山东青岛崂山区2023-2024学年数学九年级上册期末考试试题含解析

山东青岛崂山区2023-2024学年数学九上期末考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.某公司一月份缴税40万元，由于公司的业绩逐月稳步上升，假设每月的缴税增长率相同，第一季度共缴税145.6

万元，该公司这季度缴税的月平均增长率为多少？设公司这季度缴税的月平均增长率为x,则下列所列方程正确的是

（）

A.40（1+x）2=145.6B.40+40（1+%）2=145.6

C.40+40（1+%）=145.6D.40+40（l+x）+40（l+x）2=145.6

2.一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Q）之间的函数关系如图所示，如果

以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那么此用电器的可变电阻应（）

A.不小于4.8QB.不大于4.8。C.不小于14QD.不大于14Q

3.若a,0（a<8）是方程=加<〃）的两根，则实数〃的大小关系是（）

A.m<a<b<nB.a<m<b<nC.a<m<n<bD.a<b<m<n

k-\

4.若反比例函数y=——的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（）

x

A.0B.1C.2D.以上都不是

5.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果

抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点3离墙的距离03是（）

A.2.5米B.3米C.3.5米D.4米

6.在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加100米预赛，赛场共设1,2,3,4四条跑道，选手以随机抽签的方

式决定各自的跑道.若小明首先抽签，则小明抽到1号跑道的概率是（）

1111

A.—B.—C.-D.一

16432

3

7.如图，在△A5C中，ZC=90°,cosA=1,A5=10,4c的长是（）

A.3B.6C.9D.12

8.如图，菱形中，ZA=60°,边45=8,E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB,当PE=

EB时，线段PE的长为（）

A.4B.8C.40D.4G

9.有一张矩形纸片ABCD,AB=2.5,AD=1.5,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE,再将△AED以DE

为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）

1

2

Q

10.点M（a,2a）在反比例函数y=—的图象上，那么a的值是（）

X

B.C.2D.±2

11.国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.永州市2016年底大约有贫困人口13万人，通过

社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为X,根

据题意列方程得（）

A.13（1—2x）=1B.13（1—x）2=1C.13（l+2x）=1D.13（1+x）2=1

12.下列事件属于随机事件的是（）

A.旭日东升B.刻舟求剑C.拔苗助长D.守株待兔

二、填空题（每题4分，共24分）

2

13.如图，矩形EFGH内接于AABC,且边FG落在BC上.若BC=3,AD=2,EF=-EH,那么EH的长为

3

42

15.如图，过y轴上任意一点尸，作x轴的平行线，分别与反比例函数），=--&<0）和丁=-*>0）的图象交于点4

xx

和点3,若C为x轴上任意一点，连接AC,BC,贝IJ,A3c的面积是.

16.一个口袋中装有2个完全相同的小球，它们分别标有数字1,2,从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇

匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的数字和为偶数的概率是—.

17.如果点A（-1,4）、B（m,4）在抛物线y=a（x-1）2+h±.,那么〃，的值为.

18.如图，在OABCD中，点E在边CO上，连接4E并延长交8c的延长线于点F,若DE=2EC,贝（I

BC:CF=.

三、解答题（共78分）

19.（8分）为吸引市民组团去风景区旅游，观光旅行社推出了如下收费标准:

BJILvMdI5A.«

HhDIA.>

>0IL

IMM不a■子n•比

某单位员工去风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用10500元，请问该单位这次共有多少员工去风景区旅游？

20.（8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与X轴相交于点A（—2,0）,点3（4,0）,与V轴相交于点

（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点。的坐标；

（2）过点A作AE丄AC交抛物线于点E,求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，点尸在射线上，若与△钻C相似，求点尸的坐标.

21.（8分）已知二次函数）=依2+法+。中，函数与自变量x的部分对应值如下表:

X・・・-10123・・・

y・・・105212—

（1）求该二次函数的表达式；

（2）当y>5时，x的取值范围是.

