2023-2024学年江苏省高一年级下册期中数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省高一下册期中数学试题

一、单选题

1.复数2=工的模为（）

1—1

51

A.匕B.1C.gD.V2

22

【正确答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得结果.

11+i

【详解】因为2=口=诟布

故选：A.

2.若sina=丄，贝lj8s2a=

3

8778

-u--

A.-9B.9-9D.-9

【正确答案】B

【详解】分析：由公式cos2a=1-2s/口可得结果.

27

详解：cos2a=l-2si〃2a=1-§

故选B.

点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.

3.已知向量。力满足。=（2,1）,b=（1,y）,且“丄6,则卜+20=（）

A.亚B.5&C.5D.4

【正确答案】C

【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y,根据向量模的坐标表示求得正确答

案.

【详解】根据题意，a=（2,1）,b=（1.y）,且a丄b,贝!|有“2=2+），=0,解可得y=-

2,即1=（I,-2）,

则a+2b=（4,-3）,故，，+2闿=J16+9=5；

故选：c

本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.

4.若函数/(x)=；sinx+^cosx在上单调递增，则a的最大值为()

-n5万-7万一137r

A.3乃B.—C.—D.-----

236

【正确答案】D

【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出”的最大

值.

【详解】由题意可得F(x)=sin[x+m，^2^-y<x+j<2^+pA:eZ

57r7t7乃]34137r

得2k兀-咚4x42k/+J,kwZ,令2=1,得?4x4詈，所以a的最大值为多.

666o6

故选：D

本题主要考查了利用正弦型函数的单调性求参数的范围，属于中档题.

7T

5.在中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若。2=(a-力?+6,C=-,®l].ABC

的面积是()

A.3B.唯C.更D.35/3

22

【正确答案】C

【分析】由已知结合余弦定理得出必的值，即可根据面积公式得出答案.

【详解】c2=(a-h)2+6=a2-2ah+b2+6,

即a2+h2-c2=2ab-6，

x.2122lab-6_1

由余弦定理得C°SC=TB

2ah2

解得：ab=6,

贝=—a/?sinC=—x6x——=-----,

由2222

故选：C.

6.设复数z满足：z+|z|=2+i,那么z=()

33

D.——i

44

【正确答案】B

【分析】设z=a+砥a,beR),然后根据复数相等计算求解；或变形为z=2-冃+i=2-|z|+i

两边取模后平方，计算求解即可.

【详解】解法1：设2=°+玩(aSwR),由已知」+仇+厶2+从=2+i,

.有対向生—p/口a+\la2+b2=2„„3,,3

由复数相等可得«,解4z得力=1,故z=：+i.

b=\44

解法2：由已知得z=2-冃+i=2—|z|+i,①

两边取模后平方可得用=(2—冲2+1=4-4忖+2『+1,

所以目=],代入①得z=、+i.

故选：B.

UUIUIHIUUUUU

7.在，A3C中，若-------=-------=CAAB贝i」cosA=()

32f

A.-B.—C.逅D.B

3236

【正确答案】D

【分析】由题意结合数量积的运算及正弦定理可得tanA=3lanB=2tanC,由

tanA=-tan(8+C)=JanB+tanC,求得fan厶，进而可得答案.

tanBtanC-1

LlUULILIUUULILIIL1LM1UUULILILll

【详解】vABBC-3CAAB,BCCA^2CAAB，

/.cacos(兀-B)=3£»ccos(7i-A),abcos(n-C)=2bccos(兀-A),

/.<7cosB=3/7cosA，tzcosC=2ccosA，

/.sinAcosB=3sinBcosA,sinAcosC=2sinCeosA,

tanA=3tan=2tanC,

-tanA

tanB+tanC6_5tan/I

VtanA=-tan(B+C)=

tanBtanC-1tan2Atan2A-6，

-----------1

6

।sinA

乂tanAw0,・•tanA=V1T»即=Vn,Ae0,|,

cosA

2

又sin?A+cos2A=1,**•cosA=

6.

