2023-2024学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）月考数学试卷

（9月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个

体a”第一次被抽到”的可能性，”第二次被抽到”的可能性分别是（）

AJ__LA11AAA

,io'ioR,io'5r0+I。Dn-io'10

2.已知阳，方，可为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）

A.a+K>b+c>a—c

B.a+2b^b,a+c

C.2a+K.b+2c，a+b+c

D.a+c,b+2a>b-2c

3.己知两个向量己=（2,—1,3）,石=（4,犯〃），且8//石，则爪+n的值为（）

A.1B.2C.4D.8

4.已知向量3=（2C,0,2）,向量G=go,?），则向量力在向量至上的投影向量为（）

A.（73,0,3）B.（-/3,0,1）C.（1,0,AT3）D.G，O,?）

5.如图，元件4。=1,234）通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立，则

电流能在“，N之间通过的概率是（）

A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891

6.同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件4="点数之和为7"，事件B="点数之和

为3的倍数”，则（）

A.A+B为不可能事件B.4与B为互斥事件

C.4B为必然事件D.4与B为对立事件

7.袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1,2,3,4,从中有放回的

随机取两次，每次取1个球，4表示事件“第一次取出的球上数字是1"，B表示事件“第二次

取出的球上数字是2"，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5"，。表示事件“两次取出

的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出（）

A.B与。相互独立B.4与。相互独立C.B与C相互独立D.C与。相互独立

8.在边长为1的菱形4BC。中，/.ABC=60°,将△EMC沿对角线AC折起得三棱锥。一48c.当

三棱锥体积最大时，此三棱锥ABC的外接球的表面积为（）

A.57rB.4?rC.乎D.

36

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是（）

A.若空间中的0,A,B,C满足次=：用+|而，则A,B,C三点共线

B.空间中三个向量五，K，c,若五〃方，则落b，下共面

C.对空间任意一点。和不共线的三点4B,C,若而=2瓦？+2022南一2023元，则P，

A,B,C四点共面

D.设砥，瓦可是空间的一组基，若记=方+3,n=a-b，则｛布,有1｝不能为空间的一组基

10.己知空间向量隹=（一1,2,4）,元=（2,-4/）,则下列选项中正确的是（）

A.当沅1元时，x=3B.当记〃元时，x=-8

C.当|记+记|时，x=-4D.当％=1时，sin（rn,n）=

11.如图，正方体ABCD-ABiCiDi的棱长为2,点。为底面D,______________C,

ABCD的中心，点P为侧面BBiGC内（不含边界）的动点，则（）/

A.1ACAT-

B.存在一点P,使得。iO〃B】P；\p

C.三棱锥4-OiDP的体积为g/1一--J]

D.若5O1PO,则△6£＞小面积的最小值为誓“B

12.已知长方体力BCD—4B1GD1的棱ZB=4D=2,

AAt=1,点P满足：AP=AAB+HAD+YAAI'，、"、/€

[0,1],下列结论正确的是（）

A

A.当;1=1,y=0时，P到45的距离为C

B.当〃=1时，点P到平面BOD/i的距离的最大值为1

C.当；I=0,〃=1时，直线PB与平面4BCD所成角的正切值的最大值为?

D.当；1=4=1,丫=，时，四棱锥P—BBiOD］外接球的表面积为甯

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知2,B,C三点不共线，0是平面ABC外的任意一点，若点P在平面4BC内，且赤=

^OA+^OB+mOC,则实数m=

14.如图，在二面角a中，力Gl,BeI,AC^a,BDa/3

且AC1AB,BD14B,垂足分别为4B,已知4c=AB=BD=

6,CD=12,则二面角a-1一夕所成平面角为.

15.如图，在三棱锥P-ABC中，AB1BC,PA1平面ZBC,AE1

PB于点E,M是4c的中点，PB=1,则前.西的最小值为

16.中国古代数学经典仇章算术》系统地总结了战国、秦、

汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面

垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥

称之为鳖席，如图为一个阳马与一个鳖牖的组合体，已知PA1

平面4BCE,四边形4BCD为正方形，AD=<5.ED=，？，

若鳖膈P-ADE的外接球的体积为9/1兀，则阳马P-ABCD

的外接球的表面积等于

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

在△ABC中，内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足a+c=伏，百$讥4+cosA）.

⑴求B；

(2)若b=3,且△ABC的面积为「，BC是AABC的中线，求BD的长.

