2023-2024学年江苏省高一年级上册期末模拟数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省高一上册期末模拟数学试题

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项)

1.已知集合"H"卜=嚏2(3-2X)},8={X*>4},则/SM=()

ALV∣-XX<->

B.{x∣x<2}C.XI—2<X<一D.

.22

{x∣Λ,2)

【正确答案】D

【分析】

根据对数型函数的定义域化简集合A的表示，解一元二次不等式化简集合B的表示，最后根

据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.

【详解】因为8=„2〉4}=卜,>2或工<—2},所以备8="|—2,%,2}

又因为Z={x∣y=Iog2(3-2x)}={x∖3-2x>0]=<x∖x

所以4U6RB={x∣χ,2).

故选：D

本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.

2.函数/(x)=J3x-l+lg(2-x)的定义域为()

A.],+∞jB∙[p2]C.12)D.

[2,+∞)

【正确答案】C

3x-l≥0

【分析】解不等式组C八，即得解.

2-x>0

3x-l>01

【详解】解：由题得八,.-.-≤x<2.

[2-x>03

所以函数的定义域为；,2).

故选：C

3.已知角α的顶点为坐标原点，始边为X轴的非负半轴，若点尸(Sina,tana)在第四象限,

则角a的终边在O

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【正确答案】B

【分析】依据三角函数值的符号判断角。的终边所在象限即可解决.

【详解】由点尸(Sina,tana)在第四象限，可知Sina>0,tana<0,

则角a的终边在第二象限.

故选：B

4.已知命题“Vxe[-3,3],-Y+4χ+a<0”为假命题，则实数”的取值范围是()

A.(-4,+∞)B.(21,+co)

C.(-∞,21)D.(-3,+∞)

【正确答案】A

【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.

【详解】因为命题“∀XC[—3,3],—χ2+4χ+a≤0"为假命题，

所以一f+4x+a>0在xw[-3,3]上有解，所以(一父+4x+a)nraχ>0.

4

而一元二次函数一f+4χ+°在X=----=2时取最大值，

2×(-l)

即一2?+4χ2+a>0解得。〉一4,

故选：A

c'^/∖∕o^∖∕∖):

-2-

【正确答案】A

【分析】

先判断奇偶性，可排除C,D,由特殊值/(%),可排除B,即可得到答案.

1-qrQv_1

【详解】因为/(r)=KrCOS(-3X)=∣7U∙COS3X=-∕(X),所以函数/(x)为奇

1-lπ

函数，排除C,D；又/(%)=L_^t-cos37>0,排除B,

7J1+3"

故选：A.

函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的

值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶

性，判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、

筛选选项.

6.若α,£的终边(均不在y轴上)关于X轴对称，则O

A.Sina+sin/?=0B.cosa+cosβ=0

C.sin2a+sin2^=1D.tan«-tan/?=O

【正确答案】A

【分析】因为。，力的终边(均不在V轴上)关于X轴对称，则α+∕=2左〃，⅛eZ,然

后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解.

【详解】解：因为尸的终边(均不在歹轴上)关于X轴对称，

则a+B=2kπ,AeZ,

选项A：sina+sin/S=sina+sin(2kπ-a)=sinα-sina=O,故A正确，

选项B：CoSa+cos∕=COSa+cos(2∕τr-α)=2coSaWO,故B错误，

22222

选项C：sina+sinβ=sina+sin(2kπ-a)=2sina≠09故C错误,

选项D：tana-tan∕?=tana-tm(2kπ-α)=tanα+tana=2tana≠O,故D错误，

故选：A.

7.若记X=IogCOSaα,V=logsin“cosα,Z=1+logCoSjana,则x,%z的大小关

系正确的是O

A.x<y<zB.z<x<y

C.x<z<yD,y<x<z

【正确答案】C

【分析】由题意可得O<cosα<sina<l<α,tanc>l,然后利用对数函数的单调性比较

大小

【详解】因为αe(l,∣),

所以O<cosa<sina<l<α,tanα>1,

所以X=Iogcoscfa<Iogcose1=0,

y=IOgSinaCOSCt>IogSinaSina=1，

z=l+Iogcosatana=IoggSa(CoSatana)=Iogcosesina,

cosa

因为O<cosα<sinα<1,所以IogCoSa>∣ogcos<zsina>Iogcosff1,

所以1>Iogcosasinα>O,即0<2<l,

综上，x<z<y,

故选：C

8.已知/(x)是定义在［—1』上的奇函数，且/(T)=-1,当α,bi［-1,1］且。+人工0时

ππ2

""H/㈤〉0.已知dG,,若/(x)<4÷3sin^-2cos。对Vx∈[-l,q恒

a+b^2Ξ

成立，则。的取值范围是()

ππππππ

B.C.D.