故选：D.

8.设向量°,£的夹角为6,定义〃*?=同庐卜in。，若平面内互不相等的两个非零向量”,

6满足：同=1,（a-匕）与方的夹角为150,“xb的最大值为（）

A.2B.&C.D.

24

【正确答案】C

【分析】设a=OA/=OB,则BA=a-6,由题意亠加3中，OA=\,NO54=30,外接

圆的半径为1,设NAO8=e（0<6<150）,由正弦定理可得，AB=2sin。，

O8=2sin（150-6）,则ax6=QA.OBsinO=2S皈=A"O8-sin30整理化简后由三角函数

的性质求解.

【详解】设a=OAS=OB,则8A=。-6，

门|=1，a-6与。的夹角为150,

OA8中，OA=\,N08A=30,

nA

由正弦定理可得：2R=.）》=2,048的外接圆的半径为R=l,点B为圆上与0A

smZOBA

不重合的动点，

设厶08=夕（0<<9<150）,

由正弦定理可得，48=2sin。，O8=2sin（150-6）,

贝I」QX/?=04OBsine=2SOAB=ABOBsin30

二2sin夕sin（l50—夕）=-[cos（04-（150—夕））一cos（夕一（150—夕））]

=-[cos150°-cos（26-150°）]=*+cos（2。-150°）,

当6=75时，ax人取得最大值，且为込叵.

2

故选：C.

二、多选题

9.(多选)关于平面向量a2,c,下列说法中错误的是()

A.若a〃5且b〃e，则a〃cB.^a+h^-c=a-c+h-c

C.若4包=”.色，且荘0，则b=<?D.[a-b^-c=a-(b-c^

【正确答案】ACD

【分析】A.由向量6=0判断；B.由向量的运算律判断；C.由数量积的运算律判断；D.由向

量共线判断.

【详解】A.若向量6=0,则”,c不一定平行，故错误；

B.根据向量的运算律可知，B正确；

C.ab=ac<^>a(b-c)=09且〃w0,所以/?=c或。丄S—c),故错误；

D.(a表示与向量c共线的向量，〃•(〃•£)表示与向量4共线的向量,(a•b)・C与a•(b•C)

不一定相等，故错误.

故选：ACD

/x2,0<x<l

10.已知I：函数小)[阿1)|X>1'若直线尸机与函数―)的图象有三个交点

A(Xi，m),Z?(X2,W),C(X3,/M),且为<々<工3，则下列命题中正确的是()

A.函数/(x)有两个零点0和2B.%2x3=x,+x3

C.方程[〃x)[2-5/(x)+6=0有6个不同的根D.当k=2时，方程/(x)=履-1有两个

不相等的实根

【正确答案】ABD

【分析】令〃力=0,求出函数的零点可判断A；作出函数〃x)的大致图象，由图结合题

意可得0<%41<々<2<当，即有〃9)=/(毛)=-出(々一l)=ln(&-l),结合对数运算化

简即可判断B；方程根的问题转化为图象交点的问题，结合图形可判断C,D.

【详解】由题意,令〃x)=0,

当OMxMl时，%2=0,解得x=0；当x>l时，卜n(x-l)|=0,解得x=2,

则函数/(x)有两个零点0和2,故A正确;

作出函数/(X)的大致图象，如图,

由/(动二/仿)0-11(々一=可得5一1)(鼻-1)=1,即々电=*2+鼻，故B正

确；

由[/(x)[2-5/(x)+6=0可得f(x)=2或/(%)=3,

由图可知，函数y=/(x)的图象与直线y=2及y=3共有4个交点，则方程

[/(x)]2-5〃x)+6=0有4个不同的根，故C错误；

当％=2时，

当04x41时，令/(x)-2x-l=0,解得x=l,

且由图象可得当x>l时，y=/(x)与y=2x-I只有一个交点。

综上，直线V=2x-1与函数y=〃x)的图象有两个交点，则方程〃刈=区-1有两个不相等

的实根，故D正确.

