上海华亭学校2023年数学九年级上册期末学业质量监测试题含解析

上海华亭学校2023年数学九上期末学业质量监测试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为（）

A.m>lB.m>lC.m<lD.m<l

2.如图，为了测量路灯离地面的高度，身高1.6m的小明站在距离路灯的底部（点。）12m的点A处，测得自己的影

子A"的长为4m,则路灯CO的高度是（）

A.4.8mB.6.4mC.8mD.9.6m

3.如图，.Q43是等边三角形，且。4与x轴重合，点B是反比例函数y=-座的图象上的点，贝！J.0A3的周长为

()

C.9aD.8夜

4.如图，在正方形A3CD中，以为边作等边△8PC,延长分别交AD于点七产，连接5。、DP,BD

与相交于点”，给出下列结论：①AE=gb；②/BPD=135°；③APDE〜M）BE；@ED2=EPEB；

其中正确的是（）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

5.如图，在。0中，直径CD_L弦AB,则下列结论中正确的是（）

A.AC=ABB.ZC=-ZBODC.NC=NBD.NA=NBOD

2

6.若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

7.已知点（X1,yi）,（X2,J2）是反比例函数y=一图象上的两点，且0VX1VX2,则yi,了2的大小关系是（）

X

A.0<ji<j2B.0<j2<JiC.ji<j2<0D.

8.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与

月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n—36,那么该

企业一年中应停产的月份是（）

A.1月，2月B.1月，2月，3月C.3月，12月D.1月，2月，3月，12月

9.如图，AB//EF//DC,AD//BC,E尸与AC交于点G,则是相似三角形共有（）

10.如图，已知正方形ABCD,将对角线BD绕着点B逆时针旋转，使点D落在CB的延长线上的〃点处，那么sinZAD'B

的值是（）

D

A.3B.—C.y/2D.-

322

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.若锐角4满足cosA=—,则NA=

2

12.如图，某海防响所。发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到

达哨所北偏东60。方向的8处,则此时这般船与哨所的距离OB约为米.（精确到1米,参考数据：V2=1,414，

13.在一个暗箱里放有，"个除颜色外其他完全相同的小球，这个小球中红球只有4个，每次将球搅匀后，任意摸出

一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算，〃大约是

14.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是

15.已知RtAABC中，AC=3,BC=4,以C为圆心，以r为半径作圆.若此圆与线段A8只有一个交点，则r的取值

16.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为L8m,他在不弯腰的情况下，在棚内的横向

活动范围是一m.

）'

>

17.如图，已知矩形ABCD的两条边AB=LAD=J5,以B为旋转中心，将对角线BD顺时针旋转60。得到线段BE,

再以C为圆心将线段CD顺时针旋转90。得到线段CF,连接EF,则图中阴影部分面积为.

18.如图，已知。0的半径为2,AA3C内接于:O,NACB=135，则AB=

三、解答题（共66分）

19.（10分）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生

在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清.）与x的函数关系如图所

示，根据图像回答下列问题：

（万元）

30x（月）

（D确定）'与x的函数解析式，并求出首付款的数目；

（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？

（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？

20.（6分）（1）如图1,在△ABC中，点D,E,Q分别在AB,AC,BC上，且DE〃BC,AQ交DE于点P,求证:

DP_EP

BQ-CQS

（2）如图，在aABC中，ZBAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,

N两点.

①如图2,若AB=AC=L直接写出MN的长;

②如图3,求证MN2=DM-EN.

图1图2图3

21.（6分）如图，取AAZJC的边A8的中点0,以0为圆心为半径作。。交8c于点O,过点。作。。的切线

DE,若OE_LAC,垂足为点E.

（1）求证：AA8C是等腰三角形；

(2)若OE=LZBAC=i20°,则AO的长为

22.（8分）一艘运沙船装载着5000m3沙子，到达目的地后开始卸沙，设平均卸沙速度为v（单位：n?/小时），卸沙所

需的时间为t（单位：小时）.

（1）求v关于t的函数表达式，并用列表描点法画出函数的图象；

（2）若要求在20小时至25小时内（含20小时和25小时）卸完全部沙子，求卸沙的速度范围.

23.（8分）如图，等边AABC的边长为3,P为BC上一点，且BP=LD为AC上一点，若NAPD=60。.求CD的长.

A

24.（8分）如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明（写出一种

即可）.

D

BC

①AD〃BC；②AB=CD；③NA=NC；@ZB+ZC=180°.

已知：在四边形ABCD中，.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

25.(10分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.

(1)请完成如下操作：

①以点。为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；

②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心并连接A。、CD.

(2)请在(1)的基础上，完成下列填空：

①写出点的坐标：C；D()；

②。。的半径=(结果保留根号)；

③若扇形AZJC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积为；(结果保留Q

④若E(7,()),试判断直线EC与。。的位置关系，并说明你的理由.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、C

【分析】抛物线与x轴有两个交点，则△=〃_4ac〉0,从而求出机的取值范围.

