中考总复习数学课件第一部分第四章第21课时解直角三角形的应用

第21课时解直角三角形的应用

1.会运用勾股定理解决简单的应用问题. 2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题. 3.了解俯角、仰角、方位角、坡角、坡度等概念.4.了解近似数；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值.

1.从________看，视线与________的夹角叫作仰角.2.从________看，视线与________的夹角叫作俯角.3.坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫作___________________，记作i，即i＝________.下往上水平线上往下水平线坡面的坡度(坡比)i

4.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α，tanα＝________＝________.坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 5.指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的角为________.方向角

6.一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.仰角与俯角

1.如图，小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度.解：由题意，∠ADG＝30°，∠AFG＝60°，DF＝10，∴∠DAF＝∠AFG－∠ADG＝30°.∴∠FAD＝∠FDA.∴DF＝AF＝10.坡角2.如图，一水库迎水坡AB的坡度i＝1∶，则该坡的坡角α＝________.答案：30°

3.如图，水池的横断面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角B为30°，背水坡AD的坡度i＝1∶1.2，坝顶宽DC＝2.5m，坝高CF＝4.5m.求：(1)迎水坡BC的长.(2)迎水坡BC的坡度.(3)坝底AB的长.(结果精确到0.1)解：如图，作DE⊥AB于点E，(1)∵CF＝4.5，∠B＝30°，∴BC＝2CF＝9.方位角

4.(2023·郴州)如图，在某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向；2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向.求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据：结果精确到0.1km).解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意得，AB＝40×2＝80，∠CAD＝30°，∠ABC＝45°，∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为29.2km.

运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题

5.(2023·深圳)如图，若某人爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能(1.025－cosα)J.某人爬了1000m，该坡角为30°，A.58JB.159JC.1025JD.1732J答案：B

6.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图的三角形空地上移植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元答案：C

与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法，适当添加辅助线构造直角三角形.

1.(2021·深圳)如图所示，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则建筑物的高CD用三角函数表示为()A.15sin32°B.15tan64°C.15sin64°D.15tan32°答案：C

2.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个智慧三角)形三边长的一组是(答案：D米米

3.(2023·南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距()A.

xsinαB.

xcosαC.(x·sinα)米D.(x·cosα)米答案：B

4.(2023·日照)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至点C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度AD大约是(结果精确到A.31mB.36mC.42mD.53m答案：B10m，则树AB的高度是()答案：B

6.(2021·济南)无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处的俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处的俯角为35°，则M，N之间的距离为(参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数)()A.188mB.269mC.286mD.312m答案：C

7.(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m(AC＝1m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高度是____________.

8.如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面的高度AC为4米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是__________米.

9.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°的方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°的方向上，那么该船继续航行______分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.答案：15

10.(2023·赤峰)为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB.如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是__________千米(精确到0.1千米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，答案：9.9

11.(2021·包头)某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图.测得AC长为∠CDB＝135°(点A，B，C，D在同一水平面内). (1)求A，D两点之间的距离. (2)求隧道AB的长度.解：(1)过点A作AE⊥CD于点E，如图所示，则∠AEC＝∠AED＝90°.∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°，(2)由(1)得△ADE是等腰直角三角形，即隧道AB的长度为3km.

12.(2022·广州)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图所示，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD.(1)求BC的长.(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求旗杆AB的高度.条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°.(参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40)解：(1)∵BC＝5CD，CD＝1.6m，∴BC＝5×1.6＝8(m)，∴BC的长为8m.(2)若选择条件①：∴AB＝12.8，∴旗杆AB的高度为12.8m.若选择条件②：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则CD＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，∴AF＝DF·tan54.46°≈8×1.40＝11.2(m)，∴AB＝AF＋BF＝11.2＋1.6＝12.8(m)，∴旗杆AB的高度约为12.8m.

13.(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)解：如图，连接AB，取AB中点D，连接CD.∵AC＝BC，点D为AB中点.∴中线CD为△ABC的角平分线，在Rt△ACD中，∴AD＝10×sin50°≈7.66.∴AB＝2AD≈15.3(m).∴A，B两点间的距离大约是15.3m.

14.(2022·威海)小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度.如图，他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M.测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到0.1m).解：如图，过点M作MN⊥AB，垂足为N.设MN＝xm，在Rt△ANM中，∠MAB＝22°，在Rt△MNB中，∠MBN＝67°，∵AB＝50，∴AN＋BN＝50.∴x≈17.1(m).∴这段河流的宽度约为17.1m.

15.图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形.为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长是10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°.安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？(结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)图1图2解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，在Rt△AOE中，∠AOE＝26°，OA＝10，则OE＝OA·cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，在Rt△ABF中，∠BAF＝146°－90°－26°＝30°，AB＝8，∴OG＝BD－BF－OE＝(175＋15)－4－9＝177(cm).答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm.

16.脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.图1是政府给贫困