高二数学上学期期中测试卷9（解析版）

高二数学上学期期中测试卷09

高一数学试卷

考试时间：120分钟

一、单选（共8题，每题5分，共40分）

1.已知直线经过点ACD和点3（°'2）,则直线AB的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.135°

【答案】D

【解析】

【分析】设直线的倾斜角为a,求出直线的斜率即得解.

【详解】设直线的倾斜角为a,

由题得直线的斜率为火=tana=2=一1,

-3

因为0<a<180，

所以a=135.

故选：D.

iiiiu「Iuuu「iuiiuri

2.已知非零空间向量a,。，且AB=a+26,BC=-3a+44a>=“-36,则一定共线的三点是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量共线去证明三点共线即可解决.

LIUUr1UUUlr1UUUr1

【详解】QAB=a+2b,BC=-3a+4b,CD=a-3b

UUUlUUlLllBlIII卬r1

AD=AB+BC+CD=—a+3b>

ULUUUUHUUUl「1UUUl

AC=AB+BC=-2a+6b=2AD,

uuuuiiu

AC//AD，又AC与AD有公共点A,

AC,。三点共线.

故选：D

3.在平行六面体ABCD—A耳G"中，M为4G与BQ的交点，若AB=a,AO=Z>,A4,=c,则与。例

相等的向量是()

1I-11,

A.—a+—b+cB.--a—b+c

2222

I1,r1-1L

C.—a——h+cD.——a+—b+c

2222

【答案】C

【解析】

【分析】以a,b,c为基底，计算出。M的表达式，再一一对照选项.

【详解】如图：

""

DM=DD,+DtM=AAl+^D,Bl=AAl+^DlAl+AiBl)=AAt+^-AD+AB)

11,

=-ab+c；

22

故选：C.

4.圆心为(3,1)且和y轴相切的圆的方程是()

A.(%-3)2+(^-1)2=9B.(x+3)2+(y+l)2=l

C.(x-2)2+(y-l)2=10D.(x-3)2+(^-l)2=3

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件可求出r=3,即可得到圆的方程.

【详解】由己知可得，圆心(3,1)到y轴的距离d=3,

因为y轴与圆相切，所以厂=3.

所以，圆的方程为(x—3)2+(y—Ip=9.

故选：A.

5.已知直线/”4的方向向量分别为。=（3,4,1）/=（一2,1,根），若4_L4,则加等于（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据转化为直线方向向量的关系列方程，化简求得w的值.

【详解】解：由于所以ad=O,贝iJ3x（-2）+4xl+lxm=0.,解得加=2.

故选：C.

6.在下列条件中，使M与A,B,C一定共面的是（）

A.OM=OA-1OB-OCB.MA+3MB+5MC^0

111

C.OM^-OA+-OB+-OCD.OM+OA+OB+OC=G

332

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.

【详解】对于A选项，OM=QA-2OB_OC,由于1—2—1=—2W1，所以不能得出M,ABC共面.

对于B选项，由于M4=-3MB-5MC，则K4,MB,MC为共面向量，所以M,A,8,C共面.

111111

对于C选项，。“=一。4+—。8+—。。，由于—+—+—工1,所以不能得出〃,AB,C共面.

332332

对于D选项，由OM+OA+OB+OC=0得OM=-QA-OB-OC，

而_1_1_1=_3H1,所以不能得出MA,B,C共面，

故选：B

7.己知圆C-炉+/一2%+分一4=0和圆C2：4/+”2-I6x—16y+31=0,则这两个圆的公切线的

条数为（）

A.1或3B.4C.0D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆的一般方程化为标准方程，求出圆心距，由半径之和小于圆心距知两圆相离，即可判断公切

线的条数.

【详解】因为圆G：（尤―l>+（y+2）2=9,圆。2：（x-2y+（y-2）2=；,

所以圆心距d斗G1=J(l_2)2+(-2-2)2=J万，

而两圆半径之和3+—=—<J万，故两个圆相离，

22

则这两个圆的公切线有4条.

故选：B

8.方程国一l=Jl—(y—l)2表示的曲线是()

A.一个圆B.两个圆

C.一个半圆D.两个半圆

【答案】D

【解析】

【分析】方程可化为(|x|-l)2+(y—1>=1,去绝对值分x4—l,两种情况解决即可.

【详解】方程可化为(|x|—l)2+(y—1>=1,

因为|尤|-12。，

所以X4-1或,

若1时，则方程为(尤+1)2+(>一1)2=1：

若时，则方程为(％—1了+(y—1)2=1,

故选：D

二、多选题(每题5分，选对部分3分，选错0分，共20分)

9.已知直线/:Jix+y-2=0,则()

A.倾斜角为60。B.恒过点(0,2)

C.直线/的方向向量为(1,-百)D.在x轴上的截距为2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据直线的方程求出斜率得倾斜角判断A,点的坐标代入直线方程可判断B,根据直线斜率判断

C,求出直线在x轴上截距判断D.