【详解】解：•••抛物线>与x轴有两个交点

：・A=/?2-4ac>0

A（-2）2-4bm>0

m<\

故选：C

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，贝!]/>0；②抛物线与x轴无交点，则/<0；

③抛物线与x轴有一个交点，则A=0.

2、B

【分析】根据平行得：AABNIS/XODM,列比例式，代入可求得结论.

【详解】解：由题意得：AB/7OC,

.AB_AM

VOA=12,AM=4,AB=1.6,

二OM=OA+AM=12+4=16,

•L6一4

"OC-16

.,.OC=6.4,

则则路灯距离地面6.4米.

故选：B.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是利用物高和影长成正比或相似三角形的对应边成比例性质解决此题.

3、A

【分析】设AOAB的边长为2a,根据等边三角形的性质，可得点B的坐标为（-a,6a）,代入反比例函数解析式可

得出a的值，继而得出AOAB的周长.

【详解】解：如图，设AOAB的边长为2a,过B点作BM_Lx轴于点M.

又•••△OAB是等边三角形，

AOM=-OA=a,BM=J3a,

2

.•.点B的坐标为（-a,6a）,

•••点B是反比例函数y=-*8图象上的点，

X

-a»y/3a=-873>

解得a=±20（负值舍去），

.♦.△OAB的周长为：3x2a=6a=120.

故选：A.

【点睛】

此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，设AOAB的边长为2a,用含a的代数式表示出点B的

坐标是解题的关键.

4、A

【分析】根据等边三角形、正方形的性质求得NABE=30。，利用直角三角形中30。角的性质即可判断①；证得PC=CD,

利用三角形内角和定理即可求得NPDC,可求得NBPD,即可判断②；求得NFDP=15。，ZPBD=15°,即可证明

△PDE-ADBE,判断③正确；利用相似三角形对应边成比例可判断④.

【详解】是等边三角形，

.\BP=PC=BC,ZPBC=ZPCB=ZBPC=60°,

在正方形ABCD中，

VAB=BC=CD,NA=NADC=NBCD=90°

.•.ZABE=ZDCF=30°,

:.RfABEMRfDCF，

:.AE=LBE」CF；故①正确；

22

VPC=CD,ZPCD=30°,

:.NPDC=NCPD=；（180。一/PCD）=g（180。—30。）=75°,

JZBPD=ZBPC+ZCPD=60°+75°=135°,故②正确；

VZPDC=75°,

:.ZFDP=ZADC-ZPDC=90°-75°=15°,

VZDBA=45°,

:.ZPBD=ZDBA-ZABE=45°-30°=15°,

AZEDP=ZEBD,

VZDEP=ZDEP,

.,.△PDE^ADBE,故③正确；

VAPDE^ADBE,

EPED

»即ED?=EP*EB,故④正确；

EDEB

综上：①②③④都是正确的.

故选：A.

【点睛】

本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理.

5、B

【解析】先利用垂径定理得到弧40=弧8D,然后根据圆周角定理得到NC=L/8。。，从而可对各选项进行判断.

2

【详解】解：•••直径。)_1_弦45,

.,.弧AZ)=弧3£>,

：.ZC=-ZBOD.

2

故选B.

【点睛】

本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.圆周角定理:

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

6、B

【分析】利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解.

【详解】解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决

问题的关键.

7、B

【分析】根据反比例函数的系数为5>0,在每一个象限内，y随x的增大而减小的性质进行判断即可.

【详解】V5>0,

图形位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，

又,.,()VxiVx2,

/.0<j2<yi»

故选：B.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内.

8、D

【详解】当一n2+15n—36W0时该企业应停产，即n2-15n+3620,n2-15n+36=0的两个解是3或者12,根据函数图象

当n，12或nW3时n2-15n+36》0,所以1月，2月，3月，12月应停产.

故选D

9、C

【分析】根据相似三角形的判定即可判断.

【详解】图中三角形有：AA£G,MDC,ACFG,ACBA,

'：AB//EF//DC,AD//BC

:.^AEG^MDC^ACFG^ACBA

共有6个组合分别为：AA£GSAAOC,AAEG^ACFG,MEG^ACBA,AADC^ACFG,AADC^ACBA,

△CFGs^CBA

故选c.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.

10、A

【分析】设4?=。，根据正方形的性质可得80=后a,NA8D'=9（）。，再根据旋转的性质可得8万的长，然后由勾

股定理可得A"的长，从而根据正弦的定义即可得.