6,2^T,-3^7,T

ππ、

y,6^;

【正确答案】A

【分析】

由奇偶性分析条件可得/(x)在［-1,1］上单调递增，所以/(x)nm=L进而得

l<4+3sin0-2cos2^.结合角的范围解不等式即可得解.

【详解】因为/(χ)是定义在［-1』上的奇函数，

所以当耐［T,l］且α+6≠0时ʃ

根据a,b的任意性，即a-b的任意性可判断/(x)在［-1,1］上单调递增，

所以/(χ)max=/(1)=-F(T)T,

若/(x)<4+3sinO-2cos2。对∀x∈［τ川恒成立，WJl<4+3sin6>-2cos26>-

整理得(sinθ+1)(2Sine+1)〉0,所以Sine>—!，

2

由可4，。可得可一会。

故选：A.

关键点点睛，本题解题的关键是利用“")+,㈤>0O/⑷一,(一”)>0,结合变量

a+ba-(-b)

的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)

9.己知全集U=R,集合M,N的关系如图所示，则O

B.(QUM)CN=0

n

C.(物町EtyN)D.(W)(UN)=UN

【正确答案】AB

【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.

【详解】由图可知NUM=版W)IN=0,(u")[俺N),(/W/(物V)=υM.

故选：AB

10.基函数/(x)=(2加2+/w-2)χfI,加∈N*,则下列结论正确的是()

A.w=lB.函数/(χ)是偶函数

C./(-2)<∕(3)D.函数/(χ)的值域为(0,+8)

【正确答案】ABD

【分析】根据落函数定义可知2〃/+〃?-2=1，即可解得加的值，结合加是正整数即可对

选项做出判断.

3

【详解】由募函数定义可知，系数2加2+加—2=1，解得加=1或加二一一，

2

又因为机∈N*,所以加=1；故A正确；

2

ZW=I时，/(χ)=χ-=-L,其定义域为(—8,0)U(O,+8),且满足/(x)=[=/(T),

XX

所以函数/G)是偶函数，即B正确；

由/(x)=4可知，函数/(X)在(0,+∞)为单调递减，所以/(-2)=/'(2)>/(3),所以C

X

错误；

函数∕∙(x)=3的值域为(0,+8),即D正确；

X

故选：ABD.

11.已知函数/(x)=ZSin(0x+e)[<υ>O,照</)的图象如图所示，则()

B.将函数J=2sin(2x-的图象向左平移5个单位长度可得函数/(x)的图象

C.直线X=—乃是函数/(x)图象的一条对称轴

D.函数/(x)在区间-5,0上的最大值为2

【正确答案】ABC

【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可.

45ππ

【详解】由题图知：函数/'(X)的最小正周期T=1Xπ,

~6~n

则G=—=2,4=2,所以函数/(x)=2Sin(2x+e).

π

将点π2J代入解析式中可得2=2Sin(S+QJ,

12

则工+夕=工+2Aτr(左∈Z),彳导(P=%+2k兀(k∈Z),

623

因为|同＜言，所以9=0，

因此/(%)=25k112%+?),故A正确.

将函数y=2sin∣2x-Wj的图像向左平移5个单位长度可得函数/(x)=2sin(2x+?

的图像，故B正确.

/(x)=2sin^2x+yj,当X=-时，/(x)=2,故C正确.

当Xe-ɪ,θ时，2x+ʒ-∈——,ʒ-,所以/(x)e卜2,JJ],即最大值为百,

故D错误.

故选：ABC.