【详解】由/:JIx+y—2=0可得y=-百x+2,

即直线斜率％=-百，所以倾斜角为120°,故A错误;

点(0,2)代入直线方程，6x0+2—2=0成立，故B正确;

因为直线/斜率左=-百，而(1,-8)与原点连线斜率也是-6,与直线平行，所以(1,-百)是直线的一

个方向向量，故C正确:

令y=o,可得％=义=辿，即在x轴上的截距为2亘，故D错误.

G33

故选：BC

10.(多选)在正方体ABC。一AIBIGOI中，0是底面4BCD的中心，M,N分别是棱。£>i,01cl的中点，则

直线0M()

A.和4c垂直

B.和AAi垂直

C.和垂直

D,与AC,MN都不垂直

【答案】AC

【解析】

【分析】以。为原点，DA,DC,所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱

长为2a,证明0看.痛v=。，OM»AC=(),OM-AA\=2a2^0'即得解•

以。为原点，DA,DC,ODi所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2a,

则。(0,0,0),Di(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a),

A（2a,0,2a）,

.—>—>—>—>

=a,

OM（~一°，"），MN=。小幻，AC=（-2m2a，°），A4,=（0,0,2。），

••OM.MN=°，QM・4c=0'O例=2矿w0，

：.OM1AC,OMLMN.0M和A4不垂直.

故选：AC.

11.已知直线/：Ax-y+3攵+1=0和圆。：％2+,2=]6,则（）

A.直线/恒过定点（-3,1）

B.圆心C到直线/的最大距离是厢.

C.直线/与圆。相交

D.若左=一1,直线/被圆。截得的弦长为4

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先，改写直线方程形式，判断定点，即可判断AC：当圆内定点为弦的中点时，此时弦长最短,

圆心到直线的距离最大；D.利用弦长公式求解.

x+3—0x=—-3

【详解】对于A、C,由/：依-y+3Z+l=0,得k（x+3）-y+l=0,令《,解得《，

-y+1=0[y=l

所以直线/恒过定点（-3,1）,故A正确；

因为直线/恒过定点（一3,1）,而（-3）2+产=10<16,即（-3,1）在圆O：f+y2=]6内，所以直线/与圆。

相交，故C正确；

对于B,设直线/与圆相交于AB两点，弦A8中点为N（—3,1）,则CNL43,|CN|为C到直线AB的

距离的最大值，|CV|=J15,圆心C到直线/的最大距离为JI6,故B正确；

|0+0+2|r

对于D,k=-l时，直线/：x+y+2=0,圆心到直线的距离为，所以直线/被圆

O截得的弦长为2J产-屋=2.一（⑹2=2714，故D错误.

故选：ABC.

12.在平行六面体ABC。一A'B'C'D中，底面ABC。是边长为4的正方形，侧棱A4'的长为。，且

^A'AB=ZA'AD=120二则（）

A.AC的长为^2cr-2ab+b2

B.直线8'。与AC所成角的余弦值。迎+2力

4/+2/

C.8D'的长为j2/+r

D.直线37）与8c所成角的余弦值a2

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量的运算逐项进行计算即可判断.

【详解】对于A,A'C=A'A+A'B'+A'D^

|AC「=(AA+A'B'+A'D')2=A'A~+2A'A.A'B'+A'B''+2A'B'.A'D'+2A'A.A'D'+A'D''

-h2+labcos600+a2+2a2cos900+labcos60°+a2=2a2+h2+lab，

所以AC=+万+29，故选项A错误；

对于B,由题意可知：=B'D=B'C'+B'A,+B'B'

Ii9222

\B'D\=(B'C'+B'A'+B'By=B'C+2B'C'.B'A'+B'A'+2B'A'.B'B+B'B+IB'B.B'C

=a2+0+a?+2«Z?cosl20°+Z>2+2a/?cos60°=2a2+b2

所以忸分卜也标+人,

AC.B'D=(AB+AD)・(B'C'+B'A'+B'B)

=AB-B'C'+AB»B'A'+AB-B'B+AD-B'C'+AD»B'A'+AD-B'B

—0—cr+cib+cr+0+cib=2ab>

acBDAClabbyl^+lb2

所以cos<80,AC>=~|=/=一；~L=I,,=c，/,

B,qkqyl2a2+b2xy/2a>J2a2+b22矿+厅

故选项B错误；

对于C,BD'=BD+BA+BC>IBD'^^(BD+BA+BC)2,

I,i2.....2...«2,2

\BD'\=(BB'+BA+BC)2=BBr+IBB'.BA+2BA.BC+2BB'.BC+BA'+BC'

