江西省新余市实验中学2023-2024学年高二年级上册12月月考试数学试卷

2023年12月6日高中数学练习

12月6日

学校:姓名:____班级:考号:

一、单选题

1.若平面a的一个法向量为%=（—3,y,2）,平面夕的一个法向量为4=（6,-2,z）,且a〃夕，则y+z的

值是（

A.-3B.-4C.3D.4

r22

2.设P是椭圆工+台=1上一点，P到两焦点的，鸟的距离之差为2,贝片工是（

16

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

22

3.已知双曲线c：二—==1（。〉0/〉0）的两个顶点为4,4,双曲线c上任意一点p（与4,4不重合）

ab

都满足利时的斜率之积为9则双曲线。的离心率为（

934J5

A.-B.-C.-D.以

4232

4.直线/:'=左1一0）与曲线/—丁=i（x〉0）相交于A、B两点，则直线/倾斜角的取值范围是（）

7T7T713»c万万71n3万

B.c。万卜丁D.

万2J,T

5.三棱柱ABC—。防中，G为棱的中点，若BA=a,BC=b,BD=。,则CG=（）

A.—〃+/?一。B.——a+b+c

111-71一

C.—uH—7bcD.la—b-\—c

2222

6.在正方体ABC。—A4G。中，",乂?。分别为。2,4。,。。1，£。的中点，则异面直线"N与p。

所成的角大小等于（）

A.60B.45C.30D.90

7.已知椭圆二+与=1的左顶点为A，右焦点为歹2,过右焦点作X轴垂线交椭圆于民C两点，连结30并

ab

延长交AC于点M，若河为AC的中点，则椭圆的离心率为（）

A.-B.正C.-D.立

2232

8.已知是圆G：x2+V=l上的动点，48=6,P是圆。2：（%-3）2+"-4>=1上的动点，则

|PA+P@的取值范围为（）

"713"1

A.B.[3,6]C.[7,13]D,[6,12]

二、多选题

9.已知空间向量”1,1）,>=（3,4,5）,则下列结论正确的是（）

A.（2a+Z?）//a

B.5a卜向b

C.a_L（5a+6b）

（321、

D.d在方上的投影向量为[一记，一寸一万J

10.如图，在棱长均相等的正四棱锥尸-A5CD中，M、N分别为侧棱PA、网的中点，。是底面四边形

ABCD对角线的交点，下列结论正确的有（）

A.PC//平面OMNB.平面PCD//平面OMN

C.OM±PAD.PDJ_平面OAW

11.以下四个命题表述错误的是（）

A.直线（加一l）x+（2"z-l）y=m-3（meR）恒过定点（5,-2）

B.圆好+y2=2上有且仅有2个点到直线l:x-y+l=Q的距离都等于受

-2

C.曲线G：必+V+2X=0与:必+V-4x-8y+根=0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为

4<m<20

D.已知圆。：炉+丁=2,P为直线x+y+2石=0上一动点，过点尸向圆C引条切线Q4,其中A为切

点，则Q4的最小值为J5

22

12.已知曲线C：L—二=1(加〃/0),则下列命题中为真命题的是()

mn

A.若%+〃=0,则。是圆

B.若加且m+〃。0,则。是椭圆

C.若加〃>0,则。是双曲线，且渐近线方程为y=±J'x

Vm

D.若0<根1,则。是椭圆，其离心率为Ji+乌

Vm

三、填空题

13.2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲、乙、丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3

辆车，沪昆高速杭州入口有A,B,C共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率

为.

22

14.已知椭圆C：工+匕=1的左、右焦点分别为用右,点4(1,1),若点尸为椭圆C上一点，则归引+|网

1612

的最大值为.

15.(1+X)3+(1+X)4++(1+%)8的展开式中x3的系数是.

22

16.已知用,工分别是双曲线+忘=1的左右焦点，若即=5,则附|=.

四、解答题

17.已知空间三点A(—2,0,1,1,2),C(—3,0,4),设AB=a,AC=b.

(1)求a与匕的夹角。的余弦值；

(2)若向量姐+匕与履—2人互相垂直，求左的值.

18.已知双曲线C：二-4=l(a>0)>0)的一条渐近线与直线x+2y=0垂直，且右顶点A到该条渐近线

ab

的距离为2叵.