22.（10分）2019年度双十一在九龙坡区杨家坪的各大知名商场举行“国产家用电器惠民抢购日”优惠促销大行动，许

多家用电器经销商都利用这个契机进行打折促销活动.商社电器某国产品牌经销商的某款超高清大屏幕Led液晶电视

机每套成本为4000元，在标价6000元的基础上打9折销售.

（1）现在该经销商欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于30%?

（2）据媒体爆料，有一些经销商先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为.重百电器另一个该品牌的经销商也销

售相同的超高清大屏幕Led液晶电视机，其成本、标价与商社电器的经销商一致，以前每周可售出20台，现重百的经

销商先将标价提高（2m-12）%,再大幅降价150加元，使得这款电视机在2019年11月11日那一天卖出的数量就比

原来一周卖出的数量增加了°〃?％,这样一天的利润达到22400元，求机的值.（利润=售价一成本）

2

23.（10分）解下列方程

（1）X2+2X=3

(2)3x(x-2)=x-2

24.（10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O,

点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF,过点E作EG丄EF,EG与圆O相交于点G,连接CG.

（1）试说明四边形EFCG是矩形；

（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，

①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；

②求点G移动路线的长.

25.（12分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图（如图1）和不完整的扇形图（如图2）,

其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分.

（1）求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；

（2）随后又补査了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多补

查了一人.

M1网2

26.如图.已知AB为半圆。的直径，AC,AD为弦，且AD平分NB4C.

（1）若NABC=28，求NC3。的度数:

(2)若A3=6,AC=2,求AO的长.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】根据题意，第二月获得利润40(1+X)万元，第三月获得利润40(1+4万元，根据第一季度共获利145.6万

元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】设二、三月份利润的月增长率为X,则第二月获得利润40(l+x)万元，第三月获得利润40(1+%)2万元，

依题意，得：40+40(1+x)+40(1+x)2=145.6.

故选：D.

【点睛】

本题考査了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.求平均变化率的

方法为：若变化前的量为“，变化后的量为匕，平均变化率为%则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)2=b.

2、A

【分析】先由图象过点(1,6),求出U的值.再由蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,求出用电器的可

变电阻的取值范围.

【详解】解：由物理知识可知：1=..,其中过点(1,6),故U=4L当IW10时，由R24.1.

故选A.

【点睛】

本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y：的图象是双曲线，当k>0时，它的两个分支分别位于第一、三象限;

当kVO时，它的两个分支分别位于第二、四象限.

3、A

【分析】设y=(x-m)("-x),可判断抛物线开口向下，m、n是其与x轴交点的横坐标，a、b则是抛物线与直线

y=2的交点横坐标，画出函数草图即可判断.

【详解】设y=(x—可判断抛物线开口向下，m、n是其与x轴交点的横坐标，a、b则是抛物线与直线

y=2的交点横坐标，画出函数草图如下：

从函数图象可以看出：m<a<b<n

故选：A

【点睛】

本题考査的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点的横坐标为y=0时，一元二次方程的根是关

键.

4、A

k-\

【详解】•.•反比例函数y=——的图象位于第二、四象限，

x

Ak-1<0,

即k<l.

故选A.

5、B

【分析】由题意可以知道M(1,2),A(0,2.25),用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出

x的值，这样就可以求出OB的值.

【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,

把A(0,2.25)代入，得

2.25=a+2,

a=-0.1.

...抛物线的解析式为：y=-0.1(x-1)2+2.

当y=0时，

0=-0.1(x-1)2+2,

解得：X1=-1(舍去)，X2=2.

OB=2米.

故选：B.

【点睛】

本题是一道二次函数的综合试题，考査了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题,

解答本题是求出抛物线的解析式.

6、B

【详解】解：小明选择跑道有4种结果，抽到跑道1只有一种结果，小明抽到1号跑道的概率是丄

4

故选B.

【点睛】

本题考查概率.

7、B

【分析】根据角的余弦值与三角形边的关系即可求解.

ACa

【详解】解：VZC=90°,cosA=——=-,AB=10,

AB5

：.AC=l.

故选：B.

【点睛】

Ara

本题主要考查解直角三角形，理解余弦的定义，得到884=嗓=嚏是解题的关键.