18.(本小题12.0分)

某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人

举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高

的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：［20,25),第二组：［25,30),第三组：［30,35),第

四组：［35,40),第五组：［40,45］,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；

(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和|,第五组宣传使者的年龄的平均数

与方差分别为43和1,求这20人中35〜45岁所有人的年龄的方差.

19.(本小题12.0分)

为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学

答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中每人各题答题结果

互不影响，己知每题甲、乙两人同时答对的概率为:、恰有一人答对的概率为保

⑴求p和q的值；

(2)求甲、乙两人共答3对道题的概率.

20.(本小题12.0分)

我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式.其中“3”指的是语文、数

学、外语三科为必选科目，“1”指的是考生在物理、历史2门首选科目中选择1门，“2”指

的是考生在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中选择2门.已知福建医科大学临床医

学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学生物至少1门.

(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要

求的概率；

(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意一个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选

科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.

21.(本小题12.0分)

如图，已知四棱锥P-4BC0,底面4BCD为菱形，PA1平面4BC0,AABC=60°,E,尸分别

是BC,PC的中点.

(1)证明：AE1PD；

(2)若“为PO上的动点，与平面P4Z)所成最大角的正弦值为?，求二面角E-4F-C的余

弦值.

22.(本小题12.0分)

如图，在矩形4BCD中，AB=1,BC=C，M是线段40上的一动点，将△4BM沿着BM折

起，使点4到达点A的位置，满足点4任平面BCDM且点4'在平面BCDM内的射影E落在线段BC

上.

(1)当点M与端点。重合时，证明：4B1平面4CD；

(2)求三棱锥E-ABM的体积的最大值；

(3)设直线CD与平面4BM所成的角为a,二面角4一BM-C的平面角为£、求sin2a•cos/?的

最大值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，

•••总体容量为10,

故个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为白，

故选：A.

在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，结合已知中的总体容量，可得答案.

本题考查的知识点是简单随机抽样，正确理解简单随机抽样中的等可能性，是解答的关键.

2.【答案】B

【解析】解：对于4CD,「^+3=（石+2）+0—？），苍+石+不=*2五+区）+*方+20方+下=

i（K+2a）-1（K-2c）,

.•.4,C,。中的向量共面，不能作为空间的基底，

对于B,假设五+2a石,有一力共面，

则存在4,〃使得日+23=4另+〃（五-?），

p=1

2=2,无解，

-H=0

.-.a+26.K.五―芸不共面，可以作为空间的一组基底.

故选:B.

根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解.

本题考查了向量基底定义的理解与应用，以及空间向量共面定理的运用，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了空间向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

由方〃石，则存在实数A使得五=人石，建立方程组即可得出.

【解答】

解：•.,五〃石，

存在实数k使得五=上方，

2=4k

:，—1=km,

3=kn

解得k=m=—2,n=6,

则?n+n=4.

故选c.

4.【答案】A

【解析】解：由于向量方=(2，^,0,2),向量B=©,0,?)，

则向量五在向量石上的投影向量为：篙击='3；'3彳=<3,0,3),

故选：A.

根据投影向量的定义计算即可.

本题考查投影向量的定义，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关

系，属于中档题.

求出电流不能通过①、&,且也不能通过/的概率，用1减去此概率，即得电流能通过系统公、&、

&的概率.再根据电流能通过人的概率为09,利用相互独立事件的概率乘法公式求得电流能在用,

N之间通过的概率.

【解答】

解：电流能通过&、A2,的概率为0.9X0.9=0.81,电流能通过/的概率为09

故电流不能通过入、A2,且也不能通过小的概率为(1-0.81)(1-0.9)=0.019,

故电流能通过系统公、①、4的概率为1一0Q19=0.981,

而电流能通过4的概率为0・9，

故电流能在M,N之间通过的概率是(1-0.019)X0.9=0.8829,

故选8.

6.【答案】B

【解析】解：同时抛掷两颗骰子，有36个结果，

事件4=''点数之和为7"，包括：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

事件B="点数之和为3的倍数”，包括：(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),

故A+B为“点数之和为7或3的倍数”，不是不可能事件，故A错误，

4与8为互斥事件，故B正确，

4B为不可能事件，故C错误，

事件A,B不能包含全部基本事件，即4与B不是对立事件，故。错误.

故选：B.

先分析事件力，B的构成，再结合不可能事件，互斥事件，必然事件，对立事件的定义，即可求解.