5

(1)求双曲线。的方程；

(2)若直线/与双曲线。交于两点，线段A5的中点为河(3,2),求直线/的方程.

19.已知点4(—2,—1)、6(6,3).

(1)求线段A3的垂直平分线的直线方程；

(2)若点到直线/:。%+丁+1=0的距离相等，求实数。的值.

20.某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名.

(1)若从中任选2人参加A,5两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医

护人员甲不参加A项救护活动的选法种数；

(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不

能去往同一个地方，求不同的分配方案种数.

21.如图，四棱锥尸―A5CD中，四边形A3C。为梯形，其中A3〃

CD,NBCD=60,AB=2BC=2CD=4,AD±PB.

(1)证明：平面。8。，平面ABC。；

(2)若PB=PD，点、E满足PE=2EC，且三棱锥石—ABD的体积为逑，求平面R4D与平面3DE

3

的夹角的余弦值.

453

22.在平面直角坐标系X0V中，动圆尸与圆G：f+y2+2x—彳=0内切，且与圆。②：必+产―2工+工=0

外切，记动圆尸的圆心的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程；

(2)过椭圆C右焦点的直线/交椭圆于A8两点，交直线尤=4于点。.且。，设直线QAQAQB

ktk

的斜率分别为左，1&，&，若&/0,证明：士」为定值.

23.在4ABe中，角A,8,C所对的边分别为"c,且acos5=2ocosC-/?cosA.

（1）求C的值；

（2）若c=4,a+b=2币，求，ABC的面积.

24.已知正方形A3CD的边长为24尸乂8为等边三角形（如图1所示）.沿着A5折起，点尸'折起到点P的位

置，使得侧面上48,底面ABCD"是棱AD的中点（如图2所示）.

图1图2

（1）求证：PCLBM-,

（2）求点C与平面的距离.

25.已知抛物线C:/=2°x经过点P（l,2）.过点。（0,1）的直线/与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直

线厚交y轴于M，直线尸3交y轴于N.

（1）求直线/的斜率的取值范围；

__._.11

（2）设。为原点，QAf=4QO,QN=〃QO,求证：丁+一为定值.

A〃

2023年12月6日高中数学练习答案

一、单选题

1.【答案】A【详解】。〃回.•.4〃电，故存在实数X，使得处="2，

62=-3r

/、/、y=1

即（—3,y,2）=4（6,—2,z）,故,2X=y,解得1y+z=1—4=—3.故选：A

Az=2"

2.【答案】B【详解】试题分析：两焦点分别为：（2,0）,（—2,0）.

根据椭圆的定义：P到两焦点耳,B的距离之和等于4x2=8,

又因为P到两焦点心的距离之差为2,可求得，P到两焦点距离分别为5,3.

所以三角形边长分别为3,4,5.所以是直角三角形选B.

3.【答案】B【详解】设P（x,y）,由4（—0）,4（。,0），

2222廿4=5

由=所以可得女心关网yy

x+ax-ax2-a2a24

所以5a2=4/=4（C2_/）,即9a2=42,所以£.=?,所以离心率e=£=3.故选：B

v7a-4a2

4.【答案】B【详解】由"卜一2）可得炉—左2（%—0了=］（x〉o）,

x2-y2=1（%＞0）

整理得到（1一/）V+2yflk-x—242—1=0在（0,+8）上有两个不同的根，

-Ik2

>0

\-k~

故（8左4+4（1-用（242+1）〉。，解得左＜—1或左＞1,故直线的倾斜角的范围为:

-2y/2k2

>0

故选：B

5.【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.

【详解】CG=CA+AG=CA+-AD=^BA-BC）+-（BD-BA^=^a-b）+-（c-a）=-a-b+-c.

22222

故选：D.

6.【答案】A【详解】取CD的中点E，连接ME,NE,CD「

因为石,P,Q分别为DR,CD,CQ,QC的中点,

所以ME〃C2，PQ〃所以PQ〃ME，故"ME为异面直线MN与P。所成的角,

在正方体ABCD-4与G。中，由V,N,E分别为DDX,AD,CD的中点,

则MN=ME=NE,即肱VE为等边三角形，所以NNME=60，即异面直线"N与尸。所成的角大小

等于60.

