(2)sin6a-sinacosa-2cos2a=si"Q-sin°cos之一2。。,__

sin4a+cos2a

0“14-2

tana-tana-4_46=_1

2

tana+1A+1

8

【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式在三角函数求

值中的应用，属于基础题.

18.(12分)设向量m=(2cosx,V3sinx),n=(sinx,-2sinx>记/(》)=m*n-

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）求函数f（x）在「工，工］上的值域.

L36J

【分析】（1）进行向量坐标的数量积的运算，并根据二倍角的正余弦公式，以及两角和

的正弦公式可得出f（x）=2sin（2xf）-731然后根据正弦函数的单调递减区间即

可求出/（x）的单调递减区间：

（2）根据在［玲，看］即可得出2x。的范围，从而可求出了（X）的最大值和最小

值，进而得出f（x）的值域.

2snx-

［解答］解：(1)f(x)=m,n=2sinxcosx-2V8sinx-^-2^2(l-cos2x)—

sin7x+V3cos2x-V^=2sin(2x-t^-)八与，

zuyTC,TTj3打

解方-+5k兀+2k兀，（依Z）,得，_^；+k兀4x《兀，

2

•V（JC）的单调减区间为［a+k兀，-^~+k兀］，kez；

（，）,,仁「兀兀1,n兀U「兀2兀-1

（2）-x€［「r，甘卜,,2x-»^-€［―，工->

•••2x4=T时，/（X）取最小值-丽;时2』'

.•./（X）在［工，工］上的值域为［-3«,2-77］.

36

【点评】本题考查了向量坐标的数量积的运算，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公

式，正弦函数的单调区间，考查了计算能力，属于基础题.

19.(12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b_cosB+1

aV3sinA

(1)求角B；

(2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.

【分析】(1)由题意，对/=<^£sB+l进行变形,再利用正弦定理即可求得B,

aV3sinA

(2)利用余弦定理，再结合均值不等式求三角形的面积即可.

【解答】解：(1)因为b，由正弦定理可得:

V6sinBsinA=sinAcosB+sinJ/»

aV3sinA

因为A为三角形内角，所以sinAWO,

所以如sinB=cosB+4，可得：2sin=7,即sinJ，

664

E因为斗1r>r-(0n,n、)B—兀「e/7T5受兀、)，-=T可-ZH得兀兀兀

b/brbo

(2)b5=a2+c2-5accosB=(a+c)2-3<zc=16-3ac,即3"。=16-序，

^^16-b6=3ac<3(-^)2=12'解得取等号,

5

所以加,加=5,△4BC周长的最小值为6,△4BC的面积s=AacsinB=«.

5

【点评】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题.

2。・(12分)已知函数f(x)=sinx+sin(x-^")，x€[0,-|-n]-

(1)求函数y=/(x)单调递增区间；

(2)在AABC中，A,8,C的对边分别为“，儿c,角A满足f(A)班，a=5,b+c=7

△ABC的值

【分析】(1)由条件利用三角函数的恒等变换求得f(x)=J§sin(x+匹)，再根据x

6

的范围，根据正弦函数的单调性即可求解.

(2)由已知可得sin(A+匹)=1,结合A的范围可求A的值，进而根据余弦定理可求

6

人的值，利用三角形的面积公式即可求解.

【解答】解：(1)•••函数/(x)=sinx+sin(x+A)=sinx+-12ZZxosx=V23cosx)

4222

.•.令2br-2LWx+2L2L,可得2内T-.371兀一,依Z,

28233

又•.”日7,^2L］,

2

，可得上=7,1时，2L］和［且I_,Ji2Lj.

337

(2)'：f(A)=百，可得：sin(A+-,

6

又：Ae(2,n)—&(2L,且L)2L=2L,

66667

可得A=_2L,

3

;由余弦定理〃2=川+02-2bccosA,可得25=a+於-bc=(b+c)2-6bc=49-3bc,

*,•可得b=8,

SAABC=-^hcsinA=—X8X^-V3.

247

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，考查了余

弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

21.(12分)已知函数f(x)=cos2x-2'/^sinxcosx-sin2x-

(I)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(H)问方程f(乂)=2在区间［工，3L］上有几个不同的实数根？并求这些实数

366

根之和.

【分析】(I)根据二倍角公式和两角和的正弦公式可得=-2sin(2X-2L),即

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可求出函数/(X)的最小正周期和最大值；

(II)画出函数/(X)