故选：ABD.

11.已知复数4，Z?满足匕+zj=l，忖+z；|=4,则|密|有()

A.最大值'7B.最大值15C.最小值15D.最小值;3

【正确答案】BD

【分析】令Z；+Z；="，2ZK=6,有|。+q=1以及同=4,由绝对值三角不等式求解可得结果.

【详解】由|Z]+Z2|=1得忖+2Z1Z2+Z；|=1,

令z；+z；=a,2zR2=b,有卜+q=1以及冋=4,

因此，由绝对值三角不等式得，

|^|-|a+/>-a|>|a|-|a+Z?|=3,等号在兄。两复数对应的向量反向时成立,

\b\^\a+b-a\<\a\+\a+b\^5,等号在。力两复数对应的向量同向时成立,

因此，34例45,则上匐=；同€|,|,即上司有最大值g,最小值

故选：BD.

12.设丿3c的内角A、B、C所对的边为“、b、c,则下列命题正确的是（）

7TTT

A.若ab>c?,则C<§B.若a+b>2c,则Cv§

TT

C.若a3+//=c3,则C<1D.若（a+b）c<2ab,则C>—

2

【正确答案】ABC

【分析】利用余弦定理与基本不等式可判断AB选项的正误；利用反证法结合不等式的基本

性质可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.

〃

【详解】对于A选项，由余弦定理可得c°sC=V2.12_2>2ab-c2丄

2ab2

TT

O<c<^-,故0<C<§,A选项正确;

对于B选项，a+b>2c,则（a+b）->4c。则［<（"+"）,

2.2（。+8）2,、

由余弦定理可得厂/+/一。2a+b一——3"+62）-2必6H-2劭1,

cosC=---------->-----------——=------------->---------=-

2ab2abSabSab2

TT

0<C<乃，故0<C<§,B选项正确；

对于C选项，假设则cosC=/土止《40,则/±/+尸，

22ab

所以，C32c•（/+从）>。3+/，与。3+户=。3矛盾，

假设不成立，故c<WTT，故C选项正确；

对于D,取a=b=2,c=l,满足（a+9c<2ab,

且cose："/—c>0,则c为锐角，故D选项错误.

2ah

故选：ABC.

方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或

余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边”；

（2）若式子中含有。、b、。的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

三、填空题

13.已知均为单位向量，它们的夹角为60。，那么卜+3。卜

【正确答案】V13.

【详解】1"+3次=。2+6“力+9/=1+6XCOS60+9=13,，,+3,=布.

sin2a

14.若tana=3,则二7的值为________.

tan^a+-J

3

【正确答案】-历

3

【分析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得sin2a=不利用两角和

77

的正切公式可得tan（6z+-）=-2，然后相除可得.

4

【详解】因为tana=3,

2sinacosa2tana_2x3_3

所以sin2a=2sinacosa=

sin2cr+cos2atan2cr+132+15

TV

tana+tan—.

tan(a+/---------------丄=o*

41-tanatan—>3x1

4

3

sin2a5-

所以

tan((2+J-210,

3

故答案为：一记

本题考查了二倍角的正弦公式，两角和的正切公式，属于中档题.

15.正三角形A6c边长等于6,点尸在其外接圆上运动，则APP8的取值范围是.

【正确答案】[一-,351一

【分析】设正三角形A8C的外接圆圆心为0,半径为R,则R=l,且厶08=120。.设48的

中点为"，设OA/与0P的夹角为

把APPB转化为=利用数量积的定义，三角函数求最值.

【详解】解：设正三角形ABC的外接圆圆心为O,半径为R,则R=l,且ZAQB=120°.

