2023-2024学年中考数学压轴题：二次函数的面积问题【含答案】

专题17二次函数的面积问题

【考点1］二次函数的线段最值问题

【例1】(2020•湖北荆门•中考真题)如图，抛物线=一?》一3与x轴正半轴交于点/,与y轴交

于点B.

(1)求直线A8的解析式及抛物线顶点坐标；

(2)如图1,点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点尸作PC_Lx轴，垂足为C,PC交AB

于点。，求P0+8D的最大值，并求出此时点尸的坐标；

1,5

(3)如图2,将抛物线£:y=—/-一x—3向右平移得到抛物线〃，直线Z8与抛物线”交于N两

"24

点，若点/是线段的中点，求抛物线£'的解析式.

(5

【答案】(1)直线48的解析式为^二^3^一3,抛物线顶点坐标为一1立211卜(2)当x13时，PD+BD

169/、12133

的最大值为二；；(3)y="x---x+—.

32242

【分析】

(1)先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线48的解析式为夕=丘+方，利用待定系数法求出

AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；

(2)过点D作DE_Ly轴于E,则DEHOA.求得AB=5,设点P的坐标为-—<x<4)

则点。的坐标为ED=x,证明ABOES△胡。，由相似三角形的性质求出jx,用含x

的式子表示PD,配方求得最大值，即可求得点P的坐标;

I|21

（3）设平移后抛物线£'的解析式丁=5（》-加）2-五，将U的解析式和直线AB联立，得到关于x的方

（3、25

程，设”（七,凹）,N（X2，%），则X”%是方程一-2[加+4卜+加2一元■=（）的两根，得到

西+马=2（加+1）,点4为的中点，芯+4=8,可求得m的值，即可求得口的函数解析式.

【详解】

（1）在y一*x-3中，

-24

153

令y=0,则-x~—x—3—0,解得X]=—,x—4,

2422

/.4（4,0）.

令x=0,则夕=一3,3（0,-3）.

k=)

4k+b=0

设直线的解析式为夕=6+6,则｛,、，解得：＜4,

b=-3

b=—3

3

二直线,8的解析式为八二一3.

•••抛物线顶点坐标为

(2)如图，过点D作DE，歹轴于E,则DE//OA.

*/OA—4,OB—3,

•#-AB=y]OA2+OB2=V42+32=5-

设点P的坐标为(x,e/——x—3^—<x<4^j,

则点D的坐标为卜，x-3),

ED=x.

DEHOA,

ABDES.BAO,

.BDED

--=-----，

BAOA

.BDx

♦♦一,——.—.，

54

BD——x.

4

Ii'：jPD=_x—3—\—x'—x—3|=—x~+lx,

4l24J2

/.PD+BD-——x2+2x+—x--—x2+—x=--fx-旦］+169

24242(4J32

V--<0,2Vx<4,由二次函数的性质可知:

24

当》=上时，尸。+8。的最大值为"2.

432

57

32

1io]

（3）设平移后抛物线£'的解析式丁=5口一加）2-五,

y=-x-3

4

联立1,1211

y=-（x-m）2-----

I232

3、1,、2⑵

••一x-3=-（x-HI）----，

4232

整理，得：x~—jx+nr-----0,

I4；16

（3、75

设M（XQJ,N（X2，%）,则占户2是方程一-2［加+^卜+/一记=0的两根，

/.七+》2=2（加+'）.

而“为脑V的中点，；.XI+X2=8，

2（机+1）=8,解得：m=^-.

1（n^21711q

抛物线〃的解析式y=-\x----=-x2-—x+~.

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键

是熟练掌握二次函数的图象和性质.

【变式J-1］（2020•前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中）如图，二次函数

y-x2+bx+c的图象交x轴于点4（-3,0）,5（1,0），交y轴于点C.点P（m,0）是x轴上的一动点，PM_Lx

轴，交直线ZC于点M,交抛物线于点N.