本题主要考查不可能事件，互斥事件，必然事件，对立事件的定义，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意得,P⑷=；,P(B)=2,P(C)=^=；,P(D)=:=4,

对于4,P(BD)=^KP(B)xP(D),则B与。不相互独立，4错；

对于B,P(/W)=0HP(4)xP(。)，则4与。不相互独立，B错；

对于C,P(BC)=2=P(B)xP(C),则8与C相互独立，C对；

对于。，P(CD)=04P(C)xP(C),则C与。不相互独立，。错.

故选：C.

根据独立事件的概念分别判断即可求解.

本题考查相互独立事件的判断方法和概率的求法，是基础题.

8.【答案】C

【解析】解：如图所示，

当平面ABC1平面D4C时，三棱锥体积最大，

取4c中点E,连接BE,DE,由条件知BEJ.DE,

设。1，。2分别为AABC,A/IOC的外心，过01作平面4BC的垂线m,过。2作平面ADC的垂线n,

则m,n的交点即为三棱锥D-ABC外接球的球心。；002=O^E=\BE=三，D02=IDE=

3633

所以。。=J(詈)2+(¥)2=J卷，

所以，表面积为4n••(J^)2=|兀.

故选：C.

体积最大时，即两个面垂直时，然后利用几何关系找到外接球圆心即可.

本题考查空间几何体的表面积的求法，考查运算求解能力，属中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：对于4根据向量的线性运算，若空间中的0,A,B,C满足元=力瓦5+|丽，则4

B,C三点共线，故A正确，

对于B,因为五〃武则区3共线，则根据共面向量的定义可得，落a3共面，故B正确，

对于C,对空间任意一点。和不共线的三点4B,C,^0P=20/1+2022OF-20230C.又2+

2022-2023=1,则C正确，

对于。，因为^与五+反4-石不共面，所以｛沅，元，可能为空间的一组基底，故。错误，

故选：ABC.

根据向量的线性运算可判断4根据向量的共面定理可判断BCD.

本题考查向量的线性运算以及向量的共面定理，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解：若记，元，-1x2+2x(-4)+4%=0,x=|,

若沅〃记，(―1,2,4)=2(2,—4,%),.,・%=-8,

若|记+利=vm4-n=(1,-2,4+%),|m+n|=J1?+(-2)2+(4+%)?=V-5,AX=

—4,

当x=l时，sin＜乱元＞=JT^^尸写'

故选：BCD.

利用空间向量的运算公式，即可解出.

本题考查了空间向量的应用，学生的数学运算能力，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于4连接A。1，CD.,由正方体的性质得△AC/是等边三角形,

•••。为底面ABC。的中心，故为AC中点，故AClDi。，故A正确；

对于B,将50进行平移到过为点，使之与B]P具有公共顶点，

根据立体图象判断，无论如何也不可能满足当“平行或重合于BiP,

二£>1。不可能平行于Bi”，故B错误；

对于C,由平面〃平面4。。涕1，

得三棱锥力-DiCP的体积为：

KA-DIDP=^C-ADD1=WXSA4D£)IXDC——X—X2X2X2=故C正确;

如图，当点P在C处时，Dx01OC,当点P在B1B的中点Pl时，

OPl=(<7)2+M=3,

D^2=(\T2)2+22=6.=(2\T7)2+F=9,

OP：+5。2=%P3

。1。10P「

•.•OP1COC=。，二。1。1_平面OP1C,.•.点P的轨迹是线段RC,

•••DiGJ_平面PiGC,.•.△DiGP面积最小时，cxpipxc,

-

「C]CxBC44A/51

此时C】Pn=一行=行宰=亍，SADgp=：x2xA^=A警，故。正确•

故选：ACD.

对于4,连接CD1，由为等边三角形进行判断求解；对于8,将D1。进行平移到过当点，

使之具有公共顶点，根据立体图象判断，无论如何都不可能满足DiO〃B]P；由平面BBiGC〃平

面得三棱锥4-D】DP的体积为以“MP=皿，由此判断求解；对于。，取中点

Pi，根据劣。1OP1,转化为为。，平面OP]C,得到点P的轨迹是线段AC,由^DiGP最小时，CiP1

PiC,由此能求出结果.

本题考查正方体结构特征、平行公理、等体积法、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题.

12.【答案】CD

【解析】解：4AP=AB+nAD=AB+nBC，HG[0,1],

.••点P在BC上，•••4DJ/BC,：.P到力Wi的距离为=V22+*=故4错误.