由题意知APP3=（0P-0A）-（08-0P）=0P0B-0P2-040B+04.0P

=0/><9S-1-Ixlxcosl20°+OAOP=OP（OA+OB）-^.

设A8的中点为M,则。4+OB=2OM，且10Mbg,

设0M与0P的夹角为e，

J|i]AP.PB=2OM.OP-，=2k）M|oHcose-』=2x，xlxcose-，=cose-L

「3I

又因为。«0,同，所以APPB的范围为-于5.

故r卜3对r

向量的基本运算处理的常用方法：

（1）向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；

（2）向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理.

四、双空题

cosAcosBcosC

16.已知若存在AH片G，满足=二=—^=-7=1,则称向。是△ABC的

sinAsinB,sinC,

一个“友好'’三角形.

（i）在满足下述条件的三角形中，存在“友好''三角形的是一：（请写出符合要求的条件的序号）

①A=90,B=60,C=30；②A=75,8=60,C=45；③A=75,8=75,C=30.

（ii）若等腰ABC存在“友好”三角形，则其顶角的度数为一.

【正确答案】②45

【详解】（i）对①：因为8$孙=0工1,所以①不存在“友好”三角形;

*.8$AcosBcosC,……

对②:

若右'病’砺""4=叱4=】儿

同理:

Bx=3（r，G=45*故②存在“友好”三角形;

co$Xco$5cosC

对③:若满足a'靑•砺/’则4=15・e=庁6=6。・或12庁

都不能构成三角形，故③不存在“友好”三角形.

（ii）若等腰加月。存在“友好”三角形，则厶=8,所以A+A+C=180;

4=8|=90・-4厶=90・一（7或（71=90・+（7,分析知厶=90°+6

所以4+4+Cj=180'BP270,-2/+C=180*2C=9（T.

故C=45°.即顶角的度数为45。

五、解答题

17.设右，62是两个不共线的向量.

21

（1）判断a=4q-ge?与b=q-而e2是否共线，并说明理由；

⑵已知A8=2ei+ke2，CB=e}+3e2,67）=2约-02,若A，B,。三点共线，求人的值.

【正确答案】（1）共线，理由见解析

⑵左=—8

【分析】（1）由两个向量共线的条件判断即可；

（2）由A,B,。三点共线，可得AB与BO共线，即存在实数力，使得AB=/18。，结合平

面向量基本定理求解即可.

【详解】（1）当a=0时，显然b与“共线.

e

当awO时，b=ex~^24^,则"与方共线.

综上，。与b共线.

（2）BD=CD-CB=（2%-e2）-（弓+3eJ=%-4e?,

A,B,。三点共线，..AB与BO共线，

即存在实数4,使得AB=48。，即2q+%%=%（q—46）=—4力4，

2=4

因为臼，62是两个不共线的向量，由平面向量基本定理得，一「，

k=-4Z

:・k=T.

18.设复数z满足z2+z+l=0.

⑴求复数z；

⑵求z2+3的值.

Z

【正确答案】⑴z=-丄土立i

22

⑵-1

【分析】（1）根据在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式求解；

（2）由z2+z+l=（）,得z2=-z-l,z+l=-z2,代入z2+4=。计算可得结果.

ZZ**

【详解】（1）由i+z+l：。，知A=l—4=—3,

则zJ±B=」±®,

222

（2）由z2+z+l=0,得Z?=-z-l,z+l=-Z?,

所以/+3=0=史芈1=立穿/+2：（2）一

ZZZZZ

19.已知a=（cosa,sina），匕=（cos尸,sin/7）（。＜。＜〃＜乃）.

（1）求证：与。力互相垂直；

（2）若二+办与的模相等，求方一々.（其中k为非零实数）

TT

【正确答案】（1）证明见解析；（2）…七.

【分析】（1）利用平面向量的坐标运算，计算（i+力）/一4并化简，进而可得到答案；

（2）先根据平面向量的坐标运算求出|二+百和也令其相等，并根据角的范围求得

答案.