（1）求这个二次函数的表达式;

(2)①若点P仅在线段/。上运动，如图1.求线段的最大值；

②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形.若存在，

请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

9r-t-

2

【答案】⑴y=x+2x-3；(2)②存在，Qx(0,-3V2-1),(0,-1),(0,3V2-1)

【分析】

(1)把/(一3,0),5。,0)代入>；=/+/+。中求出13,£：的值即可；

(2)①由点P(〃7,O)得•A/(〃?,Tn-3),N(加,加2+2加-3),从而得MV=(-加-3)-(加？+2团一3),整

理，化为顶点式即可得到结论；

②分MN=MC和MC=®MN两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可.

【详解】

解：(1)把4—3,0),8(1,0)代入yuf+bx+c中，得

0=9一36+c,

<

0=1+x+c

•>*y—+2x—3.

(2)设直线/C的表达式为y=H+把4(一3,0),。(0,-3)代入y=+

0=—3k+b,k=-1,

得,解这个方程组,

—3=b.b=-3.

:・y——x—3.

二点尸(孙0)是x轴上的一动点,且轴.

.二-3),N(m,后+2加一3).

MN=(一加一3)—(川+2加一3)

=-m2-3m

(3丫9

I2J4

*.*<7=—1<0,

・・・此函数有最大值.

3

又・・,点P在线段。4上运动，且一3<一-<0

2

39

，当阳二一一时，MV有最大值一.

24

②・・•点P（九0）是x轴上的一动点，口.尸轴.

/.-3）,Nm2+2加-3）.

/.MN=（一加一3）-（加之+2加—3）=-m2-3m

（i）当以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC,如图,

・•・MC=J（阳一Op+（—加—3+3）2二

••—m2-3m=y12m2

整理得，/+6/7?3+7/=0

・・•加2。0，

m2+6加+7=0，

解得，mx=—3+5/2,m2=—3—V2

・••当加=-3+后时，CQ=MN=30—2,

A0Q=-3-(3底一2尸-36-1

•••Q(o.-3V2-I)；

当m=-3-V2时,CQ=MN=-38-2，

A0Q=-3-(-372-2)=372-1

•••Q(0.3V2-1)；

an若MC=8MN，如图，

**'H0，

,m2+6/〃+5=0，

解得，m[=-\,m2=-5

当m=-l时，MN=CQ=2,

・・・Q(0,-1),

当m=-5时，MN=-10V0(不符合实际，舍去)

综上所述，点Q的坐标为2/0,-372—1),4(0,-1)，。3(0,30-1)

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函

数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗

漏.

【变式J-2】如图1,已知抛物线y=-x2+mx+m-2的顶点为A,且经过点B（3,-3）.

（1）求顶点A的坐标

（2）若P是抛物线上且位于直线0B上方的一个动点，求AOPB的面积的最大值及比时点P的坐标;

（3）如图2,将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C,D两点,

请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；

（2）过点P作y轴的平行线交08与点°,求出直线BP的解析式，表示出点0的坐标，根据三角形的面

积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得尸点坐标；

（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与。/的解析式，可得C、。点的横坐标，根据勾股

定理，可得答案.

【详解】

解：（1）把B（3.-3）代入y=-x2+mx+m2得：-3=-32+3m+m2,

解得m=2,

y=-x2+2x=-（x+1）2+1,

.,.顶点A的坐标是（-1,1）；

（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q

,直线OB的解析式为y=-x,

故设P(n,-n2+2n),Q(n,-n),

/-PQ=-n2+2n-(-n)=-n2+3n,

.1z2q、3z3-27

••SQOPB=—(-rr+3n)=--(n--；

A2228

当n=J■时，SAOPB的最大值为

28

止匕时y=-n24-2n=—,

；.p(4-4)；

24

(3)•.•直线OA的解析式为y=x,

二可设新的抛物线解析式为y=-(x-a)2+a,

联立卜-(x-aV+a,

尸a

-(x-a)2+a=x,

/.xi=a,X2=a-1,

即C、D两点间的横坐标的差为1,

ACD=V2-

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一

次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.

