山东省聊城市莘县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

数学试题亲爱的同学，伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前一定要仔细阅读以下说明：1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间为120分钟．2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置．3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．4．考试结束，只交回答题卡．5．不允许使用计算器．愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项。1.下列图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.(-0.125)2013×(-8)A.-4 B.4 C.-8 D.83.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为(

)A.46×108 B.4.6×108 C.4.一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的(

)A.B.

C.D.5.下列计算正确的是(

)A.a3⋅a4=a12 B.36.已知直线m/​/n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠2=78°，则∠1的度数为(

)A..30°B..33°C..35°D..22°7.阳光中学对操场跑道进行翻新，甲、乙施工小组同时施工，如果乙比甲每小时多翻新10米，那么甲翻新120米跑道所用时间是乙翻新150米跑道所用时间的1.2倍，求甲、乙施工小组每小时各翻新多少米？设甲每小时翻新x米，则可列方程为(

)A.120x=150x+10×1.2 B.120x8.“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品.实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长为4cm，那么AB的长约为(

)A.(25+2)cmB.(25-2)cm9.已知反比例函数y=-a2+1x的图象上有点A(x1,y1)，B(x2,yA.y1>y2>y3 B.10.如图，一段抛物线y=-x2+6x(0≤x≤6)，记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线A.-6 B.6 C.-8 D.8二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若1x+1y=2，则12.如图所示的是一个母线长为10的圆锥，将其侧面展开后得到一个半径为10，圆心角为252°的扇形，则这个圆锥的底面半径是______．13.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了______度.14.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB点D，则∠ACD的度数等于______．

15.已知直线y=kx+b与直线y=2x-7平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线y=ax-2，则k+ba=______．16.如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止.过点P作PM⊥AC于点M.作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为______．三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算或化简

(1)2cos45°+|2-3|-(13)18.(本小题8分)

某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．

(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元？

(2)学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W(元)与m(件)之间的函数关系式.求当m为何值时，总费用最少，并确定最少费用W的值．

19.(本小题8分)

“勤能补拙，俭以养德”.我校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

(1)这次被调查的同学共有______名；

(2)把条形统计图补充完整；

(3)在扇形统计图中，“剩大量”对应的扇形的圆心角是______度；

(4)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算，我校3000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．

20.(本小题8分)

如图F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，BF分别交CD，AC于G，E.(1)求证：EFEB=AECE；

(2)若EF=12，GE=4，求BE

21.(本小题9分)

为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架(如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图(如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm.(厚度忽略不计)

(1)求支点C离桌面l的高度；(计算结果保留根号)

(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力.当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？(精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)

22.(本小题9分)

如图，AB是⊙O的直径，点D是BC的中点，∠PAC=∠ADC，且CD=5，AD与BC交于点E．

(1)求证：PA是⊙O的切线；

(2)延长CD，AB交于点F，若OB=BF，求⊙O的半径．

23.(本小题10分)

已知如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN的面积最大？最大面积是多少？

(3)点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F，使点A，D，E，F构成矩形，若存在，求出点E，F

24..(本小题12分)

(1)【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E.在同一直线上.填空：①线段BD，CE之间的数量关系为______；②∠BEC=______°.

(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，点B，D，E在同一直线上.请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．

(3)【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=27，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE=3，将△ADE绕点A旋转，当点B，D，E三点在同一直线上时，求点C到直线DE的距离．