【详解】设=a

由正方形的性质得BD="z,NAB力=180°-ZABC=90°

由旋转的性质得BD=BD=41a

在放AABZ）中，AD=y]AB2+BD2=>/3a

aV3

则sinNADB=-----；

AD-J3a3

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、旋转的性质、正弦的定义等知识点，根据旋转的性质得出B力的长是解题关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、60°

【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案.

【详解】解：由NA为锐角，且cosA='，

2

ZA=60°,

故答案为：60。.

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

12、566

【分析】通过解直角AOAC求得OC的长度，然后通过解直角AOBC求得OB的长度即可.

【详解】设与正北方向线相交于点C,

根据题意A3,所以NACO=90°,

在用AACO中，因为NAOC=45°,

所以AC=OC=JAO=200及，

2

RtMCO中,因为ZBOC=60°,

所以08=OC+cos600=40072=400x1.414«566（米）•

故答案为566.

【点睛】

考查了解直角三角形的应用-方向角的问题.此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关

知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.

13、1

【分析】由于摸到红球的频率稳定在25%,由此可以确定摸到红球的概率为25%,而机个小球中红球只有4个，由

此即可求出m.

【详解】•••摸到红球的频率稳定在25%,

二摸到红球的概率为25%,

而m个小球中红球只有4个，

•••推算，〃大约是4・25%=1.

故答案为：L

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题.

14、1

【分析】根据垂径定理求出BC,根据勾股定理求出OC即可.

【详解】解：•••OCLAB,OC过圆心O点，

11

.,.BC=AC=-AB=-xll=8,

22

在RtAOCB中，由勾股定理得：OC=Jog2_gc2=Ji02_82=1,

故答案为：1.

【点睛】

此题考查勾股定理，垂径定理的应用，由垂径定理求出BC是解题的关键.

-12

15>3</<1或r=不.

【解析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案.

【详解】解：过点C作CDJLAB于点D,

：AC=3,BC=1....AB=5,

如果以点C为圆心，i•为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，

当直线与圆相切时，d=r,圆与斜边AB只有一个公共点，

.,.CDxAB=ACxBC,

12

..CD=r=—,

5

当直线与圆如图所示也可以有一个交点，

：.3<r<i,

12

故答案为3<±1或/=丁.

【点睛】

此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解.

16、1

【分析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b,由图得知点(0,2.4),(1,0)在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式

为：y=-gx2+2.4,根据题意求出y=L8时x的值，进而求出答案;

15

【详解】设抛物线的解析式为：y=ax2+b,

由图得知：点(0,2.4),(1,0)在抛物线上,

此量解得一a二喋,

b=2.4

•••抛物线的解析式为：y=-皋2+2.4,

15

•・,菜农的身高为L8m,BPy=1.8,

4

则1.8=--x2+2.4,

15

解得：X=|(负值舍去)

故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：1米,

故答案为1.

5

17-1—I-A/3—一71

212

【分析】矩形A8CD的两条边45=1,AD=也,得到NO5C=30°,由旋转的性质得到ZBDE=60°,

求得NC8E=NOZJC=3()°,连接CE,根据全等三角形的性质得到N5CE=N8CD=90°,推出O,C,E三点共线,

得到CE=CD=1,根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】••,矩形ABCD的两条边AB=1,AD=百，

；•tanNDBC,

BC3

.,.NDBC=30。，

••,将对角线BD顺时针旋转60。得到线段BE,

/.BD=BE,ZBDE=60°,

...NCBE=NDBC=30。，

连接CE,

/.△DBC^AEBC(SAS),

...NBCE=NBCD=90。，

AD,C,E三点共线，

.*.CE=CD=1,

；・图中阴影部分面积=SABEF+SABCD+S扇形DCF-S崩形DBE

60^x4

=ix(l+V3)xl+lxlxV3+^^

22360360

105

=—+v3----兀,

212

故答案为：—+\/3——7t.

212

【点睛】

本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的

关键.

18、272

【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得NAOB的度数，然后根据

勾股定理即可求得AB的长.

详解：连接AD、AE、OA、OB,

的半径为2,AABC内接于(DO,NACB=135。,

.".ZADB=45°,

.*.ZAOB=90°,

VOA=OB=2,

:.AB=2垃,

故答案为：2庭.

点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思

想解答.

三、解答题（共66分）

9

19、（1）y=—,3万元；（2）0.45万元；（3）23个月才能结清余款

x

【分析】（1）由图像可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为丫=人,把（5,1.8）代入关系式可求出k的值，

x

再根据首付款=12*可得出结果；

（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值；

（3）知道了y的范围，根据反比例函数的性质即可求出x的范围，从而可得出x的最小值.

【详解】解：（1）由图像可知y与x成反比例，

设y与x的函数关系式为y=-,

X

把（5,1.8）代入关系式得1.8=：,

..9

=

・・々=99••<y9

x

：.12-9=3（万元）.