【考点2］二次函数的面积定值问题

【例2】已知二次函数y=x?-2/MX+4/M-8.

（1）图象经过点（1,1）时，则〃?=；

（2）当x<2时，函数值y随x的增大而减小，求机的取值范围;

(3)以抛物线>=--2加x+4加-8的顶点/为一个顶点作该抛物线的内接正三角形/MV(M,N两点

在抛物线上)，请问：ZUMN的面积是与机无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)4；(2)m>2；(3)A4M7V的面积是与“无关的定值，S-AMN=3JL

【解析】

【分析】

(1)将点(1,1)代入二次函数解析式即可求出m：

(2)求出二次函数的对称轴为x=m,由抛物线的开H向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可求

出m的取值范围；

(3)在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到aAMN的面积是

与m无关的定值.

【详解】

解：(1)将点(1,1)代入y=x?-2加x+4加一8可得：1=1-2〃?+4?〃一8,

解得：m=4；

(2)二次函数卜=》2-2/nx+4加一8的对称轴是：x=m,

当x<2时、函数值y随x的增大而减小，

(3)A4MN的面积是与加无关的定值；

如图：顶点A的坐标为(m,-m2+4m-8),aAMN是抛物线的内接正三角形，MN交对称轴于点B,

AB_rr

tanZAMB=tan60°=---=A/3.

BM

.\AB=73BM=V3BN,

设BM=BN=a,则AB=JJa,

.•.点M的坐标为(m+a,-J3a-m2+4m-8),

•.•点M在抛物线上，

JJa-m2+4m-8=(m+a)2-2m(m+a)+4m-8,

整理得：a2~y/3a=0>

解得：a=百或a=0(舍去)，

AAAMN是边长为2Ji的正三角形，

AB=3,SAAMN=—x2^3x3=3A/3,与m无关.

2

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，

其中(3)问有一定难度，根据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键.

【变式2-1](2020•湖南九年级其他模拟)若抛物线/：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a#0)与直线/：y

=ax+6满足a2+〃=2a(2c-b),则称此直线/与该抛物线乙具有“支干”关系.此时，直线/叫做抛物线

L的''支线”，抛物线乙叫做直线/的“干线”.

(1)若直线y=x-2与抛物线'="2+金+0具有“支干”关系，求“干线”的最小值；

(2)若抛物线尸N+bx+c的“支线”与尸-”的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；

x

(3)已知“干线”Pna^+bx+c与它的“支线”交于点P,与它的“支线”的平行线/'：y=ax+4a+b交于

S

点/,B,记△/8P得面积为S,试问：)的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理

由.

311

【答案】（1）--：（2）y—--或、=——；（3）是定值，理由见解析.

4x9x

【分析】

（1）根据“支干”关系的定义，求出小仄。的值，利用配方法确定函数的最值.

y=x+b

（2）由题意。=1,1+加=2（2c-8）①，可得抛物线、=/+以+。的“支线”为y=x+6,由一士消去v

y=—

IX

得到x*12+34bx+4c=0,由抛物线y=x2+bx+c的“支线”与y=——

x

的图象只有一个交点，可知△=（）,得〃-16c=0②，由①②解方程组即可解决问题.

（3）小的值是定值.不妨设40,如图所示，尸加+瓜+。与它的，，支线，咬y轴于0,直线产ax+4〃+b

与歹轴交于点。，A（xi,yi）,B（必二），

y=ax+bx+ca-bc-4a-b

由<,消去y得至（b-a）x+c-4a-b=0,推出为+必=----，x\X2=----------,

y=ax4a+haa

推出团-X2|=J（X]+X,）2_4须入2=J（ab，-4匕-

Vaa

-2ab+b~-4〃。+16。2+4a6，把a2+〃=2〃（2c-b）代入上式化简卜一引=4，由N3〃PC,

可得S=SA〃8=SAC48=SAC06-—Ax\=—・|4a|・4=8・同，由此即可解决问题.