B.当4=1时，AP=AAB+AD+YAA1=AD+ADC+Y^D\<心丫€[0,1]）叩存一而=4而+

y西，即而=4荏+y西，九[0,1],

.••点P在平面CDCiG上，

则当P位于CG上，P到平面BDDiBi的距离的最大，此时的最大值为C。=「，故8错误.

C.当2=0,”=1时，而=而+丫西，

即而一而=而=y可，

则P位于线段上，当P位于5时，直线PB与平面ABCD所成角的正切值最大,

此时tanND$D=需=余=?，即正切值最大为?，故C正确，

DUZvL44

D当;1=〃=1,丫=机寸，存=南+万+3西=前+；西，即P是CG中点,

Di

则PB=PB1=J4+[=昼,

则四棱锥P-BBiODi外接球的球心在P与中点M的连线上，且过长方形BBiOD]的对角线的交

点。1，

•••BD]=JBD2+DD：=3，则/。1=P0]=PB1-=J卜;=C，

设球心为0,球半径为R,

则。1。2+0]庭=0B/,即(/?一。)2+\=/?2,

得R=W，则外接球的表面积s=4兀/?2=4兀X(翡)2=要，故。正确.

故选：CD.

根据向量共线关系，确定点P的位置，根据点到直线的距离，点到平面的距离以及线面角，球的

表面积公式分别进行判断即可.

本题主要考查空间点线面位置关系的判断，根据条件确定P的位置关系，利用距离公式，线面角

的定义以及球半径的求法进行计算是解决本题的关键，是中档题.

13.【答案】1

【解析】解：法一：因为点P在平面4BC内，点。在平面4BC外，

所以由共面向量基本定理知，|+1+m=1,解得爪=奈

法二：因为m市+，而+m灵，

所以m=OA+^(OB-OA)+m(0C-0A)+(^+m-^)0A=0A+^AB+mAC+(m-

金加

所以赤-0A=|荏+mAC+(m-^)0A,即Q=|荏+mAC+(m--^)0A,

因为点P在平面ABC内，

所以由平面向量基本定理知，m—卷=0,即m=余

故答案为：

法一：由共面向量基本定理知，|+|+m=1,解之即可；

法二：根据向量的线性运算，把已知条件变形拼凑成荏=乂而+丫前的形式，再由平面向量基

本定理，得解.

本题考查空间向量的基本定理，熟练掌握空间向量的线性运算，共面向量定理是解题的关键，考

查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

14.【答案】120°

【解析】解：设二面角a-l-。的大小为0,且4C_U,BD11,

所以<前，BD>=。，

所以CD=(-AC+AB+BD)2=AC+48+BD-2AC-AB+2AB-BD-2AC-BD

=62+624-62-04-0—2x6x6xcosd=144,

-i

所以cos。=-

所以0=120°.

故答案为:120°.

设二面角a一1一0的大小为。，且AC11,BD1则<而，前>=。,而2=(_尼+南+前¥=

144,进而可得答案.

本题考查二面角，解题关键是向量法的应用，属于中档题.

15.【答案】二

O

【解析】解；因为P4_L平面ABC,BCu平面ABC,所以241BC,

V.AB1BC,Pan4B=A,PA,ABu平面P4B,

所以8CJL平面PAB,

因为力Eu平面PAB,所以BC_L4E,

因为AE1PB,BCCPB=B,BC,PBu平面PBC,

所以AE1平面PBC,所以4E1EC,

因为M为AC的中点，所以EM=g4C=BM,即ABME是等腰三角形，

所以前•前=\EP\-\EM\COS£.PEM=|并|•(一|前|)=一;EP•(1-EP)2

(EP+1-EP)2__1(

4-

当且仅当EP=1-EP,即EP=g时取等号,

所以前•丽的最小值为一：.

O

故答案为：-J.

O

易证BCJ■平面PAB,从而知BC1AE,结合AEJ.PB,可得4E_L平面PBC,有4E1EC,利用直

角三角形的性质，可推出是等腰三角形，再根据平面向量数量积的几何意义与基本不等式,

得解.

本题考查立体几何与平面向量的综合，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，平面向量数量

积的几何意义，以及基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

16.【答案】2071

【解析】解：鳖腌P—40E可以看成如图所示的长方体的一部

分：则长方体的外接球即为整

螭P—4DE的外接球，又,••鳖膈P-4DE的外接

球的体积为9，攵兀，

鳖腌P-ADE的外接球的半径R=

3s

-----,

2

•••ED2+AD2+PA2=等，二

PA=<10-

阳马P-ABC。可以看成如图所示的长方体的一部分:

则长方体的外接球即为阳马P-力BCO的外接球，

阳马P-4BCO的外接球的半径R，二AD2+CD2+PA2=

二阳马P-4BC。的外接球的表面积为47rx5=20兀，

故答案为：207r.