12.已知正实数x,y,Z满足卸=3'=6"则。

111c、，xyz

A.—+—=—B.2x>3y>6zC.—>—>—D.

xyz236

xy≥4z2

【正确答案】ACD

【分析】令2*=3"=6'=/则，＞1，可得：X=Iog2/,ɪ=Iog61,进而结合对数运算与换

底公式判断各选项即可得答案.；

【详解】解：令2'=3'=6'=1，则，>1，可得：X=IOg2，，y=log/,z=Iog61,

对于选项A：因

为‘+!=—!—+—!—=也+柜=-L(Ig2+lg3)=9=Iog,6=,，

v

XyIog2ZIog3ZIgZIgrIgzIgtZ

111_

所以一∙∣■一=一，故选项A正确；

xyz

对于选项B,因为，>1,故lg∕>O,

所以2x—3尸2皿-31og∕=曾—兽=联叱-炮叫Ig喊即

怆2ɪg3lg2∙lg3=踵日

2x>3y↑

61g，_31g《lg6—21g3)一3炮入电6

3^-6z=31ogZ-61og√=⅛即

3------——-----------------------=-------------<V

ɪgɜIg6Ig3∙lg6Ig3∙lg6

3y<6z,故B选项错误.

对于选项C号logt=总loit，因为。<2∣g2<31g3<6lg6,所以1诟>福1>福1

Igl0Igf。ig∕即等号>噜,呜甘吟故

因为Igf>0,所以

21g231g361g6

选项C正确;

对于选项D:χy=Iog2t+lθg,t=⅛-∙=J⅛i］一,

Ig2Ig3Ig2×lg3

2

22

4Z=4(log6/)=4

因为0<lg2>lg3<(lg2+lg3=⅛5L

因为Ig2≠lg3所以等号不成立,

\2y4

14(Ig42

所以］g2χlg3>诉,即国画>府(Ig

所以盯>4Z2,根据“或”命题的性质可知选项D正确.

故选：ACD

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角1的集合是.

【正确答案】{α∣90°+左•180°<α≤120°+左•180°,左eZ}

【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.

【详解】因为终边落在y轴上的角为90°+hl80。,左∈Z,

终边落在图中直线上的角为120+k-360°=120+2⅛∙180o,keZ；

300o+n∙360o=120°+180o+2w∙180o=120°+(2〃+1)∙180o,n&Z,

即终边在直线上的角为120"+h180°，keZ,

所以终边落在阴影部分的角为90。+h180。≤α≤120。+h180o,k≡Z,

故{α∣90o+hl80θ4α≤120o+A∙180°,%wZ}

1Ix

14.已知正数X,V满足x+2y=l,则一+—的最小值为________.

Xy

【正确答案】5

【分析】根据基本不等式即可求解最值.

……12x12(1-2»12〃

【详解】—+—=—+---------=—+——4,

xyxyXy

由于x>0,y>0,x+2y=l,所以

12x=(x+2y)(--

—+—+-5，

XyIXy)

112x

当且仅当X=J=一时，取等号，故一+一最小值为5,

3%y

故5

15.数学中处处存在着美，机械学家莱洛派现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角

形的画法：先画等边三角形N8C,再分别以点/,B,C为圆心，线段48长为半径画圆弧,

便得到莱洛三角形.若线段/8长为2,则莱洛三角形的面积是.

【正确答案】2π-2√3⅛⅛-2√3+2π

【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化

即可求解.

【详解】由已知得NB=BC=NC=T,

则AB=BC=AC=2,故扇形的面积为—,

3

由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍,

所求面积为3x型一2X且x22=2兀一2√J∙

34

⅛⅛2π-2√3^4-2√3+2π∙

------,x∈[O,l),

16.定义在R上的奇函数/(χ),当x≥0时，/(x)=^x+l则函数

[1-∣Λ-3∣,X∈[1,+∞),

F(x)=f(x)—'的所有零点之和为.

π

【正确答案】—

1—2TT

【详解】由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为玉，工2，七/4,鼻，满足

x+%=-6,x=---,x+⅞=6，因此所有零点之和为一--

13l-2π4∖-2π

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤）

17.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充

在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数机存在，求出用的取值范围；若不存在，说明

理由.

已知集合Z={xI/-4x-12≤0},B={x∖x1-mx-6m2<0,m>0].

（1）求集合A，B；

（2）若XeZ是XeS成立的条件，判断实数机是否存在？

【正确答案】(1)Z={x∣-2≤x≤6},B={x∖-2m<x≤3m,m>0]；(2)答案见解析.

【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合48；

（2）选①，得集合A是集合8的真子集；选②，得集合B是集合A的真子集；选③，得集

合A等于集合3；再求值.