【详解】

解：(1)由题意a=l,b=-2»1斗(-2)』2(2c+2),解得c=—»

4

...抛物线的解析式为y=9-2x+-,

4

3

Vy=x2-2x+-

4

13

—=(x-1)2----,

44

•・Z=l>0,

3

.”=1时，y有最小值，最小值为・一.

4

(2)由题意a=l,1+〃=2(2c-6)①

・・・抛物线y=/+fcc+c的“支线”为y=x+b,

y=x-it-h

由，＜4?消，消去y得到x2-^bx+4c=0,

y=-

X

•抛物线》=<+瓜+C的“支线”与y=--的图象只有一个交点,

x

***△=0»

：.b2-16c=0②

121

由①②可得6=-2,c=—或6=—,c=—,

4336

・•・反比例函数的解析式为丁=-,或n=-

x9x

s

（3）同是定值.理由如下：

不妨设〃>0,如图所示，、=加+加;+《与它的“支线”交y轴于C,直线歹=ox+4〃+b与y轴交于点。，/（笛,

»|）,B（X2，/），

y=ax2+bx+c

由<得至I」ax2+(b-a)x+c-4a-6=0,

y=QX+4。+6

a-bc—4a—h(a-b)24(c-4a-b)

・・X1+X2=，X\X2=------------，\X\-X2\=

aaa

a2-2ab+b2-4ac+16a2+4ab

把必廿=2〃(2c-b)代入上式化简得到M-阅=4,

■:AB〃PC,

・PABCABDBCDA=9=9。卜•同，

:S=S^=S&=S«~S^*CD\BX~AX\\544=8

§S

，同=8,同的值是定值.

【点睛】

本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知

识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积.

【变式2-2】(2020•山东济南•中考真题)如图1,抛物线夕=-炉+bx+c过点/(-1,0),点、B(3,0)

与y轴交于点C.在x轴上有一动点0)(0<w<3),过点E作直线轴，交抛物线于点

(1)求抛物线的解析式及C点坐标；

(2)当机=1时，。是直线/上的点且在第一象限内，若△/CO是以为底角的等腰三角形，求点D

的坐标；

(3)如图2,连接8M并延长交y轴于点M连接4M,OM,设的面积为S,△MON的面积为S?,

若S=2S2,求机的值.

【答案】(1)y=—x2+2x+3,C(0,3)；⑵(1,1)或。，指卜(3)V7-2

【分析】

(1)用待定系数法即可求解；

(2)若△/CO是以为底角的等腰三角形，则可以分CD=4。或4C=4。两种情况，分别求解即可;

(3)S\=—AEy.y,2s2=ON・X”，即可求解.

2M

【详解】

I-l-b+c=O

解：（1）将点/、8的坐标代入抛物线表达式得〈c.LC

[-9+3b+c=0

b=2

解得《、，

c=3

故抛物线的表达式为y=-X2+2X+3,

当x=0时，y=3,故点C（0,3）：

（2）当m=l时，点E（1.0）,设点。的坐标为（1,a）,

由点/、C、。的坐标得，AC=J（0+1『+（3-0/二而

2

同理可得：AD=y/a+4.CQ=Jl+（a-3『,

①当时，即6+4=Jl+（a-3）2,解得。=1；

②当4c=力。时，同理可得。=±斯（舍去负侑）：

故点D的坐标为（1,1）或（1,、%）：

(3)'：E(w,0),则设点-m2+2m+3),

-m2+2m+3=sm+t

设直线8W的表达式为_y=sx+/,则

0=3s+t

1

s=----

m+1

解得：

3

t=——

m+1

13

故直线3W的表达式为y=-----x+——

m+1m+1

3

当x=0时，y=——,故点N(0,——),则ON=——；

m+1m+1m+1

Si=-xAEXy=-X(加+1)X(-"产+2加+3),

2M2

31

2

2s2=ON*XM=-------Xm=S\=­X(掰+1)X(-m+2m+3),

m+12

解得用=-2±Jf（舍去负值）,

经检验用=近-2是方程的根,

故机=J7-2.