先把鳖膈P—ADE补成一个长方体，由已知条件即可求出P4的长，再把阳马P-4BCD补成一个长

方体，则长方体的外接球即为阳马P-4BCD的外接球，求出阳马P-4BC。的外接球的半径，从

而求出阳马P-/BCD的外接球的表面积.

本题主要考查了三棱锥与四棱锥的外接球，是中档题.

17.【答案】解：(1)因为Q+c=几4+cos4)，

由正弦定理可得sin/+sinC=sinBf^T^sinA+cos/),

即sinA+sin(/l+8)=sinB(y/~~3sinA+cosA),

^VsinA+sinAcosB=\T3sinAsinB

又因为sin4>0,所以I5sinB—cosB=1,所以sin(B—^)=

又因为B£(0,7T),所以B—看E(—宗)，

所以8V=3所以

oo3

(2)因为S“8C=所以gacsinB=V"号得QC=4,

由余弦定理得：a2+c2=624-2accosB=13.

又前="画+硝,

所以|前|2=,(%?+元)2=[(c2+Q2+2QCCOSB)=[,

得।前|=子，故3。的长为子.

【解析】(1)根据正弦定理、辅助角公式等知识化简已知条件，从而求得从

(2)利用三角形ABC的面积求得ac,结合余弦定理、向量的模、数量积等知识求得BD的长.

本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解:(1)设这案人的平均年龄为3

25+30八”,八八，，40+45

则土=(失交X0.01+x0c.c07r+,-30+--35X0.06+-35+--40X0.04+x0.02)x5=32.25,

22

设第80百分位数为a,由5x0.02+(40—a)x0.04=0.2,解得a=37.5；

(2)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为五，云，

方差分别为s；,s£,则*4=37，x5=43>s&=|,sj=1>

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为3,方差为S2.

则5=4和产$=39,s2=-4x底+(%4—z)2]+2x(%5-Z)2])=10,

6。

因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10,

据此，可估计这20人中年龄在35-45岁的所有人的年龄方差为10.

【解析】(1)由平均值的求法可得平均数；

(2)由题意可得第四组，第五组的平均数及方差，可得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数

为3,方差为s2的值.

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

19.【答案】解：(1)设4=”甲同学答对第一题"，B="乙同学答对第一题”,P(A)=p,P(B)=q.

设。=“AnB",0=(AnB)u(4n

因为甲乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

所以4与B相互独立，4nB与4nB互斥，

所以P(C)=PQ4nB)=P(A)P(B)=pq=~,p(0)=p.n5)+P(An5)=P(A)(1-P(B))+

(1-P⑷)P(B)=p(l-Q)+(1-p)q=去

(pq=2(p=3

即p+—pq*解得：q/

lp>qI3

(2)设4="甲同学答对了谴题"，Bi="乙同学答对了谴题"，i=0,1,2.P(ai)=,x*+

、、、

3X1=3Pn/d339n/c21124224

448'^2)=4X-=-,P(B1)=-X-+-X-=--P(B2)=-X-=~,

设£="甲、乙两大共答对3道题"，E=A1B2UA2B1,

所以P(E)=PGM?)+=那+白><(=得・

【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式列式求解即可；

(2)分别求得甲2道、乙1道，甲1道，乙两道的概率，再求和即可.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运

用.

20.【答案】解：(1)用a,b分别表示“选择物理”，“选择历史”，

用c,d,e,f分别表示“选择化学”，“选择生物”，“选择政治”，“选择地理”，

则所有选科组合的样本空间为：

C=[acd,ace,acf,ade,adf,aef,bed,bee,bef,bde,bdf,be/},

An(/2)=12,

设”=“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要

求”，

则M={acd,ace,acf,ade,adf},

・•・n(M)=5,

二该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率P(“)=粽=得.

(2)设甲、乙、丙每人选择的组合符合福建医科大学临床类招生选科要求分别是事件M，N2,N3,

由题意知事件NI，N2,N3相互独立，

由(1)知P(M)=P(W)=P(M)=

记％="甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，

则N=MN2N3U凶限=UN1N2N3,

••,事件N1N2N3，MN2N3N1N2N3两两互斥，

・•・根据互斥事件概率加法公式得：

P(N)=P(MN2M)+PNN2N3)+P(N/2N3)

555555555

12X(1-12)X(1-12)+(1-12)XT2X(1-12)+(1-12)X(1-T2)X12

245

576

【解析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、互斥事件概率加法公式等基础知识，考

查运算求解能力，属于基础题.