AB5

8、D

【分析】由菱形的性质可得AB=AD=8,且NA=60。，可证AABD是等边三角形，根据等边三角形中三线合一，求得

BE丄AD,再利用勾股定理求得EB的长，根据PE=EB,即可求解.

【详解】

AB

解：如上图，连接BD

•.•四边形ABCD是菱形，

，AB=AD=8,且NA=60。，

.,•△ABD是等边三角形，

•.•点E是DA的中点，AD=8

...在Rt^ABE中，利用勾股定理得：EB=JAB?_他2=四_42=46

VPE=EB

，PE=EB=4百，

故选：D.

【点睛】

本题考査了菱形的性质，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

9、B

【分析】利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长,

则由CF=BC-BF即可求得答案.

【详解】解：如图2,根据题意得：BD=AB-AD=2.5-1.5=1,

如图3,AB=AD-BD=1.5-1=0.5,

•；BC〃DE,

.,.△ABF^AADE,

.ABBF

••~=__9

ADBD

即曳=吗

1.51.5

.*.BF=0.5,

.,.CF=BC-BF=1.5-0.5=1.

故选B.

【点睛】

此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质.题目难度不大，注意数形结合思想的应用.

10、D

Q

【分析】根据点2。）在反比例函数y=—的图象上，可得：2〃=8,然后解方程即可求解.

x

Q

【详解】因为点M(a,2a)在反比例函数y=2的图象上,可得：

x

2a2=8,

a2=4,

解得：a=±2,

故选D.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象的上点的特征，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.

11、B

【分析】根据等量关系：2016年贫困人口x(L下降率产=2018年贫困人口，把相关数值代入即可.

【详解】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为X,

根据题意得：13(1-X)2=1,

故选：B.

【点睛】

本题考査由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键.

12、D

【分析】根据事件发生的可能性大小，逐一判断选项，即可.

【详解】4、旭日东升是必然事件；

5、刻舟求剑是不可能事件；

C、拔苗助长是不可能事件；

。、守株待兔是随机事件；

故选：D.

【点睛】

本题主要考査随机事件的概念，掌握随机事件的定义，是解题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

,3

13^—

2

【详解】解：如图所示：

V四边形EFGH是矩形，EH〃BC,

.,.△AEH^>AABC,

,,AMEH

：AM丄EH,AD±BC,:.------=——，

ADBC

设EH=3x,贝!J有EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,

2-2x3x13

..---=—,解得：x=—,则EH=K

2322

故答案为三3.

2

【点睛】

本题考査相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

14、b(a+b)(a-b)

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

【详解】解：a2b-b3,

=b(a2-b2)=b(a+b)(a-b).

故答案为b(a+b)(a-b).

15、1

【分析】连接OA、OB,如图，由于AB〃x轴，根据反比例函数k的几何意义得到SAOAP=2,SAOBP=L贝！|SAOAB=L

然后利用AB/7OC,根据三角形面积公式即可得到SACAB=SAOAB=1.

-,-SQAP=gx|K=；x|-4|=2,

s°BP=；x|4=gx|2|=l,

•q-3

••OOAB-J，

AB//OC,

,••°qCAB~_°qOAB~_」?•

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了反比例函数y=A(kWO)系数k的几何意义：从反比例函数y=A(kWO)图象上任意一点向X轴和y

XX

轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为lkl.

1

16^一・

2

【解析】试题分析：如图所示，•••共有4种结果，两次摸出小球的数字和为偶数的有2次，.•.两次摸出小球的数字和

211

为偶数的概率=:=7.故答案为；.

422

考点：列表法与树状图法.

17、1

【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案.

【详解】由点4(-1,4)、B(m,4)在抛物线尸i(x-1)2+/»±,得：(-1,4)与Cm,4)关于对称轴x=l对称,

in-1=1-(-1),解得：,"=1.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m-1=1-(-1)是解题的关键.