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2),

要注意分类求解，避免遗漏.

【考点3］二次函数的面积最值问题

【例3】(2020•四川绵阳•中考真题)如图，抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D,直线AC与抛物线的

对称轴BD的交点为B(,0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的

横坐标为生8,四边形BDEF为平行四边形.

3

(1)求点F的坐标及抛物线的解析式;

(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当aPAB面积最大时，求点P的坐标及aPAB面积的

最大值；

(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点

的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标.

脩用图)

【答案】(1)(—V3,--)；y=_X2+2.^3X+1(2)(—VJ,—)；-—y/i

3361224

R(-—或Q(Ji，-10),R(与6,一日)

【分析】

(1)由待定系数法求出直线AB的解析式为y=-立x+1,求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出-

3

3a+l=—a-8a+l-(--求出a的值，则可得出答案；

33

(2)设P(n,-n2+2V3n+l),作PP'_Lx轴交AC于点P',则P，(n,-也n+1),得出PP，=-M+Zjin,

33

由二次函数的性质可得出答案：

7I-4

(3)联立直线AC和抛物线解析式求出C<-V3,--),设Q(JJ,m),分两种情况：①当AQ为对

角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可.

【详解】

解：(1)设抛物线的解析式为y=ax?+bx+c(a/0),

VA(0,1),B(50),

设直线AB的解析式为y=kx+m,

.V3k+m=0

••<，

m=1

［一也

解得J-3，

m=1

.•・直线AB的解析式为y=-3x+1,

3

丁点F的横坐标为生

3

F点纵坐标为-乂3*生叵+1=-—,

333

4I-1

F点的坐标为(—>/3,--

33

又・・•点A在抛物线上，

Ac=L

对称轴为：x=--=V3,

2a

；.b=-273a>

，解析式化为：y=ax?-2JJax+1,

•••四边形DBFE为平行四边形.

，BD=EF,

/--3a+l=—a-8a+l-(---),

33

解得a=-1,

，抛物线的解析式为y=-x?+2jix+l；

(2)设P(n,-/+2011+1),作PP'_Lx轴交AC于点P,

则P(n,-^^n+l),

3

当n=—时，AABP的面积最大为—,此时P(—Vs,—).

624612

"丁+1

(3)

y=-x2+2y/3x+l

7

Ax=O或x=—,

3

AC(-V3,--)

33

设Q(73•m),

①当AQ为对角线时，

47

.*•R(——7r3,mT—),

33

；1＜在抛物线丫=一0：—右)2+4匕

②当AR为对角线时，

R(—10>/3,m—7).

33

：R在抛物线y=—(x—JJy+4h,

m--=5/3—5/3J+4，

解得m=-10.

.r、10/T37

.»Q（5/3，-10）,R（—73,----）.

33

综上所述，—1），R（一§J^,--11或Q（y/3,-10）,R（与JJ,一子）.

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边

形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键.

【变式3-1】（2020•重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+bx+c与直线AB相

交于A,B两点,其中）（一3,-4）,5（0,-1）.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA,PB,求△PZ8面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=qx2+4x+q（q。0）,平移后的抛物线与原抛物

线相交于点C,点。为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点8,C,D,E

为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

27

【答案】(1)y=x2+4x-l；(2)△248面积最大值为——；(3)存在,

8

5](-1,2),与(_3,_4+厢,£3(-3,-4-^),E4(l,-3)

【分析】

(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

⑵设”8=依+6,求得解析式，过点P作x轴得垂线与宜线AB交于点F,设点产(凡二+4”1),则

船+|)々，即可求解;

(3)分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可.