(1)用a,b分别表示“选择物理”，“选择历史”，用c,d,e,/分别表示“选择化学”，“选

择生物”，“选择政治”，“选择地理”，利用列举法能求出该选科组合符合福建医科大学临床

医学类招生选科要求的概率.

(2)设甲、乙、丙每人选择的组合符合福建医科大学临床类招生选科要求分别是事件N1，N2,N3,

由题意知事件NI，N2,N3相互独立，P(NI)=P(N2)=P(N3)=5记N="甲、乙、丙三人中恰

好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则N=N,N2N3UN,N2N3U

欣其心，根据互斥事件概率加法公式能求出所求概率-

21.【答案】证明：(1)由四边形4BC。为菱形，乙4BC=60。，可得AABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以4EJ.BC

5LBC//AD,因此AE_LAD

因为PA1平面ABC。，4Eu平面ZBCD,所以P414E

而PAu平面P/W,ADu平面P/W且P4n/W=A

所以4E1平面PAD.又P。u平面240

所以4E_LPD.(3分)

解：(2)设4B=2,H为PD上任意一点,连接力H,EH.

由(1)知AE_L平面PAD

所以ZEH4为E”与平面P40所成的角

在Rt^EAH中，AE=\/~3,

所以当4"最短时，4E/M最大，即当AH1PC时，4EH4最大.

因为sin/E/M=此时tanZ_E/M=第=-rr-

5AHAH2

因此4H=p：又AD=2,所以乙4DH=45°,所以24=2.(5分)

解法一：因为P4平面4BCD,24u平面P4C

所以平面PAC平面4BCD

过E作E。14c于。，则E。，平面P4C

过。作OS_L”于S,连接ES,则“S。为二面角E—AF-C的平面角，(7分)

在Rt△40E中，E0=AE-sin30°=?，AO=AE-cos300=|

Z4

又F是PC的中点，在HM4S0中,S050"45。=学

又SE=VEO2+SO2=V-30

4

3>n.—

在Rt△ES。中，cos/ESO=胃=舌=甘，（9分）

-4~

即所求二面角的余弦值为qia。分)

解法二：由(1)知AE,AD,4P两两垂直，

以4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

又E,F分别为BC,PC的中点，

所以4(0,0,0),8(口-1,0),C(/3,1,0),D(0,2,0)P(0,0,2),E(C,0,0),1)

所以荏=(「,0,0),酢=(?[/)

设平面4EF的一法向量为m=（%i，yi，zi）

则卜•亚=0因此度

(?n•AF=0(―Xj+-y1+Zi=0

取Z]=-1,则m=(0,2,-1),(7分)

因为BD1PAfPAQAC=A,所以BD_L平面

AFC

故前为平面4FC的一法向量，又前=(一，？,3,0)

所以侬＜犯前"后=品=萼.（9分）

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为（1。分）

解法三：建立如图所示的空间直角坐标系,

设菱形4BC。的边长为2,贝以(0,0,0),E(C,0,0),D(0,2,0),C(q,1,0),

设P(0,0,t)(t>0)

由P,",。三点共线可设而=4前(OS2S1),则H(0,2—24"t),(4分)

EH=(-<3,2-2A,At),又平面PAD的一个法向量亢=(1,0,0)

设EH与平面P4D所成角为6,则=|cos<EH,n>\=J(rt2+'4(A-l)厂z+3一十分)7

令g(a)="严+4(2-1)2+3=(4+t2)A2-8A4-7(0<2<1)

•••当4=提€[OH时,gO)min=4詈«>°)(6分)

•••(smo)s=产=?，解得t=2,即P(0,0,2),则1)

J7正+12,(7分)

AE=(<3,0,0),^F=(?弓,1),亚=(「,1,0)，

设平面4EF的法向量而=(x,y,z),

阿,荏=Cx=0

则｛――><31，取y=2,得元=(0,2,—1),

2•AF=—X+-y+z=0

设平面4FC的一个法向量荻=(见仇c),

(nJ•AC=y/~3a4-6=0

则一个ik八，取。=1，得五=(1,一二,0)-(8分)

n-AF=-z-a+-b+c=0

、《222

•."。$<汨，而>=篇=一?，(9分)

又：二面角E-AF-C是锐二面角

••・二面角E-AF-C的余弦值为