故选：A

22h2

7.【答案】A【详解】当x=c时，c二v+4=1,二'=士幺，

a2b2a

(/八(.2\

所以A(—a,0),Bc,—,Cc,-----,0(0,0),则

、a)a)

c-ab2^.(c-(b2}

M—,OM=—c,一

2aJI2ka)

c—ab2(Z?2i1

则OM//OB，则---------7^c=0,「.〃=2c,/.e=二.故选：A

8.【答案】C【详解】由题意可得G是圆心为（0,0）半径为1的圆，。2是圆心为（3,4）半径为1的圆，设

1991

AB中点为M,AB=6,由垂径定理得OM=10个一由“2—，:.A/在圆O:x+y=—

2-4

上，又|/>A+P叫=|2「叫=29,由图可知

22

(PM)min=OC2-l--=V3+4--=L,(PM)max=OC,+1+-=—,

、/minz2，22，'mdxz22

.•.|巳4+0目的范围为[7,13].

故选：C

二、多选题

—127

9.【答案】BCD【详解】易知2a+b=（-L,2,7）,显然一w—w—,故A错误；

-2-11

易知：同=J（—2）2+（—1）2+仔=",W=J32+42+52=5&=>5同=石W,故3正确;

易知5〃+6b=（8/9,35）na­（5a+6b）=-2x8+（-l）xl9+lx35=0,故C正确；

〃在人上的投影向量2—"L7rx（3,4,5）=|,故£>正确.故选：BCD

|b|50I1052J

10.【答案】ABC【详解】因为。为底面四边形ABC。对角线的交点，

所以。为AC的中点，由M是Q4的中点，可得PC〃MO,

因为PC<Z在平面OMN,OMu平面OMN,所以PC〃平面OMN,A正确；

同理可推得PD〃平面OMN,而PCcPD=P,所以平面PCD〃平面OMN,B正确；

因为PDu平面P。，故尸。不可能垂直平面。MN,D错误；

设该正四棱锥的棱长为。，则24=「。=凡4。=应4,所以

因为PC〃河O,所以。MLPAC正确.故选ABC.

x+2y-l=0

【分析】A选项，变形后得到《。八，求出定点；B选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半

_%_,+3=0

径，数形结合得到有且仅有3个点符合题意；C选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列

出不等式，求出答案；D选项，数形结合得到当O尸取得最小值时，Q4取得最小值，利用点到直线距离公

式得到答案.

【详解】A选项，（加一l）x+（2加一l）y=加一3（加eR）变形得到7”（1+2y-1）一%-丁+3=。，故

x+2y-l=0x-5

。C，解得《y——2,所以恒过定点（5,—2）,A表述正确;

-x-y+3=0

B选项，圆必+>2=2的圆心（0,0）到直线/：%—y+l=0的距离［=12^”1=4

A/1+I2

因为圆炉+y2=2的半径为J5,

故圆/+＞2=2上有且仅有3个点到直线/:%-y+1=0的距离都等于变,B表述错误；

-2

c选项，曲线G与02恰有四条公切线，故圆G与圆02相离，

其中V+y2+2x=0变形为(x+l)2+V=1,圆心为(—1,0),半径为1,

产+丁―4x—8y+m=0变形为(x—2)2+(y—4)2=20—根，圆心为(2,4),半径为同二，

故20—加＞0,解得机＜20,

故圆心距为［(2+1)2+42=5,所以5〉J20-7〃+1，

解得m＞4,

则实数机的取值范围为4＜加＜20,C表述正确；

D选项，圆。：/+丁2=2的圆心为0(0,0),半径为④，

圆心到直线x+y+2退=0的距离为」^=逐＞J5,

V1+1

故过点尸向圆C引条切线Q4,有PA2+(0y=op2,

所以当OP取得最小值时，PA取得最小值，

OP的最小值为卡，故Q4最小值为J(府_布)2=2,D表述错误.

故选：BD

22

12.【答案】BC【详解】解：对于A：若加=—1,则〃=1,原方程为工-乙=1,此时曲线C不存在，

-11

故A不正确；

2222

对于8：由已知得匕+匕=1,又加＞0,〃＜0,且加+〃，0,所以匕+匕=1表示椭圆，故8正确；

m-nm-n

对于C：若mn＞0,则。是双曲线，但渐近线方程为y=±J'x,故C正确；

\m

22

对于。：由已知得匕+匕=1,又0＜机＜1,〃＜—1,所以—“＞1,则曲线c是焦点在y轴上的椭圆，所以

m-n

a=-n,b=m,c2=a1-b1=-n-m，其离心率为e='—二=Jl+'，故D不正确，故选：BC.