18、2:1

【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，进而证明♦AAE~*FCE,得出线段的比例，即可得

出答案

【详解】在。A3CD中，

，AD〃BC,ZDAE=ZCFE,ZADE=ZFCE,

/.AADE-AFCE

VDE=2EC,

.,.AD=2CF,

在。ABC。中,

VAD=BC,

等量代换得：BC=2CF

BC:CF=2：1

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，数形结合是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、该单位这次共有30名员工去风景区旅游

【分析】设该单位这次共有x名员工去风景区旅游，因为500xl5=7500V10500,所以员工人数一定超过15人.由题意,

得[500-10(x-15)]x=10500;

【详解】解：设该单位这次共有x名员工去风景区旅游

因为500xl5=7500<10500,所以员工人数一定超过15人.

由题意，得[500-10(x-15)]x=10500,

整理，得X2-65X+1050=0,

解得XI=35,X2=30当xi=35时，500-10(x-15)=300<320,故舍去xi；

当X2=30时，500-10(x-15)=350>320,符合题意

答：该单位这次共有30名员工去风景区旅游

【点睛】

考核知识点：二元一次方程应用.理解题是关键.

12-x-4,点£>(1,-3)；(2)点；(3)弓)或(1

20(1)y=-x~

-2

【解析】(1)设抛物线的表达式为)，=奴2+加+0(”工0),将A、B、C三点坐标代入表达式，解出a、b、c的值即可得

到抛物线表达式，同理采用待定系数法求岀直线BC解析式，即可求出与对称轴的交点坐标；

(2)过点E作EH丄AB,垂足为H.先证NEAH=NACO,贝(JtanNEAH=tanNACO=丄，设EH=t,则AH=2t,从

2

而可得到E(-2+2t,t),最后，将点E的坐标代入抛物线的解析式求解即可：

(3)先证明/。4/=厶。6,再根据AAZ)9与AABC相似分两种情况讨论，建立方程求出AF,利用三角函数即可

求出F点的坐标.

【详解】(1)设抛物线的表达式为>=，标+版+c(“#0).

把A(-2,0),8(4,0)和C(0,-4)代入得

1

a=­

4。一2〃+c=02

<16。+4/?+。=0,解得<h=-\

c=-4c=-4

1,

.•・抛物线的表达式y=1X2-X-4,

.•.抛物线对称轴为x=-2=i

2a

设直线BC解析式为y=kx+b',

把3(4,0)和C(O,T)代入得

Uk+b'^O任=1

<,解得《

历=-41"=-4

二直线BC解析式为y=x-4

当x=］时，y=1-4=-3

点0(1,—3).

■:ZEAB+ZBAC=90o,ZBAC+ZACO=90°,

二ZEAH=ZACO.

1

.".tanZEAH=tanZACO=-.

2

设EH=t,贝!|AH=2t,

.•.点E的坐标为(-2+2t,t).

将(-2+2t,t)代入抛物线的解析式得：12(-2+2t)2-(-2+2t)-4=t,

7

解得：t=不或t=0(舍去)

2

•“可

（3）如图所示,

QOC=OB,

/OCB=/OBC=45°.

DA=DB,

ZDAB=ZABD=45°,

：.NOCB=NDAB.

由（2）中tan/EAH=tanNACO可知/£46=NACO,

：.ZDAF^ZACB.

AADF和43c相似，分两种情况讨论：

^ADAF_n372AF

①---=——,即一二二—尸,

CBCA402#）

：.AF=-45,

2

VtanZEAB=-

2

..,1A/5

••sinNEAB=-,-=

VF7275

.•.F点的纵坐标=AF-sinZEAB=-V5x—=-

252

AFHn3V2AF

②——=——，即-7==—产，

CACB2640

...AF=?不,

同①可得F点纵坐标=AFsinNEAB=—V5x^=—

555

横坐标=AFcosZEAB=—>/5x-2=—

555

【点睛】

本题考查二次函数的综合问题，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟练运用三角函数与相似三角形的性质，作

出图形，数形结合是解题的关键.

21、(1)y=(%-2『+1或丫=尤2-4x+5；(2)x<()或x>4

【分析】(1)根据抛物线的对称性从表格中得出其顶点坐标，设出顶点式，任意代入一个非顶点的点的坐标即可求解.

(2)结合表格及函数解析式及其增减性解答即可.