参考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.D

6.B

7.A

8.A

9.D

10.C

11.11112.7

13.200

14.50°

15.5216.(3217.解：(1)2cos45°+|2-3|-(-13)-2+(2024-π)0

=2×22+3-2-9+1

=2+3-2-9+118.解：(1)设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意得，

3x+2y=605x+3y=95，解得：x=10y=15，

答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；

(2)由题意，得W=10m+15(100-m)=-5m+1500，

则-5m+1500≤1150m≤3(100-m)，

解得：70≤m≤75，

∵m是整数，

∴m=70，71，72，73，74，75．

∵W=-5m+1500，

∴k=-5<0，

∴W随m的增大而减小，

∴m=75时，W最小=1125．

∴应买A种奖品75件，B种奖品19.解：(1)这次被调查的学生数：400÷40%=1000(名)．

故答案为：1000；

(2)剩少量的人数：1000-400-250-150=200(名)，补全统计图如下：

(3)“剩大量”对应的扇形的圆心角是：360°×1501000=54°．

故答案为：54；

(4)3000×2001000=600(人)，

答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供600人食用一餐．

20.(1)证明：∵AF//BC，

∴△AEF∽△CEB，

∴EFEB=AECE．

(2)解：∵AB//CD，

∴△ABE∽△CGE，

∴EBGE=AECE，

由(1)知EFEB=AECE，

∴EBGE=EF21.解：(1)过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，

∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．

由题意得：∠BAF=90°，

∴四边形ABMF为矩形，

∴MF=AB=2cm，∠ABM=90°．

∵∠ABC=150°，

∴∠MBC=60°．

∵BC=18cm，

∴CM=BC⋅sin60°=18×32=93(cm)．

∴CF=CM+MF=(93+2)cm．

答：支点C离桌面l的高度为(93+2)cm；

(2)过点C作CN//l，过点E作EH⊥CN于点H，

∴∠EHC=90°．

∵DE=24cm，CD=6cm，

∴CE=18cm．

当∠ECH=30°时，EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；

当∠ECH=70°时，EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)22.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠PAC=∠ADC，∠ABC=∠ADC，

∴∠PAC=∠ABC，

∴∠OAP=∠BAC+∠PAC=∠BAC+∠ABC=90°，

∵OA是⊙O的半径，且PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线．

(2)解：连接OD、BD，设⊙O的半径为r，则AO=OD=OB=r，

∴∠ODA=∠BAD，

∵点D是BC的中点，

∴CD=BD，

∴∠CAD=∠BAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD/​/AC，

∵OB=BF=r，CD=5，

∴OF=2r，AF=AO+OF=r+2r=3r，

∴DFCD=OFAO=2rr=2，

∴DF=2CD=2×5=25，

∴CF=CD+DF=5+25=35，

∵∠FDB+∠BDC=180°，∠FAC+∠BDC=180°，

∴∠FDB=∠FAC，

∵∠F=∠F，

23.解：(1)∵OA=OC=3，

∴抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)，C(0,-3)，

∴将其分别代入抛物线解析式，得9-3b+c=0c=-3，

解得b=2c=-3．

故此抛物线的函数表达式为：y=x2+2x-3；

(2)设直线AC的解析式为y=kx+t，

将A(-3,0)，C(0,-3)代入，得-3k+t=0t=-3，

解得k=-1t=-3，

∴直线AC的解析式为y=-x-3，

∵y=x2+2x-3，令y=0得x2+2x-3=0，

解得x=-3或1，

∴B(1,0)，

过点N作直线NM/​/y轴，交AC于点M，

设N的坐标为(n,n2+2n-3)，则M(n,-n-3)，

∴MN=-n-3-(n2+2n-3)=-n2-3n，

∴S四边形ABCN=S△ABC+S△ACN=12AB⋅OC+12MN⋅OA=12×4×3+12×3(-n2-3n)=-32(n+32)2+758，

把n=-32代入抛物线得：y=(-32)2+2×(-32)-3=-154，

∴N的坐标为(-32,-154)，

∴存在一点N(-32,-154)，使四边形ABCN的面积最大，最大面积是758；

(3)∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，

∴D(-1,-4)，

设E(0,m)，

∵点A，D，E，F构成矩形，

∴△ADE是直角三角形，

∴AD2=(3-1)2+42=20，

AE2=32+m224.解：(1)AB=33AD，理由如下：

∵△CEF为等边三角形，

∴∠ECF=60°

∴∠DCE=30°，

设DE=x，

在Rt△DEC中，EC=2DE=2x，

∴CD=CE2-DE2=(2x)2-x2=3x；

∵矩形ABCD沿EF折叠，

∴AE=EC=2x，

∴AD=AE+DE=2x+x=3x．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3x，

∴ABAD=3x3x=33，

∴AB=33AD；

(2)①△CEF为等腰直角三角形，理由如下：

∵△AEF沿EF折叠，点A与点C重合，

∴EF是线段AC的垂直平分线，∠ECF=∠A=45°，

∴∠EFC=90°，

∴∠FEC=45°，

∴∠FEC=∠ECF．

∴△CEF为等腰直角三角形；

②根据图形折叠的性质可知：CF=EF=AF=12AC=1，

∵点D是EF的中点，

∴DF=12EF=12，

∴CD=DF2+CF2=(12)2+12=52；

(3)过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DM⊥AG于点M，作DN⊥BC于点N，连接AD，如图：

∵A，C两点关于折痕对称，∠ACD=45°，

∴DA=DC，∠ACD=∠DAC=45°，

∴∠ADC=90°，

∵AB=AC，AG⊥BC，

∴点G为BC的中点，

∴BG=CG=25.解：(1)①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

即∠BA