答：首付款为3万元；

9

（2）当x=20时，y=—=0.45（万兀），

答：每月应付0.45万元；

9

（3）当产0.4时，0.4=-,

x

解得：x=竺，

2

又在第一象限内，y随x的增大而减小，

45

.•.当y<4000时，x^—,

又X取整数，...X的最小值为23.

答：王先生至少要23个月才能结清余额.

【点睛】

此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答，难易程度适中.

20、（1）证明见解析；（2）①注；②证明见解析.

9

DPEP

【分析】（I）易证明△ADPs4ABQ,AACQ^AADP,从而得出三

HQCQ

（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高注，根据△ADES^ABC,求出正方形DEFG

2

的边长也.从而，由△AMNs^AGF和AAMN的MN边上高也，AAGF的GF边上高交，GF=—,根据MN：

3623

GF等于高之比即可求出MN；

DMMNEN

②可得出△BGDs^EFC,贝IJDG・EF=CF・BG；又DG=GF=EF,得GF2=CF・BG,再根据(1)——=------=—

BGGFCF

从而得出结论.

【详解】解：（D在aABQ和4ADP中,

VDP/7BQ,

.,.△ADP^AABQ,

DPAP

EPAP

同理在4ACQ和4APE中，—

AQ

.DPPE

：'~BQ=~QC'

(2)①作AQ1.BC于点Q.

VBC边上的高AQ=1,

2

•:DE=DG=GF=EF=BG=CF

ADE：BC=1：3

XVDE/7BC

AAD：AB=1：3,

.,.AD=-,DE=—,

33

YDE边上的高为也，MN：GF=—：—,

662

・2•WIN：五一-a:V2f

362

AMN=—

9

故答案为：叵

9

②证明：VZB+ZC=90°ZCEF+NC=90°,

r.ZB=ZCEF,

又：NBGD=NEFC,

.,.△BGD^AEFC,

.DGBG

•.—9

CFEF

；.DG・EF=CF・BG,

XVDG=GF=EF,

.*.GF2=CF«BG,

DMMNEN

由（）得

1~BG~GF~FC

MNMNDMEN

~GF,'GF_~BG'~CF

DMEN

^BG'~CF

VGF2=CF»BG,

.*.MN2=DM«EN.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大.

21、（1）证明见解析；（2）正兀

9

【分析】（1）连接OD,利用等边对等角证得N1=NB,利用切线的性质证得OD〃AC,推出NB=NC,从而证明AABC

是等腰三角形；

（2）连接AD,利用等腰三角形的性质证得NB=NC=30。，BD=CD=2,求得直径AB=£1,利用弧长公式即可求

3

解.

【详解】（1）证明：连结00.

•：OB=OD,

TOE为。。的切线，

:.NODE=90。,

9：DELAC,

：.NODE=NDEC=9。。,

：.OD//AC,

AZ1=ZC.

AZB=ZC

：.AB=AC,即AABC是等腰三角形;

(2)连接AD,

〈AB是。。的直径，

・•・ZBDA=90°,即AD±BC,

又••,△A5C是等腰三角形，ZBAC=120°,

1

/.ZBAD=-ZBAC=60°,BD=CD,

2

/.ZB=ZC=30°,

在R3CDE中，ZCED=90°,DE=1,ZC=30°,

ACD=2DE=2,

ABD=CD=2,

在RtAABD中,

BD2

cos3=即cos30°=—,

~ABAB

•A*4百

••AB—----9

3

Jo/a

AOA=OD=-AB=^-,

23

ZAOD=2ZB=60°,

25/3

AAD的长为"3=2g.

==------71

180----------1809

故答案为：怨兀.

9

【点睛】

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式等知识点的综合运用.作出常用辅助线

是解题的关键.

22、(1)v=^222>见解析；(2)200<v<l

t

【分析】(1)直接利用反比例函数解析式求法得出答案；

(2)直接利用(1)中所求解析式得出v的取值范围.

【详解】(1)由题意可得：丫=您，

t

列表得：

V・・・1011625…

t・・・246・・・

位-5000

当t=25时，v=-------=200,

20

故卸沙的速度范围是：200<v<l.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键.

2

23、CD=-.

3

【分析】根据相似三角形的判定定理求出ABPsPCD,再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答.

【详解】解：•••△ABC是等边三角形，

.,.ZB=ZC=60°,

VZAPB=ZPAC+ZC,ZPDC=ZPAC+ZAPD,

VZAPD=60°,

.*.ZAPB=ZPAC+60°,ZPDC=ZPAC+60°,

...NAPB=NPDC,

又：/）8=/©=60°,

/.△ABP^APCD,

.AB_BP

..---=----,

PCCD

即。

2CD

2

，CD=一.

3

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，证出两三角形相似是解题的关键.

24、已知：①③（或①④或②④或③④），证明见解析.

【解析】试题分析：根据平行四边形的判定方法