J-nxn

三、填空题

2

13.【答案】-【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为33,

3个窗口各有1辆车在等候的事件含有A；个基本事件，

392

所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为P=2A=.故答案为：-

3399

___22

14.【答案】8+J记【详解】如图所示，由椭圆方程为C:不+旨=1,则耳(—2,0),乙(2,0),又点

117

4(1,1)，满足上+上=,<1,所以点A在椭圆内,

'/161248

由椭圆定义可知|「耳|+|尸闾=2=8,即|尸闾=8—|尸耳

所以|尸闾+|尸山=8+卢川一|尸耳归8+|4周=8+)(1+2)2+12=8+次,故答案为：8+A/W.

15.【答案】126

【分析】根据展开式的通项公式表示出各部分中V的系数，然后利用组合数的性质进行求解.

rr

【详解】因为(1+x)"的展开式的通项公式为(+1=C：xV-xx=C'nx/,

所以(l+x)3+(l+x)4++(l+x)8的展开式中/的系数为：

C：+C；+C；+C：+C+C；=C：+C；+C；+C：+C；+C；=Cg=126.

故答案为：126.

22

16.【答案】9【详解】根据双曲线方程土—2L=1可得2a=4,c=4,

412

再由双曲线定义可得IIPKI-|P£ll=2a=4,解得|尸闾=9或户闾=1,

又因为忸耳性c—a=2,所以可得|尸局=9.故答案为：9

四、解答题

17.【详解】(1)AB=a=(1,1,0),AC=&=(-1,0,2)-cos^=i1^i=-j--^=^-.

(2)fez+Z?=Zr(l,1,0)+(-1,0,2)=(k-l,k,2),ka-2b=k(l,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,^).

因为向量如+Z?与kz—2Z?互相垂直，所以(左一1)(%+2)+左之—8=。，即2左？+左一10=0，解得左=—万

或左=2.

18.【详解】(1)因为双曲线C的一条渐近线与直线x+2y=0垂直，且直线x+2y=0的斜率为-；，且

b1bb

双曲线C的渐近线为y=±—X,则------=-1,可得一=2,

a2aa

所以，双曲线C的渐近线方程为丁=±2X,即2x±y=0,

因为右顶点(a,0)到该条渐近线的距离为孚，所以；|=¥

解得。=1,所以》=2,所以双曲线C的方程为必—二=1.

4

(2)若直线轴，则关于无轴对称，此时，线段AB的中点在无轴上，不合乎题意，

乂2＞；_]

玉-----1

设4(%,%)、5(羽,％),设直线/的斜率为左，贝叶t,

kA

则(片_4)_才;£=0,所以国+%)«_.5+=0,化简得心乎=

因为线段A3的中点为人(3,2),所以西+々=6,%+%=4,

4

所以—.左=4,解得左=6,双曲线渐近线为丁=±2%,直线斜率大于渐近线斜率，

6

故过点“(3,2)的直线与双曲线有两个交点.所以直线/的方程为6x—y—16=0.

—1—31

19.【详解】(1)解：线段AB的中点为。(2,1)/48=3又=5，

故线段AB的中垂线的方程为y—1=—2(x—2),即2九+y—5=0.

(2)解:由条件线段A5的中点为C(2,l)在直线上或线段A5所在直线与直线平行，

若线段A3的中点为。(2,1)在直线/上，则2a+l+l=2a+2=0,解得。=—1；

线段A3所在直线与直线/平行，则—a=(w=g，解得a=-g.综上所述，a=—1或一；.

20.【详解】（1）分两类：①甲参加8项救护活动，再从其余5人中选一人参加A,选法数为C；=5,

②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为A；=20,所以共有选法种数为

20+5=25；

（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：A1,第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员

有：A；,第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：Cl，所以共有不同的分配方案数为：

A；A；C；=72.

