第25讲 圆的综合证明问题专项训练 (原卷版)

第25讲圆的综合证明问题专题复习【知识点睛】第一问常考考点——切线切线的判定：常用方法→有切点，连半径，证垂直！无切点，作垂直，证半径！☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题考题常见结合考点知2得1：三角形相似：Rt△勾股定理：圆中求长度，垂径＋勾股！三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△特殊角：常见特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°、正切值=½/⅓/¾等的角度。☆特别地：题目中没给角度（90°、180°除外），又要求角度时，答案一般为特殊角！另：弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法常用公式：常用辅助线①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3——或做两条弦心距，构造矩形或正方形③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题【类题讲练】1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，则下列结论正确的是．①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE＝4，EC＝1，则BC＝3．2．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图的机械设备，磨盘半径OQ＝3dm，用长为13dm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB，OA＝8dm．（1）如图2，当PQ与⊙O相切时，则AP＝dm．（2）若磨盘转动10周，则点P在轨道AB上滑动的路径长是dm．3．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为．4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．动点E在AB边上，以点E为圆心，以BE为半径作弧，点G是弧上一动点．（1）如图1，若点E与点A重合，且点F在BC上，当DF与弧相切于点G时，则BF的值是；（2）如图2，若AE＝1连结CG，DG，分别取DG、CG的中点P、Q，连接PQ，M为PQ的中点，则CM的最小值为．5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．（1）求证：EA与⊙O相切；（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径．6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若点F在AB的延长线上，且AF＝2AB，求证：DF与⊙O相切．7．如图AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC与⊙O相切于点G，AC＝8，CF＝1，求阴影部分面积．8．如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，连接DB，且CD＝CE．（1）求证：直线DC与⊙O相切；（2）若AB＝15，tan∠BDC＝，求CE的长．9．如图，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，（r是⊙O的半径）．（1）D为AB延长线上一点，若DC＝DF，证明：直线DC与⊙O相切；（2）求EF•EC的值（用r表示）．10．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，，求DF的长．11．如图1，在⊙O中，P是直径AB上的动点，过点P作弦CD（点C在点D的左边），过点C作弦CE⊥AB，垂足为点F，连结BC，已知．（1）求证：FP＝FB．（2）当点P在半径OB上时，且OP＝FB，求的值．（3）连结BD，若OA＝5OP＝5．①求BD的长．②如图2，延长PC至点G，使得CG＝CP，连结BG，求△BCG的面积．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E为射线AB上一点，过点A，E，D作圆交射线AC于点F，连结DE，EF，且DE交AC于点G．（1）求证：∠DEF＝∠ACB．（2）若AG＝GF，求DG的长．（3）当△EFG是以EF为腰的等腰三角形时，求△ADG的面积．13．如图，在△ABC中，点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交BC于点D，交AB于点E，弧ED与弧DC相等，点F在线段BE上，∠BAC＝2∠BDF．（1）求证：AB＝AC；（2）判断DF与⊙O的位置关系，并加以证明；（3）若⊙O的半径为5，EB+DF＝AO，求BD的长．14．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分∠FBA，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AB＝8，，求DB的长；（3）在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．15．已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接AC．（1）如图1，若点C为半圆的中点，求AC的长；（2）如图2，连接BC，点D在⊙O外，连接CD，BD，BD交⊙O于点E，此时，BC平分∠ABD，∠D＝90°，求证：CD是⊙O的切线；（3）如图3，在（2）问的条件下，连接CO，EO，若，求cos∠COE．16．在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是