=b2+ab+O-ab+a2+a2=2a2+b2，

所以=yj2a2+b2,故选项C正确；

对于D,由选项B的分析可知：忸'4=，242+82,由题意可知：的=”,

B'D.BC=(B'A'+B'C'+=B'A'.BC+B'C'.BC+B'B.BC

=0++ab=a2+ab

2

B'D.BCa2+ab(a+b)yj2a+b~

所以cos<B'D,BC>=

I叫叫ay12a2+b22a2+b2

故选项D错误,

故选：C.

三、填空(每题4分，共20分)

13已知空间中非零向量，且|a=2,|切=3,〈氏力=60，则|2a—3b|=

【答案】屈

【解析】

【分析】将12a-36|平方，结合数量积以及模的计算，即可求得答案.

【详解】由题意可得|2a—30|2=(2a)2—12a2+(3b)2=97—12x2x3xcos60=61,

故|2。-3切=而，

故答案为：VM-

14.半径为Jj。，且与直线x+3y—8=0相切于(2,2)的圆的标准方程为

［答案］(x_l)2+(y+l)2=10或(x_3)2+(y_5)2=］0

【解析】

【分析】设出圆心坐标，利用两点之间的距离等于半径和两直线垂直斜率乘积为-1,组成方程组求出圆心

坐标

即可求出圆的标准方程.

【详解】设圆心(。,。)，圆半径为河，且与直线X+3)—8=0切与点(2,2),圆心与切点的连线所

在直线

3-2)2+3-2)2=10

必然垂直直线x+3y—8=0,.,.得,1b.2，

——X-----=-1

.3。—2

a=l[a=3..__

解得匕，或《，「，即圆的标准方程为(x-l)2+(y+l)2=10或(x-3)2+(y-5)2=10，

b=-\[0=5

故答案为：。-1尸+()，+1)2=10或(彳-3)2+(?-5)2=10

15.若x,)，满足N+y2—2x+4y—20=0,则N+y2的最小值是

【答案】30-10石

【解析】

【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径/，设圆上一点的坐标为(x,y),原点坐标

为(0,0)，则f+y2表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径r

减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去圆心到原点的距

离，然后平方即为x2+y1的最小值.

【详解】把圆的方程化为标准方程得：(X-1)2+(y+2『=25,

则圆心A坐标为(1,-2),圆的半径r=5,

设圆上一点的坐标为(X,y),原点。坐标为(0,0),

则x2+y2表示圆上一点和原点之间的距离的平方，

根据图象可知圆心到原点距离的最小值为圆的半径厂减去圆心到原点的距离，

.•.忸。=|阴-1。4|=5-

贝llf+y的最小值为(5—百)2=30—10番,

故答案为：30-10后.

16.已知圆元2+(y-2)2=1上一动点A和定点3(6,2),点尸为X轴上一动点，则|/科+|尸目的最小值为

【答案】2岳-1

【解析】

【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；

【详解】根据题意画出圆/+(丁—2)2=1,以及点8(6,2)图像如图,

作B关于x轴的对称点B'，连接圆心与B'，则与圆的交点A,|A用即为|AP|+忸片的最小值,

|A卸为点(0,2)到点9(6,-2)的距离减圆的半径，

即\AB\=7(6-0)2+(-2-2)2—1=2713-1，

故答案：2>/百—1.

四、解答题(17题10分，18-22题，每题12分，共70分)

17.已知JABC的三个顶点A(—l,2),8(l,4),C(0,—2),求边AB所在直线的方程，以及这条边上的垂直

平分线所在直线的方程.

【答案】x-y+3=0；x+y—3=0.

【解析】

【分析】利用直线的两点式即得直线的方程，或先求直线的斜率然后利用点斜式即得；利用直线的垂

直关系可得垂直平分线的斜率，再利用点斜式结合中点坐标公式即得方程.

【详解】法一：由己知，过4-1,2),8(1,4)的直线的两点式方程为[二：=目空

4—2I—1)

整理得x-y+3=0,即为边A3所在直线的方程;

4-2

法二：由题可知k^B—~~■~~~--1，又由点斜式有y—2=(x+1),

整理得X—y+3=o,即为边AB所在直线的方程；

4-2

由题知心B=[，八=1，设边A8的垂直平分线为/，

则M=-1，可得>=-1,

-1+14+2

由中点坐标公式，可得中点一，二士)，即M(0,3),

22

又由点斜式有得丁一3=-x,整理可得x+y-3=0,

即边A8的垂直平分线所在直线的方程为x+y-3=0.