【详解】解：（1）由χ2-4χ一12≤0得—2≤x≤6,故集合Z={x∣-2≤x≤6},

2

由χ2-WU∙-6∕∏≤O得-2m≤x43m,故集合5={x∣-2∕n≤x≤3m,m>O].

（2）若选择条件①，即xe4是xe3成立的充分不必要条件，集合A是集合8的真子集,

一2/w≤—2

则有K,解得m≥2,

所以，实数机的取值范围是[2,+∞）.

若选择条件②，即XeZ是xe8成立的必要不充分条件，集合8是集合A的真子集，

—2/M≥—2

则有V,解得O<M<1,

所以，实数机的取值范围是（0，1

若选择条件③，即xe4是xe8成立的充要条件，则集合A等于集合8,

-Im—2

则有L,，方程组无解.

所以，不存在满足条件的实数〃?.

χ2+3

18.已知函数y=（Xwα,。为非零常数）.

X-a

χ2+3

（1）解不等式士2<χ;

x-a

2+3

（2）设x>α时，ʃɪ-x-------有最小值为6,求“的值.

x-a

【正确答案】（1）答案见解析；（2）α=L

【分析】

(1)先将不等式化简为竺三<0,转化为同解的一元二次不等式，然后分类讨论参数

x-a

对应求得不等式的解集.

(2)用换元法，令t=x—a,由x>α,贝卜>0,将原函数整理为卜=/+《±1+2。，

t

利用基本不等式求出最小值，由最小值为6,即可求出α的值.

【详解】⑴•••土上^<χ,即竺二<0,等价于(αx+3)(x—α)<0.

x-ax-a

当口>(≡,不等式可化为(x+∙∣](xi)<0,解集为「-j<x<α>;

当α<0时，不等式可化为(x+j)(x-4)<0,解集为<Xx>-3或x<a}.

综上所述，当α>0时.，不等式的解集为{x-j<x<α>；

3

当QVo时，不等式的解集为<xx>-一或x<α}.

a

(2)设∕=x-α,则X=1+Q(∕>0),

.广+24f+a2+3cι~+3-Ia~+3_/~ɔΣ^C

∙∙y=-------------------=Z+F2a>2JZ--------+2a=2y∣a2+3+2a，

3Iɔ

当且仅当f=∖3,即yJ》+3时,等号成立，即y有最小值25/+3+2..

由题意有2jq2+3+24=6,解得α=l.

本题考查分式不等式的解法,基本不等式求函数的最值,考查学生分析问题能力与运算能力,

是中档题.

TTTr

19.已知函数/(X)=2Sin(OX-§)(。>0)图象的相邻两条对称轴间的距离为].

(1)求函数/(x)的单调递增区间和其图象的对称轴方程；

TT

(2)先将函数歹=∕(x)的图象各点的横坐标向左平移一个单位长度，纵坐标不变得到曲线

12

C,再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到g(x)的图象，若g(x)N；,

求X的取值范围.

TlSir

【正确答案】(1)单调递增区间为⅛π--,⅛π+-(⅛∈Z),对称轴方程为

kn5π

X=—H-----(κ∈Z);

212

ɪTCTCr、

(2)kπ+-,krπ+-z(7k∈Z).

【分析】(1)由条件可得函数/(x)的最小正周期，结合周期公式求3,再由正弦函数性质求

函数/(x)的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数g(x)的解析式，

根据直线函数性质解不等式求X的取值范围.

【小问1详解】

π

因为/(X)图象的相邻两条对称轴间的距离为一.，所以/(X)的最小正周期为兀,

2

ɔ

所以,=兀，ω=2,所以/'(X)=2sin(2x—工)，

ω3

TrTTTrJTSTT

由2Aπ----≤2x-----≤2kπ+—,可得Aπ------<x<kπΛ--,(ZwZ),

2321212

TT5TT

所以函数/(X)的单调递增区间为⅛π--,⅛π+-(AreZ),

所以所求对称轴方程为X=G+五/eZ)

【小问2详解】

TTTT

将函数y=∕(χ)的图象向左平移三个单位长度得到曲线C:y=2sin(2x—2),

126

把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的7得到g(x)=sin(2x-当的图象,

2O

ITT1TiTtSTT

由g(x)≥—得sin(2x----)≥-,所以2加+—≤2x-----≤2kπ+一,ZreZ,

262666

TTITJTJT

所以左兀+—≤x≤Λπ+-,keZ,所以X的取值范围为kπ+-,kπ+-(k∈Z).

