2026年海南省人教版高二数学第五章数列习题

2026年海南省人教版高二数学第五章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值等于（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值等于（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=31。选项无正确答案，需修正题目条件。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值等于（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目条件。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由递推关系可得f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=5+log_2(3)+log_2(5)。选项无正确答案，需修正题目条件。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=2×(a_3+a_7)/2=18。选项B正确。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前3项和等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故log_3(h_n)=n-1，前3项和为0+1+2=3。选项A正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n，则i_5的值等于（）A.15B.16C.17D.18解析：由递推关系可得i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+2=4，i_4=i_3+3=7，i_5=i_4+4=11。选项无正确答案，需修正题目条件。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.127C.127D.127解析：由等比数列通项公式j_n=1q^{n-1}，代入j_6=q^5=64，解得q=2，故S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=63。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_4=10，a_7=19，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_4=a_1+3d=10，a_7=a_1+6d=19，联立可得d=3，a_1=1，故a_n=1+3(n-1)=3n-2。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_3的值等于_________。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_3=11。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_4的值等于_________。解：由递推关系可得c_2=c_1+3=5，c_3=c_2+6=11，c_4=c_3+9=20。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_5=32，则该数列的公比q等于_________。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_5=d_1q^4=32，联立可得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则e_2的值等于_________。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=2n+1，验证n=1时成立，故e_2=5。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n+1，则f_4的值等于_________。解：由递推关系可得f_2=f_1+3=6，f_3=f_2+5=11，f_4=f_3+7=18。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=2，d=3，则a_10的值等于_________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_10=2+9×3=29。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前2项和等于_________。解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}，故log_3(h_1)=0，log_3(h_2)=1，前2项和为1。9.若数列{i_n}满足i_1=5，i_{n+1}=i_n+n，则i_3的值等于_________。解：由递推关系可得i_2=i_1+1=6，i_3=i_2+2=8。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，q=3，则j_5的值等于_________。解：由等比数列通项公式j_n=2×3^{n-1}，代入j_5=2×3^4=162。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列一定是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=2，当n≥2时a_n=2n，验证n=1时成立，故数列{a_n}为2,4,6,...，是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q<0，则该数列的项数必为偶数。（）解：若b_1>0，q<0，则数列项的符号交替变化，故项数必为偶数。正确。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+1，则该数列一定是等差数列。（）解：由递推关系可得c_n=c_1+(n-1)，故数列{c_n}为等差数列。正确。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_6=20。（）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故a_5=10，同理a_5+a_6=2a_5=20。正确。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列一定是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故数列{e_n}为1,2,4,...，是等比数列。正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=f_1q，f_3=f_2q，则公比q必为常数。（）解：由等比数列定义f_{n+1}=f_nq，故公比q必为常数。正确。7.若数列{g_n}满足g_{n+1}=g_n+g_{n-1}（n≥2），则该数列一定是斐波那契数列。（）解：斐波那契数列定义为g_{n+1}=g_n+g_{n-1}（n≥3），若n=2时成立，则该数列是斐波那契数列。正确。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_2=4。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，故a_2=4。正确。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列一定是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系i_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时i_1=S_1=1，当n≥2时i_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故数列{i_n}为1,2,4,...，是等比数列。正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_1+j_2+j_3=14，j_2+j_3+j_4=56，则公比q=3。（）解：由等比数列性质j_1+j_2+j_3=j_1+j_1q+j_1q^2=14，j_2+j_3+j_4=j_1q+j_1q^2+j_1q^3=56，联立可得q=3。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立可得d=5/3，a_1=0，故a_n=5/3(n-1)。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_4的值。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，验证n=1时成立，故b_4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立可得q=3。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+2n，求d_5的值。解：由递推关系可得d_2=d_1+2=4，d_3=d_2+4=8，d_4=d_3+6=14，d_5=d_4+8=22。5.在等差数列{e_n}中，若a_1=3，d=-2，求a_7的值。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_7=3+6×(-2)=-9。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=2^n-1，求f_3的值。解：由数列前n项和与通项关系f_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=T_1=1，当n≥2时f_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故f_3=4。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=1，q=2，求g_6的值。解：由等比数列通项公式g_n=1×2^{n-1}，代入g_6=2^5=32。8.若数列{h_n}满足h_1=5，h_{n+1}=h_n+n，求h_4的值。解：由递推关系可得h_2=h_1+1=6，h_3=h_2+2=8，h_4=h_3+3=11。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=10，d=5，求a_{10}，代入a_{10}=10+9×5=55，故第10年生产设备数量为55台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列{b_n}中，b_1=100，q=1.1，求b_5，代入b_5=100×1.1^4≈146.41，故2025年人口数量约为146.41万。3.某人存款计划每年比上一年多存100元，已知第一年存款为500元，求第8年存款金额。解：由等差数列{c_n}中，c_1=500，d=100，求c_8，代入c_8=500+7×100=1200，故第8年存款金额为1200元。4.某产品成本每年下降5%，已知2020年成本为100元，求2024年成本。解：由等比数列{d_n}中，d_1=100，q=0.95，求d_4，代入d_4=100×0.95^3≈85.74，故2024年成本约为85.74元。5.某林场计划每年比上一年多植树1000棵，已知第一年植树5000棵，求第6年植树数量。解：由等差数列{e_n}中，e_1=5000，d=1000，求e_6，代入e_6=5000+5×1000=7000，故第6年植树数量为7000棵。6.某股票价格每天上涨2%，已知初始价格为10元，求5天后价格。解：由等比数列{f_n}中，f_1=10，q=1.02，求f_5，代入f_5=10×1.02^5≈11.21，