【详解】

解：(1)•.•抛物线过/(-3,T),5(0,-1)

9—3b+c=—4

(2)设加=Ax+b,将点2(-3,-4)8(0,-1)代入乃B

•­yAB=x-i

过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F

设点尸(a,/+4a-l),则FQa-l)

由铅垂定理可得

S*AB=；1尸尸•园一北|

-^a-\-a2-4a+lj

=|(-。2-3。)

•'•面积最大值为—

8

(3)(3)抛物线的表达式为：y=x2+4x-l(x+2)2-5,

则平移后的抛物线表达式为：y=x2-5,

x=-l

联立上述两式并解得：｛，，故点C(,-4)：

y=-4

设点D(-2,m)、点E(s,t),而点B、C的坐标分别为(0,-1)、(-1,-4)；

①当BC为菱形的边时，

点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B,同样D(E)向右平移1个单位向上平移3个单位得到E

(D),

即-2+l=s且m+3=t①或-2T=s且m-3=t@,

当点D在E的下方时，则BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32@,

当点D在E的上方时，则BD=BC,即22+(m+1)2=12+32④,

联立①③并解得：s=-1,t=2或-4(舍去—4),故点E(―1»2)；

联立②④并解得：s=-3,t=-4土卡，故点E(-3,-4+76)或(-3,-4-76)；

②当BC为菱形的的对角线时，

则由中点公式得：-l=s-2且-4-1=m+t@,

此时,BD=BE,即22+(m+1)2=s2+(t+1)2@,

联立⑤⑥并解得：s—1,t——3,

故点E(1,-3),

综上，点E的坐标为：(7,2)或(-3,-4+痣)，或(-3,-4-#)或(1,-3).

二存在,E,(-l,2),G(-3，-4+厢，刍(-3,-4-病,司(1，-3)

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其

中(3),要注意分类求解，避免遗漏.

【变式3-2】(2020•江苏宿迁•中考真题)二次函数少=4/+袅+3的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)

两点，与y轴交于点C,顶点为E.

(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐

标；

(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP,取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当aCEQ

的面积为12时，求点P的坐标.

图①图②

【答案】(1)^=,——2X+3；(4,-1)；(2)(4,3+J^)或(4,3-729)；(3)(10,8)或(一6，24)

4

【分析】

(1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2,0)、B(6,0)两点，把A,B两点坐标代入y=a/+bx+3,计

算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标；

⑵由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD,设D(4,m),由勾股定理可得4z+(加-3)2=62+3?,解方

程可得出答案；

(3)设CQ交抛物线的对称轴于点M,设P(”,2〃+3),则Q(；〃，］/一2〃+|),设直线CQ

131111?

的解析式为JV=H+3,则一〃2〃H—=—nk+3,解得上=—n—2—，求出M(4,n—5----),

8224nn

12

ME=〃-4一一，由面积公式可求出n的值，则可得出答案.

n

【详解】

(1)将A(2,0),B(6,0)代入y=ax2+bx+3,

4a+2b+3=0

得《，

36a+66+3=0

解得《“一一履

b=—2

1,

...二次函数的解析式为y=-2x+3；

ii,

■：y=-x2-2x+3=-(x-4Y,

44V)

，E(4,-1)；

⑵如图1,图2,连接CB,CD,由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB二CD,

图1图2

设D(4,m),

当x=0时，y=-x2-2x+3-3,

4

.♦.C(0,3),

VCD2=CB2,由勾股定理可得：

42+(/M-3)2=62+32，

解得m=3土回，

,满足条件的点D的坐标为(4,3+J而)或(4,3-729)；

⑶如图3,设CQ交抛物线的对称轴于点M,

图3

设P(〃，—n2-2»+3),则Q(^w,-n2-n+—'),

4282

i3i

设直线CQ的解析式为歹=丘+3,则一〃2一〃+一=一〃左+3,

822

13

解得后=一〃一2——,

4n

于是直线CQ的解析式为：歹=(；〃-2—jx+3,

71c3)、「12

当x=4时，y=4|一〃-2——|+3="-5,

\4n)n

M(4，n-5----),ME=n-5-----bl=〃-4----,

nnn

SACQE=SACEM+SAQEM=-ME-Xp=—«—4----x—«=12,

22vnJ2

n~-4/7-60=0-

解得〃=10或N=-6,

当〃=10时，P(10,8),

当〃=-6时，P(-6.24).

