正方形课件人教版数学八年级下册

第十八章平行四边形18.2.3正方形1.能从边、内角、对角线三个方面掌握正方形的所有性质2.能掌握正方形不同的判定方法,能根据已知条件选择正确的方法判定正方形3.能理解正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系4.能解决与正方形相关的几何问题一、学习目标二、新课导入观察图片中框出的图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.思考：正方形都有些什么特点呢？三、概念剖析

正方形是特殊的平行四边形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.（一）正方形的性质(1)边：正方形的对边相等且平行,四条边都相等;(2)内角：对角相等,且四个角都相等,都为直角;(3)对角线：对角线相等且互相垂直平分.ABCD三、概念剖析正方形是轴对称图形，共四条对称轴.例：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O.EF、GH、IJ、KL分别为正方形ABCD的对称轴.FEHGIJKL（一）正方形的性质三、概念剖析（二）正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系平行四边形矩形菱形正方形典型例题例1.已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.ADCBO证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.又∵AD=CD=BC=AB归纳：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.典型例题例2.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD=∠EDA=15°.点拨：由正方形ABCD和△BEC是等边三角形可得△ABE和△DCE是等腰三角形，得到∠BAE和∠CDE的度数，从而证明即可.典型例题证明：∵ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.例2.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD=∠EDA=15°.1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等D【当堂检测】在Rt△AOD中，由勾股定理，得2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO=2，求正方形的周长与面积．∴正方形的周长为4AD=，面积为AD2=8.【当堂检测】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OD=2，三、概念剖析正方形既是矩形，又是菱形.即，（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（或对角线互相垂直的矩形是正方形）（三）正方形的判定矩形邻边相等正方形对角线互相垂直三、概念剖析（三）正方形的判定（2）有一个角是直角的菱形是正方形.（或对角线相等的矩形是正方形）菱形一个角是直角正方形对角线相等例2.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形.典型例题点拨：由题意得，四边形CFDE是矩形，根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判定四边形CFDE是正方形.证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，∴四边形CFDE是矩形，又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∴四边形CFDE是正方形.(有一组邻边相等的矩形是正方形)例3.如图所示，已知□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．若∠AED＝2∠EAD.求证：四边形ABCD是正方形．典型例题证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC.∴平行四边形ABCD是菱形．∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°.∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°.∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°.∴菱形ABCD是正方形．(有一个角是直角的菱形是正方形)∴∠AEO＝∠AEC＝30°.总结：

正方形判定的两条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件菱形条件(1)(2)一个直角对角线相等一组邻边相等对角线垂直典型例题3.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：

使得平行四边形ABCD是正方形.【当堂检测】∠BAD=90°或AC=BD4.已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．证明：过点D作DG⊥AB于点G.∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC＝∠DEC＝90°.又∵∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG.同理可得DE＝DG，∴DE＝DF.∴四边形CEDF是正方形.G∴∠DAF=∠DAG，∠AFD=∠AGD=90°又∵AD=AD∴△AFD≌△ADG(AAS)，【当堂检测】四、课堂总结1.正方形的性质：(1)边：正方形的对边相等且平行,四条边都相等;(2)内