【详解】（1）因为=a-b=|6?|2-|/?|2=（cos2a+sin2a）-（cos2yff+sin2/?）

=1-1=0,所以与，］互相垂直.

(2)因为=Mcosa,sina)+(cos〃,sin/?)=(Acosa+cos〃,Rsina+sin/7)，

a-kb=(cosa,sina)-k(cos民sin⑶=(cosa-kcos⑸sina-%sin£)，

所以a+/?|=J(」cosa+cos夕J+(」sina+sin侨=Jr?+1+2/cos(a-4)，

\a-kb\=J(cosa-1cos夕『十(sina-lsis砰=Jk2+1-2Z:cos(a-/?)，

因为若小+1与的模相等，所以J/+1+2攵cos(a—尸)=J&'+l-2/cos(a-/?),而攵

为非零实数，

所以8s(a_£)=_cos(a_p)=>8S(a_0=O=>cos(£_a)=O,

而0<av夕<乃，则/?_。£(0,万)，所以尸_。=].

20.在JU5C中，角4,B,C所对的边分别为小b,c,点。满足3&)=8C，且ADAC=0.

(1)若b=U求A的值；

(2)求3的最大值.

27r

【正确答案】(1)4=彳

21

【分析】（1）根据A»AC=0，结合3BO=8C，得到§bccosA+1^=0,再由6=c求解;

21

（2）由二bccosA+；^=0,利用余弦定理得到2〃+°2-/=0,再利用余弦定理，结合

33

基本不等式求解.

【详解】（1）解：因为A»AC=0，

所以（4叫BC）4c=0,

即1|A8+；AC}AC=0,

<21A?i21

所以|-AB+-AC\AC=-ABAC+-ACAC=-bccosA+-b2=0,

（33丿3333

因为6=c,

所以cosA=-丄，

2

因为0vAVJT,

所以4=年24.

(21、21?1

(2)因为AOAC=+§AC,AC=§A8AC+§AC・AC=§Z?ccosA+§/=0,

由余弦定理得，—Z?ccosA+-/?2=—bc^+C———+-b2=0,

3332bc3

即2b2+c?一/=0,

2222

22a-ca3c

所以cos人一丄匸二丄3，

2ac2ac2ac2

当且仅当《=.时，即4=^C时，取等号.

22

因为0<3<乃，

所以8的最大值为

0

21.如图，海上有A,B两个小岛相距10km,船。将保持观望A岛和B岛所成的视角为60，

现从船。上泥下一只小艇沿80方向驶至C处进行作业，且OC=3O,设AC=xkm.

⑴用x分别表示Q^+OB?和。4・03,并求出x的取值范围；

（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线C4的距离为B。，求8。的

最大值.

【正确答案】（1）042+OB2='+10°,OAOB=XT。°,10<%<1073

22

⑵10

【分析】（1）应用余弦定理结合基本不等式求出范围即可；

（2）根据面积公式列式表示成函数，根据函数单调性求岀最值即得.

【详解】（1）在。AC中NAOC=120,AC=x,

由余弦定理得OA2+OC2-2。4.OC.cosl20=W,

又OC=BO,所以OA2+OB2-2O4O8.COS120=/①，

在&OAB,中AB=10,ZAOB=60,

由余弦定理得OA2+OB2-204OB-cos60=100②，

①+②得"+OB2=^^

①-②得4OA-OB-cos60,=d-100，即OA•OB=--"10°，

2

又OT+OB?220403,BPx2<300,

22

又04CB=xT0>0,即丁>100,所以10<X410G；

2。

(2)易知JojS.。，

故S/uBc=2SaAB=2；OAOBsin60=纟£二幽，

24

又SA^C=3AC-8O，设BD=/(X),

所以f(x)=也直二"生,xw(10/0G],

2x

6(2丁)2-2冋-