【详解】(1)由题意得顶点坐标为(2,1).设函数为y=a(x—2『+l.

由题意得函数的图象经过点(0,5),

所以5=ax(—2了+1.

所以。=1.

所以两数的表达式为y=(x—2)2+1(或y=f一4x+5)；

(2)由所给数据可知当x=2时，丁有最小值1,

，二次函数的对称轴为x=2.

又由表格数据可知当y>5时，对应的x的范围为尤<0或x>4.

【点睛】

本题考查的是确定二次函数的表达式及二次函数的性质，掌握二次函数的对称性及增减性是关键.

22、(1)最多降价200元，才能使得利润不低于30%；(2)机的值为1

【分析】(1)设降价X元，才能使利润率不低于30%,根据售价-成本=利润，即可得出关于x的一元一次不等式,

解之即可得出机的取值范围，取其最大值即可得出结论；

(2)根据总利润=单套利润X销售数量，即可得出关于机的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】(1)设降价x元，根据题意得：

(6000x0.9—x)..4000(1+30%)

解得：用,200

答：最多降价200元，才能使得利润不低于30%.

(2)根据题意得：

[6000x(100+2机一12)%-150m-4000]x20x(I+g加%)=22400

整理得：3/w2-8m-640=0

解得：叫=16,=—1(舍去)

答：的值为1.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(D根据各数量间的关系，正确列出一

元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

23、(1)玉=1,々=一3；(2)xt=2,X2=^.

【分析】(1)方程变形后，利用因式分解法即可求解；

(2)方程变形后，利用因式分解法即可求解.

【详解】(1)方程变形得：/+2%一3=0,

分解因式得：(x-l)(x+3)=0,

即：工一1=0或尤+3=0,

:.X]=1，%2=—3；

(2)方程变形得：3x(x-2)-(％-2)=0,

分解因式得：(x-2)(3x-l)=0,

即：％—2=0或3%—1=0,

・・2，~~・

【点睛】

本题考査了一元二次方程的解法，灵活运用因式分解法是解决本题的关键.

24、(1)证明见解析；(2)①存在，矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为等；②与.

【解析】试题分析：(1)只要证到三个内角等于90。即可.

(2)①易证点D在。O上，根据圆周角定理可得NFCE=NFDE,从而证到△CFEs4DAB,根据相似三角形的性质

可得到S矩形ABCDUZSACFE^----.然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围.

4

②根据圆周角定理和矩形的性质可证到NGDC=NFDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的

起点与终点，求出该线段的长度即可.

试题解析：解：(1)证明：如图，

VCE为。O的直径，:.NCFE=NCGE=90。.

VEG±EF,.•.ZFEG=90°./.ZCFE=ZCGE=ZFEG=90°.

.••四边形EFCG是矩形.

(2)①存在.

如答图b连接OD,

V四边形ABCD是矩形，工ZA=ZADC=90°.

,点O是CE的中点，.，.OD=OC..,.点D在。O上.

S(rfV

VZFCE=ZFDE,NA=NCFE=90°,.,.△CFE^ADAB.A=——.

SADAB10A丿

VAD=1,AB=2,/.BD=5.

22

.c(CF?CCF-1..3CF.<_3CF

・・=,3A/)AR=------------------3*4=------・・・b矩形ABCD=2bACFE-------・

△CF£[DAJ皿816284

,四边形EFCG是矩形，；.FC〃EG./.ZFCE=ZCEG.

VZGDC=ZCEG,NFCE=NFDE,AZGDC=ZFDE.

VZFDE+ZCDB=90°,AZGDC+ZCDB=90°./.ZGDB=90°

I,当点E在点A(E，)处时，点F在点B(P)处，点G在点D(G，处，如答图1所示.

此时，CF=CB=1.

n.当点F在点D(F〃)处时，直径F〃G"丄BD,如答图2所示，此时。O与射线BD相切，CF=CD=2.

III.当CF丄BD时，CF最小，此时点F到达F"。如答图2所示.SABCD=JBC・CD=：BD・CF"，.

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；.1X2=5XCF”'・・・・C