21.【详解】（1）.NBCD=6。，BC=CD=2,:.BCD为等边三角形，：.AB=2BD=4,

又四边形A3CD为梯形，AB//DC,则/AB。=60，根据余弦定理可知，在,43。中，

AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosNABD=42+22-2x4x2x-=12根据勾股定理可知，

2一

AD2+BD2=AB2>即

包工「民依心即二尻？民^少匚平面;^^二人少,平面0瓦），又，A£）u平面ABC。,，平面

P5D,平面ABC。；

（2）。为BD中点、,PB=PD,:.PO±BD,

由（1）可知，平面。平面ABCZ）,

又平面PBDc平面ABCD=8。,P。u平面PBD，

..尸。，平面ABC。，

连接OC,则OCLM,且OCu平面ABCD,

故POLOCPOLBD,所以两两垂直.

以。为原点，以08为无轴正方向，以oc为》轴正方向，以OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，

则川-1,-2"0),3(1,0,0),C(0,石,0),。1,0,0),

设P(0,0,。且。>0,PE=；PC,则E0,孚彳，由三棱锥E—ABD的体积为逑得：

3I33

—X—x2x2石X——《若,所以/=6,

3233

PE=-PC,:.EO,*,2,DE=1,*,2,DB=(2,0,0),DC=(1,A0),DP=(1,0,6),

3I3JI3)

D4=2CO=(0,-20,0),

m-DP=a+6c=0

设平面PAD的一个法向量为加=（。,4c）,则<l，令c=l，则6=0,。=一6,故

m-DA=-2\3b=0

772=(-6,0,1),

n-DB=2%=0

设平面3DE的一个法向量为力=（尤,yz）,贝卜2J3，令y=G,则

nDE=x+^—y+2z=G

3

x—0,z——1,

故〃=(0,6,—1).

m-n1

所以平面。AD与平面BDE的夹角余弦值为：|cos〈m,〃〉|=j

〃短〃IJ(—61+174

22.【详解】（1）由已知圆G可化为标准方程：5+1）2+/=（£|,即圆心G（—1,0）,半径4=:,

圆。2可化为标准方程：（X—l）2+y2=（；］,即圆心G（1,0），半径弓=g<

6，|GQ|=2,经分析可得,

7

\PC\=r-R=--R

7ll

R<n，贝山氏一彳=万一R.由题意可知,两式相加得,

\PC2\=R+r2=R+-

|PC1|+|PC2|=4>|C1C2|=2,所以，点尸的轨迹为以C，C2为焦点的椭圆，可设方程为

2*422

「+二=1(4〉人〉0),则2a=4,a=2,2c=2,c=l,b=a-c=3>所以，轨迹E的方程为

ab

x2y2

——+—=1.

43

（2）由题意直线AB的斜率一定存在，由（1）知，c=l,则椭圆的右焦点坐标为（1,0）,

弘—3

设直线方程为：y=%（x—1）,。坐标为（4,3人）.所以决一5_1,

K-）——K

-4-12

设4（%,%）,5（%,%），将直线AB方程与椭圆方程联立得

（3+4k2）x2-8k2x+4k2—12=0.A=（—8左？了-4（4Z;2+3）（4左？一12）=144（左？+1>0,恒成立,

_842

%+尤2

-3+4左2

由韦达定理知〈且％=左（七一1）,%=左（七一1）,

442—12

X]X,=

3+4k~

t1+上，(1一1+Q一『1.2」

则%+左3%+%2—2

——

%—1%21%—1%212_(/+X,)+1

8k2

3.374P

24左2—128左2

--------------5-------------------T+1

3+4k23+4左2

匕+左32k—1.

故心二工（定值）.

—K,

【点睛】圆锥曲线中取值范围或者定值问题的求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值或者范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;

（3）利用隐含的关系建立不等式或者方程，从而求出参数的取值或者范围；

（4）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

23.【详解】（1）因为acos5+灰x）sA=2ccosC,

由正弦定理得，sinAcosB+sinBcosA=2sinCbosC,

又sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC,所以sinC=2sinCbosC,

又Ce（O,»）,所以sinC/0,故cosCn^,所以C=§.

(2)由余弦定理得c?=4+Z?2-2a0cosC=(a+/?)2-3aZ?=28-3aZ?=16,所以"=4,

故SABC=—“加inC=y/3.

24.【详解】