综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10,8)或(-6,24).

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，二角

形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键.

【考点4］二次函教面积的其它问题

【例4】(2020•辽宁鞍山•中考真题)在矩形4SCZ)中，点E是射线3c上一动点，连接ZE,过点5作

BFLAE于点G,交直线CD于点凡

(1)当矩形力38是正方形时，以点尸为直角顶点在正方形力BCD的外部作等腰直角三角形CEH,连

接EH.

①如图1,若点E在线段8C上，则线段ZE与E"之间的数量关系是，位置关系是：

②如图2,若点E在线段8c的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请

说明理由；

(2)如图3,若点E在线段5c上，以BE和BF为邻边作口BEHF,M是8〃中点，连接G",AB=3,

BC=2,求GM的最小值.

【答案】(1)①相等；垂直；②成立，理由见解析；(2)Ml

13

【分析】

(1)①证明aABE丝Z\BCF,得到BE=CF,AE=BF,再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果;

②根据(1)中同样的证明方法求证即可；

(2)说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x,证明△ABES/\BCF,

得到CF,再利用勾股定理表示出EF=^X2-4X+4，求出最值即可得到GM的最小值.

【详解】

解：(1)①•.•四边形ABCD为正方形，

，AB=BC,ZABC=ZBCD=90°,即/BAE+NAEB=90°,

VAE±BF,

AZCBF+ZAEB=90°,

.".ZCBF=ZBAE,又AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

.,.△ABE^ABCF(AAS),

；.BE=CF,AE=BF,

VAFCH为等腰直角三角形，

r.FC=FH=BE,FH±FC,而CD_LBC,

，FH〃BC,

四边形BEHF为平行四边形，

，BF〃EHA.BF=EH,

；.AE=EH,AE1EH,

故答案为：相等；垂直；

②成立，理由是：

当点E在线段BC的延长线上时，

同理uj■得：AABE^ABCF(AAS),

，BE=CF,AE=BF,

•••△FCH为等腰直角三角形，

，FC=FH=BE,FHLFC,而CD_LBC,

，FH〃BC,

...四边形BEHF为平行四边形,

.♦.BF〃EH且BF=EH,

AAE=EH,AE1EH；

(2)VZEGF=ZBCD=90°，

；.C、E、G、F四点共圆,

♦.,四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点,

也是EF中点,

AM是四边形BCHF外接圆圆心,

则GM的最小值为圆M半径的最小值,

VAB=3,BC=2,

设BE=x,贝lJCE=2-x,

同（1）可得：ZCBF=ZBAE,

又；NABE=NBCF=90°,

.".△ABE^ABCF,

.ABBE3x

---=----,即p1n一=----，

BCCF2CF

2x

・・・CF=—，

3

AEF=7C£2+CF2

2x

(2-X)2+

@--4x+4,

9

设y=-X2-4x+4,

9

当乂=电时，y取最小值”,

1313

.♦.EF的最小值为生叵,

13

故GM的最小值为冬叵.

13

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，

圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键.

【变式4-1】(2020•湖北中考真题)已知抛物线y=&.1：-2a1+。过点4(一：1,0万口。0,3),与x轴交于另一

点B,顶点为D.

(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

(2)如图1,E为线段BC上方的抛物线上一点，FF1SC,垂足为F,E.V1*轴，垂足为M,交BC于点G.当

BG=CF时，求AEFG的面积;

(3)如图2,4c与BD的延长线交于点H,在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使40P3=""B?若存

在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

IX

ykH

D

D

E

G

A

A/OMB->

XA/Ox

图

1图2

【答案】(I)y=-必+