18.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,l,6),C(l,-1,5).

(1)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积；

(2)设£>(苍1,一1),若A,B,C,。四点共面，求x的值

【答案】(1)773

(2)x=5

【解析】

【分析】(1)由空间向量的数量积得夹角后求解

(2)由空间向量共面定理求解

【小问1详解】

由已知，得：

AS=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

.AB-AC-2+3+61

/.cosA=cos(AB,AC)=----------=,~,=—

\AB\-\AC\J4+1+9-Jl+9+42

,•sinA——，

2

S=|AC|.sinA=VIZxViZx苧=7百

...以A8,AC为邻边的平行四边形的面积为7百

【小问2详解】

由。(x,1,—1),得：AD=(x,—1,—4)

VA,B,C,。四点共面

...存在实数/I,〃，使得4。=4A8+〃AC

—24+〃=x

(%,—1,—4)—A(—2,—1,3)+//(1,—3,2),即得：《—九一3〃=—1

3/1+2〃=-4

解得：A=—2＞〃=1,，x=5

19.已知曲线C：x2+y2+4x+6y+m=0.

(1)当巾为何值时，曲线C表示圆？

(2)若直线/：)=*一加与圆C相切，求相的值

【答案】(1)加＜13

(2)m=±5

【解析】

【分析】(I)将/+＞2+4》+6)+加=0配方，根据方程表示圆，即可求得答案;

(2)根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得答案.

【小问1详解】

由C：V+J+4x+6y+m=0,得(x+2f+(y+3)2=13-〃？,

由13—/%＞0时，得加＜13,...当机＜13时，曲线C表示圆；

【小问2详解】

圆C的圆心坐标为(-2,-3),半径为荷.

•.•直线/：V=X一机与圆C相切，直线/的一般式方程为％一丁一加=0,

.•./E解得一

满足根＜13,

m=±5.

20.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。为矩形，AB1平面％力，E是A。的中点,

24。为等腰直角三角形，DP±AP，PA=6AB=&

P

(1)求证：PEYBD-,

(2)求点A到平面PBE的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)—.

2

【解析】

【分析】(1)利用线面垂直性质定理去证明PEJ_3£＞；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量的方法去求点A到平面PBE的距离.

【小问1详解】

：平面24£＞，依匚平面必。，，/石_1_43,

又,:24。是等腰直角三角形，E是斜边的中点，，?石工4%

又平面ABC。，ABu平面ABC。，ABoAD^A，

PE工平面ABCD

又：BDu平面ABCD,；.PELBD；

【小问2详解】

在平面4BCD内，过E点作AO的垂线EF,交BC于F,

由平面以。，A6u平面ABCD，可得平面外0_L平面ABCQ

又平面抬。平面ABCD=AD,E/u平面ABC。，EF-LAD

则万户人平面以。，又EPLEA，则EP、EA,防两两垂直

则以£为原点，分别以EP,EA,EF所在的直线为x轴，＞轴，z轴

建立空间直角坐标系E一盯z,如图

因为PA=6AB=6，

则E(0,0,0),8(0,1,1),A(0,l,0),尸(1,0,0)

则EB=(0,1,1),£P=(1,0,0),PA=(-1,1,0)

设平面PBE的一个法向量为〃=(x,y,z),

EB-n=y+z=0

\,取y=i,则z=—l,故〃=(o,i,—i)

EP-n=x=0

\PA-n\i也

设点A到平面PBE的距离为力，则〃=」=、£,

同V22

；•点A到平面PBE的距离为V2

~T

21.已知过点A(0,1)且斜率为左的直线/与圆C：(x—2尸+。-3)2=1交于M,N两点.

⑴求女的取值范围;

Q)若OMON=12,其中。为坐标原点，求|MM.

【答案】(1)(4—V74+V7(2)2.

33

【解析】

【详解】(1)由题意可得，直线1斜率存在，

设过点A(0,1)的直线方程:y=kx+l,即：kx-y+l=0.

由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=L

故由牛3+l|<i,解得：4-2/7<^<4+>/7

VF+133

故当士^包＜%＜丑/，过点A（0,1）的直线与圆C：（x-2p+（y-3）2=1相交于M,N两点.

（2）设M（X],yJ；N（^2,y2）,

由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+l,代入圆C的方程（x-2『+（y-3]=1,

可得（1+公）》2一4（《+1）X+7=0,

..4（1+%）7

・・M+电=———六，x\xi=-----7'

1-1+氏2121+公

2

yxy2+l）（fcx2+1）=kx}x2+氏（玉+/）+]=1十：,十1，

由0河・0N