6262

20.已知函数y=/(x)的定义域为R,且对任意”,⅛∈R,都有/(α+数=∕(α)+∕(b),

且当x>0时，/(x)<0恒成立.

(1)证明函数y=∕(χ)是奇函数；

(2)证明函数N=∕(x)是R上的减函数；

(3)⅛∕(X2-2)+∕(X)<0,求X的取值范围.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析(3){小>1或X<-2}

【分析】(1)利用特殊值求出/(O)=O,从而证明/(τ)=-∕(x)即可；(2)证明出

/(ɪɪ)-f[x2)=f[(ɪ,-X2)+X2]-f(x2)=/(X1-X2),再利用当X>0时,/(χ)<0恒

成立即可得解；(3)利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解.

【小问1详解】

证明：由/m+b)=∕(α)+∕S),

令α=6=0可得/(0)=/(0)+/(0),

解得/(0)=0,

令α=x,b--X可得f{x-x)=/(x)+/(-%),

即/(x)+∕(r)=∕(0),而/(0)=0，

/(-x)=-/W,而函数y=/(χ)的定义域为R,

故函数N=/(X)是奇函数.

【小问2详解】

证明：设司>》2，且X]WR,x2≡R,则玉一/>0，

而/(a+b)=∕(α)+∕S)

ʌ/(ɪɪ)-f(χ2)=f[(χ,-%2)+χ2]-∕(χ2)

=∕(xl-x2)+/(x2)-/(x2)

=∕(x1-x2),

又当X>0时，/(x)<0恒成立，即/(再一》2)<0，，/(石)</(*2)，

・.・函数y=∕(x)是R上的减函数；

【小问3详解】

(方法一)由/(f-2)+∕(x)<0,

W∕(√-2)<-∕ω>

又N=∕(x)是奇函数,

即f(x2-2)<f(-x),

又y=/(χ)在R上是减函数，

.∙.X2-2>-X解得X>1或X<-2.

故X的取值范围是{χ∣X>1或X<-2}.

(方法二)由/(x2-2)+f{x)<O且/(O)=0,

得/(/一2+x)<∕(0),

又y=∕(χ)在R上是减函数，

.,.x~—2+X>O，

解得x>l或％<-2.

故X的取值范围是{》,>1或》<一2}.

21.已知函数/(x)=χ2+法+c,满足/(x)=∕(l-x),其一个零点为T.

(1)当m≥0时，解关于X的不等式W(X)N2(x-m-l);

⑵设/7(x)=∕*T,若对于任意的实数多，X2∈[-2,2],都有]〃(西)一人(》2)归"，

求M的最小值.

【正确答案】(1)答案见解析

(2)242

【分析】(1)根据条件求出6,c,再分类讨论解不等式即可；

(2)将问题转化为MNMx)-h(χ].,再通过换无求最值即可.

【小问1详解】

因为/(x)=∕(l-x)，则χ2+⅛r+c=(l-x)2+b(l-x)+c,得6=T

又其一个零点为_1,则/(—ι)=ι+ι+c=O,得c=-2,

则函数的解析式为/U)=/-》一2

则m(x2-x-2)≥2(x-"z-l),即mx2一(∕M+2)X+2=(wx-2)(x-1)≥0

当加=0时，解得：x≤l

当772>O时∙，①〃2=2时.，解集为R

2

②0<加<2时，解得：x≤l或x≥-,

m

2

③机>2时，解得：%≤—或x31,

m

综上，当帆=0时，不等式的解集为｛x∣x≤l｝;

当〃?=2时，解集为K；

当0<∕<2时，不等式的解集为｛x∣x≤l或xN^｝；

当机>2时，不等式的解集为〈xx〈一或x≥l｝.

m

【小问2详解】

对于任意的$,Jf2∈[-2,2],都有MxI)-MX2)∣VM'，

即Λ/≥〃(x)-〃(X)

令f=∣x2+2x—3∣=∣(x+l)2—4,则7z(f)=3'

因为xe[-2,2],则*=0,%x=5

可得M%=3=M%=3°=ι

则〃(x)-h(χ].=243—1=242,

∖/max\/ɪnɪn

即Λ/2242，即M的最小值为242.

22.某同学用“五点法”画函数/(x)=4cos3x+e)θy>0,时V/)在某一个周期内的

图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

π